COS. COS

puisque cosec. = —. — = -^- ^ ^ sin. sin.

On peut aussi obtenir le sinus ou cosinus naturel d'un arc,

à l'aide de son sinus ou cosinus logarithmique, en soustrayant

seulement 10 de la caractéristique de ce dernier ; le nombre

correspondant au log. ainsi diminué est le siuus ou cosinus

naturel voulu ; et l'on peut de même obtenir la tangente,

sécante, etc., naturelle d'un arc donné.

Soit s le sinus naturel d'un arc, et S son sinus logarithmique ; puisque le rayon des=l, et que le rayon de S = 10,000,000,000, on a S = 10,000,000,000X5 ; d'où, log. S =log. 10,000,000,000 -f log. s = 10 + log. s, ou, par transposition, log. s = log. S — 10.

Ex. Etant donné le sinus logarithmique

de 36» 44', c'est-à-dire, 9.7767676

J'en retranche 16

Le reste est le logarithme (du sinus naturel).... 1.7767676 car, il s'en faut d'une unité que la soustraction puisse se faire ; ce qui s'énonce, 1.

Ce logarithme correspond au sinus naturel de 36^ 44' qui est = 5980916

(1300) Avant de procéder à faire l'application des règles précédentes à la solution des triangles, il est nécessaire de faire remarquer, que les différences successives entre les sinus et tangentes logarithmiques de petits arcs, n'excédant pas 2°, par exemple, sont très variables, comme on peut le voir ; en conséquence de quoi, on ne peut trouver, avec exactitude, ces lignes logarithmiques, pour de petits arcs contenant des secondes ; puisque, comme on l'a vu (1293) les parties proportionnelles pour les secondes, sont calculées d'après la supposition, que les diiféreuces sont constantes pour une diôérence de 1' ou de 60'' dans l'arc.

On trouvera plus avantageux, dans ce cas, de se servir des sinus et des tangentes naturels, dont les différences sont, à 'très près, constantes pour une augmentation considérable de l'arc, comme on l'a fait voir au par (1257).

Ex. 1. Soit à trouver, par exemple, le sinus nat. de 10".

La différence entre 0' et 1' ou entre 0" et 60" est .00029 ; on

00029 V 10 fera donc 60" : 00029 :: 10" : 00005 = !,: =00004.8

ou .00005.

Ex. 2. De même, si l'on avait à trouver la tangente de SS' 25"; la tang. de 33' est .00960, celle de 34' est .00989 dont la différence est .00029, et 60" : 29 :: 25" : 12.083 ,c'est-à-dire (faisant reparaître les zéros) .00012 ; d'où, tang. 33' 25" = .00960 + .00012 = .00972.

Ex. 3. Soit encore à déterminer la valeur de l'arc correspondant à un sinus nat. = .02973. Ou voit de suite, en consultant la table, que l'arc voulu se trouve entre 1° 42' et 1^ 43'; or la différence des sinus de .ces arcs est 29, et la différence entre .02967 sinus de 1° 42' et le sinus donné .02978, est 6 ; et 29 : 60" :: 6 : 12.4" ; donc, l'arc voulu = 1° 42' 12.4". .

(1301) Il faut aussi éviter l'emploi du sinus, tant logarithmique que naturel, d'un arc très grand, c'est-à-dire d'un arc de près de 90°, ou du cosinus d'un arc très petit ; à cause du peu de différence dans les longueurs respectives de ces lignes, pour une assez forte différence dtlns l'arc qu'elles mesurent ; et cela surtout, quand on fait usage de tables qui ne vont qu'à 5 décimales, où, comme on le voit, le sinus ne varie que d'une unité du 5ième ordre, dans les 18 dernières minutes du quart-de-circ, ou, ce qui est la même chose, le cosinus ne varie que d'autant, dans les 18 premières minutes de cet arc.

Il est clair que ce que l'on vient de dire, s'applique encore aux sécantes de très petits arcs, lesquelles varient presque imperceptiblement, à mesure que ces arcs augmentent ou croissent; et aux tangentes et sécantes d'arcs de près de 90°, lesquelles augmentent rapidement (1234) à mesure que l'arc s'approche du quart-de-circ. ; et dont les différences sont en. conséquence, très variables, et telles qu'on ne puisse s'en servir pour le calcul des secondes, ou même pour celui des minutes, dans certains cas; ce que d'ailleurs on fera voir dans l'article suivant.