BC-AB

AB : AC : : R : tang. B = Cos. B: R::AB: BC = ou Tang. B : séc. B : : AC : BC

ou bc=vIb^Tac^

ACxB

tang. B

(1308) Rem. Dans le dernier cas (16) où BC=■^^ÂB^+AC^ on ne peut, comme dans la formule 12, séparer AB'+AC . eu deux multiplicateurs linéaires, pour opérer immédiatement par logarithmes ; au contraire, il est clair, qu'il faut dans ce cas, carrer AB et AC, et chercher ensuite le logarithme de la somme de ces carrés, dont la moitié sera le logarithme de BC, le côté voulu ; ou l'on procédera d'abord à trouver la tangente de B (formule 13) pour obtenir ensuite BC parla formule 15 ; ou encore, sans chercher l'angle B, on prendra dans la table le cosinus correspondant à tang. B, pour trouver BC par la formule 14.

(1309) Quant au choix a faire des formules à employer, lorsqu'il y a plus d'une manière d'obtenir la chose requise, et que les conditions sont d'ailleurs égales, c'est-à-dire, que les angles sur lesquels on opère ne sont ni trop petits ni trop grands ; on' verra de suite que toute expression dans laquelle le rayon (R) entre, soit comme multiplicateur, soit comme diviseur, présente nécessairement moins de travail dans le calcul ; puisque quand on procède par nombres naturels, la multiplication ou division par 1, n'altère en rien la valeur des quantités sur lesquelles on opère, et que quand on procède par logarithmes, l'addition ou la soustraction de 10 (log. de K) est plus expéditive que celle d'une caractéristique suivie d'une partie fractionnaire ; sans compter que dans les deux cas, il y a un nombre naturel de moins ou un logarithme de moins à chercher dans les tables. Sous ce rapport donc, on préférera les formules 1, 5 et 8 aux formules 2, 6 et 7.

2° Mais en se rappelant ce qui a é'té dit aux paragraphes (1300) et (1301), on verra que dans certains cas, le choix des formules reposera, sur des considérations bien autrement importantes ; ainsi, dans le cas où l'angle B serait presque égal à un angle droit, il est avantageux d'éviter l'emploi des formules 2, 4, 5, 8, 15, dans lesquelles entrent la tangente ou la sécante.

EECTILIGNE. 503

(1310) Enfiu, quaucl on ne pourra -arriver directement, ou par une seule opération, à déterminer un angle ou un côté voulu, sans éviter l'usage de ligues trigonométriques dont l'emploi n'ofiVirait pas les garanties nécessaires à une exactitude suffisante dans le résultat qu'on se propose, on réussira, néanmoins, le plus souvent, par une opération moins directe, ou par une suite d'opérations, à obtenir correctement la chose désirée.

1° Si l'angle C, par exemple, B

du triauçrle rectano-le ABC, C" i

n'était que de 9' et l'angle B,

par conséquent, de 90° — 9' = 89° 51' et si le côté AC était donné pour trouver l'hypoténuse BC ; au lieu de faire la proportion (8) Il : séc. C :: AC : BC ou (7) cos. C : R :: AC : BC, formules qui, avec les tables à 5 décimales, ne donnent absolument aucune différence entre le rayon et la sécante, ou entre le cosinus et le rayon, et par conséquent, aucune différence entre le côté donné et l'hypoténuse cherchée, 'et qui même, avec des tables à 7 décimales, ne donneraient pas l'exactitude nécessaire; on procéderait d'abord à trouver AB par la formule 5, Il : tang. C :: AC : AB ; puis on ferait sin. C : R :: AB : BC ; et si l'angle C contenait des secondes, on employerait de préférence (1300) les sinus, etc., naturels.

2° Si l'hypoténuse BC était donnée pour trouver AC, on ferait les proportions R : sin. C :: BC : AB, puis tang. C : R :: AB : AC, avec le même avantage dans l'emploi des lignes naturelles au lieu des logarithmiques, dans le cas où l'angle C contiendrait des secondes.

3° Si l'angle B était donné, lequel est de près de 90°, il est clair qu'on n'aurait qu'à lui substituer son complément C pour éviter l'usage de la tangente trop indéfinie AC.