SOLUTION DES TRIANGLES RECTILIGNES

(1302) Le problème général que la trigonométrie se propose de résoudre, est : Dans tout triangle rectiligne, étant donnés trois, d'entre les trois côtés et les trois angles, et l'une des trois parties données étant (1206) un côté ; trouver l'une, quelconque, des trois autres parties.

(1303) Les données sont censées être représentées par leurs valeurs numériques; savoir: les angles en dégrés, minutes et secondes, et les côtés en pieds ou tout autre mesure connue.

(1304) La restriction du problème, aux cas où on connaît au moins un côté du triangle à résoudre, est due à ce que les angles seuls ne suffisent pas pour déterminer les dimensions des côtés ; car il peut exister un nombre indéfini de triangles, dont les angles de l'un soient respectivement égaux à ceux de tous les autres, sans que les côtés de l'un ne soient égaux à ceux d'aucun autre ; quoique cependant, les rapports des côtés aux angles soient (520) égaux dans tous. Donc, si l'on ne connaît que les trois angles d'un triangle, on ne saurait en déterminer autre chose que les rapports entre les côtés ; ces rapports étant (1235) égaux aux rapports qui existent entre les sinus des angles opposés. On trouverait encore les rapports entre les trois côtés d'un triangle, dont on ne connaîtrait que les angles, en supposant, comme on l'a fait au paragraphe (674), à l'un des côtés, une valeur numérique quelconque, pour en déterminer ensuite, par calcul trigonométrique, la valeur correspondante ou proportionnelle des deux autres côtés.

(1305) On a déjà fait remarquer (1264) que dans le but d'abréger les calculs nécessaires potir déterminer les parties inconnues d'un triangle, on se sert des logarithmes des parties, au lieu de se servir des parties elles-mêmes ou de de leurs représentants numériques.

D'ailleurs, l'étudiant se servira, à volonté, des logarithmes des côtés d'un triangle et de ceux des sinus, etc , des angles de ce triangle ; ou des valeurs numériques mêmes, de ces côtés et des sinus, etc., de ces angles, c'est-à-dire, des sinus, etc., naturels, de ces angles ; suivant qu'il le jugera convenable, eu égard à la nature de l'opération à faire ; car l'usage, et même la connaissance des logarithmes, n'est aucunement essentielle à la trigonométrie.

(1306) Pour la commodité du calcul, il est d'habitude de diviser le problème général qu'on vient d'énoncer (1296) en deux problèmes, suivant que dans le triangle à résoudre il y a, ou non, un angle droit.

PROBLÈME I

(1307) Dans un triangle rectangle quelconque ABC, étant donnés, outre l'angle droit, deux quelconques d'entre les trois côtés et les trois angles, et l'un de ces deux étant un côté ; trouver le reste.

Il est évident, tout d'abord, que quand on connaît l'un des angles aigus d'un triangle rectangle, ou connaît aussi l'autre, puisque ces angles sont (1212; 2°) com- (J plémeuts, l'un de l'autre. Il est de plus évident (1224) que le sinus, la tangente ou la sécante, de l'un quelconque des deux angles aigus, est le cosinus, la cotangente ou la cosécante de l'autre.

Ce problème admet plusieurs cas, suivant la nature des données ; et les solutions, règles ou formules, lesquelles dépendent toutes des conclusions déjà établies, aux paragraphes (1225 à 1231), peuvent avantageusement se disposer en

EECTILIGNE

forme de table ; où, la première colonne contiendra les choses données; la seconde, les choses requises; et la troisième, les règles ou propositions servant à les trouver.