L'OCTAÈDRE
(1131) Dont la coupe ahcd est évidemment un carré et le rayon de la sphère circonscrite=0 a=0 c=0 e=la demi-diagonale du carré h d, n'offrira dans sa construction aucune difficulté, et on obtiendra Op, rayon de la sphère inscrite, à l'aide du triangle Ope, rectangle en p et dans lequel on connaît l'hypoténuse Oe =y'i( a e f et un côté p e=(902) j> a=p h.
La surface s de l'octaèdre =^ahe et son volume=sxJ Op.
LE DODECAEDRE.
(1132) Pour construire ce solide ou pour en obtenir le volume, quand on en connaît le côté ab, m r», hn , ou la surface (679) b m, 71 r, d'un des plans composants ; il devient nécessaire de déterminer l'angle ptp formé par deux /A, fd de ses faces adjacentes. A cet effet, menez par la droite n s un plan nv s perdiculaire à l'intersection b m prolongée des faces mb, m h et intersectant en vn, v s, les plans prolongés de ces faces ; nv s sera (878 et 882) l'angle requis et n v x la moitié fle cet angle. Dans le triangle n v m, rectangle en v (882), on a l'hypoténuse m n et l'angle nmv= supplément de Imn, pour trouver nv, et dans le triangle rectangle nxv on a nv et 7ix=lns, demi-diagonale du pentagone n r, pour trouver l'angle voulu nv x.
Maintenant, soit 0 le centre du polyèdre et 0 2> le rayon de la sphère inscrite: pour trouver ce rayon, ou a dans le triangle O 2? ^, rectangle (977) en p, l'angle 0 ip=lptp= nvx, et le côté 2^ t, rayon droit du polygone composant. On aura le voluine= surface X ^ rayon=12 n rX^ 0 p.
(1133) Construction. Soit encore 0 le centre du solide et 0 le centre d'un polygone composant, on aura Oo^=o]). Autour du centre o, décrivez dans un plan perpendiculaire à O 0, le polygone nr, égal au polygone demandé; par les points milieux u de ses côtés, menez des plans dont l'intersection commune soit Oo et dans chacun de ces plans menez du centre O un rayon O^ tel que l'angle o 0 p=p 0 p. Les extrémités p de ces rayons seront (902) les centres respectifs des cinq autres polygones du demi-dodécaèdre. On répétera l'opération à Textrémité opposé o du diamètre oo, faisant
attention seulement de disposer le polygone opposé à nr de manière que le rayon droit de l'un corresponde au rayon oblique de l'autre.
D'ailleurs, on construirait aussi le dodécaèdre, en décrivant d'abord douze polygones égaux entre eux et au polygone voulu, et en disposant ensuite ces faces de manière à former entre elles des angles chacun égal ki^t'p.
De plus, il suffit de faire attention que les sommets de tous (vingt) les angles solides du polyèdre sont situés, deux à deux, sur dix plans passant par lé diamètre o o et formant l'un avec l'autre un angle=TV quatre angles droits, et que l'on obtient facilement les angles au centre o O s, o 0 A, o 0 g, pour s'apercevoir de suite comment on établirait sur la surface d'une sphère donnée les points nécessaires à la construction du solide.
L'ICOSAÈDRE.
(1134) Il suffit de ce qu'on vient de dire relativement à la construction du dodécaèdre, pour faire comprendre de suite celle du solide dont il s'agit ici. Soit n le sommet d'un des angles solides du polyèdre, a e la diagonale du pentagone régulier ag hef formé par les côtés des plans composants de cet angle, et soit «ue un plan mené par la droite ae perpendiculairement à l'intersection fn des faces adjacentes a/n, efn du solide. Il est clair que le plan ave intersectera
le côté/n au point milieu v de ce côté, et on aura alors dans le triangle isocèle a v e, la base ae et les autres côtés, a v, e Vy chacun égal au rayon droit du triangle équilatéral composant du solide, pour trouver l'angle d'inclinaison ave des faces adjacentes, et par suite, dans le triangle Op t rectangle en 2^, le rayon 0 2? de la sphère inscrite.
La surface S de l'icosaèdre =20ghn, et son volume=S XiOp. (*)
(1135) Dans ce polyèdre et le dernier, on trouve au besoin
le rayon O r ou 0 /i de la
sphère circonscrite, à l'aide du traingle Opr,Oph, dans lequel on a l'angle droit Opr ou Oph, le côté 0 p, rayon de la sphère inscrite, et le côté pr ou. p h, rayon oblique du polygone composant h r ou. ehn.
