DE QUELQUES SOLIDES DE RÉVOLUTION ET AUTRES

(1136) On a déjà étudié la sphère, le cylindre et le cône et quelques segments ou troncs de ces solides et on a enseigné la manière d'en déterminer la surface et le volume.

Il reste à considérer quelques solides de révolution et autres dont ou peut établir approximativement les surfaces et volumes à l'aide des connaissances déjà acquises et sans recourir à l'étude des Sections Coniques qui enseignent à déterminer avec exactitude les surfaces et solidités de ces corps.

(*) L'étudiant, à l'aide de carton découpé suivant les surfaces développées des cinq polyèdres, et en coupant à demi à l'endroit des lignes aa,kk,ab, etc. pourra replier sur elles-mêmes les diverses faces composantes jusqu'à faire rejoindre les parties de même nom et se fera ainsi une idée assez juste des solides dont il s'agit ici.

D'ailleurs, même avec l'aide des Sections Coniques, la difficulté consistera souvent à se rendre compte tout d'abord de la nature des solides dont il s'agit, c'est-à-dire, de la nature ou espèce des courbes qui ont servi à les engendrer, et si ces courbes ne sont pas des sections de cône, ce qui arrivera le plus souvent, on sera forcé, après tout le travail nécessaire pour en déterminer la nature, de recourir enfin à la méthode suivante.

(1137) Le conoïde AB-C qu'engendre la révolution de la figure CDB 6C autour de l'axe CD, se décompose en troncs de cônes a B, c 6, à bases parallèles, surmontés d'une calotte sphèrique cdC. On en obtiendra la solidité et la surface en faisant d'abord celles de ses éléments composants, pour prendre ensuite la somme de ces parties ; et les résultats obtenus seront évidemment d'autant plus exacts qu'on aura pris les arcs B 6, bd assez petits pour pouvoir les considérer comme étant sensiblement des lignes droites.

(1138) Le Fuseau, engendré par la révolution d'un arc CAD de cercle, ou de toute autre courbe, autour de l'axe CD, se décomposera en un cylindre ad, deux cônes ef-C, g /i-D, et deux ou plusieurs troncs de cônes c h, eb; ce qui indique la manière d'arriver à la surface et au volume de ce corps.

(1139) Le sphéroïde aplati ou allongé qu'engendre la courbe surbaissée ou surhaussée CBD autour de l'axe CD, se décomposera comme auparavant en troncs de cônes Ab, Ad, etc., et en

calottes sphériques abC, e/D, oa si l'on veut, en un cylindre, deux calottes et deux ou plusieurs troncs de cônes ; ou encore eu segments spLèriques, etc.

(1140) PROB. Déterminer le volume et la surface d'un onglet quelconque ABC-D de cône ou de pyramide. Quelle que soit la base ABC du tronc ou partie de cône ou de pyramide ABC-S, on en aura (1056)le volume en multipliant cette base par le tiers de la hauteur SP du solide ; mais l'onglet dont il est question est évidemment la difierence entre le solide ABC-S et le solide ACD-S; or le volume du solide ACD-S=sUrf. ACDxi^SP' perpendiculaire au plan de ACD; donc le volume de l'onglet ABC-D^ABCXi SP — ACDxi^SP', conclusion d'ailleurs que l'on aurait pu déduire immédiatement du par. (1067). On aura la surface convexe de l'onglet en décomposant au besoin cette surface, comme (1058) celle du solide dont cet onglet fait partie, en parties assez petites pour qu'on puisse les considérer sensiblement comme surfaces planes et en obtenir ainsi le contenu.

D'ailleurs, pour ce qui est de la surface de l'onglet ou tronc de cône, il y a lieu de remarquer ici que cette surface, comme celle du cône dont elle fait partie, peut se développer en surface plane. En effet, il suit immédiatement de la définition d'un cône droit, que sa surface développée n'est autre chose qu'un secteur de cercle ayant pour rayon le côté incliné du cône. De même, la surface développée du cylindre droit est évidemment un rectangle, et tout autre surface engendrée comme celle du cône, par une ligne droite tournant autour d'un point fixe, ou comme celle du cylindre droit ou oblique, par une ligue droite se mouvant parallèlement à elle même,

est une surface de simple courbure, pouvant se développer en surface plane; tandis qu'au contraire toute surface engendrée comme celle de la sphère, sphéroïde ou conoïde, etc., par une ligne courbe, se mouvant autour d'un axe ou d'un point, ou non parallèlement à elle même, est une surface à double courbure, qu'on ne saurait en conséquence développer en surface plane.

(1141) S'il s'agissait du solide EADCE-S, il est clair qu'on en aurait le volume=ACExi SP+ACDx JSF ou=ABCE- S-ABC-D.

Enfin on aurait le volume d'un tronc quelconque ACDEact^6 de pyramide ou de cône=(ACEXi SP+ADCXiSP')

(1142) Eût-on a déterminer, le volume d'un onglet quelconque ABC-D de conoïde, de sphère, ou de sphéroïde ; il y aurait simplement à diviser au besoin l'onglet donné en deux ou plusieurs onglets ABC-D', ACD'-D de cônes ou de troncs de cônes a B, 6 D', en prenant BD', D d, etc., assez petits pour pouvoir être considérés sans erreur sensible comme lignes droites ; puis on établirait (1140) le volume de chacun des onglets composants et par suite la somme de ces parties ou le volume de l'onglet donné.

(1143) Enfin il est clair qu'à l'aide des éléments dont on a jusqu'ici traité dans ce livre, on établirait au besoin le volume ou la surface d'un corps ou d'un tronc de corps quelconque, en le décomposant en prismes, cylindres, pyramides, cônes, troncs de prismes, de cylindres, de pyramides ou de cônes, calottes et segments shpériques, onglets, etc.

La tonne ou futaille, par exemple, n'est autre chose qu'un tronc de fuseau (1138) à bases parallèles A,B et se décomposera en un cylindre ady et en troncs des cônes a A, cB.

Les cuves et chaudières seront ordinairement des cylindres, troncs de cônes droits ou renversés, ayant pour bases des surfaces planes, des cônes surbaissées, ou des calottes. Ces vaisseaux seront quelquefois des demi-sphéroïdes ou des conoïdes renversés et quand ils seront plus ou moins inclinés, les liqueurs qu'ils pourraient contenir présenteront au calcul des onglets ou des troncs de la nature de ceux dont on vient de parler.

Le dôme sera en général un conoïde ou un demi-sphéroïde surbaissé ou surhaussé dont on déterminera la surface, tant intérieure qu'extérieure, par les règles applicables à ces solides. On aura aussi le volume du dôme ou de la partie solide du dôme en faisant les volumes respectifs des conoïdes extérieur et intérieur composants, pour en prendre eusuite la diflérence.

La voûte ne sera autre chose qu'un demi cylindre droit ou oblique (*) et si la coupe en est une courbe plus ou moins surbaissée, on en obtiendra tout de même la surface par les règles déjà données (993) (997 et 998) et le volume de son contenu solide, en faisant séparément les volumes des demicylindres extérieur et intérieur, pour en prendre la diflérence, ou en multipliant la demi-somme des surfaces extérieure et intérieure de la voûte par l'épaisseur de la voûte, si cette épaisseur est uniforme.

( • ) Les ponts et chaussées qui traversent obliquement une rivière ou un cours d'eau, c'est-à-dire, dans une direction perpendiculaire au courant ou fil de l'eau, présentent assez souvent au calcul des voûtes de cette espèce.

Les intersections de deux voûtes de largeurs et hauteurs égales ou inégales, se rencontrant à angles droits ou à angles obliquas, ou l'iutersection d'une voûte avec un dôme, oflViront aussi à la considération, des troncs ou onglets de cylindres, de cônes, ou de conoïdes, etc., qu'on résoudra par une combinaison convenable des moyens déjà enseignés ; et quant aux voûtes cylindriques qui seraient en même temps circulaires ou spirales comme celles des escaliers tournants, par exemple, ou autres, ie paragraphe suivant fournira la manière d'en déterminer la surface et le volume.

(1144) On n'a pas encore fait mention de l'anneau cylindrique AB qui n'est autre chose qu'un cylindre recourbé ou plutôt un tronc de cylindre dont on aura le volume en faisant (1099) le produit d'une section h perpendiculaire à l'axe a h par la longueur de cet axe=circ. a h ou I (cire. AB+circ. CD). On aura sa surface=circ. ôXcirc. a b, et s'il s'agissait d'un anneau circulaire AB on aurait sa surface=surf. cercle AB — surf, cercle cD. Si la coupe DB de l'anneau n'était pas celui d'un cylindre, on aurait tout de même (998) sa surface=périmètre DBxJ(circ. AB+circ. CD) et le volume=surface DBXcirc. ab.

(1145) En dernier lieu, on obtient la surface d'un tronc ou partie d'anneau eirculaire=surf. secteur ABC— surf, secteur abc, et les surface et volume d'un tronc d'anneau cylindrique, la j^ première=circ. Bèx J(circ. ABC-fcirc. abc), le second= surf. B èx I (cire. ABC+circ a b c).