CA

(1147) Cor. Tout angle sphérique A (BAC) est égal à l'angle rectiligne DAE formé par les tangentes AD, AE menées de son sommet A aux arcs AC, AB qui en

constituent les côtés ; car la tangente AD menée dans le plan OAC du côté ou de l'arc AC est (466 et Dém. de 977) perpendiculaire au rayon AO de la sphère, et la tangente AE dans le plan OAB du côté AB est perpendiculaire au même rayon AO, intersection commune des grands cercles ABF, ACF, dont les côtés de l'angle sphérique font partie ; or l'angle DAE mesure

(878) l'inclinaison des plans des deux arcs et cet angle est t par la déf. (1146) celui de ces arcs.

(1148) Déf. Un triangle sphérique est une partie ABC de la surface d'une sphère terminée par trois arcs AB, AC, BC, de grands cercles. Ces arcs sont les côtés du triangle, chacun d'eux étant moindre qu'une demi-circonférence ; et les angles A, B, C, que forment entre eux les plans AOB, AOC AOB, BOC AOC, BOC de ces côtés, sont (1146) les angles du triangle.

(1149) Déf. Un triangle sphérique, comme un triangle rectiligne, est appelé rectangle, quand un de ses angles est droit ; isocèle, quand deux de ses côtés sont égaux ; équilatéral, quand tous ses côtés sont égaux, ou équiangle, quand tous ses angles sont égaux.

(1150) Déf. Un polygone sphérique ABCDE est une partie de la surface d'une sphère terminée par plusieurs arcs de grands cercles, et peut évidemment se décomposer eu autant de triangles sphériques ABE, EBC, etc. que le polygone a de côtes moins deux.

(1151) Déf. Une pyramide sphérique est (1076) une partie ADB-O de la sphère solide comprise entre les plans

SPHÉRiaUE.

AOB, BOC, etc. d'im angle solide (891 Déf.)dout le sommet est au centre 0 de la sphère. La base de la pyramide est le polygone sphérique AD.

2° n est clair que les plans BOE, COE décomposent la pyramide sphérique polygone en autant de pyramides sphériques triangulaires, et la base AD en autaut^ de triangles sphériques, que cette base contient de côtés moins deux.

(1152) Déf. Le pôle d'un cercle, grand AEB ou petit « e 6 de la sphère est un point C ou D dans sa surface, également éloigné de tous les points A, E, etc. a, e, etc. de la circonférence de ce cerle ; car il est clair (Dém. de 901 et 902) que ce point est situé à l'extrémité du diamètre CD perpendiculaire au plan du cercle dont il s'agit, et comme tout diamètre à deux extrémités, tout cercle de la sphère a deux pôles.

2° Il est de plus évident, (986) que le pôle d'un grand cercle AB est en même temps celui de tout petit cercle a b parallèle au grand.

(1153) Cor. 1. Puisque les distances ou cordes AC, EC etc. ac, ec, etc. sont égales, les arcs AC, EC, etc. a c, e c, etc. que sous-tendent ces cordes sont (403) égaux, et quand (882; les angles AOC, EOC sont droits, leur sommet commun 0 étant en même temps le centre commun des arcs égaux AC, EC, il est clair que ces arcs sont des quart-de-circonférences, comme le sont aussi les arcs AD, ED, etc. Donc, tout arc EC de grand cercle mené d'un point quelconque E sur la circonférence d'un autre grand cercle, au pôle C ou D de ce dernier, est un quartde-circ. ; et ce quart-de-circ. fait en même temps un angle droit avec le grand cercle ou are AE, car la droite CD étant perpendiculaire (1152) au plan AEB, tout plan

CED passant par CD est (924) perpendiculaire au plan AEB ; donc l'angle de ces plans, c'est-à-dire l'angle AEC est un angle droit.

(1154) Cor. 2. Réciproquement, si la distance du point C aux points A, E, est égale à un quart-de-circ, le point C sera le pôle de l'arc AE et les angles CAE, CEA seront des angles droits ; car les angles droits AOC, EOC donnent OC perpendiculaire à AO, EO, et par conséquent (895) perpendiculaire au plan ABE de ces lignes. Doue le point C est le pôle de l'arc AE et les angles en A et E son droits.

(1155) Sco. 1. PROBS. Les propriétés de ces pôles nous permettent de décrire des arcs de cercles siir la surface d'une sphère, avec la même facilité que sur une surface plane. Il est clair, par exemple, qu'en faisant tourner autour du point C, un arc C e ou toute autre ligne s'étendant à la même distance, l'extrémité e décrira le petit cercle aeb; et en tournant le quart-de-circ. C e E autour du point C, son extrémité A décrira l'arc de grand cercle AEB.

(1156) Sco. 2. PROB. Pour trouver le pôle C ou D d'un grand cercle AB, on mènera, prenant pour centre un point quelconque P sur la circonférence de AB et pour rayon un arc = quart-de-circ, un arc indéfini EC ou ED qui sera (1153) perpendiculaire à AEB et on prendra EC, ou ED, égal à un quart-de-circ.

2° Autrement. On déterminera le pôle d'un grand cercle AB à l'endroit C ou D de l'intersection de deux arcs AC, EC ou AD, ED perpendiculaires au premier.

(1157) Sco. 3. PROBS. Si l'on demandait à prolonger un are AE, de grand cercle, les seules données étant les deux points de trajet A, E ; il y aurait à déterminer d'abord le pôle C ou D de cet arc à l'endroit de l'intersection de deux arcs décrits des points A, E, comme centres, avec une dis-

SPHERiaUE. 43T

tance égale à un quart-de-circ. Le pôle trouvé, on décrirait de ce point pris pour centre, et avec la même distance qu'auparavant, l'arc AE et son prolongement.

(1158) Sec. 4. PROB. D'un point quelconque e sur la surface d'une sphère, mener luie perpendiculaire à ^xa arc donné AE de grand cercle. Du point e comme pôle, avec un rayon=quart-de-circ., intersectez l'arc donné AE ou sou prolongement (1157) en un point P. Ce point sera le pôle d'où on décrira un arc eE perpendiculaire .à l'arc donné.

(1159) Sco. 5. PROB. Déterminer le pôle d'un petit cercle a 6 de la sphère. A cet effet on mènera par le centre 0 de la sphère, un plan AB parallèle à celui du petit cercle et on établira (1156) le pôle du petit cercle à l'endroit (U52, 2°) de celui du grand.

2° Si le rayon o e du petit cercle est connu, on a dans le triangle 0 o e, rectangle en o, le côté oe et l'hypoténuse 0 f, rayon de la sphère, pour trouver l'angle eO o ou e o C et par conséquent l'arc e C, et des points quelconques a, e, comme centres, avec un rayon=e C, on décrira des arcs qui s'intersecteront en C, le pôle voulu.

3° Si on a la distance 0 o du plan du petit cercle a h au centre de la sphère, ou aura o C=OC — 0 o et oD=OD +0 0, pour trouver oe ou o a=(530, 2°) l/oDxoU, et par suite, l'arc e C mesure de l'angle e OC.

(1160) Cor. 3. Puisque l'angle sphérique C est égal (Dém. de 1147) à l'angle formé par deux droites menées d'un même point, l'une dans chacun des plans des côtés et toutes deux perpendiculaires à la commune intersection de ces plans, et puisque les droites AO, EO sont (1154) perpendiculaires à CO quand les arcs AC, EC valent chacun un quart-de-circ. ; il suit que l'angle AOE mesure aussi l'angle sphérique C ; mais la mesure de l'angle AOE est (425) l'arc AE décrit du centre ou sommet 0, c'est-à-dire (1152) l'arc de grand cercle, AE, décrit du sommet C de l'angle ; donc la mesure d'un angle sphérique quelconque a C e est l'arc

AE de grand cercle décrit du sommet de l'angle comme centre, et terminé par les côtés a C, e C de l'angle, prolongés s'il le faut.

(1161) Cor. 4. On peut comparer ensemble les angles de triangles sphériques, au moyen des arcs de grands cercles décrits de leurs sommets, comme pôles, et compris entre leurs côtés ; de là il est facile de faire un angle de cette sorte qui soit égal à un angle donné.

On pourrait aussi dans la comparaison de ces angles se servir indifféremment d'arcs de petits cercles décrits avec un même (425, 2°) rayon quelconque, si ce n'était que les relations intimes qui existent, comme on le fera voir par la suite, entre les côtés et les angles d'un triangle sphérique, c.-à-d. entre les angles que mesurent ces côtés ou arcs et les angles que forment entre eux les plans de ces côtés, rendent avantageux et nécessaire de n'employer que des arcs d'un même rayon que celui des côtés, c.-à-d. d'un rayon égal à celui de la sphère sur laquelle on opère.

(1162) Cor. 5. Les angles opposés au sommet tels que AEG, DEB sont égaux, car chacun de ces angles est celui des plans AEB, CED de la dernière figure.

(1163) Cor. 6. Il est de plus évident que dans l'intersection de deux ares AEB, CED, les deux angles adjacents AEC, AEB, ou AEC, BEC, valent ensemblent deux angles droits, c.-à-d., sont supplémentaires l'un de l'autre.

PROPOSITION I. THÉORÈME

(1164) Dans tout triangle sphérique ABC, l'un quelconque des côtés est moindre que la somme des deux autres.

SPHÉRiaUE.

Car, 0 étant le centre de la sphère, les angles plans AOB, AOC, BOC de l'angle solide O ont pour mesure les côtés ou arcs AB, AC, BC du triangle sphérique ; mais chacun des trois angles plans composants d'un angle solide est (930) moindre que la somme des deux autres ; de là aussi, chacun des côtés du triangle est moindre que la somme des deux autres.

■ii-

PROP. II. THEOR.

(1165) Tout arc ADB de grand cercle, moindre qu'une demi-circonférence, est moindre qu'un arc quelconque ACB de petit cercle sous-tendu par la même corde AB.

Il est clair, tout d'abord (228) que l'arc ACB enveloppe dans toute sa longueur l'arc ADB, puisque tout point h du premier autre que A et B est en dehors de l'arc ADB, à cause de 0 6>0B (269), l'angle 5 0 O du triangle de même nom étant plus grand que l'angle B o 0 du triangle OB o et les côtés de l'un égaux à ceux de l'autre, savoir 0 o commun et oB== 0 b. Maintenant soit a b tangente à l'arc ADB, on aura (108) a b<ji C b ; soit encore A e, cd, etc. tangentes à ADB, on aura a e<A a+a e, c d<c b-'t-b d et ainsi de suite. Donc l'arc ADB est moindre (Dém. de 661) que le polygone circonscrit Aec dB et à plus forte raison moindre que Parc ACB,

(1166) Cor. Le plus court chemin d'un point A à un autre B sur la surface d'une sphère, est l'arc ADB de grand cercle qui joint les deux points donnés.

Car, la sphère est telle (Dém. de 977) qu'une ligne droite ne peut la toucher qu'en un seul point; d'où, il est clair que

pour parvenir d"un point à un autre sur la surface de ce corps, il faut nécessairement décrire une courbe qui sera ou un arc de grand cercle, ou un arc de petit cercle, ou qui pourra se décomposer en arcs de grands ou de petits cercles ou les deux. Or, on vient de voir que tout arc de grand cercle est moindre qu'un arc de petit cercle reliant les mêmes points ; donc, il est plus court d'aller d'un point à un autre en parcourant des arcs de grands cercles qu'en passant par des arcs de petits cercles. Mais on a démontré (U64) que l'arc AB<AC+CB et CB< CD+DB ; à plus forte raison donc AB est il<AC+CD+DB ; donc un seul et même arc de grand cercle, reliant deux points, est moindre que deux ou un plus grand nombre d'arcs partiels non situés dans un même plan ; donc le plus court traj et entre les points donnés est l'arc d'un seul et même grand cercle ; donc, etc.

PROP. III. THÉOR.

(1167) La somnie des trois côtés d'un triangle sphérique, est moindre que la circonférence d'un grand cerlelQ.

Car, la somme des angles plans AOB, AOC, BOC de l'angle solide au centre O de la sphère est (931) moindre que quatre ano-les droits; or un angle droit a pour mesure un quart de-circ. ; donc la somme des arcs AB, AC, BC, qui mesurent les angles composants est moindre que quatre quart-de-circ. c.-à-d. moindre qu'une circonférence entière.

(1168) D'ailleurs, ayant prolongé jusqu'à leur rencontre en D deux quelconques AB, AC des côtés du triangle, les arcs ABD, ACD seront des demi-circonférences, puisque

(984) deux grands cercles se bissectent toujours mutellemeut ; mais on a (1164) BC, côté du triangle DBC, moindre que BD+CD, somme des deux autres côtés ; d'où, ÂB+AC-fBC<ABD+AOI), c.-à-d. moindre qu'une circonférence entière.

(1169) Cor. La somme de tous rw les côtés d'un polygone sphérique, -n ,..-***\ ABCDEF, est moindre que la cir- /^\ ""^u conférence d'un grand cercle ; car, ■V~---'!ïV'''' l prolongeant les côtés CB, FA, jus- / \ y \^-^,^ qu'à leur rencontre en K, puis, les / ^V^,\ >^-'^

côtés DC, AF, FE, jusqu'à leur ren- : -V'*^

contre en G et H, on obtient enfin ^

un triangle FGH dans lequel on a AF, FE, CD communs aux côtés FG, FH et GH, et on a DE<DH+EÏÏ, AB<AK+ BK et CK<CG+KG; or, la somme des côtés du triangle . FGH est, par la prop., moindre qu'une circonférence de» cercle ; à plus forte raison donc la somme des côtés du polygone est-elle moindre qu'une circonférence entière.

(1170) D'ailleurs, on a encore (931) la somme des angles en 0, centre supposé de la sphère, moindre que 4 angles droits, et par conséquent la somme des côtés AB, BC, etc., du polygone, moindre qu'une circonférence de grand cercle.

PROP. IV. THÉOR.

(1171) Si des sommets A, B, C, des trois angles d'un triangle sphérique ABC, pris pour pôles, on décrit trois arcs EF, DF, DE, de grands cercles ; formant ainsi un second triangle EDF ; les sommets des angles de ce second triangle seront respectivement les pôles des côtés du premier ; et chaque angle A, D, de l'un des triangles, aura pour mesure une demi-circonférence moins le côté EF, BC qui lui est opposé dans l'autre

triangle. En d'autres termes, les deux triangles ABC, EDF sont tels que les côtés de l'un sont les suppléments des arcs qui mesurent les angles de l'autre.

En premier lieu. Puisque A est le pôle de l'arc EF, la distance ou l'arc AE est un quart-de-circ. ; le point C, pôle de ED, donne aussi EC=quart-de-circ. ; donc le point E est éloigné d'un quartde-circ. de chacun des points A, C ; donc E est (1154) le pôle de l'arc AC. On démontrerait de même que T> est le pôle de l'arc BC, et F le pôle de l'arc AB.

(1172) Cor. Donc on- peut, à l'aide du triangle DEF, décrire le triangle ABC, comme on a décrit DEF à l'aide de ABC. De là, on donne à ces triangles le nom de polaires ou supplémentaires.

(1173) En second lieu, ayant prolongé s'il le faut les côtés AB, etc. du triangle ABC, jusqu'à ce qu'ils rencontrent en G, K, etc., les côtés de l'autre triangle, l'arc GH dont le pôle est A sera (1160) la mesure de l'angle A. Mais l'arc EH est un quart-de-circ. et il en est de même de l'arc GF, puisque E est le pôle de AH et F le pôle de AG ; donc EH+ GF vaut une demi-cire. Or, EH+GF est la même chose que EF+GH ; d'où, l'arc GH qui mesure l'angle A vaut une demi-cire, moins le côté EF. De même, l'angle B a pour mesure | cire— DF ; et l'angle C, J cire— DE.

Et cette propriété est réciproque aux deux triangles, puisque chacun d'eux est décrit de la même manière à l'aide de l'autre ; c'est ainsi que l'on aura respectivement pour mesure des angles D, E, F, icirc.-BC, i cire— AC, Jcirc— AB. L'angle D, par exemple, aura donc pour mesure l'arc MI ; mais MI+BC— MC+BI— Jcirc. ; de là, l'arc MI, mesure de D, vaut I cire— BC, et ainsi des autres.

SPHÉRIÛUE

PROP. V. THÉOE.

(1174) Si les côtés de deux triangles AEC, ABD', sur la même sphère ou sur des sphères égales, sont respeetiveraent égaux ; les angles de ces triangles seront aussi respectivement égaux et opposés aux côtés égaux.

En eôet, les arcs égaux AC, AD' BC, BD' et l'arc commun AB soustendent en O, centre de la sphère, les angles égaux AOC, AOD' BOC, BOB' et l'angle commun AOB ; et on a vu (933) que quand les angles plans composants de deux angles solides sont respectivement égaux l'un à l'autre, les plans des angles égaux sont également inclinés entre eux, et ces inclinaisons, c.-à-d. les angles formés par ces plans, sont (1148) les angles des triangles dont il s'agit ; donc, l'angle D'=C, l'angle BAC=BAD' et ABC=ABD' ; donc, etc.

(1175) Sco. 1. L'égalité de ces triangles n'est absolue que dans le cas où les côtés correspondants ou homologues AC,AB BC, BD ou les angles C, D, sont tournés dans le même sens ; la construction admettant alors la superposition des angles ,et des côtés égaux, l'un à l'autre, c.-à-d. la superposition des triangles eux-mêmes.

Dans le cas contraire (936) l'égalité en est une de symétrie seulement et ou donnera à ces triangles le nom de triangles symétriques.

(1176) Sco. 2. PROB. I\ suffit de remarquer que le sommet D, D', du triangle sphérique ABD, ABD', égal ou

symétrique à ABC, se trouve à l'intersection des arcs D'FC, D'EC décrits des deux autres points angulaires A, B, du triangle, comme pôles, avec les distances AC, BC, pour indiquer de suite la manière de faire un triangle sphérique qui soit égal ou symétrique à un triangle sphérique donné.

(1177) Cor. 1. Deux triangles ABC, ABD ou ABC, ABD' sur la même sphère ou sur des sphères égales, sont égaux dans toutes leurs parties, quand deux côtés, AB, AC et l'angle inclus A de l'un, sont respectivement égaux à deux côtés AB, AD ou AB, AD' et à l'angle inclus A de l'autre.

Car, on pourra superposer le triangle ABC à son égal ABD ou à son symétrique ABD', tout de même que l'on applique QDém. de 229) deux triangles rectiligues l'un à l'autre quand ils ont un angle égal compris par des côtés égaux. Cette superposition fera tomber les points B, C de l'un des triangles sur les points B, D ou B, D' de l'autre triangle, ce qui donnera BC=BD ou BD' et les angles en B et C égaux à ceux en B et D ou en B et D' ; car il suffit (892) de trois points pour déterminer la position d'un plan, et le plan BOC du grand cercle BC est en même temps celui de l'arc BD ou BD' ; donc, etc.

(1178) Cor. 2. Deux triangles sur la même sphère ou sur des sphères égales, sont égaux dans toutes leurs parties, lorsque deux angles et le côté inclus de l'un, sont respectivement égaux à deux angles et au côté inclus de l'autre ; car on superposerait l'un de ces triangles à son égal ou à son symétrique, comme dans le cas correspondant (238) de triangles rectilignes.

PROP. VI. THÉOR.

(1179) Dans tout triangle isocèle sphérique, ABC, les angles opposés aux côtés égaux, sont égaux ; et réciproquement, si deux angles d'un triangle sphérique sont égaux, le triangle est isocèle.

En premier lieu. Soit AB=AC, on aura jj^s

l'angle C=B. Car, ayant mené (1157) l'arc AD du sommet A au point milieu D de la base, les deux triangles ABD, ADC auront les /

côtés de l'un respectivement égaux aux côtés / correspondants de l'autre, savoir : AD com- / mun, BD=DC et AB=AC ; de là, les angles 1 seront (1174) égaux ; donc B=C. * ^~Y^ "^

(1180) En second lieu. Soit B=C ; on aura le côté AC^AB ; car si non, soit BE=AC, menez EC. Dans les triangles EBC, ACB, on a deux côtés EB, BC et l'angle inclus B de l'un, égaux a deux côtés AC, BC et à l'angle inclus G de l'autre ; donc (1177) toutes les autres parties de ces triangles sont égales ; donc l'angle ECB=EBC ; mais par hypothèse, l'angle ACB=EBC ; donc on a (88 Ax.) ECB=ACB,' ce qui est absurde; donc il est absurde de supposer AB inégal à AC ; donc les côtés AB, AC opposés

• aux angles égaux B et C, sont égaux.

(1181) Sco. La même démonstration prouve que l'angle BAD=DAC et l'angle BDA=ADC ; de là, les deux derniers sont des angles droits ; donc l'arc mené du sommet d'iui

• triangle isocèle sphérique au milieu de la base, est perpendiculaire à la base et bissecte l'angle vertical.

PROP. VII. THÉOR.

(1182) Dans tout triangle sphérique, ABC, le plus grand côté BC est opposé au plus grand angle A, et réciproquement le plus grand angle est opposé au plus grand côté.

En premier lieu, ayant fait l'angle BAD=B; on aura (U80) AD=DB ; mais (U64) AD+DC>AC, c.-a-d. BD+ DC>AC, ou BC>AC.

(1183) En second lieu. Si l'angle BAC était égal à ABC, l'on aurait BC=AC ; si BAC était moindre que ABC, on aurait, comme on vient de le voir, BC<AC. L'angle BAC est donc ni égal à ABC, ni moindre que ABC ; donc il est plus grand que ABC ; donc, etc.

PEOP. VIII. THÉOR.

(1184) Si deux triangles A et B sur la même sphère ou sur des sphères égales, sont mutuellement équiangles, ils seront aussi mutuellement équilatères.

Soient P et Q les triangles polaires ou supplémentaires de A et B. Puisque les angles sont égaux dans les triangles A et B, les côtés seront (1171) égaux dans leurs triangles supplémentaires P et Q.; mais puisque les triangles P et Q sont mutuellement équilatères, ils sont aussi (1174) mutuel- ' lement équiangles ; enfin, les angles étant égaux dans les triangles P et Q, il suit que les côtés sont égaux dans leurs triangles supplémentaires A et B. Donc les triangles A et B qui sont mutuellement équiangles, sont en même temps, mutuellement équilatères.

(1185) Sco. Cette proposition n'est pas applicable aux triangles rectilignes, où l'égalité des angles n'indique autre chose qu'une proportionnalité entre les côtés, et il est facile de s'en rendre compte ; car en traitant de la comparaison des triangles sphériques, on a toujours posé comme condition l'égalité des sphères; or les arcs semblables sont (428) entre eux comme leurs rayons ; de là, sur des sphères égales, deux triangles ne peuvent être semblables sans être égaux. Il n'est donc pas étrange que l'égalité entre les angles produise l'égalité entre les côtés ; mais il en serait autrement si les triangles étaient tracés sur des sphères inégales, car les angles étant dans ce cas égaux, les triangles seraient

SPHÉEiaUE. 447

semblables, et les côtés homologues seraient entre enx comme les rayons de leurs sphères.

PROP. IX. THÉOR.

(1186) La somme des trois angles de tout triangle sphérique, est moindre que six et plus grand que deux angles droits.

En premier lieu, la mesure de chacun des angles d'un triangle sphérique, est (1171) égale à la demi-circonférence moins le côté correspondant du triangle supplémentaire ; donc la somme des trois angles est mesuré par les trois demicirconférences moins la somme des côtés du triangle sup. ; or, cette dernière somme est moindre (1167) qu'une circonférence ; donc si on la retranche de trois demi-circonférences, le reste sera plus grand qu'une demi-cire, qui est la mesure de deux angles droits; donc la somme des angles d'un triangle sphérique est plus grand que deux angles droits.

(1187) En second lieu, chacun des angles d'un triangle sphérique est moindre que deux angles droits ; d'où il suit que la somme des trois est moindre que six angles droits.

(1188) Sco. 1. La somme des angles d'un triangle sphérique n'est pas constante, comme l'est celle des angles d'un triangle rectiligne ; au contraire elle varie entre 2 et 6 angles droits, sans jamais atteindre ces limites. Car, si petit qu'on suppose le triangle dont il s'agit, il ne fera qu'approcher de plus en plus du triangle rectiligne, sans jamais le devenir, ses côtés étant des arcs de cercles. Et dans le second cas, chacun des angles formés par les plans composants des côtés du triangle, pourra approcher indéfiniment près de 2 angles droits, mais n'atteindra jamais cette limite, puisqu'alors les plans composants ne formeraient plus qu'un seul et même plan, et le triangle sphérique deviendrait enfin un hémisphère.

(1189) Cor. 1. Dans un triangle sphérique, deux angles donnés ne peuvent servir à déterminer le troisième.

(1190) Cor. 2. Un triangle sphérique peut avoir deux

et même trois angles droits ; et de même, un triangle sphérique peut avoir deux et même trois angles obtus. (*)

(1191) Cor. 3. Si le triangle ABC est bi-rectangle, c.-à-d. s'il a deux angles droits B, C, le sommet A sera le pôle de la base BC et les côtés AB, AC opposés aux angles droits seront des quart-de-circ. ; car les angles B, C sont ceux des plans AOB, BOC AOC, BOC et ces angles étant droits, la commune intersection AO de ces plans sera (928) perpendiculaire au plan BOC et par conséquent (882) aux rayons OB, OC ; donc, AOB, AOC sont des angles droits et AB, AC des quart-de-circ.

(1192) Si l'angle A est en même temps droit, le triangle ABC est tri-rectangle ; ses angles seront alors tous des angles droits, et ses trois côtés des quart-de-circ.

(1193) Il est clair, que deux triangles tri-rectangles forment la moitié d'un hémisphère ; quatre constituent un hémisphère, et 8, une sphère entière.

(1194) Cor. 4. On vient de voir que la surface entière de la sphère vaut huit triangles tri-rectangles ; de là, si l'on représente par T la surface d'im triangle tri-rectangle, la surface entière de la sphère sera 8 T. Ceci posé, si l'on prend l'angle droit=l, la surface de la lime (989. Déf ) dont rangle=A s'exprimera : 2 Ax T ; car, (1079) 4 : A :: 8T:2AxT, où A représente telle partie de l'unité que l'angle de la lune l'est d'un angle droit.

(*) L'étudiant se fera une excellente idée d'un angle, triangle, polygone, ou pyramide spliérique, ainsi que des divers plans composants des angles de ces figures, à l'aide d'un simple cercle en papier, coupé en un seul endroit AO ; car, il lui suffira de répartir sur la circonférence de ce cercle, divers arcs EB, BC, EC, etc., moindres, égaux, ou plus grands que des quart-de-circ. ; ployer ensuite le papier à l'endroit des rayons OE, OB, 0 etc., reliant les extrémités de ces arcs au centre 0 du cercle; puis, faire rejoindre les extrémités opposés du premier et du dernier de ces arcs ; pour avoir, à volonté et tour à tour, un triangle isocèle, équilatéral, bi- ou tri rectangle ou obtusangle, etc.

SPHÉRiaiTE

(1195) Seo. 2. On a supposé jusqu'ici, conformément à la déf. (1148) que chaque côté d'un triangle sphérique est toujours moindre qu'une demi-cire, et chacun des angles en conséquence moindre que deux angles droits ; car si le côté AB est moindre qu'une demicire, et AC aussi<f cire, chacun de ces arcs pourra se prolonger, soit en P>D, CD ; or lesang les ABC, CBD pris ensemble valent deux angles droits ; donc l'angle ABC est moindre que deux angles droits.

Rien n'empêche cependant de considérer un triangle sphérique dont certain côté soit plus grand qu'une demicirconférence et certain angle plus grand que deux angles droits. Si l'on prolonge par exemple le côté AC pour en former une circonférence entière ACE, la partie qui reste après avoir soustrait le triangle ABC de l'hémisphère, est un nouveau triangle que l'on désigne encore ABC et dont les côtés sont AB, BC, AEDC. Ici, le côté AEDC est plus grand que la demi-cire. AED ; et en même temps, l'angle B qui lui est opposé, excède deux angles droits, de la quantité CED ; et il est clair que la solution d'un triangle de cette espèce est toujours réduisible à celle du triangle de même nom qui est la différence entre un hémisphère et le triangle donné.

PROP. X. THÉOR.

(1196) Les triangles sphériques symétriques ABC, DEF sont équivalents, ou égaux en surface.

Soit A a=AC, D (^=DF ; ayant mené (1157) les arcs C a, F d, on aura le triangle isocèle «AC égal au triangle isocèle fZDF, puisque F l'égalité des côtés AC, DF A a, D d et des angles A, D, etc.

permettra (1177) la superposition de ces triangles et leur coïncidence parfaite. Maintenant, si l'on

fait C c=C(2, F/=F (/, 011 aura le triangle isocèle a C c= Cl! F/; car aC=dF, et comme l'égalité des triangles aAc, dD¥ donne l'angle AC a=DFd et que l'angle F est par liyp.=C, on aura l'angle d¥f=aCc; donc (1177) les triangles aC e, d F/ peuvent aussi se superposer l'un à l'autre et coïncideront entièrement. Soit encore a h=a c, de=df, le triangle isocèle bac sera éga> au triangle isocèle edf, et si l'on continue indéfiniment cette opération, faisant succesivement c /ï=cè, /^=/e bk=bh,el=eg, et ainsi de suite, on aura enfin divisé chacun des deux triangles donnés en un nombre égal de triangles isocèles respectivement égaux entre eux, et dont la somme des surfaces de l'un sera en conséquence égale à celle des surfaces de l'autre ; donc, etc.

(1197) D'ailleurs. Soient (1159) P et Q les pôles respectifs des petits cercles passant par les points A, B, C, D, E, F, des triangles donnés ; ces petits cercles sont égaux, car, les cordes qui sous-tendeut les arcs égaux AC, DF, sont égales entre elles ; on a de même : corde (vB=corde FE, corde AB=corde DE, et ces cordes égales forment deux triangles rectilignes égaux ABC, DEF dont les cercles circonscrits sont (417) en conséquence égaux. Les petits cercles étant égaux, les arcs de grands cercles PA, PB, PC seront (1152) égaux entre eux et aux arcs correspondants QD, QE, QF. Les triangles sphériques composants APC, APB, BPC sont donc isocèles et respectivement égaux à DQF, DQE, EQF, pouvant se superposer l'un à l'autre ; donc les triangles donnés ABC, DEP sont égaux; car on aura, quand le pôle tombe en dehors, ABC=

SPHÉEiaUE. 451

APC-f BPC-APB=DQF+EQF-DQE=DEF, et quand le pôle tombe en dedans, on a APC+BPC+APB=DQF+EQF -j-DQE ; donc, etc.

PROP. XI. THÉOK.

(1198) Si les circonférences de deux grands cercles AEB, CED s'intersectent sur la surface d'un hémisphère ACP)D-E, la somme des triangles opposés AEC, BED ainsi formés, est équivalente à la surface d'une lune dont l'angle est égal à l'angle AEC formé par les cercles.

Car, prolongeant les arcs EB, ^^--7^— -^

ED, jusqu'à leur rencontre en F /^^ / \ ^v

sur l'autre hémisphère, l'arc EBF / L j^^ \

sera une demi-cire, et il en sera de . L'' I | '*>jw

même de l'arc AEB ; de chacune \^^^1 l-'^i

des quelles, si l'on retranche EB, il \ ^V : J

restera AE=BF. On a de même ^""'"O^L--''''''^

DF=CE et BD=AC. Les deux '^^ .

triangles AEC, BDF sont donc (1175) symétriques et en conséquence (1196) égaux en surface ; mais la somme des triangles BDF, BED est équivalente à la lune EBFDE dont l'angle est BED ; de là, AEC+BED est équivalente à la lune dont l'angle est BED.

(1199) Sco. Il est de plus évident (1081) que les deux pyramides sphériques qui ont pour bases les triangles sphériques AEC, BED, sont ensemble égaux à l'onglet sphérique dont l'angle est BED.

PROP. XII. THÉOR.

(1200) La surface d'un triangle sphérique, ABC, a pour mesure l'excédant de la somme de ses trois angles sur deux angles droits, multiplié par le triangle tri-rectangle.

Prolon2:ez les côtés du triano-le jusqu'à ce qu'ils rencontrent en D, G, etc., un grand cercle DFG mené à volonté en dehors du triangle. Par le dernier théor., les deux triangles ADE, AGH valent ensemble la lune dont l'angle est A et qui a pour mesure (1194) 2 AT. De là, ADE+AGH=2AT; pour la même raison on a BGF+BID=2BT, et CIII+CFE=2CT ; mais la somme de ces six triangles excède l'hémisphère, de deux fois le triangle ABC, et l'hémisphère est représenté par 4T ; donc deux fois le triangle ABC vaut 2AT+2BT+2CT — 4T ; donc, ABC=(A+B+C— 2) T ; donc tout triangle sphérique est égal en surface au produit do la somme de ses trois angles moins deux angles droits, multiplié par le triangle tri-rectangle.

(1201) Cor. 1. La surface d'un polygone sphérique, EBC, a pour mesure le produit de la somme de tous ses angles moins autant de fois 2 angles droits que le polygone à de côté moins deux, par le triangle tri-rect.

Car, chacun de ses triangles composants a pour mesure la somme de ses angles moins deux angles droits, par le triangle tri-rect, et la somme des angles de tous les triangles est évidemment le même que celui de tous les angles du polygone ; donc etc. "

2° Soit S la somme des angles du polygone sphérique, n le nombre de ses côtés et T le triangle tri-rect. ; prenant pour l'angle droit l'unité, la surface sera S— 2 (n— 2) T, ou (S-2 71+4) T.

(1202) Cor. 2. Quelque soit le nombre des angles droits dans la somme des angles moins deux angles droits, le triangle ou le polygone donné contiendra un nombre égal de triangles tri-rectangles ou de huitièmes de la sphère. Si

SPHÉRiaUE. 453

les angles, par exemple, valent ensemble 4i- angles droits, la somme des angles moins 2 angles droits, sera 2^ angles droits, et la surface du triangle ou polygone vendra 2J triangles tri-rect., soit f+s'i ou ^i de la surface de la sphère entière.

(1203) Sco. Il est clair qu'il y a le même rapport entre la pyramide tri-rect. et celle qui a ABC pour base, puisque les pyramides de même hauteur sont (1053) entre elles comme leurs bases. On compare de même l'angle solide au sommet de la pyramide avec l'angle au sommet de la pyr. tri-rect. Ces comparaisons sont fondées sur la coïncidence des parties correspondantes, car si les bases coïncident, il est évident que les pyramides elles mêmes coïncideront, de même que les angles solides à leurs sommets ; d'où on déduit que :

(1204) 1° Deux pyramides sphériques triangulaires sont entre elles comme leurs bases, et puisqu'on peut diviser une pyramide polygone en un certain nombre de pyramides triangulaires, il suit que deux pyramides sphériques quelconques sont entre elles comme les polygones qui leur servent de bases ; conclusion qui dérive aussi immédiatement du par. (1082).

(1205) 2° Les angles solides aux sommets de ces pyramides sont aussi comme leurs bases ; de là, pour comparer deux angles solides, on n'a qu'à placer leurs sommets aux centres de deux sphères égales, et les angles solides seront entre eux, comme les polygones sphériques interceptés entre leurs plans ou faces.

L'angle vertical de la pyr. tri-rect. est formé ou contenu par trois plans à angles droits l'un avec l'autre. Cet angle, que l'on peut appeler un angle droit solide, servira donc de mesure à tout autre angle solide. Par exemple, si la surface du triangle ou du polygone est les I du triangle tri-rect., alors l'angle solide correspondant sera aussi les | de l'angle solide droit.

iVIlE V.

TRIGONOMETRIE RECTILIGNE.

DEFINITIONS et CONSEQUENCES.

'k«n<rUI<UiUi"«a'««'«a'\MVL^X«»«

(1206) Rem. On a déjà vu (222, 243, 266 et 321) que des six parties dont tout triangle est composé, savoir, trois côtés et trois angles, il suffit d'eu connaître trois, dont l'une soit un côté, pour construire le triangle ; mais ces constructions ou méthodes graphiques, exactes qu'elles soient en théorie, ne donnent dans la pratique que des résultats plus ou moins approximatifs, à cause de l'imperfection des instruments dont il est nécessaire de faire usage.

Les méthodes trigonométriques, au contraire, enseignent à déterminer, par le calcul, les parties inconnues d'un triangle, et indépendantes que sont ces méthodes de toute opération mécanique, elles donnent avec exactitude les solutions voulues.

Ces méthodes sont fondées sur les propriétés de lignes appelées trigonométriques, lesquelles fournissent un moyeu très simple d'exprimer en nombres les relations entre les côtés et les angles des triangles.

(1207) Déf. Four les fins du calcul trigonométrique, on divise la circonférence du cercle en 360 parties égales qu'on appelle dégrés ; chaque degré se divise en 60 parties égales appelées minutes; chaque minute en 60 parties égales qu'on nomme secondes ; la seconde se divise encore en 60 parties égales appelées tierces, et ainsi de suite ; niais plus communément on divise la seconde en décimales, c'est-à-dire, en dixièmes, centièmes, millièmes, etc., de seconde. Et, autant il y a de dégrés, minutes, secondes, etc., dans un arc quelconque, autant il y a de dégrés, minutes, secondes, etc., dans l'angle que mesure (425) cet arc.

(1208) Cor. 1. La demi-clrconférenee, ou mesure de deux angles droits, contient —• =180 dégrés ; le quartde-circonférenee, ou mesure d'un angle droit, contient 160 ou -4^ = 90 dégrés.

(1209) Cor. 2. Tout arc est à la circonférence entière dont il fait partie, comme le nombre de dégrés et parties de dégrés qu'il contient, est au nombre 360 ; et (427) tout angle est à quatre angles droits, comme le nombre de dégrés et parties de dégrés dans l'arc qui en est la mesure, est à 360.

(1210) Cor. 3. De là aussi, les arcs qui mesurent un même angle, contiennent — quelque soit le rayon avec lequel on les a décrits — le même nombre de dégrés et parties de dégrés ; car (428) le nombre de dégrés et parties de dégrés contenus dans chacun de ces arcfe a le même rapport à 360 que l'angle qu'ils mesurent à quatre angles droits.

(1211) On désigne comme suit les dégrés, minutes, secondes, etc., contenus dans un arc ou angle quelconque ; savoir : °, ', ", '", ainsi 49°, 56', 24'/, 42'", veut dire 49

dégrés, 36 minutes, 24 secondes et 42 tierces ; et 16°, 6\ 15.325", signifie 16 dégrés, 6 minutes, 15 secondes et 325 millièmes de secondes.

(1212) Dé£ Eappelons-nous que le complément d'un angle ou d'un arc, est (130) ce qui reste après avoir retranché cet angle ou cet arc de yO°. Ainsi, le complément de 25°, 40' esl; égal à 90"— 25°,40'=64°,20', et le complément de 12°, 4', 32'' est égal à 90°— 12° 4' 32''=79° 55' 28'/.

2° Les deux angles aigus d'un triangle rectangle valent ensemble (262) un angle droit; ils sont en conséquence compléments, l'un de l'autre.

3° Le complément d'un angle étant, par la déf., la différence entre cet angle et un angle droit ; l'excédant d'un angle obtus sur un angle droit ou la différence entre cet angle et un angle droit sera le complément de l'angle obtus.

(1213) Déf. Rappelons-nous aussi que (130) deux angles qui valent ensemble deux angles droits et par conséquent (1207) deux arcs qui valent ensemble une demi-circonférence, sont appelés suppléments, l'un cle l'autre. En d'autres termes, le supplément d'un angle ou d'un are est ce qui reste après avoir retranché cet angle ou cet arc de 180°.

2° Dans tout triangle, l'un quelconque des angles est le supplément de la somme des deux autres ; puisque (250) les trois pris ensemble valent 180°.

(1214) Déf. Ou appelle sinus d'un arc AB ou de l'angle ACB dont cet arc est la mesure, la droite BD menée par l'une B des extrémités de l'arc, perpendiculairement au diamètre AF 'quipasse par l'autre extrémité A du même arc.

(1215) Cor. 1. Le sinus d'un quart-de-circ. ou d'un angle droit, est égal au rayon.

(1216) Cor. 2. Le sinus d'un arc est (408) la demicorde du double de cet arc. Or, on a vu (643) que le rayon du cercle est égal à la corde d'un sixième de la circonférence ; donc le demi-rayon est le sinus d'un douzième de la circonférence ou du douzième de 360° ou de 4 angles droits, c.-à-d., de 30°, ou du tiers d'un angle droit.

2'^ On trouve donc au besoin la corde d'un arc, égale au double du sinus de cet arc.

(1217) Déf. Le sinus-verse d'un arc AB ou d'un angle ACB est la partie AD du diamètre comprise entre l'une A des extrémités de l'arc et le pied D du sinus mené par l'autre extrémité B du même arc.

(1218) Déf. La tangente d'un arc AB ou d'un angle ACB est la droite AE qui touche l'arc à l'un A de ses extrémités et qui est terminée par le prolongement du diamètre BG passant par l'autre extrémité.

(1219) Cor. La tangente d'un demi-angle droit, est (248) égale au rayon.

(1220) Déf. La sécante d'un arc AB ou d'un angle ACB est la droite CE menée du centre C du cercle par l'une B des extrémités de l'arc et terminée par la tangente AE qui passe par l'autre extrémité A.

(1221) Cor. 1. Il suit des définitions (1214, 1218, 1220) que le sinus, la tangente et la sécante d'un angle ACB ou d'im arc AB sont en même temps le sinus, la tangente et la sécajite du supplément FCB ou FHB de cet angle ou de cet arc ; car, la droite BD qui passe par l'extrémité B de l'arc FHB est perpendiculaire au diamètre FA qui passe par l'autre extrémité ; et, pour ce qui est de la tangente AE et de la sécante CE, il suffit de substituer à l'arc FHB son égal (138) AG, pour s'apercevoir que chacune de ces lignes répond à la- définition qu'on vient d'en donner.

TRIGONOMETRIE

2° Il est clair (1217) que le sinus-verse de l'angle FCB ou de l'arc FHB=FD.

(1222) Cor. 2. Le sinus BD, le sinus-verse AD, la tangente AE et la sécante CE d'un arc AB qui mesure un angle donné ACB, est au sinus NO, sinus verse MO, tangente MP ou sécante CP de tout autre arc MN qui mesure le même angle ACB, comme le rayon du premier arc est au rayon du second.

Car, les parallèles BD, NO AE, MP donnent (518 ou 520) BD : NO :: rayon CB : rayon CN, et AE : MP :: rayon CA ou CB :

rayon CM ou CN ; de plus, CE :

CP::CA:CM; de même, parce q OM D A

que BC:DC::NC:OC, c.-à-d., AC: DC :: MC : OC, on a, convertendo (98) et alternando (94) AD : MO :: AC : MC ; donc, etc.

(1223) Sco. Donc, si l'on construisait, pour un rayon donné, des tables indiquant en nombres les sinus, tangentes, sécantes et sinus-verses de certains angles ; ces nombres indiqueraient en même temps les relations ou rapports des sinus, tangentes, etc., des mêmes angles, pour un rayon quelconque.

Dans ces tables appelées trigonométriques et dont on expliquera bientôt la construction et l'usage, le rayon est supposé égal à l'unité ou à 10, 100, 1000, etc.

(1224) Déf. Pour abréger, on appelle co-sinus, co-tangente, et co-sécante d'un angle ACB ou de son supplément FCB, le sinus, la tangente et la sécante du complément (1212) HCB de cet angle. Ainsi, soit BL ou son égal DC le sinus de l'angle HCB, HK la tangente F et CK la sécante du même angle ; BL ou CD sera le cosinus, HK la cotangente et CK la cosécante de l'angle ACB, ou de son supplément FCB»

On peut aussi désigner le cosinus: la partie du rayon comprise entre le centre C et le pied D du sinus.

(1225) Cor. 1. Le rayon est moyen proportionnel entre la tangente et la cotangente d'un angle quelconque ACB; c-à-d., tang. ACBXcofc. ACB=R'^; car, les a-ngles HKC, ACB sont (153) égaux, à cause des parallèles HK, CA, et les angles KIIC, CAE sont droits ; donc, les triangles CAE, KHC sont semblables et donnent (520) AE:AC:: HC ou AC : HK ; d'où, (86) AE x HK= AC XHC=AC X AC=

ac"^=rI

(1226) Cor. 2. Le rayon est moyen proportionnel entre le cosinus et la sécante d'un angle quelconque ACB ; ou, COS. ACB X séc.ACB=R^; car les parallèles BD,AE donnent CD: CB ou CA::CA: CE ; d'où, CDxCE=CA2=R2.

(1227) Cor. 3. Le carré du rayon d'un arc est égal à la somme des carrés du sinus et du cosinus de cet arc, - ou

sin."A+ cos." A=R , A étant un arc quelconque, car (305) CB^^BD^+CD^. Ou aura donc, au besoin, le cos, CD d'un arc AB ou d'un angle ACB^^^CB^— BD^=T^R'^— sin.^ ; on aura de même le sinus = ^BJ^ — cos.2. ■

(1228) Cor. 4. Etant donnés le sinus et le cosinus d'un arc A ou d'un angle A, on obtient aisément la tangente, la sécante, la cotangente et la cosécante de cet angle ou arc à l'aide des formules ou proportions suivantes, que donnent les triangles semblables CDB, CAE, CHK ; savoir :

„ . Rsin. A

CD : BD :: CA : AE ; ou cos. A: sin. A :: R : tang. A= ^^^^ ^ .

R^ CD : CB :: CA : CE ; t)u cos. A : R :: R : sec. A=— i^.

cos. A

BD : CD : : CH : HK ; ou sin. A : cos. A : : R : cot. A=^^^^-/.

sin. A

BD : CB : : CH : CK ; ou sin. A : R :: R : coséc.A= -.^'

sin. A

lAB'

(1229) Cor. 5. Des sommets C, C, comme centres, ayant décrit, avec les rayons CC, CA et C'C, C'A, les arcs C'B, D'A et CB, DA, il est clair que si dans un triangle rectangle quelconque C AC on prend pour rayon l'hypoténuse, les côtés AC, AC deviennent les sinus des angles opposés C, C, ou les cosinus des angles adjacents C, C ; et si l'on prend pour rayon l'un A C ou AC des côtés, l'autre côté devient la tangente de l'angle opposé, et l'hypoténuse la sécante de cet angle.

On a donc, en prenant l'hypoténuse CC pour rayon : hyp. CC : côté AC :: R : sin. C ou cos. C ; hyp. CC : côté AC :: R : sin. C ou cos. C ;

Prenant maintenant pour rayon le côté AC, on a côtéAC : côtéAC :: R : tang. C et côtéAC : hyp. CC :: R : séc. C.

Et si l'on prend AC pour rayon, ou aura

côté AC : côtéAC :: R : tang. C et côté AC : hyp. CC :: R : séc.C' ; donc :

1° Dans tout triangle rectangle, l'hypoténuse est à l'un ou l'autre des côtés, comme le rayon est au sinus de l'angle opposé à ce côté, ou au cosinus de l'angle adjacent à ce côté.

2° L'un quelconque des côtés est à l'autre, comme le rayon est à la tangente de l'angle opposé à ce dernier ou adjacent au premier côté.

3° L'un quelconque des côtés est à l'hypoténuse, comme le rayon est à la sécante de l'angle aigu adjacent à ce côté.

(1230) Sco. 1. Si l'on exprime arithmétiquement les analo-

ffiesdu dernier corollaire, on aura (60) en prenant l'unité pour