LIVRE PREMIER
Tous les objets dont nous sommes environnés sont nommés indifféremment par les géomètres corps ou solides.
Les corps sont étendus en tous sens, et ont toujours trois dimensions, longueur, largeur, et épaisseur on profondeur. Quoique ces trois dimensions soient toujours réunies dans tout ce qui est corps , nous pouvons néanmoins les séparer par la pensée : ainsi, lorsque nous cousidérons la distance d'une ville à une autre, nous ne faisons attention qu'à la longueur du chemin , et nullement à sa largeur ni à uon épaisseur. De même , si nous considérons l'étendue d'une pièce d'eau , nous ne pensons qu a sa longueur et à sa largeur ; et si nous ne voulons connaître que sa profondeur, nous négligeons ses deux autres dimensions. Enfin, si nous voulons apprécier toutes les dimensions d'une pierre ou d'une pièce de bois, nous faisons attention à sa longueur, à sa largeur
et à son épaisseur. La science qui a pour objet les propriétés de ces trois sortes d'étendues s'appelle Géométrie.
Si nous examinons avec attention un corps ou solide quelconque, par exemple le corps A (pl. 1, lig. i ), nous verrons d'abord qu'il est terminé de toutes parts; ses limites sont nommées surfaces y faces ou superficies. Examinant de même chacune de ces surfaces , nous verrons qu'elles sont aussi terminées de tous côtés ; ces nouvelles limites se nomment lignes. Telles sont les lignes ab , hé, ad, etc. En lin , si nous examinons chacune de ces lignes, nous verrous qu'elles ont aussi leurs limites : par exemple , la ligne ab est terminée en a et eu A, et ainsi des autres. Ces dernières limites sont nommées points , et doivent être considérées comme étant le dernier résultat de l'analyse d'un corps.
Nous voyons donc que la ligure d'un corps est composée de surfaces , de lignes et de points, que nous pouvons regarder comme étant les élémens des trois dimensions de ce corps. Essayons si avec ces élémens nous pourrons recomposer ce même corps. Supposons maintenant que ce corps s'évanouisse à l'exception du seul point a, puis concevons ce point se mouvant directement vers b, et laissant après lui la trace de son mouvement; nous verrons qu'il aura engendré la ligne ab : concevons de même cette ligne abse portant directement par un mouvement uniforme verse*/, et laissant aussi les traces de sa marche sur toute sa longueur; il est évident que cette ligne aura décrit ou engendré la surface abcd ou ac , car le point a aura décrit la ligne ad, le point b aura décrit celle bc, et la ligne ab se trouvera alors en de : le résultat sera donc la surface ac terminée par quatre lignes. Enlin , concevons cette surface ac s'élevaut verticalement ou de bas en haut et aussi par un mouvement uniforme ; nous verrons que la ligne ab aura décrit la surface ab' , la ligne ad aura décrit la surface ad' ; la ligne bc y la surface bc, et la ligne crf, la surface cd ; enfin la surface ac se trouvera en a'c , surface supérieure terminant le
corps. Par conséquent le corps A sera donc engendré par le mouvement du seul point a\ d'où il suit qu'avec un point nous pouvons déterminer les formes ou ligures des corps. Nous allons nous occuper successivement des principales propriétés des points , des lignes, des surfaces, et enfin des solides.
Une ligne comme ab, formée par le mouvement direct d'un point a vers un autre point h , se nomme ligne droite. 11 est évident que si le point «, pour parvenir en b, se fût détourné de la direction ab, il aurait décrit une ligne plus- longue que la droite ab; d'où il suit qu'une ligne droite est la plus courte distance d'un point à un autre.
Soit la surface ab (lig. a), sur laquelle nous pouvons appliquer exactement et dans tous les sens une, ligne droite ou une règle bien dressée , comme en ab , cd, ef, etc. ; si cette règle touche cette surface dans toute sa longueur, on nomme alors cette dernière surface surface plane, ou simplement plan. Donc une surface plane est celle sur laquelle on peut appliquer, exactement et en tout sens, une règle ou une ligne droite.
Toutes les lignes dont nous aurons à nous occuper d'abord seront supposées tracées sur une surface plane, ou dans un môme plan.
Si nous essayons d'appliquer la même règle dont nous venons de parler sur la surface d uu corps Z nommé sphère (ou vulgairement boule ) , nous verrons d'aborjd que cette règle ne touchera la surface de ce corps qu'en un seul point a. Cette seconde surface, si différente de la première, est nommée surface courbe. Il y a donc plusieurs sortes de surfaces, des surfaces planes et des surfaces courbes. Il est facile de voir que les surfaces planes ne peuvent être que d'une seule espèce , mais qu'il peut y en avoir une infinité de courbes , qu'on distingue en surfaces courbes régulières et irrégulières : par exemple, la surface du corps Y ( n g- 4)> que la règle touche en plusieurs points a, b, c, etc., appartient à ces dernières, Nous voyons encore que ces surfaces nous
paraissent aussi terminées par des lignes a,b,c,d,e, etc. , qui sont très différentes de la ligne droite, et qu'on nomme lignes courbes. î)e même que les surfaces, ces lignes sont distinguées en lignes courbes régulières et en irrégulières. Ces dernières peuvent varier indéfiniment.
Nous allons d'abord nous occuper des lignes droites.
Des Lignes droites, de leurs positions et de leurs combinaisons:
Soit un point donné dans l'espace , tel que a (pl. I, fig. 5) ; nous concevrons facilement que ce point peut se mouvoir dans toutes sortes de directions, et peut par conséquent décrire une inunité de lignes droites. Si nous voulions désigner une deces droites par le seul point a, nous ne le pourrions pas, puisqu'il appartient à toutes ces lignes ; un seul point ne suffit donc pas pour déterminer la direction d'une droite : mais si nous ajoutons un second point b à une de ces lignes , elles ne seront plus confondues; nous verrons d'abord que la direction ab sera déterminée , et que nous ne pourrons mener par ces deux points que la seule ligna ab- y d'où il suit que deux points déterminent la direction d'une ligne droite. # f
La position d'une droite est une manière d'être de cette ligne par rapport à une autre ligna droite; car une droite considérée seule ne peut avoir de position ; elle n'a qu'une direction déterminée par les deux points de ses extrémités. Deux droites ne peuvent avoir que deux positions l'une à l'égard de l'autre ; elles peuvent se rencontrer ou bien ne pas se rencontrer. Si elles se rencontrent , on les nomme lignes concourantes ou convergentes; et lorsqu'elles ne peuvent se rencontrer , on les nomme lignes parallèles. Ainsi les droites ab, cb (u'g. 6), qui concourent vers un même point b, sont convergentes; mais si nous les considérons dune manière inverse, c'est-à-dire en partant du point b, où elles
se touchent, et en les suivant dans leur çcartement ba,bc y nous les nommerons lignes divergentes. En un mot , des lignes convergentes tendent à se rapprocher , et des lignes divergentes vont toujours en s'écartant les unes des autres. L'écartement de ces lignes ou l'ouverture abc qu'elles laissent entre elles se nomme angle : donc un angle est l'ouverture de deux lignes qui se coupent ou qui se rencontrent.
. Les droites ab, de, qui sont à égale distance l'une de l'autre sur toute leur longueur , et qui ne peuvent jamais se rencontrer , aussi loin qu'on les suppose prolongées, sont dites parallèles, et elles le^sont réciproquement; car ab est parallèle à de, comme de est parallèle à ab.
Une droite n'en peut rencontrer une autre que de deux manières différentes; car l'une, par exemple, ab ( fig. 7 ) ne penchera pas plusversc que vers rfsur ladroite cd, tandis qu'une autre penchera plus vers c ou vers d, comme eb ou fb. Dans la première de ces positions, on dit qu'elle est perpendiculaire; et dans la seconde , on dit qu'elle est inclinée ou oblique à cette même ligne : ainsi ab est perpendiculaire sur cd , et eb ou fb est incliné ou oblique sur cd. D'où il suit qu'une ligne droite est perpendiculaire sur une autre îorsquelle ne penche pas plus $un côté que de Vautre sur cette même droite, et réciproquement.
Concevons la droite ah couchée originairement sur bd, puis s élevant graduellement par une de ses extrémités, et en tournant sur le point b comme autour d'une charnière , de manière à passer successivement par/, a , e, etc. , jusqu'à ce qu'elle soit arrivée en c; nous verrons d'abord que l'ouverture dbf est plus petite que celle dba , et que l'ouverture dbe est plus grande que l'ouverture dba, etc. ; par conséquent les différons angles que ces droites forment par leurs ouvertures sont plus ou moins grands; et, afin de pouvoir les reconnaître, on leur a donné différens noms : ainsi la perpendiculaire abetU droite bd, est nommé angle droit -, l'angle
Di
abd, formé par dbf ', plus petit que l'angle droit , se nomme angle aigu; enGn l'angle dbe , plus grand que l'angle droit, est appelé angle obtus.
On distingue encore dans un angle quelconque un sommet et deux cotés. Ainsi b ( tig. 6) est le sommet de l'angle abc ou cba , et les droites ab , cb en sont les cotés. Lorsqu'un angle est seul comme celui-ci , on peut le désigner simplement par son sommet ; ainsi l'on diral'angle Mais lorsqu'uu sommet est commun à plusieurs augles , comme b ( lig. 7 ) , on désigne ceux-ci par trois notes dont celle du sommet occupera le milieu , et l'on dira l'angle cbf ou fbc , l'angle abc ou cba , etc. #
I/auglefM/plus l'angle/Aa égale l'angledroit</£«; l'un de cesdenx angles est donc ce qu'il faut à l'autre pour compléter un angle droit ; c est pour cela qu'on les a nommes complément l'un de l'autre : ainsi l'angle dbf est le complément de l'angle fba , et réciproquement. On appelle encore complément d'un angle ce qu'il en faut retrancher pour qu'il vaille un angle droit; ainsi pour que l'angle dbe soit égal à l'angle droit dba , il faut en retrancher l'angle abe. Ce dernier est donc complément de l'angle <ffox; donc le complément d'un angle est ce qu'il faut ajouter ou retrancher h cet angle pour qu'il vaille un angle droit.
L'angle dbf plus l'angta/fc, égale les deux angles droitsflfôtf , abc; chacun des deux premiers angles est donc ce qu'il faut à l'autre pour valoir deux angles droite : c'est pour celte raison qu'on les a nommés supplémens l'un de l'autre. Ainsi , l'angle dbf est le supplément de l'angle fbc, et récipruquemeut. Donc le supplément d'un angle est ce qù il faut ajouter a c même angle pour qu'il vaille deux angles divits.
Si une droite fb rencontre une droite cd , ces deux ligne* forment entre elles deux augles dbf, fbc, qui auront fb pour côté commun , et la droite cd pour les deux autres cote*. Ces angles sont nommes ongles de suiie ; donc les angles de suite sont
deux angles qui ont un coté commun , et dont les deux autres cotés sont sur une seule et même ligne droite.
Concevons la droite couchée d'abord sur cd , et s'élevant ensuite par son extrémité / en tournant sur le point b y il est évident que lorsque son extrémité / se sera éloignée de dde la quantité df, l'autre extrémité g se sera éloignée de c de la même quantité ; et lorsque cette droite sera en ah ou perpendiculaire sur cd, les deux parties ab, bh de cette droite seront également perpendiculaires sur cd; de même que fb y gb seront aussi également inclinés sur la même droites/: par conséquent l'angle dùfégple l'angle cbg et l'angle dbg égale l'angle fbc. 11 en sera de même des quatre angles droits formés par les deux perpendiculaires ah , cd. Observons que ces quatre angles droits sont opposés l'un à l'autre par leur sommet b , ainsi que les quatre autres angles formés par l'inclinaison des deux droites cd^ fg; ce qui fait qu'on les nomme 0 angles opposés au sommet. Donc les angles opposés au sommet sont égaux.
La somme des quatre angles cbe , eba , abf, fbd égale les deux angles droits eba , abd. Nous voyons facilement qu'il en serait de même si ces angles étaient en plus grand nombre. Donc la somme de tous' les angles faits d'un même œté sur une droite, et d'un mène point comme sommet, équivaut h deux angles droits. •
Il est évident qu'il en serait de même de la somme de tous les angles que nous pourrions faire du même point b au-dessous de cd', d'où il résulte que la sotmne de tous les angles qu'on peut former autour d'un point, équivaudra à quatre angles droits.
D'après ce que nous avons dit des angles opposés au sommet , nous devons remarquer que lorsqu'une droite est perpendiculaire ou iuclinee sur une autre droite , ces deux droites sont réciproquement perpendiculaires ou inclinées l'une à l'autre, Evitons encore de confondre la perpendiculaire avec la verticale , ce qui arrive assez fréquemment. On dit qu'une droite est verticale
lorsqu'elle est j>erpendiculaire à l'horizon ou bien à une droite qui serait parallèle à l'horizon , et qu'on appelle pour cette raison ligne horizontale. Ainsi , une droite formée par un fil au bout duquel est suspendu un plomb, est une verticale (les artisans la nomment ligne d'aplomb ). Ainsi , une ligne verticale est toujours perpendiculaire , au lieu qu'une perpendiculaire n'est pas toujours verticale , puisque la droite avec laquelle elle ferait un angle droit n'est pas toujours parallèle à l'horizon ; ce qu'il est important de bien distinguer. Par exemple : ab est une ligne verticale parce qu'elle est perpendiculaire sur cd qui est horizontale ; mais eb est seulement perpendiculaire sur gf ou bf, parce que ces deux dernières droites ne sont pas horizontales.
Des Lignes parallèles.
Nous avons déjà vu que deux droites sont parallèles lorsqu'elles, sont à égale distance l'une de l'autre dans toute leur longueur ; telles sont les droites ab, cv/(ug. 8, pl. I). Si ces deux parallèles sont coupées par une troisième droite ef nommée sécante, il est évident que cette droite sera inclinée sur ab de la même manière qu'elle le sera sur cd; par conséquent , les angles qu'elle formera avec ab seront égaux aux angles correspondons qu'elle formera avec cd. Ces angles seront au nombre de huit , quatre autour du point g, et quatre autour du point h. Les angles âge, bge, chf, dhf, qui sont en dehors des parallèles , sont nommés angles externes ; et les quatre angles agf, bgf, che, dhe , qui sont en dedans de ces mêmes parallèles, sont appelées angles internes. Si nous comj>arons l'angle âge, qui est à gauche de la sécante ef, avec l'angle dhf, qui est à droite de la même sécante , nous verrons que ces deux angles sont égaux ; car eg est inclinée sur ab de la même quantité que fh l'est sur cd; et comme ces angles sont placés alternativement l'un à droite et l'autre à gauche de la sécante, on les a
nommés alternes l'un à l'égard de l'antre : et si ces angles sont en dehors des parallèles, on les nomme alternes externes ; si au contraire ces angles sont compris entre les parallèles, comme agf, ■ dhe , on les nomme alternes internes. Il y a donc quatre angles alternes externes, et quatre angles alternes internes. L angle âge, ainsi crue nous l'avons vu , égale l'angle dhf, et l'angle egb égale l'angle fhc\ et comme il en est de même pour les quatre angles alternes internes, il s'ensuit que les angles alternes externes et internes sont égaux.
Les angles qui , comme fhd, fgb , sont placés d'un môme côté de la sécante, sont évidemment égaux , et sont nommés angles correspondons. Donc , si deux angles tournés d un même coté ont leurs cotés parallèles chacun à chacun , ces angles seront égaux.
Des Surfaces planes en général.
Une surface plane terminée par des lignes droites que l'on appelle cotés se nomme en général figure rectiligne ou polygone. Les figures de ce genre se distinguent les unes des autres par le nombre de leurs côtés ou de leurs angles, ainsi que par les re- • . lations que ces côtés et ces angles peuvent avoir entre eux. Lorsqu'un polygone a trois côtés et par conséquent trois angles, on le nomme triangle; lorsqu'il en a quatre, quadrilatère ; cinq, pentagone; six, exagone; sept, eptagone; huit, octogone; neuf, ennéagone ; dix, décagone; onze, endécagone ; douze , dodécagone. Passé ce nombre , on désigne les figures par le nom numérique français de leurs côtés.
Des Triangles.
. ' .'■ , Le triangle est la plus simple de toutes les surfaces 5 car il ne
faut pas moins de trois lignes pour en terminer une de toutes
parts. Cette .surface aura donc trois cotés , et par conséquent trois angles , ce qui lui a fait donner fe nom de triangle. Cette figure, ^i «impie en apparence , est une des plus fécondes en propriétés.
On distingue dans un triangle quelconque ABC(fig.o,), i° la base AB, qui est un des côtés sur lequel on conçoit ce triangle appuyé ( tous les côtés peuvent également servir de base); i° le •sommet C , qui est l'angle opposé à la base ; 3° la hauteur CD , qui est la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base, prolongée s'il est nécessafre, ainsi que nous le verrons bientôt. '
Considérons d'abord un triaugle sous le rapport de ses côtés.
Lorsqu'un triangle ABC a ses trois côtés égaux, on le nomme équilatéral; s'il n'a que deux de ses côtés égaux comme abc , on l'appelle isocèle; enfin , s'il a ses trois côtés inégaux comme abc ,
11 se nomme scalene.
Si nous considérons le triangle par rapport à ses angles , il peut avoir , i° ses trois angles aigus comme ABC ; alors on le nomme acutangle ; 2° un angle droit comme c dans le triangle abc ; on le nomme triangle rectangle ,* 3° enfin , un angle obtus tel que c dans le triangle abc , et on l'appelle triangle obtus angle.
Si par lesommetCd'un triangle quelconque (fig. io, pl. I) , nous menons une droite de parallèle au côté opposé AB , nous aurons les angles de suite dCA , ACB , BCe , qui vaudront deux angles droits ainsi que nous l'avons déjà vu. Nous pouvons donc considérer AC comme étant une sécante comprise entre deux parallèles AB,4s/e; nousaurons donc l'angle dCA égalant son alterne interne CAB. Considérons de la même manière le côté BC , c'est-à-dire comme étant une autre sécante , nous aurons l'angle eCB égalant l'angle alterne interne B j ces deux angles A, B, auront donc pour supplément l'angle ACB : or les trois angles faits sur la droite de autour du point C valent deux angles droits; et comme ces trois angles sont égaux aux trois angles du triangle , leur somme sera
donc la même. Cette propriété est commune à tous les triangles. Donc la somme des trois angles a" un triangle quelconque vaut deux angles droits.
Si, dans un triangle abc, les angles a, b, sont égaux- aux angles correspondans A, B, d'un autre triangle, le troisième angle c sera égal à l'angle C , puisque la somme des trois angles dans ces deux triangles vaudra également pour chacun deux angles droits; donc, si deux angles d'un triangle sont égaux, chacun a chacun , aux deux angles- d un autre triangle, le troisième angle de tun sera égal au troisième angle de Vautre; donc, si l'on connaît deflx angles d'un triangle quelconque , on con n a îtra nécessairement le troisième, puisque le troisième sera le supplément des deux autres.
Dans tous les triangles que nous venons devoir, nous pouvons remarquer que le plus grand côté est toujours opposé au plus- * grand angle ; et, comme dans un triangle équilatéral les trois côte» sont égaux , il s'ensuit que les trois angles qui leur sont opposessont aussi égaux. Donc, dans un triangle quelconque, le plus grand coté est toujours opposé au plus grand angle, le moyen côté au moyen angle, le plus petit coté au plus petit angle, et réciproquement.
Si nous prolongeons un des côtés d'un triangle quelconque, par exemple le côté BC, vers /, l'angle /CA , formé par le prolongement Çf et par le côté CA, se nomme angle extérieur: il est évident que l'angle fCd égale l'angle B, et l'angle </CA égale rangle A; donc l'angle extérieur /ÇA égale les deux angles A , B; donc Vangle extérieur et un triangle quelconque, vaut la somme des deux angles intérieurs qui liti sont opposés.
Puisque la somme des trois angles cfnn triangle quelconque vauteelle dedeux angles droits, un triangle nepent avoir plus d'un angle droit , et les deux autres ne vaudront ensemble qu'un angle droit; pa» conséquent chacun d'eux sera un augle aigu. Dans un
n NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.
triangle rectangle comme est celui-ci dont l'angle B est droit, le plus grand côté AC se nomme hypothénuse* Si un triangle ne peut avoir qu'un anglo droit, à plus forte raison il ne pourra avoir qu'un angle obtus , et les deux autres vaudront ensemble moins qu'un angle droit.
De l'Egalité des triangles.
i°. Si les trois côtés d'un triangle ABC (fig. 10) sont égaux aux trois côtés d'un autre triangle abc , ces deux triangles seront parfaitement égaux, puisque de l'égalité des côtés résulte nécessairement légalité des angles; donc deux triangles sont parfaitement égaux, lorsqu'ils ont leurs cotés égaux.
i°. Si l'angle A égale l'angle a, si le côté AB égale le côté ab , et si lecôté AC égale le côté ac, le troisième côté BC égalera nécessairement le côté bc\ ces deux triangles seront donc égaux. Donc deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont un angle égal compris entre cotés égaux.
3°. Si l'angle A égale l'angle a, l'angle B égale l'angle b, et que le côté AB égale le côté ab , le côté AC sera incliné sur AB , autant que le côté ac le sera sur ab ; semblablement, l'inclinaison de CB sur AB sera la môme que celle de cb sur ab ; ces deux triangles seront donc égaux : donc deux triangles sont égaux, lorsqu'ils ont deux angles égaux sur des cotés égaux.
De ces trois caractères d'égalité , on déduit trois manières de construire un triangle égal à un autre triangle donné : i° en faisant les trois côtés de l'un égaux aux trois côtés de l'autre ; 2° en donnant au second un angle égal compris entre côtés égaux ; 3° en faisant deux angles égaux sur des côtés égaux. Ces trois moyens sont également bons; mais dans la pratique on doit préférer le premier , comme le moins susceptible d'erreur , ce que nous verrons par la suite. 9
Des Polygones d'un plus grand nombre de côtés.
Lorsque deux côtés ab, bc d'un polygone (fig. 1 1 ) forment un angle dont le sommet b est tourné vers l'intérieur de la ligure, cet angle se nomme angle rentrant, et ceux dont le sommet est en dehors, comme adc t se nomment angles saillans.
Si dans un polygone quelconque ou mène une droite bd d'un angle à l'autre, cette ligne se nomme diagonale. 11 est évident, r que le triangle ne peut avoir de diagonale; 2° que les diagonales menées d'un angle à tous les autres angles , divisent le polygone- en triangles ; 3* que le premier triangle abd, et le dernier cbd, emploient chacun deux côtés du polygone, ce qui fait que le nombre des triangles égalera nécessairement celui des côtés moins deux, ce qui a lieu dans tous les polygones divisés ainsi. Donc , si, de l'un des angles d'un polygone, on mène des droites à tous les autres angles, le polygone se trouvera divisé en autant de triangles moins deux que le polygone a de côtés. .
Nous pouvons encore diviser un polygone en triangles , en menant d'un point z pris à volonté dans l'intérieur de la ligure, à chacun des autres angles, des droites z", z 6 , z°, z d , etc. Nous voyons que dans ce cas chaque triangle n'emploie qu'un des côtés de la ligure , par conséquent il y aura autant de triangles que la figure aura de côtés. Donc, si d'un point pris à volonté dans t intérieur d'un polygone, on mène à chacun des angles autant de droites, le polygone se trouvera divisé en autant de triangles que lui-même aura de côtés.
Un polygone qui a tous ses côtés égaux, est dit équilatéral, et s'il a tous ses angles égaux , il se nomme équiangle, tandis qu'un polygone qui a tous ses côtés et ses angles inégaux , est nommé irrégulier. Un polygone dont les côtés opposés sont de deux en deux égaux, s'appelle symétrique : enfin un polygone
dont tous les angles et tous les côtés sont égaux, est un polygone régulier.
Lorsqu'un quadrilatère a ses côtés et ses angles égaux , on le nomme carré (tig. 12) ; lorsqu'il a ses côtes inégaux et ses quatre angles droits , on l'appelle rectangle (fig. i3) ; lorsqu'il a ses côtés égaux et qu'il n'a pas d'angles droits , on le nomme rhombe ou losange (fig. 14) ; lorsqu'il est symétrique, il prend le nom de parallélogramme (fig. 1 5) ; celui dont deux côtés ne sont pas parallèles, quoique égaux, s'appelle trapèze (fig. 16); enfin celui dont les côtés ainsi que les angles sont inégaux, retient le nom de quadrilatère (fig. 17).
Des Polygones réguliers.
Quoique les triangles et les quadrilatères soient de vrais polygones, on ne donne ordinairement ce nom qu'aux figures qui ont plus de quatre côtés, et il suit de la définition du polygone régulier, que nous pouvons le considérer comme formé de triangles isocèles et égaux placés autour d'un point z nommé centre du polygone (fig. 9, 12, 18, 19, etc.), de manière à ce que l'espace angulaire autour du point z soit entièrement rempli, et que les bases ou côtés ab, bc, cd, etc., se joignent par leurs extrémités; or, comme ces triangles sont isocèles, les angles de leurs bases seront égaux, ainsi que ces mômes bases; donc un polygone régulier est celui dont tous les cotés et les angles sont égauar.
Si les triangles AzB (fig. 9), B«C , CzA sont égaux et isocèles , en sorte qu'on ait AB égale BC égale CA , et si , de pl us , chacun des angles en z vaut le tiers de quatre angles droits , ces trois triangles réunis formeront le grand triangle équi latéral ABC , qui sera régulier , équilatéral et équiangle.
Avec quatre triangles égaux et isocèles y nous formerons le carré (fig. 1 a), dont chacun des angles en * vaudra un angle droit;
NOTIONS DE GÉOMÉTRIE. i5
il en sera de même des autres polygones réguliers, quel que soit le nombre de leurs côtés; c'est-à-dire que chacun des angles au centre vaudra le tiers, le quart, le cinquième, etc., de quatre angles droits. D'oiu il suit que si on divise en deux parties égales les angles d'un polygone régulier quelconque par des droites Az, Bz, Cz , etc. , ces droites se réuniront en un point z, qui peut être considéré comme étant le sommet commun de tous les triangles qui forment le polygone ; et comme ce point est également éloigné des angles, ainsi que des côtés, on le nomme le centre du polygone. Si l'on prolonge la droite dz (fig. 18) jusqu'en/, le triangle azb se trouvera partagé en deux parties égales, mais zf n'est que le prolongement de dz\ et comme ceci est commun à tous les polygones réguliers , il en résulte que dans un polygone régulier, une droite qui passe par tun des angles et par le centre, divise le polygone en deux parties égales.
Dans l'cxagone (fig. 19) , les six angles du centrez valent ensemble quatre angles droits; il est clair que chacun d'eux vaudra deux tiers d'angle d«pit ; les deux autres angles de chacun des triangles isocèles vaudront ensemble quatre tiers d'angle droit, par conséquent chacun deux tiers. Ces angles sont donc égaux «ntre eux, par conséquent chacun des triangles est équi latéral ; donc le coté de l'exagone régulier est égal à la droite menée du centre à l'un de ses angles.
» Dans un polygone régulier (tig. 18) , la distance du centre à chacun des angles se nomme rayon oblique, la perpendiculaire abaissée du centre sur chacun des côtés , se nomme rayon droit, ou apothème. On y distingue aussi plusieurs espèces d'angles : i° l'angle formé par deux côtés contigus, comme l'angle abc, etc., que l'on nomme angle du polygone; 2 0 l'angle formé par deux rayons obliques az, bz , ou l'angle azb, qu'on appelle angle au centre; 3° l'angle compris entre un côté quelconque du polygone et le rayon oblique, comme l'angle zab, nommé angle sur la base.
i6 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.
Des Raisons, Proportions et Progressions des Lignes droites
(tig. 20, »I, 22, 23, pl. I).
Lorsque nous comparons entre elles deux grandeurs ou quantités de même espèce, nous pouvons avoir pour objet deux, motifs différens : i° de connaître de combien l une surpasse l'autre ou en est surpassée; 2° ou bien de savoir combien de fois l'une contient l'autre ou est contenue dans cette autre. Ainsi lorsque nous comparons i à 2 , nous trouvons que i surpasse i de i , ou que i est surpassé par i , de i . i est donc la différence ou le rapport qu'il y a entre ces deux grandeurs : ce rapport est nommé plus particulièrement raison (qui vient de comparaison).
Si nous comparons ces deux nombres ou grandeurs pour savoir combien de fois 2 contient i , ou bien i est contenu dans 2 , noiis trouverons également 2 ; ce nombre 2 est donc le rapport ou la raison qu'il y a entre le contenu i et le contenant i ; nous voyons donc qu'il y a double rapport entre # deux grandeurs de même espèce; le premier de ces rapports est nommé rapport arithmétique ; et le second, rapport géométrique. Ainsi nous voyons <jue pour avoir le rapport arithmétique de deux grandeurs, il faut soustraire la plus petite de la plus grande , et que pour avoir le rapport géométrique , il faut diviser l'une par l'autre. Nous pouvons donc considérer le premier de ces rapports comme un rapport de soustraction ou de différence, et le second comme un rapport de division ou de quotient.
Les deux nombres d'un rapport se nomment termes du rapport : le premier de ces termes est nomme antécédent; et le second , conséquent; ainsi, dans le rapport de 2 à i , i est l'antécédent et 2 est le conséquent.
Ayant reconnu, par comparaison , que le rapport ou la différence dé i à 2 est i , nous pouvons chercher de même le rapport
de deux autres grandeurs : par exemple, celui de 3 à 4, et nous verrons que 3 est surpassé par 4 de i , ou que 4 surpasse 3 de i. Comparons maintenant ces deux rapports, nous verrons qu'ils sont égaux et que 4 surpasse 3 àe la même quantité- que 2 surpasse i , et que le rapport ou la différence de ces quatre grandeurs, comparées deux à deux, est également i ; i est donc en rapport avec i comme 3 est en rapport avec 4- Ces quatre grandeurs, ainsi comparées, forment ce qu'on appelle une proportion arithmétique.
Ayant aussi trouvé que le rapport géométrique de r à 2 est i, cherchons un même rapport dans deux autres grandeurs; par' exemple, 3 à 6 : nous trouverons que 3 est contenu dans 6 deux fois, ou de la même manière que 1 est contenu dans 2; ces deux rapports sont donc les mêmes; donc 1 est à 2 comme 3 est â 6 , ce qui forme une proportion géométrique. Il y a donc deux sortes de p^portions , une proportion arithmétique et une proportion géométrique.
Une proportion est donc composée de deux membres : l'un exprime, le rapport ou la raison qui est entre les deux premiers nombres i et •>., Vautre exprime la raison qui est entre les deux derniers 3 et 4. Chaque membre est compose d'un antécédent et d'un conséquent; l'antécédent du premier membre est nommé premier antécédent , et "le conséquent du même membre se nomme premier conséquent. Ceux du second membre sont nommés second antécédent et second conséquent. Ainsi dans la proportion arithmétique , 1 est à a comme 3 est à 4 , ce que Ton exprime ainsi , 1 : 2 : : 3 : 4 ; 1 est premier antécédent et 3 deuxième antécédent-, 2 est premier conséquent et 4 second conséquent; et dans la proportion géométrique , que l'on indique ainsi , 1 : 2 : : 3 : 6, c'est la même chose.
Le premier et le dernier termes d'une proportion sont nommes les extrêmes; le second et le troisième , qui sont au milieu , se
nomment hesmojens. Ainsi, dans la première de ces proportions , î et 4 sont les extrêmes , et i et 3 les moyens; dans la seconde, i et 6 sont les extrêmes, et 2 et 3 les moyens.
Quatre quantités sont en proportion arithmétique, lorsque la somme des extrêmes égale celle des moyens; et quatre quantités sont eu proportion géométrique, lorsque le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. Ainsi, dans le premier cas, la somme des extrêmes r et 4 font 5 , et celle des moyens a et 3 font également 5; dans la proportion géométrique, le produit des extrêmes i multiplié par 6 égal 6, et le produit des moyens a multiplié par 3 donne également 6. Comme nous n'aurons aucune occasion de faire l'application des règles des proportions arithmétiques , nous ne nous occuperons que des proportions géométriques , dont la connaissance nous est iudispensable.
De cette propriété, que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens , il résulte qu'il sera bien facile de, trouver un terme d'une proportion , lorsqu'on connaîtra les trois autres : il suffira de se rappeler (ou de savoir.) que quand on divise un produit par un des facteurs , on a pour quotient l'autre facteur; c'està-dire (pour ceux qui pourraient n'être pas, familiarisés avec la division) , que si nous multiplions 6 par i , en disant une fois 6 est 6, 6 serft le produit de la multiplication, et 6 et i seront les facteurs de ce produit. Maintenant, si nous divisons ce produit 6 par le facteur i , en disant dans 6 combien de fois i , nous trouvons qu'il y est 6 fois; or ce quotient G est l'autre facteur que nous avons retrouvé. Donc si nous divisons le produit des extrêmes par un des extrêmes, nous aurons pour quotient l'autre extrême ; et si nous divisons le- produit des moyens par un des moyens, nous aurons pour quotient l'autre moyen. Mais le produit des extrêmes étant le même que celui des moyens , nous pourrons prendre l'un pour l'autre.
Donc , si Von divise le produit des moyens par un des extrêmes,
NO™» M GtORÊÊTIUE. , 9
on aura pour quotient Fautre extrême; et si l'on divise le produit des extrêmes par un des moyens», on aura l'autre moyen pour quotient. Donc , si l'un des extrêmes est inconnu., pour le trouver on multipliera les moyens, et Ton divisera leur produit par l'extrême connu; et si c'est un des moyens qui est inconnu, on multipliera les extrêmes , et on divisera leur produit par le moyen connu : le quotient sera le moyen inconnu.
Par exemple, s4 , dans la proportion géométrique r : 2 : : 3 : 6 , nous ne connaissions que ces trois termes , x : 2 :: 3 : a* (nous dé* siguerons toujours l'inconnu par un x) r nous multiplierions le* deux termes moyens 2 et 3 en disant deux fois 3 l font 6 , que uous diviserons par l'autre terme r , en disant dans 6 combien de lois 1 ; nous trouverons qu'il y est six fois ; : le quotient 6' sera la valeur de or, oui le quatrième terme inconnu de la proportion. 11 en serait de même de l'autre extrême t, ainsi que des moyens 2 , 3i
Nous pouvons- considérer une proportioti dans un sens inverse , et même renverser chaque membre, sans* détruire la 1 proportion', nous aurons seulement une proportion qui sera' l'inverse de ^précédente-, ainsi 6 : 3 :: 2:1 est l'inverse de i:2::3<:6, de même que *: r:î 6c 3, ce qui ne change pas ses iUppôrts, car 6 contient 3 comme 2; contient 1 , et 2 contient 1 comme 6 contient 3. Lorsqu'une proportion riWt pas inverse , on 1 la' nomme directe. Une proportion» est directe quand' ses rapports vont en augmentant, et' elle est invërse quand ses rapports vont' en diminuant:
Une proportion pourrait n'être composée que de trois n'Ombres', par.exemple, 1:2:: 2 : 4 , ©il nous voyons que 2 est commun aux deux membres et-est'à? là fois premier conséquent et secondantécédent: Dans ce cfts, ces' deui nombres se- lient donc; par» conséquent, il cet* nmile de répéter lè chiffre 2 dètrx fois : cëssbrtes" de proportion sont nommées proporthm- dontbttteï, et s'ex-
2o NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.
priment ainsi, i : 2 : 4, ce qui veut dire : comme i est à i, 2 est à 4- Dans toute proportion continue, le premier terme est donc avec le second comme Je deuxième est avec le troisième ; par cette raison , le second terme est nommé moyen proportionnel. Voyez les figures 20, 21 , 22, 23 (pl. 1), où ces différentes proportions sont exprimées en chiffres, en lettres et en lignes.
Ayant fait cette proportion continue, 1 : 2 :: 2 : 4> noos pouvons continuer de cette manière 4 : 8 : 16, etc. Un pareil continu est ce qu'on appelle progression, et on nomme moyens proportionnels tous les termes qui se trouvent entre deux termes donnés. Ainsi, dans la proportion continue, 1 : 2 v. 2 : 4 :: 4 : 8 :: 8: 16; 2, 4> 8 sont des moyens proportionnels entre 1 et 16, ce que l'on 'exprime 'ainsi; -77 1 : 2 : 4 > 8 : 16 , etc.
Soient ah, cd (pl. 2 , fig. 1") deux droites parallèles , entre lesquelles nous mènerons à volonté plusieurs droites ou sécantes, telles que ef, em, eg, etc. Puisque l'espace compris entre ces parallèles est partout égal , il est évident que par tous les points, tels que h, 2, pris arbitrairement sur l'une de ces sécantes , nous ne pourrons mener ni plus ni moins de parallèles sur em que sur les autres sécantes, comme, eg, etc. ; et que le même nombre de parallèles qui couvrirait tous les points de ef, couvrirait aussi tous les points des autres sécantes, puisque ces sécantes embrassent tout l'espace compris entre les deux parallèles, et que cet espace, partout égal dans sa hauteur , ne peut pas contenir plus de lignes parallèles dans un endroit que dans un autre. Par conséquent, si une de ces parallèles, telle que ik, coupe ef au tiers de sa longueur, elle coupera également em, eg, etc. , au tiers de la leur; eh sera donc le tiers de ef, comme el sera le tiers de eg ; nous aurons donc eh : ef:: el : eg , eh: el:: ef: eg. Il est aisé de voir qu'il en serait de même delà moitié, du quart, du dixième, dû centième , etc. , de efou de eg : ces deux droites seront donc coupées proportionnellement. Donc, si plusieurs droites comprises
NOTIONS DE GÉOMÉTRIE. ai
entre deux parallèles sont coupées par une troisième parallèle, leurs parties seront proportionnelles.
Des Figures semblables.
Nous avons vu jusqu'ici que plusieurs droites ne diffèrent entre elles que par leurs grandeurs ; mais cette différence d'égalité ne les empêche pas d'être semblables : deux droites peuvent donc être semblables sans être égales , ce qu'il ne faut pas confondre.
Nous allons voir qu'il en est de même des figures ou polygones : par exemple , lorsque nous regardons un portriit en miniature , nous pouvons le trouver très ressemblant à l'original , quoique beaucoup plus petit; ces deux ligures sont donc semblables sans être égales: il en sera de même des plans d'architecture, des cartes géographiques, etc. Voyons maintenant en quoi consiste la ressemblance de deux figures , et appliquons d'abord aux triangles les vérités fondamentales que nous venons d'énoncer.
La droite <?A(fig. i) est évidemment inclinée sur hl de la même quantité ou de la même manière que ef l'est sur fg' y donc ( à cause des parallèles) , l'angle efg égale l'angle ehl, et la droite el est inclinée sur ///comme eg l'est sur gf; donc l'angle egf égale l'angle elh , puisque les deux angles que nous venons de voir sont communs aux deux triangles feg , liel ainsi que le troisième angle feg ; les trois angles de ces deux triangles seront donc égaux , ces deux triangles seront donc semblables. Donc deux triangles sont semblables lorsqu'ils ont leurs angles correspondons égaux.
Dans ces deux triangles , les angles formés sur la base étant respectivement égaux, il est évident que le troisième, qui est supplément à deux angles égaux-, sera aussi égal dans l'un et dans l'autre triangle ; et comme nous avons déjà vu que ces deux triangles sont semblables , nous en conclurons que deux triangles
d'inégale grandeur, qui ont deux angles sur leur dose respectivement égaux, sont semblables.
Nous avons déjà vu que les parties de ef étaient proportionnelles aux parties de eg-, par conséquent les côtés eh, el du petit triangle seront proportionnels aux côtés ef, eg du grand triangle; puisque l'es deux côtés de ces triangles sont proportionnels , le troisième de l'un le sera nécessairement au troisième de l'autre ; donc eh est à hl comme ef est kfg; donc, quand deux triangles sont semblables , les cotés du premier sont proportionnels chacun aux cotés homologues ou correspondons du second. Donc, si ton coupe deux des cotés d u» triangle par des parallèles à la base ou au troisième coté, ces cotés seront coupés proportionnellement.
Puisque lies côtés de deux triangles semblables sont proportionnels, eÀ cst à ///comme ef esta, fg; donc, si eh est le tiers de ef, hl sera le tiers de fg; mais hl est la base du petit triangle comme fg est la base du, grand; donc, si un triangle est coupé par le milieu, le tiers, ou le quart, par une droite parallèle à sa base, cette droite sera la moitié , le tiers, ou le quart de la base.
Considérons maintenant ef, eg comme étant lès côtés d'un angle quelconque; supposons le côté ef divisé en uu nombre aussi quelconque de parties égales ou inégales; si par ebacun des points de division i , a , 3 , etc. , nous menons des droites parallèles entre elles jusqu'à ce qu'elles rencontrent l'autre côté eg, iï est évident , d'après ce que nous venons de dire , que les parties de eg seront proportionnelles aux parties de ef-, nous aurons donc eh : el : : ei : ef\ : : ef: eg; eh:el:i ef: eg , ou bien , puisque eg est double de ef, i : 2 : : 2 :4 3: 6, et 1:2:: 3:6; d'où il suit que si un des cotés d un angle quelconque est divisé en parties égales ou inégales, et que par chacun des points de division l'on mène à l'autre coté des parallèles entre elles , cet autre coté sera divisé en parties proportionnelles aux premières.
Si d'un angle quelconque e d'un triangle efg nous menons
NOTIONS DE GÉOMÉTRIE. a3
une droite em au côté opposé fg 9 et que par un point h pris à volonté sur l'un des deux, autres côtés ^ nous menions une droite hl parallèle àfg y nous aurons quatre triangles semblables ebacun à chacun ; car le triangle efm est semblable au triangle ehn , et le triangle egm est semblable au triangle eln. De plus , les côtes de ces triangles seront coupés proportionnellement; ainsi la droite hl se trouvera coupée par em en même nombre de parties que la base/g: or, puisque nous avons vu que hl est proportionnelle à fg y les parties de hl seront donc aussi proportionnelles aux parties defg; nous aurons donc : hn : hl : : fin : fg> hl : hn : : fg : fin-, d'où il suit que si, d'un point pris à volonté hors d une droite, on mène h différens points de cette droite plusieurs autres droites , toute parallèle h cette droite coupera ces autres droites en parties proportionnelles.
La solution de plusieurs problèmes très utiles et fréquemment employés, découle de ce que nous venons de dire sur les proportions. C'est ce que nous verrons à la fin de ces principes.
Du Cercle et de la Ligne circulaire (pl. 2, fig. 2).
Si nne droite AB tourne toujours dans un même plan et sur une de ses extrémités B, cette ligne, en passant successivement par les points C, D, E> K, etc. , jusqu'à son point de départ A, aura décrit une surface terminée par une ligne courbe dont tous les points seront nécessairement à une égale distance du point B : l'espace renfermé par cette courbe est nommé cercle; et la courbe ACDKFA , qui termine ce cercle, s'appelle circonférence du cercle, le point B, qui se trouve à une égale distance de tous les points de la circonférence, et par conséquent occupe le milieu de la figure, se nomme centre du cercle-, et toute droite comme AB, qui va du centre à la circonférence ou de la circonférence au centre, est nommée rayon du cercle* -
Il est évident que le rayon AB, en décrivant la surface du cercle, aura décrit autant de cercles qu'on aurait pu prendre de points sur cette ligne: par exemple, le point «(que nous pouvons considérer comme l'extrémité de la droite aB) qui, pendant le mouvement de la droite AB, aura décrit le cercle acdefa : il est évident que tous les rayons de ce nouveau cercle seront égaux entre eux, ainsi que le sont ceux du grand cercle, 'puisqu'ils mesurent les uns et les autres la distance du centre à la circonfé-, rence; donc, dans un même cercle tous les rayons sont égaux. Toute droite comme AE, DF, qui, passant par le centre, rencontre la circonférence en deux points, se nomme diamètre : or comme tous les rayons sont égaux entre eux, et qu'un diamètre est double du rayon, il s'ensuit que dans un même cercle, tous • les diamètres sont égaux.
Toute droite AB, ah (ûg. 3) qui coupe la circonférence en deux points et qui sort de cette circonférence, s'appelle sécante, et la portion DE ou de , comprise dans le cercle, entre les deux points de la circonférence, est nommée corde. 11 est clair que plus une corde sera éloignée du centre, moins elle sera grande*, nous pouvons donc , dans un même cercle , considérer le diamètre comme la plus grande de toutes les cordes. La portion de circonférence déterminée par une corde comme dfe , se nomme arc de cercle : il nous sera facile de voir que le diamètre DE coupe le cercle en deux parties égales, par conséquent les arcs D/E, DgE sont égaux. 11 est évident que si les cordes de , hi sont également éloignées du centre c, ces cordes seront égales, et les arcs qu'elles soutiennent seront égaux ; donc , dans un même cercle, des cordes égales soutiennent des arcs égaux.
La partie kf d'un rayon comprise entre Ja eorde et la circonférence, se homme flèclie. Les portions de cercle comprises entre une corde et un arc, telles <\uedfed, hgih, sont nommées segmens de cercle; et lorsque le diamètre est considéré comme corde, les
deux segmens sont égaux : autrement il y a un grand et un petit segment; ainsi dDgEed est un grand segment, et dfed est un petit segment. La portion de cercle comprise entre deux rayons , comme CdfeC , se nomme secteur de cercle; ce dernier est nommé petit secteur, par rapport au grand secteur CdgeC.
Concevons le diamètre DE ( ou la sécante AB) s'éloignant du centre C, vers /, sans cesser d'être perpendiculaire au diamètre g/; lorsque cette ligne sera arrivée en /, elle ne touchera plus la circonférence qu en un seul point : on la nomme alors tangente, ainsi ab est une tangente, et le point d'attouchement / s'appelle point dé tangence. Or, comme cette droite n'a pas cessé d'être perpendiculaire au rayon C/, et comme de chacun des points de la circonférence on peut mener un rayon et, par conséquent, une tangente , il s'ensuit qu'une tangente à un point quelconque de la circonférence est toujours perpendiculaire au rayon qui passe par ce point, et réciproquement.
Si, par les extrémités d'une corde de, on mène deux rayons dC , eC , ces rayons étant égaux forment avec la corde un triangle isocèle : il est évident que si , du sommet C , on abaisse une perpendiculaire sur la base de, elle coupera en deux parties égales au point k, la corde ainsi que l'angle dCe et l'arc dfe-, d'où il suit qu'une perpendiculaire élevée sur le milieu <f une corde passe toujours par le centre du cercle et par le milieu de V arc soutenu par cette corde.
Les deux tangentes ab, Im peuvent être considérées comme deux cordes qui se sont éloignées successivement du centre C et ont par conséquent diminué de longueur jusqu'à zéro, sans cesser pour cela d'être perpendiculaires au diamètre gf; et comme ce diamètre divise le cercle en deu* parties égales, il s'ensuit que les arcs gDf, gE/, compris entre ces parallèles, sont égaux. Or nous avons vu précédemment que les arcs fd, fe, ghr, gi étaient égaux; donc si nous retranchons ces arcs des deux demi-cercles ,
a6 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.
les restes seront égaux; mats ces restes dh, ei seront des arcs compris entre les parallèles hi, de. Nous pourrions faire le même raisonnement sur d'autres arcs aussi compris entre des parallèles, et nous aurions toujours le même résultat ; donc , dans un même cercle, des cordes parallèles interceptent des arcs égaux.
Des Angles considérés dans le cercle , et de leur Mesure (iig. 3).
Puisque les cordes <fe, hi sont égales et qu'elles sont les bases de deux triangles rfCe, hCi égaux et semblables , l'angle dile égale l'angle AO; et puisque ces cordes soutiennent des arcs égaux, réciproquement des arcs égaux doivent comprendre des angles égaux, c'est-à-dire que l'arc dfe comprend l'angle dCe, comme l'arc hgi comprend l'angle hGi : il y a donc un rapport entre les arcs et les angles qui ont leur sommet au centre du cercle; nous aurons donc : l'arc dfe : l'angle dCe : : l'arc hgi : l'angle hCi ; donc , dans un même cercle , les angles dont le sommet est au centre sont entre eux comme les arcs compris entre leurs cotés.
Puisqu'il y a un rapport entre les arcs et les angles, il est facile d'entrevoir qu'on peut considérer les arcs comme étant propres à mesurer les angles. Supposons d'abord le rayon AB (fig. 2) tournant sur son centre B r et s'élevant par son extrémité À, jusqu'en C, il sera évident que nous aurons un angle aigu ABC, qui comprendra entre ses côtés l'arc AC; lorsque l'extrémité du même rayon sera en D , nous aurons l'angle droit ABD, ayant entre ses cotés l'arc AD; lorsque cette extrémité sera en E, nous aurons le diamètre AE, et pour arc la demi-circonférence A DE; et lorsque le même rayon sera en F, nous aurons les trois quarts de la circonférence ; enfin lorsque ce même rayon sera arrivé en A j point de son départ, il aura décrit la circonférence entière. Nous devons remarquer que par ce mouvement les arcs ont augmenté en raison directe des angles, et que les deux diamètres AE, DF,
NOTIONS DE GÉOMÉTRIE. a 7
étant perpendiculaires entre eux, partagent la circonférence : en quatre parties égales et forment par conséquent quatre angles droits dont chacun d eux vaut le quart de la circonférence : l'arc AD peut donc être considéré comme propre à mesurer Fangle droit ABD; et puisque l'arc AC égale l'arc CI), ces deux arcs seront chacun la moitié du quart ou le demi-quart de la circonférence, et seront chacun la mesure du huitième de la circonférence.
Nous concevrons aisément que tous les points , tels que a , qu'on peut prendre sur le rayon AB , auront décrit autant de circonférences telles que acdefa , et nous voyons que toutes ces circonférences se trouveront divisées de même que la première, c'est-à-dire que l'arc ac sera la mesure du huitième de cette petite circonférence, de même que l'arc AC est la mesure du tiers de la grande-, que l'arc ttd mesure le quart de cette circonférence, ou l'angle aBd, comme l'arc AD Tncsure»le quart de la grande circonférence, ou l'angle ABD : donc un angle qui a son sommet au centre d'un cercle, a pour mesure l'arc compris ^ entre ses côtés.
Afin de pouvoir évaluer la valeur des angles , on est convenu de diviser toute Circonférence de cercle, grande ou petite, en 36o parties égales , qu'on nomme degrés ; chaque degré en 60 parties aussi égales, appelées minutes; Chaque minute en 60 parties nommées secondes, etc. Ainsi pour exprimer cinq degrés trois minutes deux secondes, on écrit 5° 3' a". D'après cela, il est facile de voir que la valeur de Tare AC, ou ac, moitié de l'angle droit AD ou ad, vaut 45°, puisque l'angle droit en vaut 90 , qui est le quart de 36o , npmhre total des parties de la circonférence. Nous pourrons donc, d'après cela, mesurer un angle quelconque par le nombre des degrés de Tare compris entre ses côtés. Observons, en passant, que l'angle àBc est le même que l'angle ABC, et que cependant les côtés «B, cB sont plus petits
a8 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.
que les côtés AB, CB. Donc, la grandeur (pu l'ouverture) d'un angle ne dépend point de la longueur de ses côtés.
Des Angles qui n'ont pas leur sommet au centre dun cercle ((ig. 4) .
INous venons de voir qu'un angle qui a son sommet au centre d'un cercle a pour mesure l'arc compris entre ses côtés : voyons maintenant quelle serait la mesure de ce même angle, s'il avait son sommet à la circonférence du même cercle. Soit un angle quelconque ABC (que dans cet exemple nous ferons d'abord droit, afin de saisir plus facilement ce que nous allons en dire), formé par deux rayons , et dont le sommet B est au centre du cercle ; puisque cet angle est droit, il aura donc pour mesure l'angle compris entre ses côtes, qui, dans ce cas, est le quart de la circonférence , ou 90 0 ; concevons cet angle glissant le long du rayon B£, jusqu'à ce^jue son sommet 3 soit à la circonférence en £; il est évident que cet angle n'aura pas changé de nature, et qu'il est toujours un angle droit; ainsi l'angle abc égale l'angle ABC; * mais remarquons que l'angle abc comprend entre ses côtés l'arc adc, qui est la demi-circonférence ou un arc de 180 0 , et est par conséquent double de l'arc ArfC, qui ne vaut que 90 0 , qui est la mesure de tout angle droit, ainsi que nous l'avons vu; donc l'angle abc ne vaut que la moitié de l'arc ode compris entre ses côtés; et comme cette propriété n'est pas particulière à l'angle droit , mais qu'elle est commune à un angle quelconque, nous en conclurons qu'un angle qui a son sommet à la circonférence dun cercle, a pour mesure la moitié de l'arc compris entre ses côtés.
Faisons glisser ce même angle ABC sur le prolongement de son côté Al), jusqu'à ce que son sommet B soit à la circonférence en e; cet aifgle, comme dans l'exemple précédent, n'aura pas changé de valeur, seulement le côté BC sera devenu la tangente
NOTIONS DE GÉOMÉTRIE. 2g
efy perpendiculaire au rayon eB; cet angle comprend donc entre ses côtés efy eA , Tare eCA ou la demi-circonférence; il aura donc pour mesure la moitié de cet arc , ainsi que tout angle qui a son sommet à la circonférence. Donc l'angle formé par une tangente et par une corde a pour mesure la moitié de l'arc compris entre ses cotés.
De ce qui vient d'être dit il suit, i° que tous les angles comme abc, ade, aec, etc. (iïg. 5) , qui comprennent entre leurs côtés le même arc ahc sont égaux, puisqu'ils ont pour mesure la moitié de cet arc; donc tous les angles qui ont leur sommet à la circonférence , et qui sont soutenus par une même corde , sont
égaux.
2 0 . Tout angle qui a son sommet à la circonférence et qui comprend entre ses cotés un arc plus petit que la demi-circonférence, est aigu, puisqu'il a pour mesure la moitié d'un arc moindre que le quart de la circonférence, ou qu'un angle droit : tels sont les angles abc, ade, aec.
3°. Tout angle a la circonférence j qui comprend entre ses cotés une demi-circonférence , est droit, puisqu'il a pour mesure la moitié de cet arc ou le quart de la circonférence : tels sont les angles fbg,fdg,feg.
4°. Enfin, tout angle à la circonférence (comme ahc) qui comprend entre ses cotés un arc plus grand qu'une demi-circonférence, est obtus, puisqu'il a pour mesure un arc plus grand que le quart de la circonférence.
Des Polygones inscrits et circonscrits au cercle (fi g. 6).
Si l'on partage une circonférence en un nombre quelconque de parties égales ou inégales, et que, par les points de division, on mène les cordes ab, 4c, bc, etc. , l'assemblage de ces cordes formera le contour d'un polygone dont tous les angles seront des
5o NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.
angles inscrits (c'est-à-dire ayant leur sommet à la circonférence) et qu'on nomme polygone inscrit : on dit aussi que cette circonférence est circonscrite à ce polygone, si, après avoir divise une circonférence, on mène aux points de division de/le» rayons gd, ge, gf, et que par les extrémités de ces rayons on mène des perpendiculaires qui seront des tangentes et qui formeront par leur assemblage un polygone nommé circonscrit à cette circonférence. Nous voyons donc qu'il y a des polygones inscrits et circonscrits : commençons par les triangles.
Concevons dans un triangle quelconque abc, une droite cd qui divise un des angles en deux parties égales; les différens points g que nous pouvons prendre sur cette droite, comme g, h, etc. , serortt les centres d'auta-nt de circonférences dont chacune sera touchée par deux des côtés ca , cb. Il en sera de même des droites oc , bf relativement à l'angle a ou b. Si les droites ae> cd se rencontrent , leur point d'intersection g sera le centre d'une circonférence qui sera touchée par les trois côtés du triangle ; donc un triangle quelconque peut être inscrit à un cercle et circonscrit à un autre cercle.
Un triangle quelconque étant inscrit comme abc, il est évident . que l'angle a a pour mesure la moitié de l'arc bc compris entre ses.côtés l'angle b y la moitié de l'arc ac\ et l'angle c, la moitié de l'arc abi Or ces trois arcs comprennent la circonférence ; donc leurs moitiés valent une demi-circonférence ou 180 0 , ce qui est une seconde preuve que les trois angles d'un triangle quelconque valent deux angles droits..
Nous avons déjà vu qu'il y a, dans un polygone régulier, un point unique qui est également éloigné de tous les côtés et de tous les angles, point qui est nommé centre du polygone. Les droites menées de chacun de ces angles à ce point seront donc égales. Il en sera de même des perpendiculaires abaissées'de ce point surchacun des côtés; d'où il suit que si nous faisons tourner sur le centre g
NOTIONS DE GÉOMÉTRIE. ; ï 3i
les droites ag , fg 9 les extrémités a 3 f de ces droites décriront chacune une circonférence dont Tune passera par les angles et l'autre par le milieu des cotés du polygone. Donc un -polygone régulier quelconque peut être inscrit ou circonscrit à un cercle.
Si plusieurs cercles comme abc , def ont des rayons différens et un centre commun g, leurs circonférences seront nécessairement contenues les unes dans les autres , et alors on les nomme cercles concentriques; donc des cercles sont concentriques lorsqu'ils ont des rayons différens et un centre commun.
Du Rapport des droites relativement h la circonférence et au
cercle ( fig. 7 ).
Deux droites qui rencontrent une circonférence sont entre elles parallèles ou non parallèles. Dansle premier cas on ne peut riendire sur le rapport qu'elles ont entre elles, sinon que ab:cd::ab:cd. Si ab est la moitié de cd f on aura 1 : 1 :: 1 : 2 , ce qui n'apprendra rien. Considérons donc seulement deux droites qui, en rencontrant la circonférence, se rencontrent aussi elles-mêmes : et supposons d'abord que ces deux droites sont deux sécantes. Elles Se couperont, ou sur la circonférence comme cd, ed, ou dans le cercle comme CD , BE , cd, be (iig; 8, 9) , ou bien encore hors du cercle (fig. 10). Si elles se coupent sur la circonférence, on ne pourra rien dire encore sur leur rapport (fig. 7) cd:de: : cdide. Si elles se coupent dans le cercle comme CD , BE (fig. 8 ) , il est facile de voir qu'en menant les droites BD, CE , les triangles A BD, ACE seront semblables j car les deux angles en a sont égaux comme opposés au sommet : l'angle E égale l'angle D, puisqu'ils sont inscrits et appuyés sur le même arc BCj on aura donc AB : AC ::AD : AE , et autres proportions semblables. Si l'on renverse le triangle ABD sur le triangle ACE , on verra que les deux côtés de ce triangle 6eront coupés proportionnellement par la droite
5a NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.
db, parallèle à EC, et ou aura encore les mêmes proportions : si A b est un , AC deux, Ad trois, AE sera nécessairement six. On aura donc i : 2 : : 3 : G ; donc , si deux cordes ou sécantes se coupent dans le cercle , les quatre parties comprises entre le point d'intersection et la circonférence , sont réciproquement proportionnelles .
Puisque cette proportion a lieu quelque part que soit le point d'intersection, et sous quelque obliquité que se coupent les cordas, elle doit encore avoir lieu lorsque les deux cordes sont perpendiculaires entre» elles , et que l'une d'elles est un diamètre; par exemple , cd, be ( fig. 9 ) , où l'on aura, comme dans l'exemple précédent, ab : ac : : ail: ae : mais comme ad égale ae f la proportion deviendra ab : ac : : ac : ae , où l'on voit que ac est moyenne proportionnelle entre ab et ae. Donc la perpendiculaire j abaissée d'un point quelconque de la circonférence sur le diamètre, est moyenne proportionnelle entre les deux parties de ce diamètre.
Si du point c on mène une droite à chacun des points b, e, on aura uu triangle bce, qui sera rectangle en c, et dont le diamètre be sera l'hypoténuse ; et comme la perpendiculaire ac n'a pas changé , elle sera donc aussi proportionnelle entre les deux parties de l'hypoténuse. Donc, si, de l'angle droit d'un triangle rectangle , on abaisse une perpendiculaire sur l'hypoténuse, cette perpendiculaire sera moyenne proportionnelle entre les deux parties de cette hypoténuse.
Si les deux sécantes se coupent hors du cercle comme ad, ae ( (ig. io ) , ayant mené les droites ce?, be, nous verrons , comme dans l'exemple ci-dessus, que les triangles a^e, aed sontéquiangles; car l'angle a est commun à l'un et à l'autre, et l'angle d égale l'angle e, puisque ces deux angles sont inscrits, et qu'ils sont appuyés sur le même arc bc : nous"aurons donc encore les mêmes proportions que dans l'exemple précédent : ae : ad:: ab : ac. Nous
'60 Dy
voyons donc, dans cette proportion, que les parties de la sécante ae sont les extrêmes, et celles de la sécante ad sont les moyens; ce qui sera plus facile à saisir si nous plaçons ces deux triangles séparément dans une même position ( fig. z) , ce qui nous donne le . même résultat que deux sécantes qui se coupent dans le cercle : c'est-à-dire que si deux sécantes se coupent dans le çercle ou hors du cercle, les parties comprises entre le point d'intersection et la circonférence , seront réciproquement proportionnelles. Donc , deux sécantes qui se coupent hors d' un cercle sont réciproquement proportionnelles à leurs parties extérieures.
Concevons la sécante ad tournant sur a jusqu'à ce qu'elle soit tangente à la circonférence, alors les points b et il seront confondus en un seul point d , et par là les deux parties ab, db de la sécante seront représentées par la tangente ad. La proportion deviendra donc ae : ad' : : ad' : ac , où nous voyons que ad est répété deux fois , et est par conséquent moyenne proportionnelle entre les deux parties de ae. Donc, si une tangente et une sécante se rencontrent hors d'un cercle , la tangente sera moyenne proportionnelle entre la sécante entière et sa partie extérieure.
Des Plans. •
De la Position des Lignes par rapport aux Plans ( iig. 1 1 ).
Quoique les plans, dont nous allons parler, soient toujours ter- • minés, jl faudra les concevoir comme étant en général illimités dans leur étendue , et comme n'ayant point de figure déterminée , à moins que cela ne soit nécessaire. •
Une droite ne peut rencontrer un plan que de deux manières : ou elle ne penche pas plus d'un côté que de l'autre sur ce plan , ou elle penche plus d'un côté que de l'autre. Dans le premier «as , on dit qu'elle est perpendiculaire à ce plan ; et dans le second,
Di
on dit qu'elle lui est inclinée; ainsi ab est perpendiculaire au plan cd, et aeest inclinée à ce même plan. Imaginons un plan triangulaire passant par ces deux lignes , nous aurons le triangle rectangle abe, qui sera perpendiculaire au plan cd-, concevons ce triangle tournant sur la ligne ab sans cesser d'être perpendiculaire à ce plan , il est aise de voir que , dans sa révolution , la base be aura décrit un cercle , et aura passé successivement par tous les rayons qu'on pourrait mener dans ce cercle; tels sont les rayons ib, ïô., 3b , etc. 11 est évident que le coté ab n'a pas cessé d être perpendiculaire à chacun de ces rayons comme il l'est encore à la base de ce triangle ou au rayon be. Les droites ab, ae n'ont chacune qu'un point de commun avec le plan qu'elles rencontrent ; mais la base be en a deux , et par conséquent tous les autres, puisqu'ils sont tous dans la même direction. Donc, i° une droite qui a deux points dans un plan est entièrement dans ce plan; a° une droite qui est perpendiculaire a un plan est perpendiculaire à toutes les droites menées dans ce plan par le pied de cette perpendiculaire. Ainsi la droite ab est perpendiculaire à eb comme elle l'est à î b, ib, 3b , etc.
Comme d'un point a , donné hors d'un plan , ou d'un point donné dans un plan , on ne peut mener qu'une seule perpendiculaire ab ou ba à ce plan , il en résulte que la plus courte distance d uti point a un plan est une perpendiculaire menée de ce point sur ce plan.
Lorsque deux plans se coupent , leur intersection ne peut être qu'en longueur, puisque ces plans n'ont point d'épaisseur,. Donc 1 intersection {le deux plans esf une ligne droite.
Le triangle abe, étant perpendiculaire au plan cd, aura pour intersection avec ce plan la droite eb , et l'angle droit abe sera la mesure de l'angle que fait la droite ab avec le plan cd\ et par la même raison l'augle aeb sera aussi la mesure de l'angle que forme la droite ae avec le même plan , ou bien sera la mesure de l'in-*
clinaison de la droite ae sur ce plan. Si-, d'un point quelconque a, pris sur une oblique ae , on abaisse sur le plan une perpendiculaire ab , et que , par son extrémité b , on mène à l'extrémité e de l'oblique la droite be , on formera toujours un triangle rectangle dont l'oblique ae sera l'hypoténuse , et dont l'angle e sera la mesure de son inclinaison sur ce plan. Donc, l'inclinaison d'une droite sur un plan se mesure par* l'angle que fait cette droite avec l'intersection d'un plan perpendiculaire au plan donné, et passant aussi par la ligne donnée.
On conçoit facilement que par la droite ab (fig- 12), on pourra faire passer une infinité de plans dans toutes sortes de directions -, par conséquent , une droite ou deux points ne suffisent pas. pour fixer ou déterminer la direction d'un plan : mais on peut aisément voir que , par les droites ab, ac , qui se coupent, on par les trois points abc, qui ne sont pas en ligne droite, on ne pourrait faire passer que le seul plan cd\ d'où il suit, i° que deux droites qui se coupent, ou trois points qui ne sont pas en ligne droite, suffisent pour déterminer la direction ditn plan; i° que deux droites qui se coupent, ou trois points qui ne sont pas en ligne droite, sont toujours dans un même plan, et déterminent la position d'un plan.
Si l'on conçoit que la droite ab (fig. i3), perpendiculaire sur le plan cd, soit mue selon la direction de la droite ae sans cesser d être perpendiculaire à ce plan , par ce mouvement elle aura formé le plan af, qui sera nécessairement perpendiculaire au plan cd\ le point b aura décrit la droite bf, dont les points bf seront à égale distance du plan cd : par conséquent, bf sera parallèle à ce plan. Donc une droite est parallèle à un plan, lorsqu'elle a deux de ses points à égale distance de ce plan.
Voyons maintenant quelles sont les droites menées dans le plan cd auxquelles' la droite bf peut être parallèle. Concevons cette droite se mouvant parallèlement à elle-même selon les
directions bg,f7i, jusqu'à ce qu'elle soit dans le plan en gh\ par ce mouvement, cette ligne aura formé le plan bh, qui passe par la droite bf, et dont l'intersection avec le plan cd sera la droite gh , dont les points g, h, seront.à égale distance des points b,f. Ces deux droites seront donc parallèles entre elles. Donc une droite parallèle à un plan, est aussi parallèler à toutes les droites formées par l'intersection d'un plan passant par cette droite et par le plan donné.
De là Position des Plans par. rapport les uns aux autres (fig. x 4) .
Deux plans ab, ac , qui se coupent, peuvent être considérés comme ayant d'abord été réunis, et comme ayant ensuite tourné sur leur intersection ad, en s'écartant l'un de l'autre. L'ouverture qu'ils laissent entre eux est désignée sous le nom à! angle dièdre , ou à deux faces; l'intersection ad, commune à ces deux plans, se nomme arête.
Si la droite ab (fig. i5) est perpendiculaire au plan cd, elle le sera aussi à toutes les droites be, bf, bg, bh, etc. Par conséquent, tous les plans qu'on pourrait faire passer par ces lignes et par la droite ab , seront perpendiculaires au plan cd, puisque ab sera toujours perpendiculaire aux intersections de ces plans avec le plan cd', donc , si une droite est perpendiculaire à un plan, tout plan qui passera par cette droite sera perpendiculaire au premier plan.
Des Plans parallèles entre eux (fig. 16).
Deux plans sont parallèles entre eux lorsqu'ils ne peuvent jamais se rencontrer, ou que tous les points de l'un sont à égale distance des points correspondans de l'autre. Si deux plans ab, cd, parallèles entre eux , sont coupés par un troisième plan ef, leurs
intersections eg, 7if, seront deux droites contenues dans les deux premiers plans ; et comme ces deux plans sont parallèles , les droites le seront aussi. Donc les intersections de deux plans parallèles entre eux et coupés par un troisième plan, seront aussi parallèles entre elles.
Nous avons déjà vu que trois points qui ne sont pas en ligne droite, déterminent la position ou* la direction d'un plan ; donc si nous menons à un plan ab trois perpendiculaires d'égale longueur, ik, gf, eh, et qui ne soient pas dans un même alignement , un plan cd, qui passera par leurs extrémités supérieures , sera parallèle au premier plan ab; car si nous joignons par des droites les points e, g, i,h,f, k, nous aurons deux plans triangulaires et parallèles entre eux. Donc, si trois droites , non situées dans un même alignement, sont égales et parallèles entre elles, les plans qui passeront par leurs extrémités, seront parallèles entre eux.
De la Mesure des Angles formés par deux plans ou Angles
dièdres (pl. 3, fig. i).
L'angle formé par l'ouverture de deux lignes droites, est nommé angle rectiligne ou angle plan : i° parce qu'il est formé de deux lignes droites; a° parce que deux droites qui se coupent sont toujours dans un même plan , ou, ce qui est la même chose, parce qu'on peut toujours faire passer un plan par deux droites qui se coupent. Nous allons tâcher, avec un peu d'attention , d'établir la distinction d'un angle plan d'avec un angle dièdre.
Soit le plan ab, perpendiculaire sur un autre plan cd; si noijb menons , dans ces deux plans , les droites ac,ae, perpendiculaires à l'arête ad, nous aurons un angle cae, qui sera droit , puisque ea est perpendiculaire kca, et que ces deux droites sont aussi perpendiculaires à l'arête ad; l'angle cae sera donc la mesure de l'angle que ces deux plans perpendiculaires fontentreeux. Cet angle rectiligne est un angle plan, puisque nous pouvons faire passer
par ses deux côtés un plan cea. Menons du point a , dans les deux plans, les droites ab, af, inclinées à l'arête ad, l'angle baf sera évidemment plus petit que l'angle droit eac. Si nous menons encore du même point a deux autres droites ag , ah , plus inclinées à I arête ad que les précédentes , l'angle gah sera encore plus aigu que le précédent. Ces deux angles seront aussi des angles plans; car nous pouvons faire passer un plan par chacun de leurs côtés : tels sont les plans baf, gah. Nous voyons donc que de tous ces angles , le seul angle cae, dont le sommet est sur l'arête ad y et dont les côtés ac, ae, sont perpendiculaires à cette même arête, mesure l'angle que font entre eux- les plans ab, cd. Ces différens angles formés par une même inclinaison de deux plans entre eux, sont nommés angles dièdres (ou à deux faces). Donc, le seul angle qui puisse mesurer l'inclinaison de deux plans entre eux est celui dont les cotés sont menés dans ces plans perpendiculairement à l'arête de ces mêmes plans , et partant d'un point quelconque de cette même arête.
Nous pourrons désigner l'angle dièdre par quatre lettres , dont celles des extrémités de l'arête occuperont le milieu : les deux autres le seront par les faces \ ainsi", 'nous dirons L'angle dièdre Itadf, ou fadb. Comme il est essentiel de bien concevoir la mesure des angles formés par des plans , nous allons nous en occuper plus particulièrement (ng. 2).
Concevons le plan Ab' couché originairement sur le plan AB, puis s élevant en tournant sur l'arête AD : par ce mouvement , les côtés AC, DB décriront , par leurs extrémités B, C, les arcs CC', $B', qui seront les mesures des angles CAC, BDB', ou de l'inclinaison du plan AB' sur le plan AB. Observons que les côtés de ces angles sont perpendiculaires à l'arête AD , et que tout autre point que nous aurions pu prendre sur cette arête , et duquel nous aurions mené une perpendiculaire, dans chacun des deux plans , nous aurait donné le même angle. Lorsque ce même plan sera élevé en cb , perpendiculairement sur le- plan AB , l'arc ou quart de
NOTIONS DE GÉOMÉTRIE. 3g
cercle Ce , mesurera l'angle droit CAc 5 enfin , lorsque le plan sera arrivé en c'l>, ses extrémités auront décrit chacune une demi-circonférence, et auront ainsi passé par tous les degrés d'inclinaison à Fégard du plan AB, dont il sera devenu le prolongement. Donc la somttie de tous les angles que deux plans peuvent former entre eujc , est toujours moindre que deux angles droits.
Propriété des Droites coupées par des plans parallèles entre
eux (fig. 3).
Si d'un point a, pris hors d'un plan 6c, on mène à différens points de ce même plan , des droites aD, oE, «F, etc. ; si l'on coupe ces droites par un plan gh parallèle au premier, et joignant ensuite les points 1), E, F, par des droites, ainsi que ceux des intersections */,<?,/, on aura les triaugles «DE, #EF, oFD. Les intersections de ces triangles par le plan gk seront chacune parallèles à leur base ; les triangles <zDE , «J£F, «FD , seront donc semblables aux triangles ade, aef, afd\ leurs côtés ehacun à chacun seront donc proportionnels ; on aura donc aD : ad : : DE : de ::. aE : ae :: EF : ef :: aV : af :: FD : fd. Or , i° si de cette suite de rapports égaux on tire seulement ceux qui renferment les droites qui partent du point a , on aura aD : ad : : «E : ae : : aV : af\ donc ce»droites sont coupées proportionnellement.
2 0 . Si , de la première suite de ces rapports égaux, on tire ceux que présentent les lignes comprises dans les deux plans parallèles , ou aura DE :de \ : EF : ef : : FD :fd; donc les deux triangles DEF, def, sont semblables , puisqu'ils ont leurs cotés proportionnels. Donc, si d'un point pris hors d'un plan, on mène il différens points de ce plan des droites , et qu'on coupe ces droites par un plan parallèle au premier, ces droites seront coupées proportionnellement.
Il résulte de là que les ligures formées par les droites qui
réunissent les points du premier plan et ceux des intersections du second, seront semblables dans les deux plans.
Des Angles polyèdres ou solides formés par t assemblage de
ttvis Plans entre eux.
Par un point A(fig. 4) menons à volonté trois droites Ax,Ajr, Az, qui ne soient pas dans un même plan ; ces droites pourront être considérées comme étant les arêtes de trois plans indélinis ,qui se couperont deux à deux sans être parallèles entre eux, et elles - formeront , par leur réunion , l'angle solide ou trièdre A , A'. Prenons ensuite sur chacune de ces lignes les points B, C, 1), qui déterminent autant de triangles qui auront le point A pour sommet commun , et nous verrons facilement que l'angle solide A A' ne peut être formé à moins de trois plans , et qu'il est par conséquent le plus simple des angles solides. Les plans qui . forment un angle solide , sont nommés faces, et les intersections de ces faces se nomment arêtes ou cotés de l'angle. 11 y a do'nc, dans un angle solide, deux choses à considérer: i° les trois angles plans ou rectilignes BAC, CAD, DAB; 2° les trois angles dièdres que ces plans font entre eux deux à deux.
Concevons (lig. 5) que le sommet A s'abaisse selon la direction Aa , ou perpendiculairement au plan ef, et que ltfi arêtes AB, AC , Al) , s écartent en raison del'abaissement du sommet A , il sera évident que les angles du sommet augmenteront en raison de récartement de leurs côtés; et lorsque A sera arrivé en a, ou dans le plan ef, le sommet, ainsi que les arêtes, se trouveront dans le même plan, en ab, ac, ad, et l'angle solide aura disparu. Or, comme la somme de tous les angles qu'on peut faire autour d'un point, vaut toujours quatre angles droits, la somme des angles bac, cad, dab , vaudra donc quatre angles droits; par conséquent , lorsque ces angles étaient en A , ils valaient
moins. Donc la somme de tous les angles plans qui forment un angle solide, est toujours moindre que quatre angles droits.
Des Polyèdres, Corps ou Solides (fig. 4)-
Nous avons reconnu , par l'analyse d'un corps, qu'il y avait des espaces solides terminés dans tous les sens par des surfaces planes. Nous venons de voir que trois plans qui s'entrecoupent sans être parallèles, forment bien un angle solide, mais ne circonscrivent point entièrement un espace; car les trois plans, étant illimités, laissent entre eux un espace qui, en A, est un angle solide, et • qni est illimité dans la partie opposée; mais nous verrons facilement que si, par les points B, C, D, pris à volonté sur les arêtes de l'angle solide, nous faisons passer un quatrième plan, nous aurons le triangle BCD, qui coupera ces arêtes, ainsi que les trois plans des faces. La portion d'espace comprise entre ces quatre plans , sera limitée de toute part , et formera un solide ABCD , qui sera le plus simple de tous les corps : on le nomme tétraèdre , c est-à-dire corps à quatre faces.
Les diverses formes des solides (qu'on nomme généralement des polyèdres) dépendent de la figure des faces qui les limitent et de l'inclinaison de ces mêmes faces entre elles. D'après ces différences, on leur a donné différens noms. Ainsi, le corps qui a cinq faces, se nomme pentaèdre; les corps qui en ont G, 7, 8, 9, 10, n ^ etc., s'appellent exaèdre, eptaèdre, octaèdre, nonécaèdre ? décaèdre , endécaèdre , dodécaèdre ; passé ce . nombre , on dit corps ou ligure de tant de côtés.
Le tétraèdre est nécessairement composé de quatre faces triangulaires , de quatre angles solides , et de douze angles plans ou rectilignes. On peut considérer la face opposée à un des angles solides sur laquelle la figure semble être posée, comme étant la base de cette figure-, et l'angle solide opposé à cette base, comme
en étant le sommet. Ainsi, dans le tétraèdre BÀDC, la face BCDB sera la base, et l'angle solide A sera le sommet.
Lorsqu'un corps a pour base un polygone quelconque , et que ses faces se terminent à un angle solide , on le nomme en général Pyramide. On voit donc qu'une pyramide est un corps compris sous plusieurs plans triangulaires qui , partant d'un même point , se terminent à un même polygone.
Les pyramides prennent diflérens noms, suivant le nombre des oôtés de leur base : celle qui en a trois , se nomme pyramide trian~ gulaire ; celle qui en a quatre t quadrangulaire ; celle qui en offre cinq , pentagonale ; celle où l'on en compte six, exagonale, etc. : mais quelle que soit cette base, ses angles solides sont nécessairement trihdres. On nomme axe de la pyramide , une droite comme ab (fig. 6,7,8,9), menée du sommet sur le milieu de la base. On nomme aussi hauteur de la pyramide, une perpendiculaire aCy abaissée du sommet sur le plan de la base, prolongée s'il est nécessaire-, car cette perpendiculaire peut, suivant la forme de la pyramide, tomber en dedans, en dehors, ou même dans une de ses faces j elle peut encore se confondre avec une de ses arêtes.
Lorsque l'axe d'une pyramide est perpendiculaire au milieu de sa base , on la nomme pyramide droite; et lorsqu'il est oblique à cette même base, on l'appelle pyramide oblique. Telles sont les pyramides représentées par les figures 6,7,8,9.
Des Prismes ou Corps de cinq faces et plus (tig. 10).
Soit un polygone quelconque ABC, abc, par les anglesduquel ou mènera des droites perpendiculaires ou obliques au plan de ce polygone, et d'ailleurs toutes égales et parallèles entre elles, qu'on joindra ensuite par des droites A'B'C, a'b'c\ il est évident que toutes les faces AB', BC, ab'bc'y etc., seront des parallélogrammes qui, avec les bases, formeront un corps dont
les arêtes seront parallèles entre elles ; que les deux polygones ou bases seront égaux et parallèles. Un corps qui a ces propriétés, se nomme prisme. Nous pouvons encore considérer k prisme comme engendré par le mouvement du polygone qui lui sert de base. Concevons ce plan ABC s'élevant parallèlement et perpendiculairement à lui" même , le résultat sera uù corps nommé prisme droit; et si ce plan se meut parallèlement et obliquement à luimême, comme le triangle abc, le corps qui eu résultera sera nommé prisme oblique.
Les prismes sont nommés triangulaires t quadrangulaires , pentagonauœ , etc. , suivant que leurs bases sont des triangles , des quadrilatères, des pentagones, etc. La hauteur à 1 un prisme est la perpendiculaire abaissée d'un point dé la base supérieure sur le plan de la base inférieure prolongée, s'il
sont de , d). L, axe d un prisme est la droite de f menée du milieu de la base supérieure au milieu de la base inférieure, et qui est parallèle aux arêtes.
Si le polygone qui sert de base k un prisme, est un parallélogramme ac (fig. 1 1), ce prisme se nomme parallélépipède} et si la base est un rectangle, comme dans cet exemple, cm le nomme simplement rectangle. Ou appelle centre d'ura corps, un points comme e f situé à égale distance des angles solides et des faces opposées de deux eu deux.
Des Polyèdres réguliers
Les ^lyèdres dont toutes les parties de même espèce sont égales entre elles, c'est-à-dire dont toutes les arêtes sont égales et tous les angles égaux , sont, nomme» polyèdres Ou corps réguliers. D-'où il suit que si un corps » toutes ses arêtes et tous les* angtes de ses faces égaux > ces faces seront des polygones réguliers" et égaux- Or le plus simple de» tous les polygones réguliers est
le triangle cquilatéral dont chacun des angles vaut les deux tiers d'un angle droit ou 6o° : donc si on assemble des triangles équilatéraux pour former un angle solide, on n'en pourra mettre que trois, quatre ou cinq; car six angles de leurs faces réunis autour du sommet, vaudraient quatre angles droits, et par conséquent ne pourraient former qu'un plan. Il ne peut donc y avoir que trois espèces de corps réguliers dont les faces soient des triangles équilatéraux.
Après le triangle équi latéral , vient le carré , dont chaque angle est droit ; donc si l'on assemble des carrés pour former un angle solide, on n'en pourra mettre que trois; il ne peut donc y avoir qu'un seul corps régulier dont les faces soient des carrés.
Après le carré, est le pentagone régulier, dont chaque angle vaut 108 0 , et dont on ne pourrait prendre plus de trois pour former un angle solide; donc il ne peut y avoir qu'un solide régulier dont les faces soient pentagonales.
L'angle de l'exagone régulier vaut 120 0 ; trois de ces angles valent quatre angles droits, et par conséquent ne peuvent former un angle solide : donc il ne peut y avoir aucua corps régulier dont les faces soient exagonales, eptagonales; etc.; donc il ne peut y avoir que cinq corps réguliers, savoir, trois à faces triangulaires, un à faces carrées, et un à faces pentagonales. Ces corps, en allant du plus petit nombre de faces au plus grand nombre, sont (lig. 12), i° le tétraèdre j quatre triangles équilatéraux; 2 0 Yexaèflre ou cube, six carrés égaux; 3° ( fig. i re , pl. 4)> Yoctaèdre, huit triangles équilatéraux égaux; 4° le dodécaèdre, douze pentagones égaux; 5° enfin, Vicosaèdre , vingt triangles équilatéraux égaux. . . -
Tous ces polyèdres ont aussi un centre ou point intérieur également éloigné de tous les angles solides, ainsi que de toutes les faces. Ce centre , dans chacun de ces corps, est aussi celui de deux sphères que l'on peut inscrire et circonscrire à ces corps.
Nous Terrons la manière de construire ceux-ci , lorsque nous en , serons à la Géométrie descriptive.
• 4 Des Corps terminés par des plans et des surfaces courbes. Des Cylindres à bases circulaires et à bases irrégulières (Pl. 4, fig. 2. )
'Les cylindres s'engendrent d'une manière absolument semblable à celle des prismes. Soient les cercles ABCD, au centre desquels sont les droites Ee , dont l'une est perpendiculaire sut l'un des cercles, et dont l'autre est inclinée au second cercle. Concevons ces cercles s'élevant parallèlement à eux-mêmes selon les directions des droites Ee, jusqu'en abcd. Par ce mouvement, ces cercles auront engendré deux corps, dont les surfaces seront droites selon les directions des droites Aa, Bb, etc. , et courbes dans les directions circulaires ABCD, abcd, etc. Ces corps, nommés cylindres, seront terminés par deux cercles parallèles entre eux, et qu'on nomme bases. Lorsque la droite ou axe E<? est perpendiculaire au cercle générateur, on le nomme cylindre droit; et lorsque l'axe est oblique à la base , on le nomme cy- Jindre oblique.
Nous pouvous encore concevoir le cylindre comme formé par une droite Aa, perpendiculaire ou inclinée au cercle, et se mouvant parallèlement à elle-même autour des circonférences ABCDdans ce cas , la droite Aa est appelée ligne' génératrice, et l'axe Ee est la ligne directrice. La hauteur d'un cylindre se mesure de la même manière que les prismes , par la droite Ee dans le cylindre droit, et par ef dans le cylindre oblique.
D'après ce qui vient d'être dit sur la génération du cylindre, il résulte qu'un point b , pris à volonté sur la sùrface d'un cylindre à base circulaire , appartient également à une droite Bb et à un cercle abcd j car nous pouvons supposer ce point placé d'abord en B, sur la circonférence de la base; puis cette base s'étant éle-
vée parallèlement à elle-même, le point b aura décrit la droite Bb , et par conséquent sera sur cette ligne. Noua pouvons
concevoir ce point placé d'abord en a, sur la droitt Aa : lorsque cette ligne décrira le cylindre, le point a al> semblable et égal à celui AB de la base, et sera constamment sur cette courbe, ainsi que sur la droite. Donc un point quelconque de la surface d un cylindre appartient également à une droite génératrice et à un cercle générateur égal à celui de la base de ce même cylindre. Donc , si par un point quelconque de la surface d un cylindre, on fait passer un plan parallèlement à sa base, la figure qui résultera de cette coupe sera semblable et égale à cette même base. On peut encore se représenter que le cylindre droit est formé par le mouvement d'un rectangle AaEâ 7 tournant sur un de ses côtés Ee. £ Ça que l'on vieut de dire est en général commun à tous les cylindres, car il y en a de plusieurs sortes: par exemple, si au I d'un cercle pour base, on avait une surface con telle que AJBCD (fig. 3), il est évident, par la d* la %ure, que le cylindre qui en résulterait aurait sa surlace terminée par une courbe semblable à celle de sa base ou plan générateur. Cette surface serait, de même que les lindres , courbe dans un sens et droite dans l'autre ,
cette surface en un ou quelques points, et
Aa, ou parallèlement à l'are *E, elle toucherait la
toute sa longueur. #
Du Com droit > et du Câiur oblique ou Se alêne (%, 4 «t 5).
Ce que Ton va dire s'applique également aux figures 4 y 5 r &. Soient les cercles ÀBCD; si, par le centre de chacun d'en*,
on élève une droite indéfinie EF perpendiculaire sur l'un et oblique sur l'autre, et que par un point g , pris à volonté sur ces droites, on fasse passer une autre droite aussi indéfinie, telle que Ah , dont l'extrémité A suivra la circonférence ABCD, sans que pour cela cette droite ne quitte pas le point g , quand A aura terminé sa révolution , la partie Ag de cette ligne comprise entre la circonférence et le point g, aura décrit une surface conique, qui aura de commun avec le cylindre, d'être droite dans un sens et courbe dans un autre. L'espace renfermé par la surface conique et par la base est appelé cône.
Pendant que la partie gA de la droite décrit la surface conique, la partie gh en décrira également une semblable , mais opposée à la première, et ces deux cônes auront le point g pour sommet commun. La droite eg , menée du milieu de la base au sommet , 'est Y axe du cône , et le cercle en est la base. Si l'axe est perpendiculaire au plan de la base , le cône est appelé cône droit, et si l'axe est oblique à la base , on le nomme cône oblique ou scalène. Il est évident que tous les, points de la droite Ag auront décrit autant de cercles , tels que ABCD, lorsque A g aura terminé sa révolution ; car quand A sera en B , a sera aussi en b : le point b appartiendra donc également au cercle abcd et à la droite génératrice Bg. Il est clair que la même propriété a lieu pour le cône à base irrégulière. Donc un point quelconque de la surface d un cône sera également sur une droite génératrice, et sur une courbe semblable à celle de la base de ce cône. Les hauteurs de ces cônes seront , dans les cônes droits , l'axe ge , et , dans les cônes obliques, la perpendiculaire gi abaissée du sommet sur le plan de la base. Nous pouvons encore considérer le cône droit comme engendré par la révolution du triangle rectangle Aeg, tournant sur son côté ge : les surfaces qui sont ainsi formées par la révolution d'un plan autour d'une ligne, se nomment surfaces de révolution. Exemple, fi g. 7.
• De la Sphère (Pl. 4, (ig. 8).
Concevons le demi-cercle ABC tournant sur son diamètre AC j par ce mouvement il aura décrit une surface courbe régulière et reufermant un espace ou solide qu'on nomme sphère. Il suit de là que nous devons concevoir la surface d'une sphère comme étant composéed'un nombre indéfini decercles égaux , tels que ABC£'A, A/ACJA, etc. ; par conséquent, tous les points de cette surface, tels que AFB, etc. , peuvent être regardés comme étant les extrémités d autant de rayons, qui par cette raison seront tous à égale distance du point e , centre du cercle générateur et du centre de la sphère. Donc la sphère est un corps terminé par une surface courbe, et dont tous les points sont à égale distance d un point intérieur, nommé centre de la sphère.
Lorsque le demi-cercle ABC , dans son mouvement de rotation, sera en AAC , le point B aura décrit l'arc B£; et lorsqu'il aura terminé sa révolution autour du centrée, ce point aura décrit le cercle entier et dans le même temps le point F aura décrit l'arc F/, ainsi que 1» cercle Vff'f'V : et comme le rayon gV s'est mû parallèlement au rayon eB , ces deux cercles seront parallèles entre eux. Mais comme le diamètre BA' du cercle décrit par le point B égale le diamètre AC du cercle ABCA'A , ce diamètre Basera donc plus grand que le diamètre F/', qui n'est que la corde de ce cercle. Il y a donc dans la sphère de grands et de petits cercles. Concevons un plan coupant la sphère , en passant par le diamètre BA , et par conséquent par le centre e; la section sera le plus grand cercle de cette sphère. Concevons de même un second plan passant par un point quelconque tel que /, et par la corde Vf; la section sera aussi un cercle qui aura pour diamètre \ la corde Fy", et par conséquent sera plus petit que le premier; et comme il en serait de même de tout autre point par lequel on
ferait passer un plan. Il s'ensuit que toute section de la sphère par un plan , est un cercle.
Si une sphère est coupée en deux portions , ses parties se nomment segmens spliériques; et si ces parties sont inégales , il y a un petit et un grand segmens. Un petit segment, comme AFjQf'A, se nomme aussi calotte; la partie comprise entre deux plans parallèles, comme FBbb'f! , est appelée zone; et la partie comprise entre deux demi-grands cercles qui se terminent à un diamètre commun , telle que ABC&/A, se nomme fuseau. Les extrémités AG de l'axe sur lequel la sphère est censée tourner, se nomment pôles. Tandis qne le demi-cercle tourne sur l'axe AG, tout secteur de cercle, comme AFc/'A, décrit un solide ou espèce de cône nommé secteur sphérique.
Applications des principes ci-dessus à la Géométrie pratique.
Problème premier. (Fig. 9). Par un point a, donné sur une ligne ab, faire
un angle égal à Pangle A.
On a vu que deux angles sont égaux lorsqu'ils ont leurs sommets au centre d'un cercle (oudedeux cercles égaux) et lorsqu'ils interceptent entre leurs côtés des arcs égaux : ces arcs seront égaux s'ils ont des cordes égales.
Soit A le sommet de l'angle donné; de ce point comme centre, et d'une ouverture dé compas à volonté, comme AB, on décrira l'arc BC; de la même ouverture et de a, comme centre, on décrira l'arc indéfini bd; ensuite on prendra l'ouverture de l'angle A , ou la longueur de la corde BC, qu'on portera sur l'arc M, de b en'cj et par les points a, c, on mènera une droite indéfinie : l'angle cab sera égal à l'angle CAB. On doit voir facilement qu'en opérant de la même manière, on pourrait faire un triangle égal à un autre triangle.
5o NOUVEAU TRAITE DE PERSPECTIVE.
Problème i. Mener une Perpendiculaire sur le milieu d'une droite donnée
ab ( fig. 10).
D'une ouverture de compas à volonté, mais évidemment plus grande que la moitié de ab, et des points a, b, comme centres, on décrira deux circonférences qui se couperont en c, d\ par ces points on mènera la droite cd i qui sera la perpendiculaire demandée. Cette construction sert aussi à trouver le milieu d'une droite. De plus, si par les points c, </, on mène les rayons ac , bc, ad,bd, on verra que c se trouve à l'extrémité des rayons ca, cb; ces rayons étant égaux , c sera à égale distance de a et de b : et comme il en serait de même à l'égard du point d, la droite cd ne penchera donc pas plus d'un côté que de l'autre sur ab ; donc elle lui sera perpendiculaire et passera par son milieu e. Dans la pratique , il n'est pas nécessaire de décrire les circonférences entières , il suffit de tracer seulement les arcs i, a, 3 et 4, 5, 6, 7,8; et par les intersections c, d, on mènera la droite cd. Si l'on se proposait seulement de trouver le milieu de cette ligne, on alignerait une règle sur les points c, </, et l'on marquerait le point e, qui serait le milieu cherché.
Problème 3. Par un point donné sur une droite , élever ou abaisser une
Perpendiculaire à cette ligne.
Ce problème rentre dans le précédent; car soit e le point donné, sur une droite fg, du point e , et d'une ouverture de compas à volonté; on marquera les points a , b\ de ces points et d'une ouverture de compas plus grande , on décrira les arcs ci-dessus, qui s'entrecouperont aux points c, d\ par l'un ou l'autre de ces points et par le point € , soit en dessus , soit en dessous de la droite fg , on mènera la droite ce- ou ed y qui sera la perpendiculaire élevée ou abaissée de e.
.NOTIONS DE GÉOMÉTRIE. 5i
Problème 4- D'un point donné a, hors dune droite bc , abaisser un* Perpendiculaire sur cette ligne ( fîg. 1 1 ).
De a , point donné, et d'une ouverture de compas assez grande pour couper la droite bc en deux points </, e , qui seront égal* ment distans de o, ensuite des points </, e> et d'une ouverture de compas à volonté, on tracera des arcs, comme précédent , qui s'entrecouperont au-dessus et au-dessous de la droite bc, par les points d'intersection on mènera la droite af prolongée s'il est nécessaire. Si l'espace manquait pour tracer ces arcs au-dessous de bc , on les tracerait au-dessus ou au-dessous dea.
Problème 5. Elever une Perpendiculaire à Vextrémité dune droite ab
Par une de ses extrémités b, on prendra à volonté au-dessus de ab un point c\ de ce point comme centre, et de l'intervalle cb comme rayon, on décrira l'arc i , 2 > à peu près au-dessus de b , ainsi que l'arc 3,4» <V* 1 àoit couper la droite ab. Par le point d'intersection et par c, on mènera une droite qui coupera l'arc i , 2 en d.\ par ce point et par b, ou mènera la droite db> qui sera la perpendiculaire demandée. Si avec le rayon cb on termine le cercle, on verra facilement que l'angle b est à la circonférence,, et repose sur un diamètre ; donc cet angle est d roit , et ses côtés réciproquement-perpendiculaires. Autrement*, Ou prendra sur une échelle quelconque trois parties égales qu'on portera de b en ensuite on prendra quatre de ces mêmes parties comme rayon , et de b comme centre on décrira «tt-dessns de b un arc indéfini ; eniin, on prendra cinq de oea mêmes parties comme rnyon» Pt de e comme centre ou coupera le premier are* et par le poinJt d'intersection /, et par b y on mènera une droite «/" qui sera, perpendiculaire sur ab, •
Problème 6. Diviser un Angle quelconque en deux parties égales (fig. 1 3 ).
Du sommet «, comme centre, et d'une ouverture de compas à volonté, on décrira un arc qui coupera les côtés de l'angle en î, c; de ces points , comme centre , et d'une ouverture quelconque de compas, on décrira les arcs i , 2, 3, 4} par leur intersection et par* a on mènera une droite qui partagera l'angle dae en deux parties égales. On peut par ce moyen diviser un angle en quatre, huit , seize , etc. , parties égales.
Problème 7. Par un point a, donné hors dune droite bc, mener une Parallèle à cette ligne (pl. 5, fig. 1 ).
Par le point a on mènera à la ligne bc une droite ad qui la coupera en un point quelconque d\ de ce point comme centre et de Fintervalle da comme rayon, on décrira l'arc ae\ ensuite d'un autre point quelconque /pris sur la droite , et avec la même ouverture de compas, on décrira l'arc indéGni gh ; on prendra l'ouverture de l'arc ae , que l'on portera sur l'arc gh de h en i ; par les points ai on mènera une droite qui sera parallèle à la première; car les angles ade , ifh\ sont égaux, ainsi que les arcs compris entre leurs côtés \ donc les points a, 1, sont également éloignés de la droite bc.
Problème 8. Etant donnés les trois côtés AB, GD, EF, dun triangle, construire ce triangle (pl. 6, fig. 8).
Sur une droite indéfinie on portera la longueur de l'un des côtés \ par exemple, AB de a en b : on prendra ensuite la longueur de l'un des deux autres côtés, telle que CD; et de Tune des extrémités de ab comme centre , et de cette longueur comme rayon . on décrira .Fait indéfini 1, 2 : enfin, on prendra la longueur du
troisième côté EF , et de l'autre extrémité de ab on décrira l'arc 3,4j l'intersection de ces deux arcs sera le sommet du triangle. On pourra construire aussi facilement tous les polygones de cette manière, puisqu'on peut toujours les diviser en triangles.
Problème 9. Diviser une. Droite donnée en un nombre quelconque de parties
égales (pl. 5, fig. a).
Soit la droite ae, qu'on se propose de diviser, par exemple , en trois parties égales. Par l'une de ses extrémités comme e on mènera une droite eb sous un angle quelconque; on prendra à volonté une ouverture de compas qu'on portera trois fois sur eb en partant de e-, ensuite on joindra la dernière division b avec l'autre extrémité a de la droite donnée, et par les autres divisions dg on mènera des parallèles à ab , ou bien on se. contentera de la première division ac qui sera lé tiers de ae.
Problème 10. Diviser une Droite ab donnée en parties proportionnelles à d 'autres droites ck, kl, Id, etc. , aussi données, en nombre quelconque. (Même fig.)
Si ces lignes sont données séparément , on mènera une droite indéfinie cd, sur laquelle on portera les longueurs données de c en k , en /, en d, etc. , au-dessous de cd , et à une distance quelconque ; on mènera parallèlement à cette ligne la droite à diviser ab\ ensuite par les extrémités de ces deux lignes on mènera des droites indéfinies qui se couperont en un point e; par ce point et par les divisions k, /, d, etc., on mènera des droites prolongées jusqu'à la droite 'ab : les parties ah, lu, ib, etc., seront proportionnelles aux premières données ; car on aura ea : ah : : ec : ck, etc.
On doit facilement voir que si la droite à diviser eût été cd au lieu de ab , on aurait porté cd parallèlement au-dessus de ab, et
on aurait opéré de la même manière. Cette manière d'opérer est générale , c'est-4-dire que le triangle que ces lignes forment est un triangle quelconque ; mais lorsqu'il est équilatéral , il réunit un avantage que les autres n'ont point; par exemple, si l'on veut diviser des droites ef, cd, etc. , dans le rapport de ab, en parties égales ou même inégales, on formera snr cette droite un triangle équilatéral aeb; on portera la longueur des droites proposées ef, cd, sur les côtés du triangle, en partant du sommet, comme de e en y* et de e eu g, de e en c et de e en d\ on mènera ensuite les droites fg , cd, etc. , et par chacun des points de division de ab on mènera des droites au sommet e ; les parties defg, cd, etc. , seront proportionnelles à celles de ab K Si la droite à diviser était ab , et la ligne divisée était fg ou cd, on formerait sur cette .ligne un triangle équilatéral dont les côtés seraient prolongés.; ensuite on porterait sur ces côtés, en partant du sommet, la longueur de cd, de e en a, et de e en b; on mènerait la droite ab par le sommet , et par chacun des points de division on mènerait des droites prolongées jusqu'à ab , et les parties de cette ligne seraient proportionnelles à celles de la droite y# ou cd.
Pborlkme m. Trouver une quatrième proportionnelle à trois droites
données ABC ( fîg. a ).
11 est évident que ce problème peut se résoudre par le même principe que le précédent. On tracera deux droites parallèles et indéfinies ab , cd, sur l'une de ces lignes; on portera de suite la longueur de A et celle de B; par exemple, A, de c en k, celle de B en kl' ; et sur l'autre on portera la* longueur c en ah; on mènera ace, hke par le point de concours e, et par /on mènera une droite prolongée qui coupera ab en un point /, et hi sera la quatrième proportionnelle cherchée égale D. On aura ckikli: ah :hi.
Pour que ac , hk, ne se rencontrassent pas , il faudrait qu'on
NOTIONS ht GÉOMÉTRIE! ' 55 eut ck égal bah; mais alors hi serai! aussi égal à kl. Si les doux moyens de la proportion étaient égaux, c'est-à-dire si Ton avait / / rgal à ah, alors hi serait une troisième proportionnelle aux deux droites ah , kl.
Autre manière de résoudre lë ntémè pftidlèfoè (fig. 3).
On fera nuance quelconque oroy, sur les côtés diuj u<l on portera les droites proposées de cette manière : Ja ligne A , de a en la droite B, de a en r; ctenlinC, de a en «r/. On joindra les points b,c par une droite; par r/ on mènera une parallèle a et „<> sca la ligne cherchée égale D$ car on aura ab :ac:: ad : ae.
Problème 12. A deux lignes ifonne'es A, B, trouver ////. troisième propor-
tionnelle (fig. 4)-
C'est-à-dire trouver une ligue qui soit à la droite B comme B est à la ligne A. On fera, comme dans l'exemple précédent, un angle quelconque , sur les côtés duquel on portera A de a en b, B de a en c , et encore B de b en d. On joindra b et c par bç ; on mènera de parallèlement à bc\ et ce sera la ligne cherchée égale h C . car aûra "A : OC :: M .ce; mais comme <W égale aC\ oa aura : : : 0£ : ce. Si A égale 4, B égale 2 , C égalera . ; on aura-donc, 4*^ ;: 2 ; 1 -
Problème i5. Trouver une Mojennc projgrthnneÏÏe entre dejiuc droites A ,
B données (fig. 5).
C'est-à-dire trouver une droite x telle qu'on ait A : x :: x : B. On mettra de suite ces deux lignes sur une même droite, comme A de c en £,.et B de b en c, du milieu delà somme de comme diamètre, on décrira un demi-cercle , et du point bon élèvera la perpendiculaire bd, qui sera terminée à la circonférence; cette ligne
bd sera la moyenne proportionnelle demandée ou la valeur de x, on aura ab : bd : : bd : bc\ et comme dans cet exemple A est 4 » x sera 2 : on aura donc , 1 : 2 : : 2 : £•
Autrement ( tig. 2 ). Sur une droite indéfinie on portera la longueur de B de a en b, puis on portera la longueur de A de a en c; sur la somme ab comme diamètre, on décrira un demicercle; de c, on élèvera la perpendiculaire cd, puis on mènera la droite ad, qui sera la ligne cherchée. Pour hien entendre la solution de ce prohlème , on doit se rappeler les propriétés du triangle rectangle. On verra que les triangles abd y a' de sont semblables. On aura donc de : a'd : : ad : ab ', ou bien le petit coté du petit triangle est à son hypoténuse, comme le petit côté du grand triangle est à son hypoténuse. On suit ordinairement la première manière.
Problème 14. Diviser une droite donnée ab (fig. 6), en moyenne et extrême raison, c'est-à-dire en deux parties telles que la plus grande soit moyenne proportionnelle entre la ligne entière et la plus petite partie.
En supposant le problème résolu , on aura ab : ac : : ac: cb, ou bien encore ac : cb : : ab : ac. On doit se rappeler que lorsqu'une tangente et une sécante se rencontrent hors d'un cercle, la tangente est moyenne proportionnelle entre la sécante entière et sa partie extérieure; alors on verra qu'il faut faire de ab une tangente, et mener de a une sécante égale en longueur à acplus ab ; une partie de cette sécante égale ac restant au-dehors du cercle, et l'autre partie égale ab se trouvant au-dedans. Si l'on suppose donc que cette sécante passe par le centre, la partie intérieure égale ab sera le. diamètre, et le rayon vaudra la moitié deab-, il faudra donc que ab, qui doit être tangente, soit perpendiculaire à l'extrémité du rayon égala la moitié de ab. De tout cela résulte cette construction.
A l'une des extrémités de la ligne ab, on élèvera une perpendiculaire bf égale à la moitié de ab ; du point / comme centre et prenant fb pour rayon on décrira un cercle , et on mènera une droite af qui coupera la circonférence en e; on fera ac égal à ae. Cette ligne ac sera la plus grande partie cherchée; car si Ton prolonge af jusqu'à la circonférence en a 1 , on aura la sécante ad est à la tangente ab comme cette même tangente est à la partie extérieure ae de la sécante j ou bien , ad : ab : : ab : ae. Si de a comme centre et de b comme extrémité du rayon on décrit l'arc bg , on aura ag égalant ab , et eg égalant cb, ce qui donnera évidemment une proportion d'égalité j c'est-à-dire que ab: ag:: ac: ae, etc. , et ab : ac, ou ae : : ac , ou ae : cb , ou eg, ou , ce qui est la même chose, et ce qui peut se réduire ainsi : ab : ac : : ac : cb', ac est donc moyenne proportionnelle entre les lignes ab, cb.
Problème i5 (fig. 7). Deux droites abjèc, inclinées Tune à Vautre, étant données ainsi qu'un point e, mener par ce point une droite qui passe par le point de concours des deux lignes données.
Par le point donné e on mènera , sous un angle quelconque, une droite qui coupera les lignes données aux points a , c; par un autre point quelconque b ou d, pris à volonté sur l'une des deux droites , on mènera une parallèle à ac , et on aura la proportion ac.bd:: ae:bx , on : : ce : dx. La quatrième proportionnelle donnera le point x, par lequel et par e on mènera la droite ex , qui , étant prolongée , passera par /, point de concours des deux lignes données aussi prolongées.
On verra facilement que si le point e eût été donné hors des droites , l'opération n'aurait pas été plus difficile ; car en supposant que les droites données soient ab , ex a et que le point aussi donné soit c, ce sera le point d qu'il faudra chercher,, et que l'on trouvera en cherchant une quatrième proportionnelle à ces trois
termes : ae.ecv.bx sera à xd. Ce problème est très utile dans la Perspective.
Problème 16 (fig. 8). Faire passer une Circonférence par trois points
a,b ,c , non en ligne droite.
Nous avons vu qu'une perpendiculaire élevée sur le milieu d'une corde passe toujours par le centre d'un cercle^ par la même raison , la perpendiculaire élevée sur le milieu d'une autre corde dans le même cercle, doit y passer aussi. Ces deux cordes doivent donc se couper au centre. D'après cela , si nous joignons les points a, b, c par des droites ( que nous pourrons considérer comme étant des cordes ) sur le milieu desquelles nous élèverons des perpendiculaires de, fg qui se couperont en h 0 ce point sera le centre cherché, et de l'intervalle ha, hb, ou hc, comme rayon, nous décrirons la circonférence. Le même procédé sert aussi à trouver le centre d'un cercle ou même d'un arc , en prenant sur cet arc trois points à volonté. On peut encore , par le même moyen , circonscrire un cercle à un triangle donné.
Problème 17 (fig. 9). Par un Point a, donné hors d'un cercle, mener une
tangente à ce cercle.
En supposant le problème résolu , on doit se rappeler qu'une tangente est toujours perpendiculaire au rayon , par conséquent l'angle abc est droit ; mais cet angle droit peut appartenir à un autre cercle qui aurait ac pour diamètre , et dont l'angle droit serait à la circonférence ; donc , si on joint le ceutre c et le point a donné par une droite ac , et que du milieu d de cette ligne pour centre, et de da ou de pour rayon, on décrive une circonférence , les points b, e+àe ces deux circonférences seront les points de tangence par lesquels et par a on mènera la tangente demandée à droite ou à gauche.
NOTIONS DE GÉOMÉTRIE. 5g
Problème 18 (fig. 10). Sur une D mite donnée ab , construire une portion de cercle capable d un angle donné A , c'esl-à-tlitv un segmerU tel que tout angle qui y sera inscrit ( ou qui aura son sommet à la circonférence ) soit égal à Vangle donné:
Supposons le problème résolu , que la circonférence demandée soit agbfa, et qu'un angle inscrit, tel que afb, soit égala l'angle A; cet angle inscrit a pour mesure la moitié de Wvc.agb compris entre ses côtés ; il est par conséquent égal à l'angle cab formé par la corde ba et la tangente ac. Maintenant le centre est facile à trouver; car si nous menons une perpendiculaire sur le milieu de ab, et une sur ac au point 0, ces deux perpendiculaires doivent nécessairement passer par le centre, qui sera le point d'intersection e.
Solution. On fera à l'une des extrémités a de la droite ab l'angle bac égal à l'angle donné A; on élèvera sur ac au point a une perpendiculaire indéfinie, ainsi qu'une autre sur le milieu d de ab. Par le point d'intersection e comme centre, et avec ea comme rayon, on décrira une circonférence qui passera par a et. par b, et qui donnera le segment demandé afb , dans lequel tous les angles inscrits seront égaux à l'angle donné A. L'angle afb a pour mesure la moitié de l'arc agb, et comme ces deux arcs forment la circonférence entière dont la moitié, somme des deux angles, vaut deux angles droits , ces deux angles sont supplément l'un de l'autre. On se sert avec avantage de ce problème pour décrire une portion de cercle par un mouvement continu, lorsqu'on ne peut en avoir le centre j ce que l'on va voir dans le problème suivant .
Proiileme 19 (fig. » 0- Décrire, par un mouvement continu, rate portion de circonférence lorsqu'on ne peut en avoir le centre.
Puisque tous les angles qui ont leur sommet à la même circonférence et qui sont appuyés sur un même arc , sont égaux , ré-
6o NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.
ciproquement si plusieurs angles égaux sont appuyés sur un même arc , leurs sommets seront dans une même circonférence , ou, ce qui revient au même, on peut regarder ces différons angles , tels que AùC, Ab'C, etc. , comme le même angle ABC, dont les cotés indéfinis BA , BC glissent entre deux points fixes A , C , et dont le sommet B décrit une circonférence. Plus cet angle sera grand , plus l'arc qu'il décrira sera petit , mais aussi plus le rayon sera grand : par exemple , l'angle d, plus grand que l'angle B, a décrit l'arc AdC plus petit que l'arc ABC j mais comme ces deux arcs appartiennent au même cercle , les rayons sont égaux. Donc le rayon ed du petit arc égale le rayon eB du grand arc \ donc plus l'angle sera grand, plus l'arc sera petit, et plus le rayon sera grand. En sorte que si l'on avait à décrire un arc dont le rayon fût de 5o à Go toises ou mètres , on ne pourrait le faire que par ce moyen, surtout si l'espace où il doit être tracé a peu d'étendue. De plus , si , après avoir tracé l'arc ABC avec l'angle ABC , on fait glisser , entre les deux mêmes points A , C , les côtés indéfinis d'un angle AdC , on décrira l'arc ArfC, et par là on achèvera la circonférence entière.
On peut , d'après ce qui vient d'être dit , tracer cet arc en cherchant plusieurs points : par exemple , si l'on avait à tracer un arc Je 4o° , et dont le rayon serait trop grand pour la place dont on pourrait disposer , mais dont on connaîtrait la corde AB (fig. 12) et la flèche cd , des points A , B et par d on mènera des droites indéfinies Ae, B/; ensuite , de A et B comme centres , et de l'intervalle AB comme rayon , on décrira les arcs indéfinis Aa , B£ ; on divisera les arcs terminés jfar les droite.» Ae, ftf en autant de parties égales qu'on voudra avoir de points , par exemple en trois j on portera ces divisions de e en b , et de /"en a, aux points 4> 5 , G : on mènera les droites Ai, B5, et l'intersection g sera un des points de la courhe. 11 en sera de même des autres points qui seront donnés par les intersections des droites A2 , B4 , etc.
H est facile de sentir la raison de ce problème : car en menant la droite Ai , on diminue l'angle </AB de la valeur de l'arc le ; mais en menant la droite B5,on augmente l'angle JBA de la même quantité dont on avait diminué le premier ; par conséquent l'angle AgB égale l'angle AdB .,■ dont le sommet g appartient à l'arc cherché.
Problème 20 (fig. i3, pl. 5). Etant seulement connus la corde AU et le ^ nombre de degrés que l'arc ADB doit contenir, décrire cet arc.
On supposera que la corde ab représente celle AB , et qu'elle soutient un arc adb de 120% ainsi que l'angle acb, dont le sommet est au centre du cercle. L'angle aeb ayant son sommet à la circonférence , et étant appuyé sur la même corde ab , aura pour mesure la moitié de l'arc adb, compris entre ses côtés ou 6o°. Mais comme l'angle adb est supplément de l'angle aeb, il vaudra donc 120 0 . Connaissant cet angle , il sera facile de le construire avec deux règles, ou bien sur un carton que l'on dé. jupera ; on fera glisser les côtés de cet angle entre deux points fixes A , B , et le sommet D décrira l'arc ADB demandé. Si l'on voulait opérer par points comme dans l'exemple précédent , on n'aurait besoin que de connaître la flèche DE, ce qui est facile. L'angle d ou Dest de 120 0 , par conséquent chacun des angles dab, dba sera de 3o° ; formant donc ces angles aux extrémités de la corde AB , puis menant les côtés , leur point d'intersection sera D , duquel on abaissera sur la corde la perpendiculaire DE, et l'on finira l'opération comme ci-devant.
Problème 21 (fig. 14 ). Sur une Droite ab donnée, décrire un Carré.
Des points a et b, comme centres, et de ab, comme rayon, on décrira les arcs indéfinis acd, bce\ on portera l'arc ac de c en/j on ajoutera une règle de /en b\ on coupera l'arc ac en
6a NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.
deux parties égales au point g; on prendra ag, que l'on portera de c en h et en i; on joindra ces points par les droites hi, ib, ha, et on aura le carré demandé.
Problème 22 (fîg. i5). Inscrire un Exagone régulier clans un cercle donne'.
En supposant le problème résolu, il est évident que le côté ab de l'exagone régulier est la corde d'un arc qui est la sixième partie de la circonférence, ou de 6o°. Or la somme des trois angles d'un triangle quelconque vaut 180 0 . Donc les angles cab, eba, sont chacun de 6o°; donc le triangle abc est équilatéral; donc le coté ab égale ca, rayon du cercle; d'où il suit que si l'on porte six fois le rayon sur la circonférence, et qu'on joigne les points de division par des droites, on aura tracé l'exagone régulier. Il est facile de voir que pour inscrire un polygone régulier dans un cercle donné, il suffit de diviser la circonférence en autant de parties égales que le polygone doit avoir de côtés; il s'agit seulement de savoir quelles sout les divisions de la circonférence qu'on peut faire sans tâtonnement.
Problème 23 ( fîg. 16). Inscrire un Cane dans un cercle donné.
On partagera la circonférence en quatre parties égales, ou, ce qui revient au même, on fera quatre angles droits au centre; par les points de division , on mènera les cordes ab, bc. , etc. Si on partage chacun de ces arcs en deux également, et qu'on mène les cordes, on aura un nouveau polygone régulier d'un nombre de côtés double du premier; ainsi, l'on voit que le carré peut servir à inscrire successivement les polygones de 8, 16, 3a , etc. côtés. De même, l'exagone servira à inscrire les polygones réguliers de 3, 12, 24, etc. côtés; les pentagones, les polygones de 10, 20 , 4°> etc - côtés.
Problème 24 (fîg. 17). Trouver le côté du pentagone régulier , ainsi que celui du décagone inscrit au cercle.
On fera au centre l'angle acb , de 36°, qui sera le dixième de la circonférence. Par conséquent la corde ab sera le coté du décagone. Si l'on porte ce côté de b en d, la corde ad sera le coté du pentagone. Autrement, on élèvera le rayon ce perpendiculairement au diamètre /g, de h, milieu de cg , comme centre, et d'un rayon lie , on décrira Tare ei : la corde ei sera le côté du pentagone, et ic sera celui du décagone. Les raisons sur lesquelles est fondé ce problème , sbnt au-dessus des bornes de cet Ouvrage; on dira seulement que la partie ic , côté du décagone , est le rayon fc, divisé en moyenne et extrême raison.
La théorie des polygones réguliers de 7 , 9 , 1 1 , i3 , etc. côtés , est dans le même cas que le précédent. On peut cependant les trouver d'une manière suffisamment exacte et facile, par le moyen du compas de proportion , instrument très commode pour résoudre une très grande quantité de problèmes.
Problème a5 (pl. VI, fig. 1 ). Sur une Droite donnée ab, inscrire un Pentagone régulier.
Puisqu'un pentagone régulier est composé de cinq triangles, isocèles égaux, dont les côtés sont les bases et dont les sommets sont les centres^ chacun de ces sommets ayant pour mesure le cinquième de la circonférence ou 7 2 0 , les deux angles de la base vaudront chacun 54°. On fera donc ces angles à chacune de ses extrémités a, A; l'intersection c sera le centre du cercle dans lequel le pentagone doit être inscrit, et le côté ca ou cb en sera par conséquent le rayon. Il en sera de même pour tous les autres polygones.
6j NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.
Troblè je aG (fig. 3). Rectifier la circonférence dun cercle ^c'est-à-dire trouver une droite qui, à peu de chose près, soil égale à la circonférence dun cercle donné.
Selon Archimède, le rapport du diamètre à la circonférence est , à peu de chose près, comme 7 est à 22. Il faut donc diviser le diamètre ab en sept parties égales , et porter vingt-deux de ces parties sur une droite de a en c. Un autre auteur prétend que le rapport de huit à vingt-cinq est beaucoup plus approchant, et est par conséquent préférable.
Problème 27 (fig- S). Réduire les dimensions dune Figure en, conservant sa forme exactement ; ou construire une Figure plus petite que la figure donnée.
Lorsqu'on veut réduire une figure du grand au petit, le moyen le plus ordinaire est de réduire l'échelle de la grande figure dans le rapport demandé; mais ce moyen est insuffisant, car il est très difficile de diviser exactement les petites parties d'une échelle, surtout lorsque cette échelle est elle-même fort petite. Un moyen simple, juste et plus expéditif, serait donc préférable. Lé guivant, fondé sur les proportions, réunit tous ces avantages.
Soit le polygone ABCDE, qu'on se propose de réduire en un ' autre semblable, mais plus petit , tel que abede , dont le contour soit à celui du premier comme ab : AB. Pour y parvenir , on tracera une droite indéfinie ax , sur laquelle on portera de a' en b 1 un côté quelconque de la grande figure (le plus grand est préférable), tel que AE ; de a', comme centre, et de ab', comme rayon , on décrira l'arc indéfini b'f, sur lequel on portera la longueur du côté donné ab, de b' en f\ et par les points a'f on mènera la droite indéfinie afg, ce qui donnera l'angle fàb', qu'on nomma angle de réduction, dans lequel on voit que le rayon a'b' et la
corde b'f sont les deux termes du rapport proposé, et que le triangle fafb' est isocèle.
Veut-on, par exemple, avoir le côté BC; on prendra la longueur de ce côté , que l'on portera de a eu c, et de «'en A, c'està-dire sur les côtés de l'angle de réduction ; la longueur c'h sera le côté cherché , qu'on portera en b , et avec lequel , pour rayon on décrira l'arc i7fc, sur lequel arcdoit se trouver le point c \ on prendra ensuite la longueur AC , qu'on portera sur l'angle de réduction de a! en /, et de a? en #w; on prendra la longueur ml; on posera une des pointes du compas en «, et, avec l'autre, on coupera l'arc £ft,5 le point d'intersection sera la position de c, par lequel on mènera le côté bc\ il en sera de même de tous les autres angles de la ligure. Il est facile de voir qu'on aura toujours cette série de rapports, ab' : b'f:: a'c : c'h :: a'I : Im, etc.
Cette manière d'opérer ne pourrait servir que jusqu'à un certain point dans les cas où l'on voudrait résoudre ce problème en sens inverse , c'est-à-dire si l'on se proposait de faire une figure ABCDE, semblable à la ligure abcde , mais plus grande. On s'aperçoit d'abord que la longueur du côté AB ne pourrait pas couper l'arc indéfini, fig. z, fait avec le côté ab de la petite figure: dans ce cas, on ne porterait sur cet arc que la moitié, le tiers ou le quart de AB , qu'on serait obligé à chaque fois de doubler, tripler, etc., en portant deux fois la corde At>, si elle n'est que la moitié, comme dans cet exemple, trois fois , si etc. , sur une droite indéfinie , dont on prendrait la somme.
Problème 28 (fig. 4-) Construire une Echelle (jui contienne, t* des unités, 2 0 des dixièmes et 3° des centièmes d'unité.
On entend par échelle une droite qui sert à mesurer tontes les lignes d'un plan ou d'une carte. On se sert ordinairement d'une droite divisée en parties égales, comme .rr, qui contient, des unités et des dixièmes d'unité. Si l'unité principale de celte
échelle est un mètre, les parties de xy seront des dixièmes de mètre ou des décimètres; mais si l'on avait besoin de centièmes de mètre ou de centimètres, de millièmes de mètre ou de millimètres, etc., on sent qu'il serait presque impossible de sousdiviser d'aussi petites parties. 11 faudrait donc que ces dernières parties, pour être distinctes, fussent portées sur des lignes diûereates : c'est à quoi l'on parviendra , en s'y prenant de la manière suivante. Soit la droite AB, égale àaj, ouàun mètre de longueur, divisée en dix parties égales ou décimètres; on a besoin d'avoir des centimètres*, ou la dixième partie d'une des divisions de AB. Pour cela, on formera un triangle ABC , qui ait pour côté cette même ligne AB , et pour base une de ses divisions , ou , ce qui est la même chose, un dixième de cette ligne; ensuite, par chacun des points i , 2, 3, 4> 5, etc. , on mènera des parallèles à la base, et on aura cette suite de rapports : Ai : \d :: A 2 : 2e :: A3 : 3/, etc. On voit qu'il faudra dix parties comme id pour égaler la base BC; id est donc un dixième de BC ; par la même raison, ie vaudra deux dixièmes, 3/ trois dixièmes, etc. Si id est un dixième de BC ou de Ai, il vaudra donc un centième de AB; donc chacune des parallèles contiendra autant de dixièmes de Ai , ou de centièmes de AB, que son chiffre l'indique.
Construction d'une Échelle. On divisera une droite indéfinie ab (lig. 4) en autant de parties égales qu'on voudra avoir d'unités principales, plus une, par exemple deux mètres ; on divisera la ligne donnée en trois parties , dont la première sera ao , la seconde 01 , et la troisième 1,2; la première partie, «o, contiendra dix parties de l'unité principale, en commençant par o, 1 , 1 , 3,4,5, 6, 7, 8, 9,9«. Par chacun des points a, o, 1, 2, etc., on abaissera des perpendiculaires ; on portera sur la première et la dernière dix parties arbitraires, mais égales entre elles, et par les points de division on mènera des parallèles à ab; on divisera
la partie cd en dix parties égales à celles de <zo; de o, à la première division d'en bas on mènera une transversale , et ainsi de suite jusqu'à la neuvième, et 1 échelle sera construite. Veut-on , par exemple, avoir 75 parties, ou 7 décimètres 5 centimètres; on prendra avec le compas la longueur 07 , qu'on portera sur la perpendiculaire od au point 5; de ce point et sur sa parallèle, on ouvrira le compas jusqu'à la transversale 7 : la distance 5x sera le nombre cherché. Exemple d'une échelle de toises (fig. 5).
Problème 29 (fig. 6.) Construire un Angle d un nombre de degrés dcmantlé.
On peut résoudre ce problème de deux manières et par le moyen de deux instrument diôerens. Le premier est nommé rapporteur: c'est un demi-cercle de cuivre ou de corne, divisé en 180°; Vautre est le confpas de proportion , sur lequel sont gravées deux lignes appelées lignes des cordes.
Soit ab la droite sur laquelle on se propose de faire un angle de 65 e . En un point c on placera le rapporteur de manière que son centre soit en c, et que l'instrument soit aligné dans la direction ab; on comptera le nombre de degrés demandé, et l'on marquera un point d à la circonférence; on otara l'instrument et on mènera la droite bc : l'angle acd sera l'angle demandé.
S'il s'agissait de connaître le nombre de degrés d'un angle donné , par exemple l'angle acd , on placerait le rapporteur comme on le voit ici , c'est-à-dire le centre au sommet de l'angle, et l'instrument aligné sur un des cotés de l'angle.
Autrement, par le compas de proportion, soit la droite ab (même fig.) , sur laquelle on veut construire un angle de 65 e au point c : on ouvrira le compas à volonté; de cette ouverture, comme rayon, et de c, comme centre, on décrira l'arc indéfini ad; on portera cette même euvertnre sur le compas de proportion , que l'on ouvrira de manière que les deux pointes du compas ordinaire tombent sur les points 60, 60; on laissera l'instrument
dans cet état , et , avec le compas , on prendra la distance des points 65, 65, qu'on portera sur l'arc ad, de a en d, et on mènera la droite cd; l'angle acd sera de 65°. Si l'on voulait connaître la valeur d'un angle donné acd, du sommet de cet angle, avec une ouverture quelconque de compas, on décrirait un arc ef; on porterait cette même ouverture sur le compas de proportion , qui serait ouvert de manière que les pointes du compas tombassent sur les points 6o, 6o; alors on prendrait la corde ef, qu'on porterait sur les points qui conviendront , qui sont ici 65.
Article additionnel.
Voici une manière nouvelle et plus commode que celle que nous avons donnée ci-dessus , pour construire une figure plus grande qu'uncautre ligure donnée, et dans un rapport quelconque (tig. 7). Soit le polygone Y, que nous nous proposons de faire un certain nombre de fois plus grand, par exemple trois fois; tel est le polygone y. Prenons à volonté une ouverture de compas, toutefois un peu plus grande que le plus long coté, ou mieux encore que la plus grande diagonale de la ligure originale, telle que CB (ce (jue nous n'avons pu faire ici faute d'espace). Nous porterons cette longueur sur une droite indéfinie, de zéro en 1, 2, 3, de zéro , comme centre , et avec les distances 01 , o3 , comme rayons; nous décrirons les arcs indéfinis ig, 3h , et notre instrument sera construit. Voulons-nous avoir, par exemple, la longueur que doit donner le côté AB; portons ce côté sur l'arc ig, de 1 en i; menons le rayon 01 prolongé jusqu'à l'arc 3// , qu'il coupera eu /, et la corde 3/ sera le côté ab cherebé, quel que soit son rapport avec l'original AB; car nous aurons toujours une proportion semblable à celle-ci : 01 : if :: o3 : 3/. Il en sera de même de toutes les autres lignes de la figure Y.
