AC AC
rayon : sin. C=-^=cos. C ; siu. C'= ^^ =cos. C ;
^ AC , n/ AC , p ce . ,^ p, ce tang. C=^^ ; tang. C=^,; sec.C=-^ ; sec. C=^, ;
c'est-à-d., que :
1° Dans tout triangle rectangle, le sinus d'un des angles aigus est égal au côté opposé divisé par l'hypoténuse.
2° La tangente d'un des angles aigus est égale au quotient du côté opposé par le côté adjacent.
3° La sécante d'un des angles aigus est égale au quotient de l'hypoténuse par le côté adjacent à l'angle aigu.
(1231) Sco. 2. Prenant encore l'unité pour rayon, on obtient (86) les expressions : AC=CCxsin. C ou cos. C; AC=CCxsin.Coucos.C;ou, AC=ACxtang. Coucot.C ; et AC=ACxtang, C ou cot. C ; CC=ACxséc. C ou (1224) coséc. C=ACxséc. C'ou coséc. C ; c'est-à-dire :
1° Dans tout triangle rectangle, la perpendiculaire (ou l'un des côtés) est égale à l'hypoténuse multipliée par le sinus de l'angle à la hase (ou adjacent à l'autre côté).
2° La hase ou l'un des côtés, est égale à l'hypoténuse multipliée par le cosinus de l'angle adjacent à la hase ou à ce côté.
3° La perpendiculaire ou l'un des côtés est égale à la base ou à l'autre côté multipliée par la tangente de l'angle à la base ou adjacent à ce côté.
4° La base ou l'un des côtés est égale à la perpendiculaire ou à l'autre côté multipliée par la cotangente de l'angle à la base ou adjacent à ce côté.
5° L'hypoténuse est égale à l'un quelconque des côtés multiplié par la sécante de l'angle adjacent à ce côté ou ce qui est la même chose (1224) par la coséeante de l'angle opposé à ce côté.
(1232) Cor. 6. Dans tout triangle ACB, si l'on mène une perpendiculaire CD de l'un quelconque C des angles, au côté opposé AB ; les segments A"D, BD de ce côté
seront entre eux comme les tan-
gentes des parties composantes ACD, BCD de l'angle opposé C. Car, les triangles rectangles ADC, BDC donnent (Cor. 5.) CD : DA :: R : tang. ACD et CD : DB :: R : tang. BCD ; d'où, ait. (94) CD : R :: DA : tang. ACD et CD : R :: DB : tang. BCD ; mais (75 Ax.) DA : tang. DCA :: DB : tang. DCB (*) ; donc, ait. DA : DB :: tang. DCA : tang. DCB.
(1233) En résumé, soit AB un arc quelconque et FB son supplément, ou ACB un angle quelconque et FCB son supplément ; on a les Définitions suivantes
BD=sin. AB ou FB BL=cos. AB ou FB AE=tang. AB ou FB HK=cot. AB ou FB CE=séc. AB ou FB CK=coséc. AB ou FB AD=sin.-ver. AB
=3in. ACB ou FCB =cos. ACB ou FCB =tang. ACB ou FCB =cot. ACB ou FCB ==séc. ACB ou FCB =coséc. ACB ou FCB =sin.-ver. ACB
HL=cosin.-ver. AB ou FB=cosin.-ver. ACB ou FCB FD=siu.-ver. FB =sin.-ver. FCB
2° Et les corollaires suivants :
Sin. 0^ = 0, tang. 0° = O, cos. O'^' = R, séc. 0» = R, sin. 90°=R, cos. 90Q=O, cos. Oo=sin, 90°=R; 8in;^+cos.^=
R^ ; d'où, sin.=l^R^— cos.'^) et cos
=R ; d'où, tang.=-- et cot.=^
' ' ° cot. ^ tang.
-sin'2 ; tang.Xcot.
; cos. xsec.=ii ; d ou,
cos.=-
et séc. =
cosec.
sec.
cos.
, RXsin. , Rxcos.
; tang.= — —^ — ; cot.=-
cos.
sm.
sin.
.; etc. Tang. 45o=cot. 45^=:R.
(*) L'élève, en écrivant l'une au-dessus de l'autre, les proportions qui concourent au résultat, DA ; DB : : tang. DCA : tang. DCB, saisira de suite
(1234) Rem. Quant à la tangente, elle augmente rapidement à mesure que le point B s'approche de H, c.-à-d., à mesure que l'arc AB s'approche d'un quart-de-circ.
ou l'angle ACB d'un angle droit; et arrivé à ce point, la tangente proprement dite n'existe plus, puisque la sécante ou droite limitative CE prend alors la direction CH, et devenant parallèle à AE, ne peut plus la rencontrer. La tangente devient donc infinie et s'exprime : tang. 90®=cx) . Le complément de 90'' étant 0°, on a tang. 0°=cot. 90° et cot. 0°=tang. 90° ; d'où, cot.90°=O et cot. 0=x) .
PROPOSITION I. THÉORÈME
(1235) Les côtés de tout triangle rectiligne ABC sont entre eux comme les sinus des angles opposés.
Car, ayant mené, de l'un quelconque A des angles du triangle, une perpendiculaire AD au côté opposé BC, le triangle rectangle ADB donne (1229 1°) AB: AD.::R:sin.
B et le triangle rectangle ABC donne AC : AD :: R : sin. C ; d'où, (86 et 68) AB x sin. B = AD x R=AC X sin. C ; donc, (88) AB : sin. C :: AC : sin. B, ou ait., AB : AC :: sin. C : sin. B. On ferait voir de même que AB : BC :: sin. C : sin. A ; donc AB : AC : BC :: sin. C : sin. B : sin. A ; donc, etc.
et plus aisément les nouvelles analogies que feront subir aux termes de ces proportions, l'alternation (94) et l'axiome (75) dont il s'agit ; et en général, une pareille disposition des termes de deux ou plusieurs proportions fera mieux voir les rapports qui existeront entre ces termes après les opérations de l'inversion (93), composition (95), division (96), etc., etc.
2° Si la perpendiculaire AD tombe en dehors du triangle ABC, les triangles rectangles ADB, ADC donnent encore les proportions R: sin. ACD :: AC : AD et R : sin. ABD ou B::AB:AD, dans lesquelles les extrêmes sont égaux et les termes moyens en conséquence proportionnels, savoir : sin. ACD: sin. B :: AB : AC ; mais l'angle ACB est supplément de ACD: de là (1221) sin. ACB=sin. ACD et l'on a, comme auparavant, sin. C : sin.B::AB : AC ou AB : AC :: sin. C : sin. B.
(1236) D'ailleurs. En inscrivant dans un cercle le triangle donné, il est clair que chacun de ses côtés est la corde d'un arc double (442j de celui qui est la mesure de l'angle opposé et (1216) la demi-corde d'un arc est le sinus de la moitié de cet arc ; or, les moitiés sont (69) comme les touts ; donc les côtés sont entre eux comme les sinus des angrles opposés.
PROP. II. THÉOR.
(1237) La somme des sinus de deux ares AB, AC, est à la diâérence de ces sinus, comme la tangente de la demisomme de ces arcs, est à la tangente de leur demidiflérence ; c.-à.d., sin. AB + sin. AC :^in. AB— gin. AC:: tang. AB + AC : tang. AB— AC.
Soit AD=AB, BD sera (407) perpendiculaire à OA et D.H=BH ; soit encore CG parallèle à OA et par conséquent perpendiculaire à BD, on aura FH=CE, BF=BH+CE=:sin.
AB + sin.AC, DF = DH(ouBH)- CE=sin. AB— sin. AC ; de plus, l'arc BC-AB+AC et CD = AD (ou AB)
— AC. Ayant mené GD, GB, on a (1232) BF : FD :: tang. BGF : tang. DGF; mais tang. BGF ou BGC=tang. i arc BC, parce que (440) l'angle BGC=J BOC dont la mesure est en conséquence (442) ^ BC. On a de même, tang. DGF ou DGC=tang. | DC ; donc, BF : FD :: tang. | arc BC : tang. ^ arc CD ; donc, etc.
(1238) Cor. 1. De même que BF est la somme et DF la dittérence des sinus des arcs AB, AC, il est clair que GF est la somme et FC la différence des cosinus CE, OH de ces arcs ; et comme tangente BGF=cot. GBF, ou démontre aisément que GF : FC :: cot. | arc BC : tang. ^ arc DC ; de là, la somme des cosinus de deux arcs, est à la différence de ces cosinus, comme la cotangente de la demi-somme de ces arcs, est "à la tangente de leur demi-difierence.
(1239) Cor. 2. Le triangle rectangle BFG donne GF : BF::R : tang. BGF ; donc, cos. AB+cos. AC : sin. AB+ sin. AC::Il : tang. |- (AB+AC) et de mémo, à l'aide du triangle DFG, on a cos. AB+cos. AC : sin. AB— sin. AC :: R : ta'ng. i (AB-AC).
(1240) Cor. 8. Si les deux arcs valent ensemble 90°, la tangente de leur demi-somme, c.-à-d., de 45°, est égale (1219) au rayon, et l'arc CD étant l'excédant de l'arc BD sur l'arc BC ou sur 90°, la moitié de l'arc CD sera l'excédant de la moitié de BD sur la moitié de BC, c.-à-d., sera l'excédant de AD sur 45° ; donc, quand la somme de deux arcs=90°, la somme des sinus de ces arcs, est à leur difierence, comme le rayon, est à la tangente de la difierence entre chacun d'eux et 45°.
PROP. III. THÉOR.
(1241) Dans tout triangle rectiligne, ABC, la somme de deux quelconques des côtés, est à leur différence, comme la tangente de la demi-somme des deux angles opposés, est à la tangente de leur demi-différence ; c.-à-d., AB+ AC : AB-AC :: tang. | (B-f-C) : tang. i C-B.
466 TRIGONOMÉTEIE
En effet, (1235) AB : AC :: sin. C : sin. B ; d'où, div. (96) AB— AC : AC :: sin. C— sin. B : sin. B, et comp. (95) AB+ AC : AC :: sin. B+siu. C : sin. C ; d'où (100) AB+AC : AB— AC :: sin. B+sin. C : sin. C — sin. B; mais, par la dernière proposition, sin. B+sin. C : sin. C— sin. B ::tang. J (B+C) : tang. HC— P); tle là (75 Ax.) AB+AC : AB-AC ::tang. 1 (B+C) : tang. ^ (C— B). Voyez la note, page 462.
(1242) Autrement, et sans l'aide du dernier théorème (1237). Ayant prolongé BA d'une quantité AD=AC, joint DC, mené AE perpendiculaire
à CD, et AF, EG parallèles à
BC ; on a (251) l'angle exté- B ^
rieur CAJJ=B+C, l'angle BAE = (235 et 236) i CAD=| (B+C), et parce que l'angle DAF=B, à cause de AF parallèle à BC, il est clair que l'angle FAE=|(C— B). Maintenant la parallèle EG, menée par le point milieu E de CD, bissecte (509 ou 518) le côté BD du triangle BDC ; on a donc GD =GB=|BD=|(AB+AC),àcause de ÂD=AC par constr., et AG=(366)|(AB-AD)=|(AB— AC). Dans le triangle rectangle AED, prenant pour rayon le côté AE, l'autre côté ED devient (1229) la tangente de l'angle DAE, c.-à-d., de J (B+0), et EF la tangente de l'angle FAE, c.-à-d., de h (0— B) ; et les triangles semblables GED, AFD donnent (518) GD : G A : : ED : EF^ou (73 Ax.) 2GD : 2GA :: ED : EF, c.-à-d., BD (ou BA+AC) : 2GA (ou ÀB— AC) :: tang. DAE ou tang. 1 (B+C) : tang. FAE ou tang. i (C— B) ; donc, etc.
(1243) Sco. A l'aide de -| (B+C) et de J (C— B), on obtient B et C séparément (368) savoir : C=i (B+C)+i (C—B) et B=i(B + C)— I (C— B) ou, après avoir trouvé C, on a B— (B+C)— C ; le plus grand C des deux angles cherchés étant toujours opposé, comme on l'a vu (267) au plus grand côté AB, et le plus plus petit angle B, au plus petit côté AC.
PHOP. IV. THÉOR.
(1244) Si du sommet A d'un des angles d'un triangle rectiligne quelconque ABC, l'on abaisse une perpendiculaire AD sur la base BC prolongée s'il le faut ; la somme des segments de la base, est à la somme des deux autres côtés du triangle, comme la différence de ces côtés, est à la diôérence des segments de la base ; ou BD+DC : AB+A C :: AB-AC : BD-DC.
Cette proposition a déjà (578) été démontrée, pour le cas où la perpendiculaire tombe en dedans du triangle, et l'on voit de suite qu'il en est tout de même quand la pe^endiculaire tombe en dehors, faisant attention seulement, que les -^ "^ ^^
segments de la base sont, dans le second cas, comme dans le premier, les distances BD, CD de chacune des extrémités B, C, de la base, à la perpendiculaire AD.
(1245) D'ailleurs. On a vu (614) que (AB+AC)x(AB— AC)=(BD+DC)X(BD-DC) ; d'où il suit (88) que (BD+ DC) : (AB+AC) :: (AB-AC) : (BD-DC).
(1246) Sco. A l'aide de BD+DC et de BD-DC, on obtient BD et DC séparément (367) savoir BD=i (BD+DC) +J (BD-DC) et DC=i (BD+DC)-a (BD-DC) ou DC= (BD+DO-BD.
PROP. V. THÉOR.
(1247) Dans tout triangle reetiligne ABC, le cosinus de l'un quelconque B des angles, est égal au rayon multiplié par, la diôérence entre la somme des carrés des côtés adjacents à l'angle et le carré du côté opposé, divisée par deux fois le rectangle des côtés adjacents ; c.-à-d., cos.
