CONSTRUCTION DES TABLES TRIGONOMÉTRIQUES

(1254) Prenant (1223) pour rayon du cercle, l'unité, si l'on calcule et que l'on dispose en forme de table les longueurs des lignes représentant les sinus, cosinus, tangentes, etc., pour chaque minute du quart-de-circonférence ; cette table sera une table de sinus, cosinus, tangentes, etc. naturels, ainsi appelée pour la distinguer des tables de sinus, cosinus, etc. logarithmiques, c.-à-d., de sinus, etc., dont les valeurs réelles ou les représentants ou nombres naturels sont remplacés, pour une raison que l'on fera bientôt voir, par les logarithmes (1264) de ces nombres ou valeurs.

(1255) Il est clair qu'une table de cette espèce, sous un rayon égal à l'unité, représenterait également les valeurs des sinus, cosinusj etc. pour un rayou=10, 100, 1000, etc., en supposant seulement le point décimal reculé de 1, 2, 3, etc., cliitfres ou places vers la droite ; et à l'aide de cette table, on calculerait facilement les représentants numériques des mêmes lignes trigonométriques, pour un rayon quelconque ; i:)uisque (1222) dans ditï'érents cercles, les sinus, etc., d'arcs contenant un même nombre de dégrès, sont entre eux comme les raj'ons de ces arcs.

(1256) La première cliose à faire consiste à trouver le sinus d'une minute (!') c.-à-d., du plus petit arc des tables. A cet eiiet, prenant pour point de départ l'arc de 30° dont le sinus est (1216) égal au demi-raj^on, on aura par la méthode du par. (1253) le sinus de 15°^|^^sin.'^ 30°+sin.-ver.''^ 30° ; or, (1227) COS. 30° = l^R^— sin.^30° = l^l^(i)2 (puisque

8in.30°==i, quand le rayon est l.)=i/TZZl=i/f^~^=i/M, et comme sin.-ver. 30°=R — cos. 30°, on a sin.-ver. 30°=1— 1/-| ; doncsin. 15°=|.*/(J)"^+(1— V'i)^. Poursuivant ainsi l'opération, on a COS. 15°=!^ R"'^ — sin.^l5°, sin.-ver. 15°=R — cos. 15° et sin.7i°=|l^sin.'"^ 15°+8in.-ver.^ 15° ; sin. 3p ou sin. 3° 45^=i/(siu.^ 7io+sin.-ver.^ 7|°) ; sin. 1|° ou sin. 1° 52' 30'' =i '^' (sin. 3° 450^+(sin.-ver. 3° 45')^ et ainsi de suite, jusqu'à ce que, après 11 bissections successives de l'arc de 30^, l'on arrive au sinus d'un arc de 52'' 44"' 03i^ 45^.

. (1257) Maintenant, il est clair (430 et 665) que les sinus de très petits arcs sont entre eux, à très près, comme ces arcs ; car ces sinus sont les moitiés de cordes de très petits arcs et ces cordes sont sensiblement égales aux arcs qu'elles sous-tendent et par conséquent proportionnelles à ces arcs ; on fera donc arc 52" 44'" 03^^ 45^' ou 52.734375" à son sinus, comme l'arc de 1', est à son sinus.=0002908882.

(1258) D'ailleurs, on arrive encore, et plus aisément, an sinus de 1', en divisant la demi-circonférence du cercle dont le rayon est 1, par 180° et par 60', pour avoir l'arc de 1'; or la demi-circ.=(e68) 3.14159265358979 laquelle divisée par 180, puis par 60, ou de suite par (180x60) 10800, donne l'arc d'une minute=. 0002908882086657. D'un si petit arc, comme on vient de le dire, le sinus, la corde et l'arc différent presque imperceptiblement du rapport de l'égalité ; de sorte qu'on peut regarder comme sinus de 1', les dix premiers des chiffres précédents, c.-à-d., .0002908882, et en effet, le sinus qu'on trouve dans les tables de sinus naturels annexées à ce traité, et calculées à 5 décimales, est .00029, et dans celles qui sont portées à 7 décimales, ce sinus est .0002909 ; la dernière décimale des tables étant augmentée d'une unité, quand la décimale suivante est plus que 5.

(1259) Ayant trouvé le sinus de l'arc de 1 =.0002908882 on eu aura (1227) le cosinus=="^^It'^— sin.^ l'=l^l— sin.^l', c.-à-d., cos. l'=.9999999577 ; et on a vu (1251) que E : cos. arc : 2 sin. arc : sin. 2 arc ou sin. arc double ; on aura donc le sinus de 2' par la proportion R: cos. 1':: 2 sin. 1': sin. 2' ou

Maintenant, on a cos. 2'=l/l — sin.^ 2' et (1250) sin. 3'= sin. 2'xcos. T+sin. TXcos. 2'=sin. 2'Xcos. l'+sin. l'Xcos. 2'

K =.0008726646 ; car la division par R, quand R=l, ne change

aucunement la valeur de la quantité sur laquelle on opère. Pour avoir le sinus de 4', il est clair qu'on se servira indifféremment de l'une ou de l'autre des deux formules (1250) sin. 4'=sin. 3'Xcos. l'+sin. l'xcos. 3', ou (1251) R : cos. 2' ::

2 sin.2' : sin.4=co8.2'x2sin.2=cos.2'x2 sin.2'=.0011635526.

R On aura sin. 5''=sin.4'xcos. l'+sin. l'Xcos, 4'=. 0014544407,

et ainsi de suite.

De même pour les dégrés, ayant trouvé sin. 1°, on aurait sin. 2o=sin. l^Xcos. P+sin. l°Xcos. 1* ; sin. 3°=sin. 2°X cos. l°+sin. 1° X cos. 2'> ; sin. 4° = sin. 3°Xcos. l°+sin. 1°X COS. 3°, et ainsi de suite.

(1260) On a vu (1252) que 1', 2', 3', étant trois arcs tels que, la différence du premier au second, est égale à la différence du second au troisième, on a R: cos. 1' :: sin. 2' : | (sin. 1' + sin. 3') ou (73) siu. 3' + sin. 1' = 2 cos. 1' X sin. 2'. Retranchant sin. V de chaque côté, on a sin. 3'=2 cos. 1' Xsin. 2' — sin. l^ On a de même, sin. 4'=2 cos. l'xsin. 3' — sin. 2', et ainsi de suite ; donc :

2 cos. l'Xsin. 1'— sin. 0'=sin. 2'=000o817764 2 COS. l'Xsin. 2'— sin. l'=sin. 3'=0008726646 2 COS. l'Xsin. 3'— sin. 2'=sin. 4'=0011635526 2 COS. l'Xsin. 4'— sin. 3'=sin. 5'=0014544407 2 COS. l'Xsin. 5'— siu. 4'==sin. 6^=0017453284 2 COS. l'Xsin. 6'— sin. 5'=sin. 7'=0020362159 Et ainsi de suite.

Ce qui simplifie de beaucoup l'opération, et réduit toute la difficulté à multiplier chaque résultat successif par la quantité, 2 cos. l'=l. 9999999154.

(1261) Appelant a et 6 les deux arcs, et multipliant l'une par l'antre les deux formules du par. (1249)

savoir : sin.(rt+6)=sin. ax cos. ^+sin. èXcos. a et sin. (a — è)=

sin. aXcos.6 — 'Sin. bxcos.a, on obtient siu. (a+6)x sin. (a — b)=

R sin. rtXcos. 6-f-sin. aXsin. ôxcos. aXcos. b — sin. axsin. bx

cos. a X COS. è— sin. 6Xcos. a ; biffant les termes+sin. a sin. b cos. a cos. b (30) et — sin. a sin. b cos. a cos. b qui se détruisent, il reste sin. (a+6)Xsin. (a — 6)=sin.^ a cos.^ b — sin. b cos.' a;

substituant maintenant à cos. a, son égale (1227) R — sin. a et à cos. b substituant son égale R'^ — sin.^ 6, il vient sin. (a-\-b) X sin. (g— 6)=sin.^ «X(R~ — sin.^6) — sin.^ 6x (R^ — sin.^ «) =

R^ sin.^aXR^— sin.^aXsin.^6— sin.^6xR^+sîn.^6Xsin.^a; effa-

çant les termes — siu.^aXsin. 6 + sin. èxsiu.* 6! qni se détruisent, et divisant par K . il vient enfin, sin. («+6)Xsin. (« — h) — sin.2« — sin.^ 6=(370 ou 371) (sin. a+sin. è)X(sin. a — sin. 6) ; d'où (88) sin. (a — b) : sin. a— sin. b :: sin.A+sin.B : sin. (a+è). On pourra donc à l'aide de cette proportion, après avoir obtenu les sinus de 1' et de de 2', continuer l'opération comme suit :

Sin. 1' : sin. 2' — sin. 1' :: sin. 2'+sin. 1' : sin. 3' Sin. 2' : sin. 8'— sin. 1' :: sin. 3'+sin. V : sin. 4' Sin. 3' : sin. 4' — sin. V :: sin. 4'+sin. 1' : sin. 5' Sin. 4' : sin. 5' — sin. 1' :: sin. 5'+sin. 1' : sin. 6' Sin. 5' : sin. 6' — sin. 1' :: sin. 6'H-siu. 1' : sin. "'

Et ainsi de suite

Le calculateur pourrait procéder de la même manière pour les dégrés.

Sin. 10 : sin. 2°— sin. 1° :: sin. 2o+sin. 1° : sin. 3° Sin. 2» : sin. 3°— sin. 1^ :: sin. 3°+sin. 1° : sin. 4^ Sin. 3° : sin. 4° — sin. 1^ :: sin. 4°-}-sin. 1° : sin. 5° Et ainsi de suite.

(1262) On peut donc, au moyen de ces formules, construire une table des sinus, et par conséquent (1227) aussi, des cosinus de tous les dégrés et minutes depuis 0° j usqu'à 90°, c.-à-d.,

, . sin.

dans le quart-de-circ. ; et parce que (1228) tang.=^^ quand

J^=l, on calculera la table des tangentes des divers arcs du quart-de-circ, en faisant le quotient (21) du sinus de chacun de ces arcs par son cosinus. Quand on aura trouvé les tangentes jusqu'à 45'^, on obtiendra plus aisément celles du reste du quart-de-circ, à l'aide d'une autre règle ; car, la tangente d'un arc au-dessus de 45°, est (1224) la cotangente d'un arc autant au-dessous de 45*^, et le rayon étant (1225) moyen proportionnel entre la tangente et la cotangente, il suit que si l'on appelle D la diiiérence entre un arc quelconque et 45°, on auratang. (45«— D) : 1 :: 1 : tang. (45^+0) ; de sorte

que tang. (45+D)=uuig. (45-'— U).

EECTILIGNE. 475

On calculera les sécantes par la méthode du par. (1226) où il est démontré que le ra3'on est moj^en proportionnel

entre le cosinus et la sécante, ce qui donne séc.= , et on