SECTION PREMIÈRE

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On ne saurait publier un cours de perspective complet sans y traiter des ombres et de la lumière; c’est par leurs secours que les corps acquièrent l’apparence du relief qu’ils ont dans la nature, et que l’on peut parvenir à l’imitation exacte des objets que l’on veut représenter.

L’ombre n’étant que la privation de la lumière , sans cette dernière , une entière obscurité nous envelopperait et nous ne saurions discerner la forme des corps qui nous environnent. Il est donc indispensable de connaître les principaux phénomènes de la lumière , ainsi que les diverses propriétés qui en résultent , avant de passer à la perspective des ombres; c’est-à-dire à la connaissance de leurs projections sur toutes les surfaces possibles.

Les plus grands physiciens ne sont pas d’accord sur la nature de la lumière, et comme il n’est point de notre ressort de parler de son essence, nous nous bornerons à la considérer, selon l’avis de quelques savans, comme une substance subtile et agitée, ayant la propriété de se mouvoir . toujours en ligne droite et (i) de pénétrer au travers de plusieurs substances transparentes, comme le papier , le verre , etc.

La lumière est plus ou moins vive , selon que les rayons du corps lumineux qui la causent sont plus ou moins abondans , et elle va en s’affaiblissant à proportion que l’espace intercepté qui les divise , va en augmentant.

Les rayons lumineux pouvant frapper les corps de diverses manières , c’est-à-dire , en avant , en arrière , ou de coté , nous donnerons dans ce traité des exemples de ces différens effets.

Le peintre devant imiter toutes sortes de lumières , nous distinguerons celle qui émane des astres , et celle causée par le feu d’un flambeau , d’une lampe , etc.

Les lumières terrestres ont absolument les mêmes propriétés que celles des astres; en observant cependant de considérer les rayons lumineux des corps célestes, comme nous arrivant parallèlement à cause du grand éloignement de leur foyer; ce qui ne peut avoir lieu à l’égard d’une lampe ou d’un flambeau , qu’il

(i) Le mouvement d’un corps est le passage d’un endroit dans un autre; sa vitesse, la longueur du chemin parcouru dans certain temps; et sa force, le produit de sa vitesse par sa masse.

Nous admettons comme principe, que la lumière se répand en ligne droite : il faut cependant observer que celte proposition n’est rigoureusement vraie, que quand le milieu dans lequel la lumière se meut, est d’une densité uniforme.

faut regarder comme un point d’où partent les rayons et dont ils s’éloignent en divergeant entr’eux. (i)

Puisqu’un point lumineux ou étincelle radieuse F, ( P. i. F. i. ) peut être aperçu à diverses distances et au même instant de tous les cotés , il est évident qu’il s’échappe de ce point une infinité de rayons comme FA, FB, i, 2, 3, etc., qui vont en divergeant. Ces rayons s’écartent les uns des autres précisément dans le même rapport qu’ils s’éloignent du corps lumineux (2) d’où ils émanent.

(i) Plus un point lumineux est éloigné de la surface qu’il éclaire, plus aussi l’angle formé par ses rayons devient petit, ses côtés en se rapprochant, se rapprochent aussi du parallélisme : on peut se convaincre facilement de cela en supposant le point lumineux F (F. I.) transporté au C, l’ouverture de l’angle AFB demeurant toujours la même.

La lumière des astres et particulièrement celle du soleil , étant à la distance d’envirou quarante millions, de lieues, nous pouvons considérer ses l’ayons comme étant parallèles entr’eux, sans que cette supposition puisse nous faire commettre d’erreur sensible dans les opérations de perspective.

Si un rayon lumineux LM ( P. i. F. X. ) ne rencontre aucun obstacle, il se dirigera directement de L vers l’objet M ; si ce même rayon prend la direction L i , et qu’il rencontre les surfaces parallèles représentées par les lignes LM et NO, il s'y brisera aux points i , 2 , 3 , avant d’arriver à l’obstacle M ; et dans ces divers changemens de direction , le rayon lumineux émané du point L , ne cessera jamais de se mouvoir en ligne droite, comme on le voit par cette figure.

(2) ( F. 2. ) Si la surface du corps lumineux a quelque étendue comme A ( P. i. F. 2. ) il faut supposer une infinité de points radieux répandus sur sa surface comme A , 2 , 3,4, dont les rayons se croisent en divergeant et se prolongent toujours en ligne droite, jusqu’à ce qu’ils rencontrent un obstacle quelconque qui les contraigne à changer de direction : il faut donc considérer le corps ou le globe lumineux A comme un assemblage

Si on prend d’abord ces rayons à une distance quelconque du point lumineux et qu’ensuite on les reçoive de nouveau à une distance dix fois plus grande, ils occuperont un espace qui aura dix fois plus de largeur et dix fois plus de hauteur. La même quantité de lumière sera donc distribuée dans un espace cent fois plus grand, et chaque point sera éclairé cent fois moins, ou ce qui revient au même, la lumière sera cent fois plus faible.

Pour nous expliquer d’une manière plus générale, les rayons forment toujours une pyramide , dont le corps radieux est le sommet, et qui a pour base la surface sur laquelle on reçoit la lumière. Plus on s’éloigne du flambeau , plus les mêmes rayons se répandent dans une grande surface. Cette barre ou surface , augmente par la même raison que le carré de la distance au corps lumineux; et comme elle ne reçoit cependant, dans toute son étendue , que le même nombre de rayons , il est évident qu’elle en reçoit moins à proportion dans chaque point, et que la force ou l’intensité de la lumière est précisément plus petite en même raison que le carré de la distance au flambeau est plus grand. ( La Caille , traité d’ Opt. Livre i. Section i. )

Soit A ( P. I. F. 3. ) un point lumineux : les rayons AP, AR, AC, AB, se terminant aux extrémités du plan carré PRCB, forment la pyramide lumineuse, dont A sera le sommet; le plan qui reçoit les rayons, la base; et le rayon AI O, tombant au milieu de la base au point I , l’axe. Prolongeons maintenant les rayons AP , AR, AC, AB, indéfiniment; à partir du point I, centre du premier

de petits cônes formes par les rayons de lumière, s’étendant indéfiniment dans l’espace, et éclairant les molécules de l’air qu’ils rencontrent sur leur passage.

plan carré qui a été placé à une distance quelconque AI, du point lumineux A; prenons sur l’axe AO, les distances égales I, 2 , O , et faisons de nouveau passer par ces points , des plans carrés perpendiculaires à l’axe AO, dont les bases ED et HZ soient déterminées par l’écart des rayons lumineux AZ et AH. Dans cette disposition , le côté D E , passant par le point 2 , sera le double du côté B G du premier plan carré, il sera donc le côté d’un carré DE 2, quadruple en surface du premier BCRP. Ce dernier carré quoique quadruple du premier , ne recevra que la même quantité de lumière qui éclairait le premier B P RC, puisque l’angle lumineux BAC n’a point changé, et qu’il est le même pour l’expression de la lumière des deux plans BIC, et D2E. Ce dernier aura donc quatre fois moins de lumière que BIC. Si par le point O nous faisons encore passer le plan IIZGF, le côté HZ aura trois fois la longueur de BC, son carré HFGZ aura donc une surface neuf fois plus grande composée de neuf carrés comme BPRC; il aura donc aussi une intensité de lumière neuf fois moindre que celle du premier carré ; d’où l’on voit que la lumière décroît relativement à son éloignement du point lumineux en raison inverse du carré de la distance.

Les surfaces perpendiculaires aux rayons lumineux reçoivent plus de lumière que celles qui sont placées obliquement à ces rayons; ou ce qui est de même , plus une surface reçoit directement les rayons lumineux, plus elle est éclairée. Soit la surface BC, ( P. i. F. 4- ) dont cette ligne représente un des côtés, et Ca’a”B, l’espace formé par les rayons lumineux. Supposons maintenant que B G tournant sur le point D, prenne la position EU, l’espace Ca’a”B, qui était l’expression de la lumière de BC, sera réduit à lINME, quand BC aura pris la position EU; le parallélogramme éclairé

aura donc diminué. Il est évident que la somme de lumière de EH sera moindre que celle de B G. Si cette même surface avait pris la position IG, l’espace éclairé étant réduit à zéro, ce plan serait dans l’obscurité ; d’où l’on voit que plus une surface reçoit les rayons directement, plus elle est éclairée, et réciproquement que cette intensité diminue en raison de l’obscurité de cette surface à l’égard de ces mêmes rayons.

Toutes les parties d’une sui'face plane , dans telle position qu’elle prenne par rapport au point lumineux , ne peuvent être également éclairées ; car il est évident que puisque l’intensité de la lumière décroît en s’éloignant de son foyer, les rayons a’ G. et a” B. ( P. i. F. 4- ) s’éloignant davantage du corps lumineux que le rayon AD, le milieu D delà surface représentée par BG, sera plus éclairé que vers les points B et G.

La différence sera plus sensible quand B G aura pris la position Eli ; car alors les rayons qui éclaireront la portion DH seront bien plus rapprochés du corps lumineux que ceux qui frapperont de D vers E. (i)

Un corps éclairé par une lumière quelconque agit sur nos yeux de la même manière que la lumière elle-même ; mais à des degrés plus ou moins affaiblis.

La lumière a la propriété de se réfléchir ; c’est-à-dire , qu’un rayon lumineux frappant sur une surface au travers de laquelle il ne peut pénétrer , se brise au point de contact en changeant de

(i) La même démonstration a lieu pour la lumière terrestre; car si l’on suppose que A soit un flambeau , on verra par les rayons divergens AB , AD , AC , que le point D doit être le plus éclairé de la surface représentée par B C , etc.

Cette gradation et dégradation de la lumière appartient à la science du clair-obscur.

direction. Cette partie du rayon s’appelle rayon réfléchi. Nous traiterons de cette propriété de la lumière quand , après avoir parlé des ombres , nous nous occuperons de la lumière réfléchie et des reflets causés par elle.

Nous avons dit que l’absence de la lumière cause l’ombre : si un solide quelconque reçoit les rayons lumineux sur une ou plusieurs de ses surfaces, celles des autres surfaces de ce solide qui se trouveront privées de ces mêmes rayons, seront dans l’ombre; cette ombre s’appelle ombre propre des corps.

Les surfaces éclairées interceptant la quantité de rayons lumineux qui frappent sur elles , projettent sur le plan qui reçoit ceux des rayons qui s’échappent de leurs contours, une figure ombrée qu’on appelle ombre portée des corps.

Ainsi le point lumineux étant L ( P. 2. F. 5. ), et la surface Y du cube ( X ) recevant directement la lumière , ses cinq autres faces seront dans l’ombre comme en X.

Les rayons LA, LC, LD, LB de la pyramide lumineuse qui s’échappent ou qui glissent le long des lignes 12, 23, 34, 4^ , qui terminent la face Y , intercepteront sur le mur MN les rayons lumineux selon les lignes AB, BD, DC, CA, et la figure ABDC, causée par l’absence de la lumière, sera l’ombre portée de la fac<‘ Y du solide (X).

L’ombre portée doit être considérée comme étant un solide dont la forme dépend de celle des corps lumineux, de celle du solide ou de la surface éclairée, de leurs situations respectives, et aussi de la position et de la forme de la surface sur laquelle se projette cette ombre ; car on peut voir par la simple inspection de la figure (5), que la sphère O recevant la lumière du foyer L, se trouvera éclairée selon le cercle G 6 E 5 que tangentent les rayons lumineux LE et LG (i). De plus, vu la position de la lumière eu 'égard au corps sphérique et à la situation du mur perpendiculaire à l’axe Lv’, l’ombre portée HI de la sphère sera un cercle; ce qui n’aurait pas lieu, si le point lumineux n’avait pas été placé sur une ligne perpendiculaire au centre de la sphère , et si le mur avait été incliné par rapport à l’axe Lv’ du cône lumineux LIH, dont l’ombre III est ici la base : car, dans ce dernier cas, l’ombre portée eût pris une forme élliptique plus ou moins allongée, selon l’inclinaison du mur ou plan coupant.

La pyramide lumineuse LABDC aurait aussi selon la position du point lumineux , pu ne point avoir une base carrée semblable à celle du côté éclairé du cube (X); mais bien un rectangle plus ou moins allongé , ou un losange , selon sa position eu égard à la lumière et à l’inclinaison du plan coupant (2).

(1) Dans ce cas, le solide formé par l’ombre est un cône dont le point L est le sommet et le cercle en perspective de l’ombie jjortée III, la base.

Quant à l’ombre portée par la surface carrée du cube, il est aisé de voir d’après l’ombre Z , que c’est une pyramide quadrangulalre tronquée par la face Y et dont L serait le sommet.

Si le corps lumineux était égal à ces deux corps, le solide donné par l’ombre serait un prisme et un cylindre pour l’ombre de la sphère.

(2) L’ombre portée est d’autant plus sombre , que l’intensité de la lumière qui éclaire

La projection ombrée est plus grande que la portion éclairée du corps opaque qui la cause, quand le corps lumineux est plus petit que le corps opaque , ce qui arrive quand la lumière est celle d’un flambeau.

L’ombre est égale à la partie éclairée du corps opaque, quand le corps lumineux est égal en volume au corps opaque.

Enfin l’ombre portée peut être plus petite que la partie éclairée du corps opaque, quand le corps lumineux est d’un volume plus grand que le corps qu’il éclaire.

Les exemples de la figure ( 5. P. 2. ), sont suffisans pour prouver que l’ombre est plus grande que la partie éclairée du solide, quand le corps lumineux est plus petit; car la face éclairée Y du cube (X), ainsi que le segment EG de la sphère (O), sont bien plus petits que leurs ombres portées ABDC et HI, à cause que le corps lumineux L est beaucoup plus petit que ces deux solides.

Il faut remarquer pour ce premier cas, que les ombres portées augmentent de dimension à mesure que le point lumineux L se rapproche du solide éclairé ; car si le point L prenait la position 1’ , l’angle lumineux h’I’i’ ayant augmenté, la base du cône lumineux

le corps qui la projette est plus grande. Cet effet est causé par le contraste ou opposition subite de l’ombre à la lumière.

On peut remarquer à ce sujet, que les objets éclairés par la lumière d’un flambeau projettent des ombres beaucoup plus noires que celles qui résultent de l’interception des rayons solaires, par la raison que la lumière du flambeau n’étant point assez intense pour éclairer vivement l’air qui l’environne , l’ombre du corps placé près d’elle ne reçoit presque point de clarté réfléchie et doit nécessairement paraître plus sombre que pendant le jour où le contraire arrive; quoique cependant l’éclat des deux lumières ne puisse être comparé.

li’I’i’ an lieu d’étre HI, serait h’i’. La diminution de l’omLre a lieu dans le sens inverse.

Soit maintenant A, (P. 2. F. 6. ) un corps lumineux d’un diamètre N M , aussi grand que la surface représentée par G F. Il est évident que parmi tous les rayons lancés par le corps lumineux A, il n’y en aura qu’une partie interceptée par la surface GF, comme M4, N 5, CX et enfin tous ceux situés sur l’hémisphère qui regarde la surface GF. Ces rayons tangenteront les bornes de la surface FG, et détermineront une ombre portée représentée par 45, de même grandeur que la partie éclairée FXG de la surface F G ( i ).

Si le même corps lumineux A , éclaire une surface H T plus petite que son diamètre IMN , le même raisonnement prouvera que Fombre portée RL doit être plus petite que la surface éclairée TOH.

Dans ce dernier cas, l’ombre diminue selon que le corps lumineux se rapproche de la surface qui la projette et augmente réciproquement à mesure qu’il s’en éloigne ; car si le corps A prenait la position m’n’, l’ombre portée de HT ne serait plus représentée que par k’ F , et au contraire cette ombre aura augmenté, si le corps lumineux A, a été reculé jusqu’en IMN.

(ï) Si la surface F G avait été un corps spliérique, dans cette liypotlicse l’ombre et la lumière lui eussent été réparties également, selon un grand cei’cle perpendiculaire à l’axe du cylindre formé par les rayons lumineux.

DE ILâ

IPI

NOMlll. (.)

Dans tel des trois cas dont nous venons de parler où puisse se trouver un corps opaque relativement à la lumière, les lignes courbes ou droites qui servent de bornes à la figure de son ombre portée, ne peuvent être purement déterminées sur le plan qui la reçoit.

Soit par exemple le corps lumineux A, éclairant la surface FG, ( P. 2. F. 6. ) de même grandeur que lui, et 4 5, l’expression de l’ombre portée. Nous avons vu que cette ombre portée était projetée par ceux des rayons lumineux que FG interceptait; mais comme chaque point lumineux de l’hémisphère MCN , ne lance pas un seul rayon , et qu’au contraire il en émane de chacun de ces points une infinité qui vont en divergeant dans tous les sens, comme DI, B8, et qui peuvent, de même que ceux-ci, glisser sur les points F et G , ou sur les lignes qui bornent la surface représentée par FG; ce qui semblerait faire penser d’abord que l’ombre portée de GF devrait s’étendre de I eu 8; mais si l’on observe qu’un grand nombre de ces rayons, tels que DG, B3, etc., n’étant point interceptés, viennent éclairer les espaces

(i) Dans la perspective des ombres dont nous allons traiter, on n’a point égard à la pénombre, et l’on suppose la projection des ombres déterminée par des lignes trancliées et sans dégradation.

5 8 et 4 1 ? on s’assurera bientôt que l’ombre portée ne peut être que 4 5 , parce qu’aucun des rayons lancés par le corps lumineux ne peut pénétrer dans l’espace 4 5. Le nombre des rayons lumineux qui tombent sur les espaces 5 8 et 1 4 , allant toujours en diminuant à mesure qu’ils se rapprochent des points 5 et 4 ? terme de l’ombre portée, il en résulte que les environs de cette ombre en éprouvent une légère diminution , qu’on nomme pénombre.

La pénombre recevant un plus grand nombre de rayons, en s’éloignant de l’ombre portée , doit toujours augmenter d’intensité en s’éloignant d’elle; d’où l’on voit que cette ombre adoucie ou pénombre , dans tous les cas est cause que les contours des ombres portées ne peuvent se détacher tout-à-fait nettement du fond qui les reçoit , et que les contours de ces ombres doivent augmenter toujours d’intensité ou de clarté, en s’éloignant des premières limites de la pénombre.

On peut regarder en général, comme inutile de déterminer d’une manière géométrique les contours des pénombres, ce qui serait d’ailleurs fort long et fort embarrassant ; mais quelques observations assez simples peuvent fournir des données sur la mesure de la largeur qu’il convient de leur attribuer.

T.a distance entre le corps lumineux A et la surface opaque FG, restant la même, si l’on rapproche parallèlement à lui-même le plan de projection I 8 de la surface FG, la ligne 18 c[ui indique la plus grande étendue de la pénombre , aura diminué. Si le plan de projection s’éloigne de la surface opaque , la pénombre augmente ; elle est donc proportionnelle à la distance du corps interposé au plan qui reçoit l’ombre.

Si nous supposons que le corps lumineux soit le soleil, la distance de cet astre à la terre étant sensiblement partout la même , l’angle

dont il s’agit sera toujours égal , quel que soit le corps opaque

que l’on considère comme éclairé par le soleil. Cet angle mesure

ce qu’on appelle le diamètre apparent du soleil ; il est d’environ un demi-degré , et de cette donnée on peut conclure que la largeur

de la pénombre sera environ la 1 1 5.® partie de la distance comprise

entre le point qui porte l’ombre et celui où elle est reçue sur

le plan que nous supposons à peu près perpendiculaire à la direction du rayon de lumière. Il est facile de voir que s’il s’éloignait de cette position , la largeur de la pénombre augmenterait dans le rapport inverse du sinus de l’angle que le plan ferait avec la direction de la lumière ; on trouverait par exemple , en supposant cet

angle de 45 degrés , que la largeur de la pénombre devrait être la 8i.® partie de la distance entre le point qui porte l’ombre et celui où cette ombre est reçue.

Il est donc essentiel, dans les dessins, de donner une plus

grande largeur à la pénombre , à mesure que l’ombre portée s’éloigne de l’objet qui la produit, et les résultats que nous venons d’indiquer, suffisent pour faire connaître l’étendue à donner à chaque partie de la pénombre, avec plus de précision même que l’exécution des dessins ne le comporte ordinairement, f Monge , théorie des ombres, page i56 ).

ïîi

IPILâNS.

Quoique nous supposions la connaissance de la perspective linéaire absolument nécessaire à l’étude des ombres et que la théorie des plans soit indispensable à la première , nous croyons cependant devoir en rappeler ici, pour l’intelligence de ce traité, les principes les plus essentiels.

On appelle surface, l’étendue en longueur et en largeur. Une surface est dite plane, quand on peut appliquer sur elle une ligne droite dans tous les sens , et dans ce cas on la nomme plan. Elle est courbe quand cette propriété ne peut avoir lieu.

Si l’on suppose une ligne droite parcourant une direction quelconque en suivant de l’une de ses extrémités une autre ligne droite , et que dans ce mouvement direct , chacun des points de cette droite ait laissé sa trace , la réunion de toutes ces traces aura formé un plan , dont la ligne mise en mouvement sera la génératrice.

Si la droite proposée , au lieu de suivre une autre ligne droite , avait fait une révolution autour d’une courbe circulaire, par exemple, la trace supposée de ces points aurait décrit, dans cette révolution entière, la surface courbe d’un cylindre (i).

(i) On appelle les surfaces engendrées ainsi, surfaces de révolution.

On peut toujours faire passer un plan par deux lignes qui se croisent ou se rencontrent.

La rencontre de deux plans est une ligne droite.

On peut faire passer par une ligne droite une infinité de plans.

Une ligne droite perpendiculaire à un plan , l’est aussi à toutes les lignes qui étant tracées dans ce même plan , passent par son pied.

Un plan est perpendiculaire à un autre , quand il ne penche ni d’un côté ni de l’autre , à l’égard de ce dernier.

Un plan est perpendiculaire à un autre, quand il passe par une droite perpendiculaire à cet autre.

L’angle plan est formé par fouverture de deux plans qui se rencontrent; leur intersection est une ligne droite.

Un angle plan a pour mesure celle de l’angle rectiligne formé par deux droites menées perpendiculairement à la commune section des deux plans , et passant par le même point.

Deux plans qui se coupent, donnent deux angles plans qui près ensemble valent i8o degrés.

Les angles plans formés par autant de plans qu’on voudra en imaginer, et qui passent tous par une même ligne droite, valent ensemble 36o degrés.

Deux plans qui se coupent, font les angles plans opposés aux sommets égaux ; et en général les propriétés des angles plans sont les mêmes que celles des angles rectilignes.

Deux plans sont parallèles, quand ils ne peuvent se rencontrer et que chacun des points qui composent la surface de l’un , est également éloigné de son correspondant pris dans la surface de l’autre.

PIS IPPANS

En perspective, si l’on imagine qu’une ligne quelconque reçoive sur tous les points qui la composent, une série de rayons lumineux, ces rayons étant interceptés par elle, laisseront nécessairement dans l’espace une portion non éclairée qu’on peut considérer comme un plan, que nous appellerons plan de l’ombre (i).

Si la droite CD ( P. 3. F. i. ) recevant les rayons parallèles 12 , 34, 56, etc., empêche ces rayons d’arriver jusques au sol en interceptant leur passage, les rayons ZG et XD échapperont par les extrémités C et D, et ces rayons CH et DG, en arrivant sur le parquet, aux points II et G, détermineront l’espace privé de la lumière CDGII, que l’on peut considérer comme un plan dont la rencontre en IIG avec le sol, donnera la ligne d’ombre HG, pour la projection ombrée de CD.

On conçoit d’après cet exemple , que si une ligne donne sa projection ou sa figure en ombre, un plan quelconque, comme CDFE,

(i) Les images ombrées des corps, reçues sur des surfaces quelconques, et qui sont données par des rayons lumineux glissant sur les contours de ces corps, s’appellent projections.

Les projections sont horizontales ou verticales, quand les plans qui les reçoivent et qu’on nomme plans de projection , sont situés horizontalement ou verticalement.

donnera aussi la sienne qui sera dans cet exemple, Tespace compris entre les lignes qui bornent sa surface; car l’ombre EU est la figure ombrée de CE; FG, celle de DF; HG, celle de CD, et comme EF touche le sol, la projection de cette droite sera nulle. L’espace privé de lumière EFGII sera donc la projection ou l’image, ombrée du plan CDFE.

Par la même raison , un solide quelconque pourra donc projeter son image ombrée, puisqu’il est composé de lignes et de surfaces.

Les figures ombrées des corps sont, de même qu’eux, sujettes aux lois de la perspective.

La figure ombrée d’une ligne , d’une surface , ou d’un solide , peut varier à l’infini, suivant la position du corps lumineux qui l’éclaire, la forme et la direction des surfaces qui reçoivent l’image.

Deux ombres qui se rencontrent se confondent dans les parties où s’opère leur réunion.

La rencontre de la projection ombrée d’une ligne sur les surfaces qui composent un solide, déterminent la section du plan de l’ombre avec les divers plans de ce solide.

Quand une ligne touche une surface quelconque en un point, son ombre doit prendre naissance au point de contact.

Par la même raison , quand une surface plane en touche une autre selon une des lignes qui bornent son contour, l’ombre de cette surface doit prendre naissance aux extrémités de la ligne qui est en contact.

Un rayon lumineux passant par un point, a toujours pour plan la ligne d’ombre (i) qui, rencontrant ce rayon, passe par le plan du point supérieur.

(i) Cette ligne d’ombre doit toujours, quand le plan sur lequel elle est tracée est

Comme oa peut toujours faire passer un plan par deux lignes qui se rencontrent, le plan que l’on suppose passer par un rayon lumineux et sa ligne d’ombre, est appelé plan d’ombre. Ce plan peut être prolongé et augmenté, sans avoir égard aux obstacles, autant qu’il est nécessaire à la solution de la question qu’on s’est proposée.

REMARQUE

Dans la perspective des ombres, tout se borne à savoir déterminer l’intersection du plan ombré passant par une ligne , sur le plan ou sur les diverses surfaces qu’il peut rencontrer sur son passage ; et comme il ne faut que deux points pour donner la direction d’une ligne ombrée , toutes les fois qu’on pourra obtenir sur une surface de projection , deux points appartenant au plan d’ombre , on aura la direction de l’ombre sur cette surface.

Quand l’intersection du plan d’ombre devra être déterminée sur une ou plusieurs surfaces courbes, l’opération deviendra nécessairement plus longue, parce qu’alors les sections devant être des courbes, il sera indispensable de trouver un plus grand nombre de points, afin d’obtenir avec exactitude la ligne d’intersection.

horizontal, être dirigée au plan ou au pied du corps lumineux. Ce point ou plan des rayons sera constamment indiqué par la lettre P située sur la ligne horizontale.