COS

aura, au besoin, les sinus-verses, en soustrayant (1217) les cosinus du rayon.

(1263) Observons que telle proposition (1231) qui, exprimée arithmétiquement, est vraie, devient absurde quand on l'exprime géométriquement ; ainsi, on a par exemple, au par. (1252) la proportion li : cos. BE :: sin. AB : h (sin. AE+sin. AD), d'où l'on tire (86) cos. BExsin, AB= RXi" (sin. AE+sin. AD), c.-à-d., le rectangle formé par le cosinus B 15 et le sinus AB est égal au rectangle ayant pour côtés le rayon et la demi-somme des sinus de AE et de AD. Si le rayon est 1, on peut le négliger entièrement (1230) puisque la multiplication ou division par 1, ne change aucunement la valeur des termes; l'expression devient alors cos. BEX sin. AB= J (sin, AE+sin. AB) ce qui est vrai, pris arithmétiquement, mais absurde, pris dans un sens géométrique, puisque les quantités de chaque côté du signe d'égalité sont de différente espèce (25) et ne peuvent admettre de comparaison, l'une étant un rectangle on surface et l'autre une ligne. De même, donc, qu'on fait, à volonté, disparaître le rayon, des expressions trigonométriques dont on a jusqu'ici traité ; de même, il faut le faire reparaître, quand on veut prendre ces expressions dans un sens géométrique, et en général, il est nécessaire que le nombre de multiplicateurs linéaires, c.-à-d., de lignes dont on multiplie ensemble les valeurs numériques, soit le même dans chaque membre (26) d'une équation, sans quoi, l'on comparerait ensemble des quantités dissemblables ou de difléreute espèce.

(1264) Lorsque dans les calculs nécessaires pour déterminer les parties inconnues d'un triangle, on se sert des

lignes trigonométriques elles-mêmes, ou de leurs représentants numériques, que l'on trouve clans les tables de sinus, cosinus, tangentes, etc., naturels, il est évident qu'il faut faire les opérations de la multiplication et de la division, travail, souvent long et ardu.

Pour obvier à cette diificulté, et réduire toutes les opérations, autant que possible, à des additions et soustractions, on a imaginé de remplacer les nombres eux-mêmes, par d'autres nombres tels que la somme de ces derniers, corresponde au produit des premiers, et la différence des uns, au quotient des autres, et on a doimé à ces nombres le nom de logarithmes.

(1265) Les logarithmes sont donc des nombres tels que la somme des logarithmes de deux nombres correspond au produit de la multiplication de ces deux nombres l'un par l'autre, et la différence de ces logarithmes, au quotient de la division de ces deux nombres l'un par l'autre; ce qui a lieu quand on opère sur deux séries de nombres dont les termes de l'une correspondent aux exposants (34) des puissances (34) des termes de l'autre. Cette dernière série est dite géométrique, et est telle que quand on prend quatre termes consécutifs quelconques de la série ou quatre autres termes quelconques qui soient proportionnels (62) l'un à l'autre, on a (86) le produit des extrêmes égal à celui des moyens. L'autre série est dite arithmétique et est telle que si l'on prend quatre termes consécutifs quelconques de cette série ou les quatre qui correspondent à quatre termes proportionnels de l'autre série, on a la somme des extrêmes égale à celle des moyens.

En efiet, soit :

a , a , a^, a , a , af, a^, «7,

ou 10^, 10\ 10^ 10^ 10^ 10^ 10^, 107,

ou 1, 10, 100, 1000,10,000,100,000,1000,000,10,000,000 une série géométrique,

et 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, la

série arithmétique correspondante ; on aura, conformément à

ce que l'on vient de dire, a^xa =a xcfi=a^ ou 1x1000—10 XlOO=1000 ; les quatre termes correspondants 0, 1, 2, 3, de la série arithmétique, donnent 0+3=1 + 2=:3 qui est l'exposant de a^. Prenant quatre autres termes consécutifs quelconques correspondants, des deux séries, par exemple, a'^, a^, a^, of^ et 2, 3, 4, 5, on aura encore c?X(i^=à^Xa^=^a!' ou 100X100,000=1000X10,000=10,000,000, et 2+5=3+4=7 =exposant de a^. Prenant maintenant quatre termes proportionnels quelconques de la série géométrique, soit rt^: a~:: «•^:«^, on aura a^xa^=c?xà^=cC' ou 1x100000=100x1000 =100,000 et les quatre termes correspondants 0, 1, 3, 5 de la série arithmétique donnent 0+5=2+3=5=exposant de d*. Il est donc évident que ce qui a lieu pour les termes proportionnels correspondants des deux séries sur lesquelles on vient d'opérer, aura également lieu pour tous autres termes proportionnels correspondants quelconques de ces mêmes séries. De même donc, que les nombres 0, 1, 2, 3, 4, etc., de la série arith., sont les logarithmes des nombres 1, 10, 100, 1000, 10000, etc., de la série géométrique ; de même, si entre 1 et 10, 10 et 100, 100 et 1000, etc., on intercalait un nombre de moyens géométriques, et entre 0 et 1, 1 et 2, 2 et 3, etc., un nombre égal de moyens arithmétiques correspondants, ces moyens arithmétiques seraient encore les logarithmes des moyens géométriques de l'autre série.

(1266) Maintenant on conçoit que, si entre 1 et 10 de la série géométrique, l'on insérait un grand nombre de moyens proportionnels géométriques, il s'en trouverait un égal ou à peu près égal à 2, un autre égal à 3, un troisième égal à 4, un autre égal à 5, 6, 7, etc. ; et si entre 10 et 100, l'on insérait un grand nombre de moyens géométriques, il s'en trouverait un égal ou à peu près égal à 11, un autre égal à 12, un autre égal 13, 14, 15, etc. De même, si entre 0 et 1 de la série arithmétique, l'on insérait un nombre de moyens arithmétiques, égal à celui des moyens géométriques insérés entre 1 et 10 ; et entre 1 et 2, un nombre de moyens arithmétiques

égal à celui des moyens géométriques insérés entre 10 et 100 ; alors, d'après ce que l'on vient de dire, chaque terme consécutif de la série arithmétique serait le logarithme du terme correspondant de la série géométrique.

(1267) S'il s'agit, par exemple, de trouver le logarithme de 2, 11, 101, etc., avec sept décimales, où à un dix-millionième près ; on imaginera une progression géométrique dans laquelle 10 soit le dix-millionième terme après 1, 100 le dixmillionième terme après 10, 1000 le dix-millionième terme après lOO, et ainsi de suite ; et entre les 9,999,999 moyens géométriques qu'il y aura entre 1 et ] 0, entre 10 et 100, entre 100 et 1000, etc., on en cherchera un qui soit égal à 2, 11, 101, etc. ou au moins qui ne s'en éloigne pas d'un dixmillionième. On imaginera de même entre 0 et 1, 1 et 2, 2 et 3, etc., une progression arithmétique dans laquelle 1 soit le dix-millionième terme après 0, 2 le dix-millionième terme après 1, 3 le dix-millionième terme après 2, etc. ; et le terme de cette progression qui répondra au moyen géométrique substitué à 2, 11, 101, etc., sera le logarithme de 2, 11, 101, etc.

(1268) Pour faire comprendre au commençant, comment on a pu construire les tables de logarithmes, soit proposé de trouver le logarithme de 9 avec 7 décimales. On cherche un moyen géométrique proportionnel entre 1 et 10 ; ce qui se fait (91) en prenant la racine du produit de 1 par 10, c.-à-d., en prenant la racine de 10, laquelle, en poussant l'approximation jusqu'aux dix-millionièmes, est 8.1622777 ; et en même temps on cherche un moyen proportionnel arithmétique entre 0 et 1 ; ce qui se fait en prenant la moitié delà somme 0+1, c.-à-d., en prenant J=^'^=0. 500, 0000. Mais parce que le moyen géométrique trouvé n'est pas 9 et qu'il en diffère même de plus d'un dix-millionième, on fait une seconde opération, et l'on cherche un autre moyen géométrique entre celui qu'on vient de trouver et 10, c.-à-d. entre 3.1622777 et 10 ; on trouve, pour le second moyen géométrique, 5.6234132 ; et en même temps on cherche un

moYcn îjrithmétique entre 0.5000000 et 1.0000000, lequel est O.7Ô00000 ; et comme ce dernier moj^en géométrique est encore trop éloigné de 9, on réitère l'opération, cherchant toujours de nouveaux mo^'ens géométriques moins éloignés de 9 que les précédents. On cherche aussi toujours de nouveaux moyens arithmétiques; on continue jusqu'à ce que la différence du moyen géométique avec 9 soit moindre qu'une dix-millionième ; ce qui n'arrive, dans cet exemple, qu'à la vingt-sixième opération, par laquelle on trouve enfin 9.0000000, et pour le moyen arithmétique correspondant, 0.9542425 qu'on prend pour le logarithme de 9, parce qu'on ne s'est proposé que d'éviter l'erreur d'un dix-millionième et qu'eu conséquence on n'a mis que 7 décimales.

(1269) On a véritablement, à présent, des méthodes plus expéditives ; mais en voilà assez pour donner une idée du procédé qu'on peut suivre pour calculer une table de logarithmes. Au reste, les logarithmes ne sont la plus part qu'approchés ; de sorte qu'il peut y avoir une erreur d'environ une demi-unité décimale du 7ème ordre, dans les tables a 7 décimales, et même du 6ème ordre, lorsque les tables n'ont que 6 décimales, comme celles qui sont attachées à ce traité.

(1270) Lorsqu'on a trouvé les logarithmes des nombres premiers, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 28, 29, 31, 37, etc., c.-à-d., des nombres qui n'ont aucun autre diviseur que l'unité ; l'on trouve, par une simple addition ou soustraction, les logarithmes de plusieurs autres nombres, savoir : de tous les produits ou quotients de ces nombres premiers. Ainsi, il est clair, d'après ce que nous avons dit (1265) qu'on aura le logarithme de 4, égal au double du logarithme de 2, puisque 2x2=4 ; on aura de même le logarithme de 6, en faisant la somme des logarithmes de 2 et de 3, puisque 2x3=6 ; la somme des logarithmes de 2 et 4, fournira le logarithme de 8, puisque 2X4=8 ; de même, on aura le logarithme de 9 ou de 3X3, en prenant le double du logarithme de 3 ; log. 5+log. 2

480 TRIGONOMÉTEIE

=log. 10, log. 6+log. 2=log. 12, log. 7+log.2=log. 14, log. 3 +log. 5=log. 15, et ainsi de suite ; ce qui réduit, après tout, à un assez petit nombre, les logarithmes à trouver par les règles données au par. (1268). De même, on trouve au besoin le log. de 3 égal à la moitié du log. de 9, log. 15— log. 3=log. 5, log. 27 — îog. 3=log. 9, et ainsi de suite.

(1271) De la nature des progressions géométrique et arithmétique, il suit premièrement, que pour avoir le logarithme du produit de deux quantités, il faut prendre la somme (21) de leurs logarithmes, et pour avoir le logarithme du quotient de deux quantités, il faut prendre la différence (21) de leurs logarithmes. Il suit aussi, que pour multiplier deux nombres l'un par l'autre, il suffit de prendre la somme de leurs logarithmes, cette somme sera le logarithme du produit ; et pour diviser deux nombres l'un par l'autre, on prendra la difîerence de leurs logarithmes, laquelle sera le logarithme du quotient voulu. D'après ce qu'on vient de dire, il est clair qu'on aura le log. du carré d'un nombre, égal ou double du log. de ce nombre, et le log. de la racine carrée d'un nombre, égal à la moitié du log. de ce nombre ; de même on aura le log. du cube d'un nombre, égal au triple du log. de ce nombre, et le log. de la racine cubique d'un nombre, égal au tiers du log. de ce nombre ; et en général, on aurait, au besiou, le log. d'une puissance ou d'une racine quelconque d'un nombre, en multipliant ou divisant le log. de ce nombre, par le nombre d'unités dans l'exposant de la puissance ou de la racine proposée.

(1272) Pour faire une règle de trois par logarithmes, c.-à-d., trouver le quatrième ou (64) l'un quelconque des termes d'une proportion géométrique ; il suit, de ce qui précède, que l'on ajoutera ensemble les logarithmes des termes moyens ou des extrêmes, suivant le cas, et que de leur somme, on retranchera le logarithme de l'extrême ou du moyen connu, pour avoir le logarithme de l'extrême ou moyen cherché. Par exemple si on a a : a :: a'* : x, on aura x=a +a —a =a —a^—a ; donc, 6 est le log. du nombre

cherché ; ou, soit 341 : -428 :: 5707 : 2:, on a log. 428=2.631444, log. 5797=3.703203 et log. 341=2.532754 ; maintenant, log. 428-l-log. 5797=6.394647, duquel, retranchant 2.532754 log. de 341, on a 3.861893 pour log. du terme cherché, vis-à-vis duquel, on trouve dans les tables le nombre 7276, valeur de X. Tout ceci est fondé sur ce que, le quatrième terme d'une progression géométrique, dont on connaît les moyens et l'un des extrêmes, s'obtient (90) en divisant le produit des moyens par l'extrême connu, ou le produit des extrêmes par le moyen connu, pour avoir l'autre moyen.

(1273) On appelle caractéristique d'un logarithme, le nombre qui se trouve devant ou a gauche du point décimal, c.-à-d., le nombre entier séparé par le point, de la partie décimale du logarithme. Ce nombre indique à quelle classe d'unités, par exemple, des dizaines, centaines, etc., appartient le nombre auquel le logarithme correspond. On voit, d'après ce qui a été dit, que la caractéristique de tous les nombres depuis 1 jusqu'à 10 est 0, depuis 10 à 100 la caractéristique est 1, de 100 à 1000 la caractéristique est 2, de 1000 à 10000 la caractéristique est 3 ; et en général, un nombre contient autant de chiffres, et un de plus, qu'il y a d'unités dans la caractéristique de son logarithme.

(1274) C'est la même chose de multiplier un nombre par ] 0, ou d'ajouter une unité à la caractéristique de son logarithme; et en général, on multiplie autant de fois un nombre par 10, qu'on ajoute d'unités à la caractéristique de son logarithme ; comme aussi, l'on divise un nombre autant de fois par 10, qu'on ôte d'unités de la caractéristique de son logarithme.

(1275) Pour ce qui est du logarithme d'une fraction, il est clair que, la fraction |, par exemple, étant un nombre 3 divisé par un nombre 4, on aura, conformément à ce qu'on a déjà dit, le log. de la fraction, en retranchant le log. 0.602060 du dénominateur 4, du log. 0.477121 de son numérateur 3, et le reste i. 875061 (=log. .75) sera le log. cherché; ce qui fait voir que la caractéristique du logarithme d'une fraction moindre que l'unité est négative ; car, la soustraction ne

pouvant se faire, ou emprunte un entier, qu'on énonce en conséquence, 1, puisque .875061 excède, de l'unité empruntée, la diflérence .477121—602060 ; et en effet, si l'on continue, en descendant, les progressions géométrique et arithmétique :