NOTIONS DE GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE , OU THÉORIE DES PROJECTIONS

La Géométrie descriptive a pour objet d'enseigner la manière de représenter (ou dessiner) sur une surface plane un corps ou solide quelconque, dont les dimensions peuvent être connues.

Une longue expérience a fait reconnaître que le moyen le plus simple pour parvenir à ce but, était de considérer ce corps par ses rapports avec deux plans perpendiculaires entre eux, dont l'un est horizontal, et l'autre par conséquent est vertical. Nous allons tacher d'éclaircir ceci par des exemples (tig. i , pl. I).

Si d'un point quelconque , A ou B , nous menons une droite à un plan cd ou ef, l'extrémité a ou ou bien l'intersection de cette droite avec le plan , se nomme projection du point. Ainsi a et b sont les projections des points A, B. Si les projections sont faites sur un plan horizontal , comme cd, on les nomme projections horizontales; et lorsqu'elles sont faites sur un plan vertical , comme ef, on les nomme projections verticales. Si la droite menée du point au plan est perpendiculaire à ce plan , comme Aa, Aaf, on dit que la projection est perpendiculaire; et lorsque cette droite est oblique au plan, comme B£, B#, on la nomme projection oblique. Les plans sur lesquels on fait les projections se nomment tout simplement plans de projections. Nous ne nous occuperons d'abord que des projections perpendiculaires (fi g. 2).

7 o NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

Il suit de ce qui vient d'être dit , que si de plusieurs points A , B, C, D, etc. , de la surface d'ua corps, nous abaissons des perpendiculaires sur les plans ef,fg, gh, les extrémités de ces lignes seront les projections des points originaux A, B, etc. Ainsi, les jpoints a, b, c, d\ a r b\ c, «T; «*, b% c , <f, seront les projections horizontales et verticales des points A, B, C, D; et la liaison ou réunion de ces points de projection par des droites correspondante» aux lignes ou arêtes qwi lient les points A, B, C, D, formera les projections du corps donné; car il est facile de voir que les droites ab, a'b' sont les projections de l'arête AB, et ainsi des autres; que les triangles abc, atfc sont les projections du triangle ou face ABC, etc. Done les figures qui sont sur les plans ef,fg, gh, sont les projections horizontale et verticale du corps ou tétraèdre Y. Ces deux sortes de projections sont généralement connues dans les Arts sous les noms de plan et d 3 'élévation ; mais comme on. est souvent dans le cas de faire des projections de plans ou surfaces planes , on serait obligé, pour les exprimer, de dire des plans de plans, ce qoi no serait pas très clair; on a donc préféré de les nommer projectiom horizontales et verticales.

D après ce que nous venons d'exposer, nous devons facilement sentir que le premier pas à faire dans la science des projection» consiste principalement à bien entendre les projections à?un point , ou , ce qui est ïa même chose , savoir déterminer la position d'un point dans l'espace; car lorsque nous saturons projeter un point, nous saurons nécessairetnent en projeter deux; or, comme deux points déterminent la direction d'une ligne droite', nous saurons par conséquent foire la projection d'une droite , et , par une semblable conséquence, nous saurons faire la projection d'une surface , ainsi que celle d'un solide, puisque cette opération n'est qu'une suite ou répétition de la première.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 71 Problème premier. Déterminer la position d'un peint donné dont V espace

Soit A le point donné. Concevons un plan indéfini bc passant par ce point, il est évident que le point sera situé dans ce plan ; mais comme une infinité d'autres points peuvent aussi être contenus dans ce même plan, leur position sera commune à tous, par conséquent la position de A ne pouvant pas être distinguée de celles des autres points , ne sera pas déterminée; donc un plan . n'est pas suffisant pour déterminer la position d'un point dans l'espace. Si à une distance quelconque de A, telle que Aa, nous concevons un second plan de, perpendiculaire au premier, ces deux plans se couperont selon la droite ba, le point A se trouvera donc dans le plan bc , et à la distance Aa du second plan de; mais une infinité d'autres points, tels que a, etc. , peuvent aussi se trouver dans le premier plan et à la même distance du second; par conséquent la position de A n'est pas encore entièrement déterminée. Nous voyons donc que deux plans ne suffisent pas pour fixer la position de A. Concevons encore un troisième plan ef, qui soit perpendiculaire aux deux premiers et aussi à une distance quelconque de A , telle que à, ce troisième plan coupera les deux autres selon les droites &c, eg. Nous pouvons voir actuellement que A se trouve, i° dans le plan bc, 2' à la distance Aa du second plan de, 3* à la distance Ad du troisième plan ef; et comme il ne peut y avoir que lui qui puisse satisfaire à ces trois conditions, sa position par rapport à ces trois plans se trouvera donc déterminée. Donc la position d'un point donné dans l'espaça est déterminée par trois plans perpendiculaires entre eux. 11 n'est pas nécessaire que l'un de ces plans passe par le point donné.

Problème a. Un point étant donné dans l 'espace , trouver, i* ses projectHms ; a* les projections d'un point étant données, trouver la position de ce point dans l'espace (fig. 4)«

Soit A le point donné; abaissons de ce point, sur chacun des deux plans de projection de, ef, une perpendiculaire Aa, Aa'; les points a, «' seront les projections de A, ainsi que nous l'avons déjà vu : la première partie du problème est donc résolue. 4 Maintenant faisons abstraction du point original A , et ne considérons que ses projections a , a . De chacun de ces points concevons une perpendiculaire indéfinie élevée sur chacun des deux plans, nous verrons que ces deux lignes s'entrecouperont nécessairement au point A, puisque, par la première opération, ces perpendiculaires sont émanées de ce point sur chacun de ces doux plans. La position de A dans l'espace se trouve donc ainsi déterminée par la considération de ses seules projections;» par conséquent cette seconde partie du problème se trouve aussi résolue. Donc les projections d'un point déterminent la position de ce point dans l'espace Si nous concevons le point A , situé dans le plan hc (comme dans la fig. 3), nous verrons que les |>erpendiculaires Aa , Aa' forment, avec une portion des intersections des plans de projections avec le plan bc , un quadrilatère dont les angles sont droits, et dont les cotés opposés sont égaux et parallèles entre eux; par conséquent a'a, étant égal à Aa , indique aussi bien que ce dernier la hauteur de A au-dessus du plan horizontal. Par la même raison aa indique, de même que a' A y la distance' de A au plan vertical ef. La seule inspection des projections d'un point suffit donc pour nous donner une Mée précise de la position d'un point dans l'espace, par rapport aux deux plans de projection.

Un point peut être donné de trois manières différentes, par

rapport aux deux plans de projections, i° hors des deux plans, comme A; i" dans un des deux plans, comme H et 1; 3 e entin dans les deux plans, comme J . Dans cesdifférenscas, nous n'éprouverons aucune difliculté dans la recherche des projections de ce point. Ainsi, par exemple, nous voulons avoir les projections de H et nous savons déjà que pour avoir les projections d'un point , il ne s'agit que d'ahaisscr de ce point une perpendiculaire sur chacun dos deux plans; or, puisque H est situé dans le plan vertical, la perpendiculaire ahaissée du point sur ce plan sera zéro. Dans ce cas, la projection verticale se trouve confondue avec le }K>inl donné, ou bien, ce qui est la même chose, H sera eu même temps le point donné et sa projection verticale. Il ne nous reste donc qu'à abaisser une perpendiculaire Hh sur le plan horizontal , et h sera la projection horizontale de H. 11 en sera de même du point 1, qui aura pour projection verticale i. A l'égard du point S , il est évident que les perpendiculaires abaissées de ce point sur les plans sont nulles; par conséquent ce point et ses projections seront confondus.

Concevons maintenant le plan vertical ef tournant sur la droite eg comme autour d'une charnière, jusqu'à ce qu'il soit dans le prolongement du plan horizontal. Par co mouvement , le plan vertical aura décrit l'arc jf, ou un quart de cercle, par conséquent les droites aa', h II auront décrit dans le même temps un semblable arc, dont les centres seront en a et h , et dont les rayons seront les mêmes qu'avant le mouvement du plan; de plus , ils seront restes perpendiculaires à eg\ donc ces droites, dans cette nouvelle situation, indiqueront aussi bien la position des points A , H , etc. , qu'elles le faisaient lorsqu'elles étaient dans une position verticale; car aa' horizontale égale ao' verticale, etc. Il est donc indifférent pour nous que le plan ef soit vertical ou horizontal , puisque ses propriétés sont restées les mêmes. 11 nous convient seulement de toujours considérer le plan ef, dans cette

seconde position , comme étant constamment le plan vertical. Nous sommes obliges de faire cette supposition , afin de faciliter les opérations, qui, sans cela, ne pourraient pas se faire , opérations que jusqu'ici nous n'avons fait qu'indiquer par des figures eu perspectives , moyen que nous emploierons toutes les fois que nous le croirons, nécessaire. Nous allons nous occuper à résoudre le même problème par construction (fig. Set i , pl. a).

La figure 5 est la même que la figure 4 > vue en face. La figure 1, pl. 1, représente les deux plans de projection dans leurs dimensions réelles , c'est-à-dire sans être en perspective \ le olan vertical étant couché dans le prolongement du plan horizontal et séparé de ce dernier par la droite eg , sur laquelle le plan vertical est censé avoir tourné , nous nommerons dorénavant cette ligne, commune section des deux plans. Ainsi la partie inférieure ou au-dessous de cette ligne, sera considérée comme étant le plan horizontal , et la partie supérieure comme étant le plan vertical. Ce sont les mêmes points et les mêmes lettres que dans les figures 4 et 5. Afin qu'il soit plus facile d'en bien sentir l'analogie, nous allons tacher de nous former une idée exacte de la position des points dont nous venons de parler. Nous voyons d'abord que le point original A des figures 4 > 5 , doit être situé figure 1 , à trois mètres de distance de la commune section eg, ou du plan vertical, et déplus, qu'il Qoïl être dans une verticale élevée de a y projection horizontale de A.- Observons que a, projection verticale de A, est élevé au - dessus de eg de la même quantité que A ( fig. 5 ) est élevé au - dessus de a ou du plan horizontal ; or nous voyons que a ( fig. 1 ) est élevé au-dessus de eg ou du plan horizontal, de quatre mètres; donc le point original A doit être élevé de quatre mètres perpendiculairement audessus de a , et par conséquent du plan horizontal. Concevons maintenant que le pian eg soit relevé sur eg , dans sa première position verticale, tel qu'il est figure 5 , et imaginons une ho-

rizontale indéfinie menée de a'; cette ligne conpera la verticale élevée sur a , à quatre mètres au-dessus de a , ou du plan horizontal. Voulons-nous trouver la position du point H, nous voyons que h , projection horizontale de H , est sur eg, par conséquent à zéro de distance du plan vertical, et que sa projection verticale, qui est confondue avec son point original , est élevée au-dessus de eg de deux mètres; donc H est situé dans le plan vertical , à deux mètres de hauteur au-dessus du plan horizontal. 11 en sera de même des points I , J , que nous trouverons avec autant de facilité. Nous nous sommes un peu étendus sur ce premier article, parce qu'il est le fondement ou la clef de tout ce qui nous reste à dire , et que nous ne devons pas le passer sans l'avoir parfaitement compris.

D'après ce que nous venons de voir , on pourrait nous demander de trouver les projections d'un point original élevé au-dessus du plan horizontal , d'une quantité donnée quelconque , et distant du plan vertical d'une quantité aussi donnée quelconque.

Solution (fig. i). D'un point a, pris arbitrairement sur eg, élevons sur cette ligne une perpendiculaire indéfinie dans les deux plans, et sur laquelle nous porterons d'abord , dans le plan vertical , la hauteur demandée de a en a', et la distance demandée du point au plan vertical de a en a , dans le plan horizontal , et le problème sera résolu. Cêtte disposition des deux plans ne change donc nullement les indications de la position d'un point dans l'espace; donc la position d'un point donné dans l'espace , est déterminée en- menant de ce point une perpendiculaire aux deux plans de projection , et réciproquement l'intersection des perpendiculaires aux plans de projection, et menées par chacune des projections d un point, détermine la position de ce point dans l'espace.

Des Lignes droites et des Plans (tig. 4 et >> P 1 - 1 )•

Considérons maintenant Aa, Ad, comme étant deux droites perpendiculaires à chacun des plans de projection. Puisque nous avoué trouvé , par les opérations précédentes , les projections de leurs extrémités , nous avons doue aussi nécessairement les projections de ces lignes; car la perpendiculaire abaissée de A, sur le plan horizontal, passe aussr par sou autre extrémité a\ le point a réunira donc les projections des deux extrémités de la droite Aa\ donc a sera la projection horizontale de la perpendiculaire Aa. Nous pouvons donc faire le même raisonnement à l'égard de la droite Ad, par rapport au plan vertical , doù nous pourrons conclure que lorsqu'une droite est perpendiculaire à l'un des plans de projection , elle n'a sur ce plan qu'un point pour projection.

Nous devons facilement voir que chacune de ces deux droites est jKirallèleàun des plans de projection ; ainsi Aa est parallèle au plan vertical , par conséquent sa projection sur ce plan sera «a : mais a a égale Aa, de même que an, projection de Aa\ égale cette dernière; donc, lorsqu'une droite est parallèle à l'un des plans de projection, sa projection sur ce plan sera une droite de même longueur.

Remarquons encore que les droites Aa , Aa' sont contenues dans le plan 6c, que ce plan est perpendiculaire aux plans de projection, et que ses traces ba, ca sont aussi perpendiculaires à la commune section eg; de plus, les projections aa, «'a étant dans les traces Aa , ca de ce plan seront donc aussi perpendiculaires à eg. Donc, i° lorsqu'un plan est perpendiculaire aujr deux plans de projection, ses traces ou intersections sont perpendiculaires à la commune section de ces deux plans; 2° lorsqu'une droite est dans un plan perpendiculaire aux plans de

projection, les projections de cette droite sont perpendiculaires à la commune section des plans de projection*

La droite AB (fig. 2 et 3 , pl. a) est parallèle aux deux plans, puisque ses extrémités sont également éloignées de chacun de ces plans ; il en sera nécessairement de même des projections ab, a'b 1 de cette ligne. Donc lorsqu'une droite est parallèle aux deux plans de projection, les projections de cette ligne sont parallèles à la commune section îles deux plans ; et réciproquement, lorsque les projections d'une droite sont parallèles à fa commune section des detix plans, la droite que ces projections représentent dans l'espace, sera aussi parallèle à ces deux plans.

Concevons deux plans AA, Ab', perpendiculaires à chacun des plans de projection et passant par la droite AB, ces plans auront pour projection sur chacun des plans auxquels ils sont perpendiculaires, les projections de la droite AB; ainsi ab sera la projection ou la trace horizontale du plan AB, et a'b' sera la projection ou trace verticale du plan Ab'. Donc lorsqu'un plan est perpendiculaire à un des plans de projection, sa projection ou trace sur ce plan sera une droite. Observons que Je plan Ab est parallèle au plau vertical , et par conséquent à la commune section cd; sa projection ab est aussi parallèle à cd\ il en est de même du plan Ab', qui est parallèle au plan horizontal; sa projection ab' sera de même parallèle à cd\ donc lorsqu'un plan est parallèle à l'un des plans de projection , sa projection ou sa trace sur l'autre plan sera parallèle à la commune section.

Si , des quatre angles du plan AB, nous abaissons des perpendiculaires au plan vertical, nous aurons pour projection de chacun dé ces angles les points ab , a'b'\ joignons ces points par des droites, nous aurons le quadrilatère ab pour projection du plan Ab\ et comme ce dernier plan est parallèle au plan vertical, ces deux figures A&, ab' seront égales et semblables; il en sera de même à l'égard du plan Ab\ qui est parallèle au plan

zontal et qui aura sur ce plau , pour projection , le quadrilatère ah, égal et semblable au plan Ab' . Donc lorsqu'un plan est parallèle à t un des plans de projection, il aura pour projection sur ce plan une figure qui lui sera égale et semblable.

Nous voyons donc qu'un plan peut être situé de différentes manières à l'égard des deux plans de projections. Examinons maintenant sa position lorsqu'il est perpendiculaire à l'un des deux plans seulement. Soit le plan AB (fi g. 4) perpendiculaire au plan vertical et incliné au plan horizontal; nous voyons que sa trace horizontale AG est perpendiculaire à la commune section , et que sa trace verticale GB est inclinée à cette même commune section. Le plan DE est au contraire perpendiculaire au plan horizontal et incliné au plan vertical. Remarquons que sa t race verticale EF est perpendiculaire à la commune section , et que sa trace horizontale DF est inclinée à cette même commune section , ce qui est le contraire du "cas précédent. Donc lorsqu'un plan est perpendiculaire à l'un des plans de projection, sa trace sur l'autre plan est perpendiculaire à la commune section des deux plans. La figure 5 est la projection dans les vraies dimensions de la figure 4 > et est analogue aux figures i et 3.

Nous savons que trois points déterminent la position d'un plan , aussi voyons-nous que ces deux plans sont déterminés par trois lettres qui fixent leurs traces. Donc un plan est donné lorsqu'on a ses traces dans chacun des deux plans. Le plan AB (fig. 6 et 7) étant incliné aux deux plans, ses traces AG, GB ne seront pas per|>endiculaires sur de ) donc lorsqu'un plan est incliné aux deux plans de projection , ses traces sur ces plans ne sont pas petpendiculaires sur leur commune section. Nous avons pour le moment une connaissance suffisante des différentes positions d'une surface plane par rapport aux plans de projection , pour être en état de reprendre les opérations sur les lignes droites , que nou* ne pouvions pas continuer sans la connaissance de ces notions.

Problème 3. Étant données les projections dune droite, inclinée aux plans de projection, trouver \° la longueur de cette ligne, a° l'angle quelle fait avec

Soient A b, AH (fig. i , pl. 3) les projections de la droite donnée ) observons (fig. 2) que AB est la droite originale que nous cherchons , et qui est censée avoir produit les projections de la figure 1 . Nous voyons d'abord que l'extrémité A de cette droite est commune aux deux plans, puisque ce point est sur leur commune section, b est la projection horizontale de B, et est par conséquent l'extrémité de la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan horizontal; puisque A et b sont les projections des extrémités A, B de la droite AB, Ab sera donc la projection horizontale de AB. La droite Bb étant perpendiculaire au plan horizontal , le sera nécessairement aussi à la projection M , puisque nous avons vu, en Géométrie, qu'une droite perpendiculaire à un plan est aussi perpendiculaire à toutes les droites menées dans ce plan du pied de cette perpendiculaire ; par conséquent l'angle b sera droit. Nous aurons donc un triangle rectangle dont la perpendiculaire Bb et bA seront les côtés, et dont la droite originale AB sera l'hypoténuse! Or, nous savons que dans un triangle rectangle, lorsqu'on connaît deux côtés et Paugle droit compris entre ces côtés , on conuaîtra nécessairement le troisième ou l'hypoténuse. Le même raisonnement aura lieu à l'égard de la projection verticale Ab'. Donc lorsqu'une droite est inclinée à un des plans de projection, elle est l'hypoténuse a* un triangle rectangle ; et comme l'hypoténuse est toujours plus grande que chacun des deux autres côtés , il s'ensuit que la projection d'une droite inclinée à un plan est toujours moins longue que cette mente droite.

11 suit de ce qui vient d'être dit, qu'il y a plusieurs moyens

So NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

de connaître la longueur d'une droite dont on n'a que les projections. i°. On peut construire à part un triangle rectangle, en prenant pour côtés la projection Ab et la perpendiculaire l'hypoténuse sera la ligne cherchée. 2°. On portera la longueur de Ab sur la commune section de b en a , ce qui donnera le premier côté du triangle-, la perpendiculaire b'b sera le second , et l'hypoténuse a// sera la longueur cherchée. 3°. Nous savons qu'un triangle est un plan triangulaire , nous concevrons ce triangle BM tournant sur sa base Ai jusqu'à ce qu'il soit couché dans le plan horizontal en AôB' ; par ce mouvement, ce triangle n'aura rien perdu de ses dimensions, et comme nous ne pouvons opérer en l'air , ces trois manières nous seront toujours possibles; la dernière surtout est souvent employée avec avantage. Ainsi , si nous voulons connaître la longueur de la ligne originale dont nous n'avons que les projections Ab, Ab> (lig. i); de 6, élevons sur Ab une perpendiculaire indéfinie sur laquelle nous porterons la hauteur bb' de b en B'; nous remuerons la droite AB', qui sera l'hypoténuse du triangle AbB ou la longueur cherchée. Quant à l'angle que la droite originale fait avec le plan horizontal , nous devons facilement voir que c'est l'angle B'A£, en concevant ce triangle relevé verticalement sur sa base Ab. A l'égard de la seconde partie du problème, c'est-àdire l'angle que fait la droite avec le plan vertical , il n'y aura pas plus de difficultés. Du point b' élevons une perpendiculaire indéfinie à Ab', sur laquelle nous porterons bb de b' en B', et Fangle #AB' sera l'angle cherché. La raison de cette opération est que bb est la distance de l'extrémité B de la droite originale au plan vertical. Pour faciliter l'intelligence de ce problème , nous allons le proposer d'une manière plus générale.

Problème 4* ^ es projections d'une droite étant données, ainsi qu'une portion prise sur Vune dettes , trouver, i° la droite que cette portion représente, a° r angle que cette droite fait avec chacun des plans de projection Cfig.3).

Soient ab, ab' les projections données, ainsi que la portion cd prise sur cette projection horizontale. Nous voyons ( fig. 4) que tous les points de la droite AB sont nécessairement correspond dans à tous les points de ses projections. Donc, si des points c, d (tig. 3) nous élevons des perpendiculaires indéfinies à la commune section , ces lignes couperont la projection verticale a'b' aux points d, â, et la droite dà sera la projection verticale de la portion cherchée. Le plus difficile est trouvé ; le reste de l'opération se passe comme dans le cas précédent , ainsi que nous allons le voir. Des points c, d, élevons sur ab des perpendiculaires indéfinies, sur lesquelles nous porterons ce de c en C , et de? de d en D ; nous mènerons la droite CD, qui sera la longueur cherchée. , Ensuite nous mènerons Ce parallèlement à cd, et l'angle DCe sera l'inclinaison de CD sur le plan horizontal. Il en sera de même pour la projection verticale. Nous avons vu que la position d'un point dans l'espace se trouvait à l'intersection de deux perpendiculaires élevées de ses projections sur chacun des deux plans. Concevons de même un plan élevé perpendiculairement sur chacune des projections ab, a'b' ( fig. 4) (telles que nous les voyons dans la figure ombrée), nous verrons que la droite originale se trouvera à l'intersection de ces deux plans. Donc la position d'une droite dans T espace se trouve déterminée par t intersection de deux plans perpendiculaires aux plans de projection, et passant par les projections de cette même droite.

Problème 5 (lig. 5). Étant données les projections ab, a'b' dune droite t trouver les points où cette droite supposée prolongée doit rencontrer les plans de projection.

Supposons le problème résolu dans la figure 6. Nous voyous d'abord que si la droite AB était prolongée vers ses deux extrémités, elle rencontrerait le plan horizontal en c et le plan vertical en d ; les projections de cette ligne se trouveront prolongées dans le même rapport : ainsi la projection sera devenue cd, et la projection verticale sera cd. D'après cela le problème ne sera pas difficile à résoudre : nous n'avons qu'à prolonger les projections ab, ab' (lig. 5) de part et d'autre, et, où l'une des deux rencontrera la commune section , mener à l'autre une perpendiculaire à cette même commune section , et les points d'intersections de ces perpendiculaires avec les projections seront les points cherchés. Par exemple, la projection verticale coupe xy en c, il est évident que ce point touche le plan horizontal ; de ce même point abaissons sur xy une perpendiculaire qui coupera la projection horizontale en c, qui sera le point cherché; ensuite, pour la projection horizontale, il est de même évident que d, extrémité de cd, touche le plan vertical , puisqu'il est situé sur xy. Elevons donc de ce point sur xy une perpendiculaire qui coupera la projection verticale en d, qui sera le second point cherché.

Problème 6. Étant données les projections ab, a'b' dune droite et celles dun jtoint , mener par ce point une parallèle à la droite donnée (Kg. 7).

La droite originale AB, dont nous n'avons ici que les projections, est représentée (lig. 8) et est parallèle à une autre droite DE. Concevons un plan passant par chacune de ces droites et par leurs projections, il est clair que ces plans, ainsi que leurs traces, seront aussi parallèles entre eux, et ces traces sont les projections

sur lesquelles est situé le point donné c. Nous voyons donc que , pour résoudre ce problème , il faut , par les points ce', mener une parallèle aux projections données, ce que nous appliquerons à la ligure 7 ; et nous en conclurons que deux droites parallèles entre elles dans l'espace, ont leurs projections aussi parallèles entre elles sur un même plan; et réciproquement , que lorsque les projections de deux droites sont parallèles entre elles, elles représentent des droites dans l'espace, aussi parallèles entre elles .

Problème 7 (fïg. i , pl. 4)* Etant données les projections de deux droites ab, cd/dh'ycd', qui secoupentdans V espace , trouver l'angle que ces lignes font entre elles.

Nous voyons (fig. 2 ) que les droites originales en question, AB, CD, se coupent en E. Concevons un plan passant par ces droites, et rencontrant le plan horizontal; la trace AC de ce plan sera la base d'un triangle ACE, dont l'angle plan AEC sera l'angle que font ces deux lignes. Si ce triangle était vertical , il n'y aurait aucune difficulté à connaître la valeur de l'angle; mais - comme il est incliné aux deux plans de projection , il- faut chercher un moyen de vaincre cette difficulté en couchant ce triangle dans le plan horizontal, et en le faisant tourner sur sa base AC. Pour y parvenir, du sommet E abaissons une perpendiculaire au plan horizontal, ce qui nous donnera e pour projection de E, et la droite eE pour hauteur du sommet E au-dessus du> plau horizontal. Nous avons donc un triangle dont la hauteur eE sera un des côtés, ef, projection de la perpendiculaire; TLf, abaissée du sommet sur la base, sera le second côté, et enfin /E sera le troisième coté ou l'hypoténuse. Couchons ce triangle dans le plan horizontal en le faisant tourner sur sa base fe, de f comme centre; et de l'hypoténuse fEÎ , comme rayon, décrivons l'arc E'gE", qui' se terminera sur le prolongement de ef en E"; me-

nons les droites AE", E'C, et l'angle AE'C sera l'angle cherché; car le triangle AEC est le triangle AEC ayant tourné sur sa base AC et couché dans le plan horizontal. Nous n'avons pas besoin de

dire que ee, projection de cE , est égale à cette dernière ligne. Appliquons ce que nous venons de dire à la solution de notre problème ( fig. i ); de e élevons sur ef une perpendiculaire indéfinie, sur laquelle nous porterons ee ; menons la droite /E'; prenons cette ligne pour rayon, et de/, comme centre, décrivons l'arc E'gE", qui coupera le prolongement de ef en E'; menons les droites aFJ'cK", et nous aurons l'angle cherché aJL'c. Remarquons que dans ces deux figures les projections du point d'intersection des deux droites se trouvent dans une seule et même droite perpendiculaire à hi, ce qui ne peut être autrement. Donc les projections du point d'intersection de deux droites qui se coupent dans l'espace sont dans une seule et même droite perpendicidaire a la commune section des deux plans de projections ; et réciproquement.

Problème 8 ( fig. 3). Les projections Ab, \b' , Qd, cd de deux droites étant données, déterminer si les lignes qu'elles représentent dans /opace, se coupent ou non.

A la première inspection de ces projections qui se coupent , nous pourrions croire que les lignes originales qu'elles représentent dans l'espace, se coupent aussi. Nous serions dans l'erreur; car, d'après le théorème de l'exemple précédent, nous vovons que les intersections de ces lignes ne sont pas dans une seule et même perpendiculaire à gh. Pour nous en assurer, examinons la figure 4 > dans laquelle nous verrons que les droites originales AB , CD ne se coupent pas , et que cependant leurs projections Al*, Ab', Cd, ca* se coupent; de plus, du point d'intersection e, élevons une perpendiculaire au plan horizontal , nous verrons que

cette ligne coupera la droite CD en un point E; ce point appartient donc à cette droite : mais e appartient également à la projection donc il appartient aussi à l'original AB. En effet, nous voyons que la verticale élevée de e , passe par E sur CD , et par E' sur AB ; donc les points E , E' ne peuvent être à l'intersection de deux droites , puisqu'ils appartiennent à deux droites qui ne se touchent pas. Il en sera de même de/'. Donc, lorsque deux droites ne se coupent pas dans l'espace, les intersections de leurs projections ne sont pas dans une seule et même perpendiculaire a la commune section des deux plans, et réciproquement.

Problème 9. Etant données les traces (ou projections) AB , AC dun plan , et les projections d, d dun point, mener par ce point un plan parallèle au premier (fig. 5).

Supposons le problème résolu comme dans la ligure 6 , où le plan EF est parallèle au plan donné BG , et où par conséquent les traces de ces deux plans seront réciproquement parallèles entre elles. Prenons à volonté, sur le plan EF, un point D, par lequel nous ferons passer un plan vertical HJ, dont la trace horizontale HI sera parallèle à celle EG du plan EF , ce plan HJ coupera le plan EF selon la droite kl, ainsi que la trace verticale GF, ÊÈun point l; la droite kl, qui a pour projection verticale kl, et pour projection horizontale HI , ou la trace horizontale du plan HJ : et comme le point D se trouve sur kl, la projection verticale de ce point se trouvera sur la projection verticale k'I de cette ligne kl en un point d , et la projection horizontale de ce même point D sera sur GI en un point d. De ce que nous venons de dire, il suit que si par d, projection horizontale de D (fig. 5), nous menons la trace dl parallèle à BA , cette ligne sera la projection horizontale du plan vertical passant par le point origi-

nal D; et si par ^ nous élevons une droite indéfinie perpendiculaire à mn, et que du point d nous menions une horizontale qui coupera la perpendiculaire élevée de I en /', qui sera le point principal trouvé, par lequel nous mènerons la trace F/'G, et de G, la trace horizontale GE, parallèle à AB, le problème sera résolu. Donc les traces de deux plans parallèles entre eux, sont aussi parallèles entre elles, et réciproquement.

Problème io (fîg. i, pl. 5). Deux plans qui se coupent, étant donnés par leurs traces AB, BC , AD, DC , trouver les projections de leur intersection.

Nous voyons ( fig. 2 ) que ces plans se coupent selon la droite AC, dont les extrémités A, C sont les projections horizontale et verticale, puisqu'elles touchent ces deux plans; il ne s'agit donc plus que de trouver les projections horizontale et verticale de chacun de ces points, afin d'avoir celles de l'arête AC, ce qui n'est pas difficile -, car la projection horizontale de C est c , et la projection verticale de A est a. Si nous joignons ces points par des droites, nous aurons Ac pour projection horizontale de l'arête AC, et aC pour projection verticale de la même arête.

P*i>n^ME 11 (fig. 3). Deux plans ÀB, BC, AD, DC étant donnés, trouver tangle qu'ils font entre eux.

Nous savons que l'angle formé par deux plans se mesure par celui de deux perpendiculaires menées d'un même point de leur intersection ou arête; dans chacune des deux faces, ces lignes déterminent un plan perpendiculaire à l'arête. 11 ne s'agit donc plus que de couper ces deux plans par un troisième qui soit perpendiculaire à cette même arête. Soit un point E (fig. 4), pris à volonté sur l'arête AC ; concevons un plan passant par E et coupant les deux plans perpendiculairement à l'arête, il résultera

de cette coupe un triangle DE/*, incliné au plan horizontal et dont l'angle /ED mesurera l'inclinaison des deux plans, ou l'angle qu'ils font entre eux. La projection horizontale de ce triangle DE/ sera le triangle De/*, dont la hase /D est perpendiculaire à Ac et coupe cette dernière ligne en un point g; et la droite gE est la perpendiculaire abaissée du sommet E sur la base D/. Cette ligne gE est nécessairement perpendiculaire à l'arête , puisqu'elle est dans le plan coupant DE/, et sa projection horizontale sera ge. Maintenant concevons le triangle couché dans le plan horizontal ; en ayant tourné sur sa base D/*, le sommet E aura décrit l'arc EE", et nous aurons le triangle DE'/, dont l'angle DE'/ sera l'angle cherché. Observons que gE se trouve dans le triangle vertical AcC , formé par l'arête AC et les côtés Ac , cC, qui en sont les projections. Avant de passer à la solution du problème proposé ( fig. 3 ) , nous allons indiquer cette solution même (fig. 4)« Par un point g, pris à volonté sur Ac, projection horizontale de l'arête AC, menons /D perpendiculairement à Ac ; de g menons gE' perpendiculairement à l'arête , AC$ de g, comme centre, et gE, comme rayon , décrivons l'arc EE", et le problème sera résolu. Appliquons maintenant cette solution à la figure 3- Par un point quelconque g, menons /D perpendiculaire à Ac ; par c élevons une perpendiculaire indéfinie sur Ac , et sur laquelle nous porterons cC ; de c en C, menons AC, nous aurons un triangle rectangle AcC', dont l'hypoténuse AC sera l'arête des deux plans; de g menons sur AÇ' Ja perpendiculaire gE' j de g , comme centre , et de gE', comme rayon , décrivons l'arc E'E"; menons les droites E'/, E'D , nous aurons l'angle dterché/E'!), et le problème sera résolu.

Problème 12 (fi g. 5). i°. Par un point donné a, a', mener une perpendiculaire à un plan BC, CD aussi donné; a° trouver les projections de l'intersection de la ligne et du plan.

Soit AE ( (ig. 6 ) la perpendiculaire menée du point A au plan BD, son intersection avec ce plan est le point E. Concevons un plan vertical aV passant par la perpendiculaire AE ; ce plan coupera le plan donné BD selon la droite gD , et sa trace «h sera (ainsi que nous l'avons déjà vu) perpendiculaire à la trace BC ; de même que a'e'> projection verticale de la perpendiculaire AE , sera aussi perpendiculaire à gD , trace verticale du plan BD. Par conséquent , si de a nous menons ah , perpendiculaire à BC , cette ligne ah sera la trace horizontale du plan coupant passant par la perpendiculaire AE, et hF sera la trace verticale de ce même plan. De a' menons sur CD une perpendiculaire indéfinie , cette ligne devra contenir la projection verticale de la perpendiculaire AE, comme ah doit contenir la projection horizontale de cette même ligne AE. Ainsi la première partie du problème se trouve donc résolue. Maintenant , pour trouver le point d'intersection de la droite et du plan, nous commencerons par construire la projection verticale de l'i niersection des deux plans , qui sera gD , et le point d'intersection e de cette ligne avec la droite menée de a', sera le point cherché. Si , de ce point , nous abaissons une perpendiculaire sur ah , nous aurons le point e pour projection horizontale du point d'intersection E.

L'opération que nous venons de décrire est commune aux deux figures. Pour ne laisser aucun doute sur cette opération , nous pouvons la faire encore de la minière suivante ( fig. 5 ). Du point donné a, menons une perpendiculaire à BC, cette ligne ah sera la trace horizontale d'un plan vertical coupant le plan donné BCD ; de a élevons sur ah une perpendiculaire ah que nous ferons

égale à oa'. De h élevons sur ha une autre perpendiculaire hD' égale hD 5 menons la droite gD', cette ligne sera la coupe du plan donné , et l'angle hgDD' sera la mesure de l'inclinaison du plan donné sur le plan horizontal. Il ne nous reste plus qu'à mener sur cette ligne, du point A, une perpendiculaire AE, qui sera la ligne demandée. Du point d'intersection E abaissons sur ah une perpendiculaire qui nous donnera e pour la projection horizontale de E , etc. Donc , lorsqu'une droite dans V espace est perpendiculaire à un plan, les projetions de cette droite sont respectivement perpendiculaires aux traces de ce plan.

On peut aussi trouver par ce moyen l'intersection d'une droite quelconque avec un plan , c'est-à-dire que cette ligne soit ou non perpendiculaire à un plan.

Problème i3 (fîg. 1 , pl. 6). Par un point a, a' donné, mener un flan perpendiculaire à une droite bc, b'c' t aussi donnée.

Par le problème précédent , nous savons que les traces du plan cherché doivent être perpendiculaires aux projections de la droite donnée. Le problème étant résolu (fîg. a), nous voyons que le plan DE est perpendiculaire à la droite BC, que le point A est pris à volonté Jans le plan DE; si , par ce point A , nous menons une horizontale Af, cette ligne sera nécessairement parallèle à la trace DG, et coupera la trace verticale GE en/*, dont la projection horizontale sera f. Celle de A sera a; par conséquent, ai sera la projection horizontale de Af; aî étant parallèle à DG, sera perpendiculaire à bc. La résolution du problème consiste donc à faire passer par A un plan vertical Af , dont la trace horizontale aî soit perpendiculaire à bc. Menons donc para ( fîg. 1) la trace af, perpendiculaire à bc; de f , élevons sur KL une perpendiculaire indéfinie, qui sera la trace verticale indéfinie

oo NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

du plan afj', perpendiculaire au plan horizontal (et passant par le point original A ). Ensuite, menons par a une horizontale qui coupera la perpendiculaire ff en/', ce point doit appartenir à la trace verticale du plan cherché-, et comme nous savons que cette trace doit être perpendiculaire à la projection verticale de la droite donnée, menons par/" une perpendiculaire à b'c'y qui coupera KL en G. Ce point appartient aussi à la trace horizontale du pkn cherché-, et cpmme cette trace doit être aussi perpendiculaire à la projection horizontale de la ligne donnée, menons parG une droite Gi), perpendiculaire à bc, et le problème sera résolu. Si nous voulions avoir les projections du point d'intersection de la droite avec le plan , nous opérerions exactement comme dans l'exemple précédent.

Problème i4(fig. 3). Étant données une droite ab , a'b' et les traces CD, DE dun plan, trouver l'angle que fait cette dmite avec le plan.

Avant de résoudre ce problème d'une manière générale , nous croyons qu'il convient mieux de commencer par un cas particulier très simple. Soit AB (fig. 4) la droite originale se projetant obliquement sur le plan CE , et rencontrant ce plan en un point B. Concevons un plan vertical passant par la droite AB ; ce plan coupera le plan CE selon la droite- /B et le plan horizontal selon la droite ab, ce qui formera un quadrilatère «B , parallèle au plan vertical de projection , et qui , par conséquent , aura pour projection sur ce plan un quadrilatère a&'qui lui sera égal et semblable y et /B, contenue dans ce rectangle , aura pour projection verticale une droite DA', qui lui sera aussi égale et semblablement inclinée. Donc les deux angles a'b'D, AB/, étant égaux, seront également la mesure de l'inclinaison de la droite AB sur le plan CE. Ainsi, l'angle a'b'D , fig. 3, est l'angle cherché. Ce cas particulier ne présente aucune difficulté; mais il n'en est pas tou-

jours de même, ainsi que nous allons le voir dans l'exemple suivant.

Même problème que le précédent (fig. 5 ).

Cette ligure est la même que la précédente-, la droite ah, «'B , diffère seulement en ce qu'elle n'est pas dans un plan parallèle au plan' vertical île projection , ce qui rend l'opération plus compliquée; car 1 angle «BD , formé par la projection verticale, et la trace du plan donné ne seraient pas la mesure de 1 angle cherché , il n'eu est seulement que sa projection verticale. Passons à la figure 6, où le problème est résolu. Concevons un plan vertical «B passant par la droite AB, ce plan passera aussi par«b, projection horizontale de cette droite AB, et coupera le plan CE selon la droite //B. Nous pourrions d'abord croire que l'angle AB// formé par la droite AB et par l'intersection BA, est la mesure cherchée de l'inclinaison de AB sur le plan CE \ nous serions dans l'erreur, car le plan vertical «B,qui contient cet angle,e st oblique au plan CE , puisque sa trace «b n'est pas perpendiculaire à celle CD du plan donné. D'ailleurs , nous devons nous rappeler que l'inclinaison d'une droite sur un plan se mesure par un angle situé dans un plan qui passerait par cette droite, et serait perpendiculaire au premier plan , ce qui est toujours possible. Concevons donc un plan coupant passant par la droite AB, et qui soit perpendiculaire au plan CE , les traces de ces deux plans seront perpendiculaires entre elles; ainsi, af sera perpendiculaire à CD, et a'D le sera à DE. Ces plans se couperont selon la droite /B ; cette ligne, ainsi que l'originale AB, seront donc dans un même plan perpendiculaire au plan CE ; par conséquent , AB/ sera l'angle cherché. Par un point A quelconque pris sur la ligne donnée, abaissons sur le plan CE une perpendiculaire Af, cette ligne sera aussi perpendiculaire à /B, et sera, de plus, le troisième côté d'un triangle A/B, rectangle en /, perpendicu-

Oa NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

laireau plan CE, et incliné au plan horizontal; les projections de ce triangle seront sur le plan horizontal en afb, et dans le plan vertical en aDB. A présent que nous avons les projections de ce triangle , nous le connaissons-, il ne s'agit plus que de le développer en le couchant dans le plan horizontal.

Pour cela , observons que ce triangle A/B repose par son côté fB sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle /bB, lequel est vertical , ou perpendiculaire au plan horizontal. Couchons ce triangle dans le plan horizontal, en le faisant tourner sur sa base b/,il sera alors en /bB', et son hypoténuse fb' sera le côté ou base du triangle cherché B/A. Nous avons vu aussi que A/ était perpendiculaire à/B; par conséquent, élevons de/, perpendiculairement sur /B', ce côté A/, qui sera f.\'\ menons la droite A'B\ qui sera l'hypoténuse du triangle cherché , et l'angle /B'A' mesurera l'inclinaison de la droite AB sur le plan CE. D'après ce que nous venons de dire , rien n'est si facile que de faire cette opération sur la figure 5. Nous observerons seulement que /A' doit être égale à la droite a?D.

Projections des Solides.

Il n'y a aucune règle générale pour la projection des solides ou corps ; leurs constructions peuvent être plus ou moins faciles , cela dépend de la nature de la question j mais on peut toujours en venir à bout plus ou moins directement par le moyen des principes que nous venons d'exposer. Pour résoudre les problèmes suivans, nous ferons bien d'avoir sous les yeux les corps réguliers dont nous allons nous occuper.

Problémb i5(fig. 7). Étant donnée la projection horizontale d'un tétraèdre régulier, trouver sa projection verticale.

Soit ABCrf la projection donnée du tétraèdre posant sur le plan horizontal par une de ses faces. Il est évident que la projec-

tioQ verticale de cette face sel'* la droite AcB. Si nous connaissions la hauteur de d au-dessus du plan horizontal , nous la porterions de c en il\ nous mènerions les droites cl A , r/'B, de, et le problème serait résolu. 11 ne s'agit donc plus que de trouver cette hauteur. Remarquons (me dans le tétraèdre en perspective, hg. 8, la perpendiculaire Dd, abaissée du sommet sur le plau horizontal de la base, est aussi perpendiculaire aux droites dA , r/li, r/C, etc., et forme par conséquent avec chacune des arêtes DA , DB, DC, dA, dB, dC , autant de triangles rectangles, dans lesquels nous connaissons deux des côtés, l'angle droit, *et la direction du troisième côté, qui sera la perpendiculaire dans laquelle doit se trouver ce troisième côté. Nous pouvons donc construire un de ces triangles très aisément : par exemple, le triangle CdD, dans lequel nous connaissons le côté Gd; la direction de la droite indéfinie dD , perpendiculaire sur dC, et l'hyj>oténuse CD. Par conséquent , si du point d, tig. 7 , nous élevons une perpendiculaire indéfinie sur dC, et que nous portions une des arêtes quelconques CA ou CB , de C en D', nous aurons dD' pour la hauteur cherchée , que nous porterons dans le plan vertical de c en d', nous mènerons les droites d'A , r/'B, d'C> et le problème sera résolu.

Problème 16. Un point étant donné dans lune des projections du tétraèdre , trouver ce point sur l'autre projection (Gg. 7 et 8).

Nous verrons dans cet exemple qu'il n'y a pas de règle générale pour les projections des corps; car ce problème peut se résoudre de plusieurs manières, mais toujours fondées sur les principes que nous connaissons. Soit e le point donné dans la projection horizontale; nous pouvons, i° considérer ce point comme étant situé dans un plan CBJ, incliné au plan horizontal, et dont la projection verticale sera le triangle cB/f . Selon la méthode géné-

raie, la projection verticale du point donné doit se trouver sur la perpendiculaire élevée de sa projection horizontale e. Si par d et par le point donné e , nous menons une droite prolongée jusqu'à la base du triangle en y, le point e sera nécessairement sur cette ligne , et sa projection verticale devra aussi se trouver sur la projection verticale de cette même ligne, qui sera «Tf en e\ intersection de di et de la verticale élevée de e. 2°. Si par e nous menons une droite gh parallèle à CB, cette ligne sera une horizontale, dont l'extrémité h se trouvera sur BJ. La projection verticale* de dB est </'B; donc, en élevant de h une perpendiculaire à AB , nous aurons /*', qui sera l'extrémité d'une horizontale représentée par hg ; donc., si par h' nous menons une horizontale h'g', cette ligne coupera la verticale élevée de e en e ', qui sera le''' point cherché. 3°. Si le point en question eût été donné en g sur l'arête Cd, nous ne pourrions pas trouver sa projection verticale par la première manière , car la perpendiculaire élevée du point g se confondrait avec l'arête cd\ mais nous le pouvons par le second moyen , c'est-à-dire en menant par g une horizontale parallèle à GB, et prolonger l'horizontale menée dé h jusqu'à l 'arête cr/', qu'elle coupera en g, qui sera le point cherché. 4°. Nous pouvons encore coucher dans le plan horizontal le triangle rectangle CdD en CdD' f et du point g, élever sur CD' la perpendiculaire gG', qui coupera l'arête CD' en G', qui sera le point cherché; et nous porterons la hauteur gG' dans le plan vertical de c en g'. Ainsi, .nous voyons que nous pouvons employer l'un ou l'autre de ces moyens selon les circonstances. D'après ce qui vient d'être dit, il est facile de voir que si le point eût été donné dans la projection verticale, nous aurions opéré de la même manière, mais en sens inverse. 5°. Enfin, nous pourrions encore trouver ce point en cherchant une quatrième proportionnelle; car Cd .cd ; : Gg ou dg : cg ou dg'.

Problème 17. Un tétraèdre étant donné, ainsi que les traces d'un plan coupant qui en retranche une partie , trouver les projections de cette coupe (fig. i , pl. 7).

Soient ABO/ la projection horizontale du tétraèdre, ef\a trace d'un plan coupant perpendiculaire au plan horizontal deprojectiou, et retranchons du tétraèdre la partie <?B/, qu'il s'agit de trouver dans la projection verticale. Nous voyons d'abord que le plan ef coupe la hase en deux points e, f, dont les projections verticales sont ef; Paréte Wd se trouve aussi coupée en g. Nous pouvons facilement trouver la projection verticale de ce point par l'un quelconque des moyens précédeus, qui nous donnera g', et le triangle eg'f sera la projection cherchée. Si le plan coupant était donné dans le pian vertical comme ef (fig. ? ) , ce cas ne présenterait pas plus de diflicultés que Le précédent; nous n'avons à chercher que les projections horizontales des trois points e > g'f fi °t m seront egf , que nous joindrons par des droites, ce qui nous donnera le triangle efg pour la coupe cherchée. Nous observerons seulement que le poiut g, que nous avons obtenu en menant par g' une horizontale gh\ pouvait encore s'obtenir plus directement d'une autre manière. Prenons dB comme base du triangle formé par la perpendiculaire et par î'arête dont d\\ est la projection horizontale; portons cette base </B sur la commune section des deux plans; de d en B', menons l'arête BV/; de g' menons une horizontale qui coupera dB' en G; portons g'G (qui est la distance de la perpendiculaire à l'aréte ) dans le plan horizontal de d en g, qui sera le point cherché.

Problème 18 (flg. 5). Les projections ABCrf, Bcd dun tétraèdre étant données , on demande de trouver les projections de ce même tétraèdre incliné Ou plan horizontal dune quantité quelconque, sa base ACJl étant supposée avoir tourné sur son côté AB.

Cette pyramide étant posée originairement sur le plan horizontal par une de ses faces, aura pour projection verticale le triangle cd'B. Ne considérons d'abord sa basé que comme étant un triangle ACB , dont la projection verticale est la droite cR. Si cette ligne ou base s'élevait par son extrémité c en tournant sur le point B jusqu'en c', sa projection horizontale ne serait plus ABC, mais . bieri ABc, qui est la projection horizontale du triangle ABC, qui ayant tourné sur AB, se trouve incliné au plan horizontal selon l'angle cBc', car la ligne Ce est censée avoir tourné sur e sans quitter la direction d'un plan vertical parallèle au plan vertical de projection , et le point c est la projection de C élevée de la hauteur ce', ou l'extrémité de la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan horizontal , et dont la hauteur au-dessus de ce plan est évidemment ce'. Lorsque la base c'B aura décrit l'arc c'e', le point d aura décrit l'arc àd", et la perpendiculaire abaissée de ce point" sur le # plan horizontal nous donnera d s , qui sera la projection horizontale de l'extrémité de l'axe dd 1 ou de la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base, et transportée en par le mouvement dn tétraèdre. Comme le sommet d K s'est mu dans un même plan que C, parallèle au plan vertical , sa projection horizontale doit se trouver sur le prolongement de G? en d*. Nous mènerons les droites d s A, «PB, d*c, cA, cB, et nous aurons la projection horizontale cherchée du tétraèdre incliné au plan horizontal. D'après ce que nous venons de faire , nous devons voir que cette opération consiste à faire au point B l'angle demandé cBc', qui est ici de 47°; niais le corps n'est pas

GÉOiMÉTRlE DESCRIPTIF. g7

toujours disposé , par rapport au plan vertical , de manière à pouvoir faire usage de ce moyen, qui, dans ce cas, devient particulier. Dans l'exemple suivant ; nous allons résoudre le même problème d'une manière plus générale , et que nous emploierons # de préférence dans la suite.

Soit ABCrf (fig. 4) la projection horizontale d'un tétraèdre posé par une de ses faces sur le plan horizontal , et qu'il s'agit de faire relever par son angle C, en tournant sur son arête AB, de manière que le plan de sa base fasse un angle de 47° avec le plan horizontal. Concevons la droiteCe s'élevantpar son extrémité C, en tournant sur e, sans cesser d'être perpendiculaire à AB, jusqu'à ce qu elle fasse avec le plan horizontal l'angle demandé. Si nous concevons encore une perpendiculaire abaissée du point C (qui se trouvera alors dans l'espace) sur le plan horizontal , nous aurons le point c pour la projection horizontale de C. Maintenant, imaginons un plan vertical passant par Ce, ce plan contiendra nécessairement l'angle demandé. Mais comme nous avons déjà reconnu que nous ne pouvions pas opérer en l'air, nous coucherons cet angle dans le plan horizontal 5 ou , ce qui revient au mêmé, du point e, comme centre, et de eC, comme rayon, décrivons un arc CC, de 5o°; et de C, abaissons une perpendiculaire sur Ce, qui coupera cette ligne en c, ce point sera la projection de C, élevé au-dessus du plan horizontal de la hauteur de cG : par ce mouvement , la droite Ce se trouvera transportée en Ce, et le point d sera en d»\ ce dernier point sera toujours l'extrémité de la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base. Menons donc, de ce point et perpendiculairement à Ce, une droite d'D, égale à la hauteur du tétraèdre; menons les droites DC', De, et nous aurons le profil du tétraèdre incliné au plan horizontal sous l'angle demandé CeO. De D, abaissons une perpendiculaire sur le prolongement de Ce, nous aurons cf»pour la projection horizontale du sommet D; menons les projections

des arêtes d'A , d*B, <£C; enfin , pour compléter la figure, abaissons la perpendiculaire d"d* j menons les arêtes d*, A , d*B , CA , CB, et nous aurons pour projection horizontale une figure égale et semblable à celle du problème précédent. Cherchons maintenant les projections verticales des points A, B, c, d* f d*, etc. p dont nous connaissons les hauteurs au-dessus du plan horizontal.

Problème 19 (fig. 5). Construire les projections horizontales et verticales duii Cube dont Vaxe ou la diagonale soit perpendiculaire au plan horizontal.

On nomme axe ou diagonale , dans un cube, la droite menée de l'un des angles de ce solide à l'angle opposé; telle est la droite EG. Il nous sera très facile de trouver la longueur de cette ligne , un des côtes du cube étant seul donné., si nous faisons attention qu'elle est l'hypoténuse d'un triangle rectangle EAC , formé par le côté AE du cube et la diagonale AG du carré de ce côté. Concevons le cube coupé par un plan vertical passant par la diagonale EG, la section sera le rectangle AG, divisé en deux parties égales (ou triangles rectangles ) par la diagonale EC. Si , dans les carrés ou faces supérieures et inférieures , nous menons les diagonales FH, BD, elles se couperont avec les premières aux points f , b : il est évident que les points B, F, D, H, seront éloignés chacun des points f, b, de la moitié de la diagonale. Or, comme les droites bB, Db,*Ff, Hf , sont perpendiculaires au plan rectangle AG, nous pouvons donc considérer la droite bf, comme étant la projection verticale des droites ou côtés du cube BF, DH. Il suit de ce qui vient d'être dit, que nous pouvons d'abord construire la projection horizontale du cube selon l'énoncé du problème.

Soit AE , fig. 6 , le côté d'un cube quelconque ( dont les lettres sont correspondances à celles du cube précédent). Par A , menons

une droite indéfinie AC, perpendiculaire à AE -, portons sur «ette ligne de A en C, la diagonale du carré de AE; menons la droite EC , qui sera Taxe ou la diagonale du cube cherché. Ensuite, nôus mènerons les droites EG, CG, parallèles à AC et à AE, et nous aurons le rectangle AG, qui serait résulté de la coupe du cube, selon la diagonale de l'une de ses faces -, divisons ce rectangle en deux parties égales par la droite bf, qui sera la projection verticale des côtés BF, DH (uous joindrons, pour cetlé fois seulement , ces dernières lettres à celles de leurs projections b , f) , et nous aurons une ligure absolument semblable à celle de la projection verticale du cube , lig. X.

Par C, extrémité de la diagonale du cube, menons une perpendiculaire jrz à cette ligne , que uous considérerons comme étaut la commune section de deux plans de projections; par conséquent, le rectangle AG sera la projection verticale d'un cube dont nous allons chercher la projection horizontale. Nous voyons déjà dans cette projection verticale, ^ue^l'axeEC est perpendiculaire kyzy et par conséquent au plan horizontal de projection ; nous voyons, de plus, la hauteur de chacun des points qui terminent les angles au-dessus du plan horizontal. Si nous abaissons de chacun de ces points de la projection verticale des perpendiculaires au plan horizontal , les projections de ces points doivent se trouver sur ces perpendiculaires. Cherchons, par exemple, la projection horizontale de l'axe EC. Prenons à volonté sur son prolongement un point C' ou<?, qui sera la projection cherchée; puisque l'axe est perpendiculaire au plan horizontal , les projections de ses deux extrémités C, E se trouvent réunies dans un seul point C ou e. Si nous concevons le rectangle A G relevé perpendiculairement sur jrz, sa projection sur cette ligne sera agf ce rectangle est donc dans un plan parallèle au plan vertical. Menons donc par c', e, une droite parallèle à yz y sur laquelle doit se trouver la projection horizontale du rectangle , qui sera aOg

ioo NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

égale aCg. Il nous reste encore à trouver les projections des(x>iuts réunis DB, FH, qui doivent se trouver sur les perpendiculaires abaissées de ces points : les projections horizontales des points B , F, milieux du rectangle , doivent se trouver sur ag, aux points i , 2. Nous voyons dans les deux figures précédentes que B est éloigné du rectangle de la moitié de la diagonale du carré ou «le la face; et comme AC est égale à cette diagonale, Ab en sera la moitié, que nous porterons de i en h , et nous en ferons autant pour les points d, f y h. Joiguous ces points par des droites , et nous aurons un exagone régulier pour la projection horizontale du cube, dont l'axe est perpendiculaire au plan horizontal. Il ne nous reste plus qu'à indiquer sur cette ligure les arêtes supérieures et inférieures du solide. Nous voyons d'abord que AE est une arête supérieure, qui doit être par conséquent marquée en ligne pleine de a eu e\ ensuite GC est une arête inférieure qui doit être ponctuée comme gC : les arêtes EF, EH étant supérieures , seront pleines . comme ef, eh) les arêtes BC, DC étant inférieures , seront oc , 3c, et la figure sera complète. Comme nous connaissons les hauteurs de chaque point de cette projection , rien ne doit nous arrêter pour construire la projection verticale, selon une droite quelconque, telle, par exemple, que ST etST, fig. 6 bis, pl. 8. Il faudra seulement un peu d'attention pour ne pas confondre ces différens points.

Problème 20. Construire les projections dun Octaèdre régulier ( fig. 1).

L'octaèdre régulier est formé (ainsi que nous l'avons déjà vu) par la réunion de huit triangles équilatéraux, ou bien par la réunion de deux pyramides à bases carrées opposées bases à bases, et dont tous les angles solides toucheraient la surface intérieure d'une sphère dans laquelle il serait inscrit. U est facile de sentir que puisque tous les angles solides de ce corps doivent toucher

IOI

l'intérieur d'une sphère, que sa hauteur doit être égale au diamètre de cette même sphère. Nous décrirons donc un cercle , que nous diviserons en quatre parties égales par les diamètres ab, od\ nous mènerons les droites ac, ad, cb, db, et nous aurons la projection horizontale cherchée. La projection verticale se construira de la même manière. Nous ohserverons que ces projections sont celles d'un octaèdre qui a un dé ses axes perpendiculaire au plan horizontal.

Problème ai (fig. 2). Étant donnée une des faces de V Octaèdre dans le plan horizontal, construire les projections de ce corps posant sur cette même face.

Soit le triangle ABC la face donnée. Si nous considérons A comme étant le sommet de l'une des deux pyramides qui composent ce corps, BC sera un des cotés de la hase : cette hase fait avec le plan horizontal un angle que nous ne connaissons pas encore, mais que nous pourrons facilement connaître, puisque nous savons qu'elle repose sur le côté BC, sur lequel elle est censée tourner. Prenons donc la longueur de ce côté pour rayon , et de d, comme centre, décrivons un arc indéfini ef, ensuite abaissons une perpendiculaire de A sur BC, qui coupera ce côté eu d : la perpendiculaire Ad sera la hauteur de chacune des faces, et par conséquent de celle qui, en tournant sur A, doit rencontrer le côté de la hase qui a déjà tourné sur d. Faisons tourner cette hauteur sur A , en décrivant de ce point comme centre, et de Ad comme rayon, un arc indéfini qui coupera le premier en un point G, point de rencontre de l'une des faces avec la hase carrée; menons les droites GA, Gd; la première de ces lignes sera le profil ou l'inclinaison de l'une des faces sur la face donnée ABC , ou sur le plan horizontal , selon l'angle dAG ; la seconde dG sera l'inclinaison de la hase carrée qui sépare les deux pyramides selon l'angle AdG. La

.os NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

face adjacente au côté BC se trouvera aussi facilement et de la même manière. Par G, menons une horizontale GH égale à la perpendiculaire Ad\ cette ligne sera le profil de la face supérieure. Menons la droite <7H, qui sera le proûl de la face adjacente au côté BC; de H, abaissons une perpendiculaire sur le prolongement de Ad, ce qui nous donnera le point h pour la projection horizontale de H, ou du sommet du triangle supérieur parallèle au. premier; menons les droites ik, kC, Ch, hh, hk,hi, et nous aurons la projection horizontale demandée, dont nous connaissons déjà la hauteur pour chacun de ses points : par conséquent rien ne nous empêche de chercher la projection verticale telle quelle est ici , ou bien sous un autre aspect, v Par le résultat de cette opération, nous voyons qu'il serait

facile de l'abréger, en faisant d'abord un exagone régulier, dans lequel nous inscririons les deux triangles, et la projection horizontale serait achevée. Pour avoir les hauteurs des différens points, nous mènerons la diagonale Ah, qui nous donnera le moyen de trouver facilement le reste, ainsi que nous venons de le faire. Pour faciliter l'intelligence de tout ce que nous venons de dire , on fera bien de consulter la perspective de cette opération (tig. 3).

Problème 22 (fig. 4). Étant donnée dans le plan horizontal, une des faces du Dodécaèdre, construire les projections de ce corps.

Nous avons déjà vu que le dodécaèdre est formé par l'assemblage de douze pentagones réguliers et égaux. Nous ne connaissons dans ce corps que le nombre de ses faces et leur figure. Il nous reste encore à connaître les inclinaisons de ces faces entre elles; mais à cause de sa régularité , elles ont toutes une même inclinaison l'une à l'égard de l'autre. Il nous suffira donc d'en connaître une pour connaître les autres.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. ro?

Soit le pentagone ABCDE une des faces sur laquelle doit poser le corps. Concevons deux autres faces EFGHD, DIKLC, aussi couchées dans le plan horizontal, et pouvant se relever en tournant chacune sur leur base CD, DE j par leur mouvement , elles décriront. dans l'espace chacune un arc de cercle y et ces arcs se termineront réciproquement par la rencontre des cotés DH r Dï. Pour avoir l'inclinaison de ces deux faces, prolongeons indéfiniment les bases CD, ED vers z, z, ensuite des points I et H abaissons sur chacune des bases prolongées les perpendiculaires lz, Hz. Si chacun de ces pentagones était relevé perpendiculairement sur sa base , les projections horizontales de H et de I seraient également et séparément chacune en z. Mais comme ils se relèvent ensemble, les angles H, I se rencontreront dans l'espace au-dessus de /*, et perpendiculairement à ce point, qui se trouve à l'intersection des deux perpendiculaires Hz, lz , h sera donc la projection horizontale du point de réunion des deux angles t et H. Nous pouvons nous en assurer en élevant de h sur zl une perpendiculaire indéfinie. De z, comme centre, et de si, comme rayon, décrivons un arc qui coupera la perpendiculaire en P; menons la droite zï, nous aurons un triangle rectangle z/iP; concevons ce triangle relevé perpendiculairement sur sa base zît, I"se trouvera alors élevé au-dessus de h de la hauteur /il'. Si nous faisons pour le point H ce que nous venons de faire pour I , nous aurons le même résultat ; donc ces deux points, se réunissant dans l'espace perpendiculairement au-dessus de /*, auront ce point pour projection horizontale. Pour avoir maintenant la projection horizontale de K , prolongeons indéfiniment zl, et portons xK de z en À; ces deux lignes appartenant à Un même plan et étant parallèles entre elles , feront le même angle avec le plan horizontal lorsque le plan dans lequel elles sont contenues sera relevé. Ensuite, de z comme centre, et de zk comme rayon, décrivons un arc qui coupera le

io4 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

prolongement de zï en un point K', duquel nous abaisserons sur zk une perpendiculaire R'A*, laquelle étant prolongée jusqu'à la droite xR, nous donnera le point d'intersection k pour la projection horizontale de K. Il nous sera facile de voir que si le triangle rectangle zk' était relevé sur sa base, nous aurionf k' pour project ion de K' ; transportons ce même triangle sur xR , nous aurons k , qui équivaudra à À'; ou bien encore, concevons la droite xk relevée par son extrémité R, en tournant sur x, ou mieux encore, le pentagone qui contient cette ligne, relevé en tournant mit CD jusqu'à ce qu'il fasse avec le plan horizontal un angle égal à l'angle A'zR', le sommet R sera alors élevé au-dessus de X de la hauteur à*R'. Donc R étant relevé, aura pour projection horizontale le point k. Les autres faces nous donneraient le même résultat, par conséquent il est inutile de les chercher; nous aurons plus tôt fait de décrire du centre /, avec les rayons M, Ik, deux, circonférences concentriques, dont l'une passera par h et l'autre par k. Menons les droites //D, //A, portons cette dernière sur la circonférence de A en m, n , o, etc. Par chacun de ces points et dans la direction du centre /, menons les droites mC, oB, qAy sE; ces droites seront les arêtes analogues à AD. Cela étant fait , nous aurons la projection horizontale de la moitié inférieure du dodécaèdre. A cause de la régularité de la ligure, il est facile de voir que les six autres faces seront semblables, à celles-ci, seulement elles seront opposées entre elles», c'est-à-dire que le pentagone supérieur aura ses angles sur la même circonférence que le premier, mais vis-à-vis le milieu de chacune de ses faces. Menons donc par les points n , p , r, g des droites dirigées vers le centre, comme /*/, pu, n>, gw, etc., ainsi que les droites tu s uv, e\v, etc. , et nous aurons la projection supérieure, eJ par conséquent la projection entière. Si maintenant nous voulons avoir la longueur de l'axe ou delà diagonale du dodécaèdre, observons que le point k est élevé au-dessus du plan horizontal

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. io5

de la hauteur à"K'j portons cette hauteur en AK.*, le point q , analogue au point h, est élevé de la même hauteur que ce point , c'est-à-dire M', que nous porterons de q en Q, et la droite QK" sera la ligne cherchée.

Comme cet aie doit passer par le centre du corps, si nous élevons une verticale lt, cette ligne coupera la projection verticale de l'axe en l, par conséquent 1/ sera la moitié de la hauteur de la figure verticale. Donc en doublant cette hauteur et menant une horizontale qui sera coupée par les verticales menées des angles du pentagone supérieur, noUs donnera la projection verticale de cette face supérieure. Le reste de l'opération est trop facile à faire pour en dire davantage. Nous ferons bien de nous exercer à faire la projection verticale de ce corps sous d'autres aspects.

Problème a3 (fig. i, pl. 9). Une des faces ABCD du Dodécaèdre étant donnée, constnùrc les projections de ce corps , de manière que son axe soit perpendiculaire au plan horizontal.

Examinons d'abord un des angles solides de ce corps; nous verrons qu'il est formé par la rencontre de trois plans ou faces pentagonales. Si nous concevons un plan passant par les extrémités des arêtes de cet angle solide, nous verrons que le résultat de cette coupe sera une pyramide triangulaire dont les côtés de la base seront égaux chacun à une des diagonales de la face, telle que BC. Formons donc un triangle équilatéral bcf représentant la base de cette pyramide renversée, ou dont le sommet A* est posé sur le plan horizontal. 11 s'agit maintenant de trouver la hauteur de cette pyramide, ou, ce qui est la même chose, celle des trois points bcf de sa base; et comme ces points sont également élevés , il nous suffira de connaître la hauteur de l'un d'eux. Il y a nécessairement un rapport entre le triangle A'bc et celui ABC, puisque le premier est la projection horizontale du second.

Nous avons déjà A' g pour projection de AG; mais AG est une partie de AH, et nous avons besoin d'avoir la projection de cette ligne pour avoir celle de l'une des faces du dodécaèdre. Nous pourrons donc dire AG : A-g :: AH : x , que nous trouverons, en cherchant une quatrième proportionnelle, être égale à A'h, ou bien que nous pouvons trouver graphiquement de cette manière : de g, élevons sur A'g une perpendiculaire indéfinie; prenons AG, que nous porterons de A" en G', g étant un des points de la base, et élevé au-dessus du plan horizontal de la hauteur gG' ; ce point g sera donc aussi la hauteur des points b, c,f. Puisque AG est une portion de AH, A'G- doit l'être aussi; par conséquent prolongeons A'G', et portons sur cette ligne AH, de A* en H; de ce dernier point abaissons une perpendiculaire sur le prolongement de A'g, ce qui nous donnera le point h cherché. Prolongeons H7/, et portons sur cette ligne de part et d'autre HD ou HE de h en d, et en e, menons les droites cd, be, et nous aurons la projection de l'une des faces pentagonales du dodécaèdre inclinée au plan horizontal selon l'angle H*A7*. Comme les deux autres faces inférieures sont semblables à celle que nous venons de trouver, ces trois faces doivent se trouver à la circonférence d'un Cercle tracé de A*, comme centre, et de A'dou A'e, comme rayon. Prolongeons de part et d'autre les perpendiculaires des deux triangles, que nous ferons égales à A'k, et par leurs extrémités menons des perpendiculaires qui couperont la circonférence aux points i, k, l, m; par ces points menons les droites ib, kf, lj 9 me, et nous aurons les projections des trois faces inférieures. La pyramide supérieure est égale et semblable à l'inférieure , elle lui est seulement opposée par les angles. Faisons passer un cercle par les trois points du premier triangle 7 et faisons un second triangle équilatéral nop , dont les sommets répondent au milieu de chacune des faces du premier; remarquons que chacun de ces points sera le sommet d'un pentagone, ainsi

que les points b, c,f : ces pentagones ont tous leurs côtés communs; il ne s'agit donc plus que de déterminer un de ces pentagones supérieurs pour avoir les autres, ce qui est si aisé, après ce que nous venons de faire , que nous croyons inutile de nous étendre davantage à ce sujet, l'inspection seule de la figure pouvant suffire pour cela.

Maintenant, pour avoir la projection verticale, allons par ordre: cherchons d'abord les trois faces inférieures. Le point A* étant le sommet de l'angle solide inférieur, aura sa projection verticale en a; les points b, c, /, étant élevés de la hauteur gG-, seront en b', c',J* 9 ou seulement puisque les points b, g, c, étant dans un plan perpendiculaire au plan vertical , seront nécessairement confondus. La droite af sera la projection de l'arête A'f, et ab' sera celle des arêtes A'b, A*c, et de la droite A'g, ou Lien celle du triangle A'bc y qui est un plan perpendiculaire au plan vertical ; mais ce triangle n'est qu'une portion de la face pentagonale primitivement donnée, et dont AH est la perpendiculaire abaissée du sommet sur le côté ED : ce côté est commun au pentagone inférieur que nous venons de construire , ainsi qu'au pentagone supérieur edqpr, qui est aussi perpendiculaire au plan vertical*, par conséquent, sa projection verticale sera e'p' égale ae. Nous pouvons donc obtenir cette projection en élevant une verticale par le point p, sommet du pentagone supérieur de <?, comme centre, et] de A- H- ou AH comme rayon, nous décrirons un arc qui coupera la verticale élevée de p en un point p, qui sera le point cherché. Mais p , n , o , appartenant à la base de la pyramide supérieure , auront par conséquent une même élévation ; donc , si nous portons sur la verticale élevée de n , la hauteur de p', nous aurons ri pour la projection des points n et o. Par le point n', nous mènerons une parallèle à ae' f qui coupera les verticales élevées de A, et de s aux points a', nous mènerons les droites a'p\ /a; et comme r, r, ont la même élévation que 5, nous

porterons sur leur verticale la hauteur de s', et nous aurons les points f', et ainsi des autres points À', i, etc. , qui ont même élévation que e' } et nous aurons la projection verticale cherchée.

Problème 24 (fig. 2). Étant donnée une des faces de VIcosaèdre , construire les projections de ce corps , posant sur le plan horizontal par cette même face.

Nous savons que ce corps est composé de vingt triangles équilatéraux. Soit donc le triangle ABC la face donnée. Remarquons que BC est un des côtés de la base d'une pyramide pentagonale; concevons cette base ayant tourne sur BC, et couchée dans le plan horizontal, nous aurons le pentagone BCdef' y menons au centre g les droites Bg, Cg, dg, eg, nous aurons la projection horizontale de la pyramide pentagonale. Concevons maintenant ce pentagone se relevant en tournant sur sa base BC , le sommet e s'arrêtera dans l'espace, à la rencontre du point k 9 l'un des sommets du triangle supérieur de l'icosaèdre , et sera par conséquent confondu avec ce dernier point. Donc, si de h nous élevons une verticale indélinie, et que de / comme centre avec le comme rayon, nous décrivions un arc qui coupera la verticale en un point la droite hh' sera la hauteur du sommet du pentagone, base de la pyramide, et la droite //* sera la projection verticale ou le profil de le. Pendant que le décrivait l'arc eh', Ig a décrit Tare gg' . Ce dernier point sera donc la projection verticale du centre de la base pentagonale, ou l'extrémité de la perpendiculaire abaissée du sommet de la pyramide sur cette base. Or, cette perpendiculaire est une portion de l'axe de l'icosaèdre; donc, si par g nous menons une droite indéfinie perpendiculaire* à lh' , cette ligne sera la direction de Taxe du corps, dont nous allons tiîcher de déterminer la longueur, afin d'avoir les sommets des deux pyramides opposées. Pour y parvenir, observons que la

pyramide pentagonale posant sur le plan horizontal par son sommet , la base de cette pyramide doit être élevée de la hauteur de la perpendiculaire abaissée du sommet sur cette base en g : telle est gG, que nous porterons sur la direction de l'axe de g' en G 7 .

Menons les droites G7, G7t' : nousaurons unepartie de la projection verticale de la pyramide^ ensuite, de m, comme centre (des deux triangles ou faces inférieure et supérieure) , et de mg y comme rayon , nous décrirons une circonférence sur laquelle doivent se trouver les projections des sommets de cinq autres pyramides pentagonales , égales et semblables à la première. Pour trouver ces pyramides, des points f } d, menons des parallèles à /e, qui couperont la circonférence aux points n, o, q, r, ou bien par chacun des sommets des deux triangles, et dans la direction du centre m, menons les portions de rayons Bn, Ao, Ap 9 ia, Cr; et, par chacun de ces points, menons des verticales qui couperont Taxe en p', et les droites AA', //*', aux points n', o', nous mènerons les droites indiquées par ces points, et l'opération sera terminée. La lig. 3 représente la fig. 2, dégagée de ces lignes de construction, et dont les projections sont séparées Tune de l'autre. Ainsi, connaissant la hauteur de chacun des points, nous sommes en état de construire la fig. 1 , pl. 10, qui est projetée sur une ligne ab , parallèle à AB, et dans laquelle nous avons conservé les mêmes lettres. Cette opération ne présente aucune difficulté, mais elle exige beaucoup d'attention.

Problème a5 (fig. .2). Étant donné un côté, ou une arête abdeTlsocaèdre , construire les projections de ce corps de manière qu'un de ses axes soit perpendiculaire au plan vertical.

Ainsi que dans l'exemple précédent , nous devons considérer ce coté comme étant le côté d'une pyramide pentagonale abede , posant par son sommet F sur le plan horizontal. Observons que

„o NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

la partie supérieure de ce corps est aussi une pyramide gkikl , égale et semblable à la première , mais dont l'une a les angles de sa base vis-à-vis le milieu de chacun des cotés de l'autre. Par conséquent , nous aurons donc pour projection horizontale de ces pyramides deux pentagones dont les droites , menées du centre à chacun des angles, seront les projections des arêtes. Observons encore qu'il y a entre ces deux pyramides dix triangles qui ont une certaine inclinaison entre eux, et alternativement en sens inverse, qu'il faut absolument connaître, et dont la hauteur jointe à celles des deux pyramides, nous donnera l'axe de l'icosaèdre. Comme tous ces triangles ont leurs cotés communs, le côté ab peut être considéré comme étant le côté ou la base du triangle atlb, couché dans le plan horizontal. Concevons ce triangle se relevant par son sommet H, en tournant sur sa base ab, jusqu'à ce qu'il rencontre A, l'un des angles de la base de la pyramide supérieure. Pour connaître cette inclinaison , du sommet H , abaissons sur la base la perpendiculaire Hm^ élevons par h une perpendiculaire indéfinie àVnH; de m, comme centre, et de //iH comme rayon, décrivons un arc qui coupera la perpendiculaire en H', la droite H'm sera le profil ou l'inclinaison de la face ou triangle abH, selon l'angle H/»H', puisque la projection du sommet est H : en menant les droites ka, hb, nous aurons la projection du triangle aHb, incliné au plan horizontal , en tihb \ la droite AH' sera la longueur de la portion de l'axé comprise entre les bases des deux pyramides. Cherchons maintenant la hauteur de la pyramide inférieure au-dessus du plan horizontal. Comme tous les angles ou points de la base sont également élevés , nous prendrons indifféremment le premier qui se présentera, par evemple , le point a. Quelle que soit la hauteur de ce point , elle sera toujours le côté d'un triangle rectangle, dont Fa sera l'autre côté, et l arête dont F« est la projection, en sera l'hypoténuse. Par conséquent, si de a, nous élevons une perpendiculaire indé-

finie à Fa, et avec une arête quelconque, telle que ah, que nous porterons de F en A , la droite Aa sera la hauteur cherchée. Nous savons maintenant tout ce qu'il faut pour construire la projection verticale.

Si nous voulions inscrire eus einq corps dans une même sphère, voici le moyen d'y parvenir, le diamètre de la sphère étant donné, l'ig. i. Soit AB le diamètre donné; divisons-le du manière que DB soit le tiers de AU; élevons la perpendiculaire DE; menons les cordes EA , EB, la première de ces lignes sera le côté du tétraèdre, et la seconde , le côte de l'hexaèdre ou cube. Du centre C, (•levons perpendiculairement le rayon CE: menons la corde EB, cette ligue sera le coté de l'octaèdre. Divisons BE en moyenne et extrême raison au point G, BG sera le coté du dodécaèdre; enfin , par A , élevons la tangente AH égale AB ; menons la droite CH, cl la corde IA , celte dernière ligne sera le coté de l'icosaèdre. Les raisons sur lesquelles sont fondées ces propriétés sont au-dessus des limites que nous nous sommes prescrites dans cet Ouvrage.

Des trois Corps ronds. Du Cylindre, du Cane, et de la Sphère.

Du Cylindre droit à base circulaire.

Problème 26. Étant donnée la projection horizontale d'un Cylindre dont iaxe est perpendiculaire au plan horizontal , construire la projection verticale de ce corps ( fig. 4 )•

Soit le cercle ABCD, la base et la projection horizontale du cylindre donné. Par les points A, C, élevons des perpendiculaires à yz, et portons sur chacune la hauteur proposée du cylindre ( qui dans cet exemple est égal à AC) , et menons la droite ef, le rectangle af sera la projection verticale cherchée.

Problème 27 (fig. 5). Étant donnée la projection horizontale d un Cylindre dont, taxe est parallèle au plan horizontal, construire la projection verticale de ce corps.

Soit le rectangle ac la projection donnée. De chacun des points a } b, c, d, élevons des perpendiculaires à /z, sur lesquelles nous porterons la hauteur de ce cylindre qui , dans ce cas, est égale au diamètre ab ou dc\ et, par cette hauteur, nous mènerons une droite indéfinie parallèle àjrz. Concevons que ab (qui est la projection de l'une des bases de ce cylindre) ait tourné sur E , et soit couché dans le plan horizontal en EAFB ; alors le point original dont a est la projection , sera en A , qui sera élevé au-dessus du plan horizontal de la hauteur aA ; il en sera de même des points b, B, E, F, etc. Ainsi, nous n'aurons aucune difficulté pour construire la projection verticale de ce corps. Par exemple, voulons-nous avoir la projection verticale de apportons sa hauteur Aa dans le plan vertical de a, en il en sera de même des autres points , tels queE, b, etc. Voulons-nous avoir un point quelconque de cette base, par exemple, g, pris à volonté? de ce point, menons à ad une perpendiculaire qui coupera le cercle en deux points G et H; de g, élevons une verticale et portons la hauteur gG en gg ', et gH, de g en h', et nous aurons les projections verticales de gf."H est évident que la base cd étant semblable et égale à la première, et, déplus, lui étant parallèle, saprojection verticale sera aussi égale et semblable à la première. Nous observerons que ces bases circulaires étant dans des plans uon parallèles au plan vertical , leurs projections sur ce plan seront des ellipses , dont nous pouvons avoir très facilement les deux axes e/ 7 , db r , qui sont les projections verticales des diamètres EF, AB, ce qui abrège beaucoup l'opération. Il ne s'agit plus que de faire passer une ellipse par les quatre points de ces axes, ce qui peut se

(aire très facilement par un moyen que nous ne connaissons pas encore, mais que nous verrons bientôt. En attendant , nous allons chercher la projection verticale d'un point i, pris à volonté sur la surface du cylindre , dans la projection horizontale. Avant que de résoudrece problème , nous devons nous rappeler qu'un poi nt q uelconque de la surface d'un cylindre appartient également à une ligne génératrice A/, et à un cercle générateur mn, égale à la base ab. Par conséquent si, par le point donné i, nous menons une droite parallèlement à Taxe Eo, cette ligne coupera le cercle de la base ab aux points I, J. Donc, le point i est élevé au-dessus du plan horizontal de la hauteur AI ou AJ, que nous porterons dans le plan vertical de i en i, ou en /. Si nous voulons trouver cette projection verticale par la ligne droite seulement, sans nous servir du cercle, observons que la droite A/, menée par *, coupe le cercle de la base ab en un point A, inférieur et supérieur; donc si, de A, nous élevons une verticale, cette ligne coupera l'ellipse aux points A', p'\ et si de ces points nous menons des droites horizontales ou parallèles à l'axe e'o, ces lignes couperont la verticale élevée de i, aux mêmes points if.

Problême a8(fig. i rc , pl. 1 1 ). Étant donnés , dans le plan horizontal t la base circulaire d'un CyUadre > ainsi que l'angle que doit faire cette base avec le plan horizontal, construire les projections de ce corps.

Soit le cercle AGBH, la base donnée; cette base doit s'élever par B , extrémité de son diamètre AB , en tournant sur le point A , et par conséquent former avec le plan horizontal un angle quelconque ou donné. Si cet angle est donné, par exemple, de 45°, du point A, faisons cet angle BA2T, et de A, comme centre, avec AJB pour rayon , décrivons un arc qui coupera l'autre côté de l'angle en B' f le diamètre AB, ou la base se trouvera donc en AB', et le centre C, en G\ Comme les côtés du cylindre sont perpen-

diculaires à la base , menons par les extrémités À, B du diamètre de cette base, deux perpendiculaires indéfinies, sur lesquelles uous porterons la hauteur donnée du cylindre, de A en D et de B' eu E, nous mènerons la droite ou base supérieure DE, et uous aurons le prolfl du cylindre incliné au plan horizontal , selon "l'angle de 45". Maintenant, prolongeons indéfiniment 1»* diamètre AB, cette ligne représentera la trace d'un plan vertical, dans lequel s'est mu le cylindre. Si de B 1 , nous abaissons une pcr|>cndiculaire à AB, nous aurons Apour la projection horizontale de B', et comme A n'a pas changé de place, nous aurons A l> pour la projection du diamètre AB' . Nous aurous de la même manière le centre c. Par ce dernier poiut, menons de part et d'autre uue perpendiculaire à AB, sur laquelle nous portcrous le i ayou CG du cercle de la base de c en g , et de c en h \ ce second diamètre gh n'aura pas changé de longueur, parce que GH n'a pas cessé, claus sou mouvement, d'être parallèle au plan horizontal. Nous avons donc les projections de deux diamètres de la base, ce qui est suffisant pour terminer cette base, puisqu'il ne s'agit plus que de faire passer une ellipse par les quatre points A, g, h ; mais comme uous ne connaissons pas encore ce moyen , il nous faut recourir à un autre, c'est-à-dire rapporter plusieurs autres points de la circonférence de la base à l'ellipse; Par exemple, prenons à volonté un point quelconque tel que I; menous la corde IJ, perpendiculairement à AB; comme cette ligne est dans un même plau que GH, et qu'elle lui est parallèle , elle n'éprouvera pas de changement dans sa longueur par son déplacement; parconséquent , les points I, J,R se trouveront encore sur une même ligne. Ai mi , de A /comme centre, et de AK, comme rayon , décrivons l'arc RK'. Do K', abaissons sur AB une perpendiculaire indéfinie qui coupe ra AB en À , ce point sera la projection de K'. Prenons la longueur RI , que nous porterons de part et d'autre de k en t, et en / ; cas deux points seront à la circonférence de l'ellipse : ou

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. x 1 5

bien encore , des points I , J , menons des droites parallèles à AB ; ces lignes couperont la droite menée par À aux mêmes points /,/; prenons la distance il, et portons-la de / en m, etyCdeC', en o; ces doux derniers points m, o, appartiendront aussi à l'ellipse. Nous devons voir que , par ce moyen , un seul point 1 nous donne les projections de quatre. Nous ferons la même opération pour la base supérieure ED; et comme ces deux bases sont égales et parallèles , leurs projections seront semblables et égales. À présent, que nous avons la projection horizontale et les hauteurs de tous les points , nous pouvons Hure la projection verticale sous tel aspect que nous voudrons.

Des différentes Sections du Cylindre par un plan (tig. ■*.).

Un cylindre peut être coupé de trois manières différentes par un plan, i° lorsque le plan coupant est parallèle à l'axe; 2" lorsqu'il est parallèle à la base; 3° en lin , lorsqu'il est oblique à l'axeou à la base. Dans le premier cas, la section sera toujours un parallélogramme plus ou moins large, en raison de la distance du plan coupant à l'axe, et dans le rapport des cordes du cercle de lâ base; d'où il suit que le plus large dans un même cylindre, sera celui qui résultera de la coupe faite par l'axe. Telle est la coupe faite par le plan AB, qui passe par le centre ou axe c; la coupe par le plan DE, sera plus étroite ou égale à la corde DE. Enlin si Le plan coupant est tangent à la surface du cylindre comme * le plan FG, qui est tangent au point H, le résultat sera une ligne lu 7 . Lorsque le plan est parallèle à la base, la coupe qui en résulte est un cercle égal à cette même base : telle serait la coupe faite par le plan KL. Lorsque le plan coupant est incliné à l'axe, comme, ay, figure 3, la section sera une surface nommée ellipse , laquelle est terminée par une courbe nommée circonférence de l'ellipse. Comme cette courbe a beau-

u6 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

coup de propriétés, nous serons obligés de nous étendre un peu, atin de connaître celles qui ont rapport à l'objet qui nous occupe, et dont nous aurons fréquemment besoin. Il est évident que si , de plusieurs points pris sur la circonférence d'un cercle, base d'un cylindre, tels que «, c, d, e, etc., nous menons des droites génératrices parallèles à l'axe gg 9 ces lignes rencontreront la circonférence de l'ellipse en des points analogues et correspondans à chacun des points de la base. Le cercle de cette base, qui est générateur du cylindre, peut donc aussi être considéré comme générateur de l'ellipse. Nous voyons en effet que les diamètres de l'ellipse répondent aux diamètres du cercle; que les droites b'f, c'e, sont coupées en deux parties égales par le diamètre ad', comme les cordes bf, ce , qui leur correspondent , le sont dans le cercle par le diamètre ad. Ainsi une droite quelconque qui passe par le centre de l'ellipse et qui se termine à la circonférence , est en général un diamètre de même que dans le cercle; mais comme dans l'ellipse, ces diamètres ne sont pas égaux entre eux, et qu'ils ont des propriétés différentes, il nous convient de les distinguer. Ainsi, lorsque deux diamètres dans l'ellipse répondent à deux diamètres qui dans le cercle sont perpendiculaires entre «ux, on les nomme diamètres conjugués. Par exemple i'/, A7', b'e', c'f, sont des diamètres conjugués.On les reconnaît dans l'ellipse par d'autres propriétés dont nous parlerons bientôt. Remarquons que dans tous ces diamètres conjugués, il n'y en a que deux i?f, kï, qui soient peqwndiculaires entre eux : on les nomme axe de l'ellipse; et comme ils diffèrent en longueur, on les distingue en grand et petit axe. Le grand axe divise l'ellipse dans sa plus grande longueur en deux parties égales , de même que le petit la divise dans sa plus grande largeur, aussi en deux parties égales figure 4. .. . "

Nous voyons dans cette figure 4 la projection horizontale d'un cylindre droit ab , ainsi que sa projection verticale a'b'. Ce

cylindre est coupé par un plan cd , parallèle au plan vertical de projection , la section eb de ce cylindre aura pour projection verticale une ellipse dont les deux axes seront e'b\ La partie ebh, qui est retranchée par le plan cd, se trouve ponctuée dans la projection verticale, afin d'aider à l'intelligence de cette figure. L'ellipse e'fb'g' appartiendra donc à un cylindre droit, et aura pour cercle générateur, la base circulaire de ce cylindre.

Dans la figure i,pl. 12, nous voyons la projection horizontale du cylindre oblique à base circulaire, et dont Taxe fait. un angle ahi avec le plan horizontal. Ce cylindre est coupé de même que le précédent, par un plan cd, parallèle au plan vertical. La section eb de ce cylindre aura pour projection verticale une ellipse e'fb'g', qui appartiendra à ce cylindre oblique, et aura par conséquent pour cercle générateur , sa base circulaire. Remarquons que cette dernière ellipse a ses deux axes égaux aux deux axes de l'ellipse précédente figure 4; donc ces deux ellipses sont égales et semblables, peuvent convenir également à un cylindre droit ou oblique, et peuvent avoir indifféremment pour cercle générateur, la base circulaire de l'un ou l'autre de ces deux cylindres qui sont cependant très différentes. Nous verrons par la suite que cette même ellipse peut encore appartenir à un cône.

Première manière de construire l'Ellipse.

Problème 29 (fig. a, pl. ia). Les deux axes d'une Ellipse étant donnés;

construire cette Ellipse.

Concevons que le cercle ABCD, ou bien seulement le demicercle ABC , tourne sur le diamètre AB jusqu'à ce qu'il soit dans une position verticale (ou perpendiculaire au plan horizontal); alors C aura c pour projection horizontale, et sera élevé au-dessus de ce point de la hauteur du rayon, ou bien AcB sera la projec-

tion horizontale du demi-cercle ACB. Par ce mouvement , C aura décrit un arc de go° et aura passe successivement au-dessus de tous les points du rayon Ce; il en sera de même du point D à legard du rayon DC. Concevons que le quart de cercle décrit daus 1 espace par C, soit couché dans le plan horizontal eu ayant tourne sur Ce, nous aurons l'arc AC. Pendant le mouvement du demi-cercle, le point E, extrémité de la demi-corde Ee, aura décrit un quart de cercle ELrdont le rayon est Etf, le pointe sera par conséquent la projection horizontale deE. Il est évident qu'il en sciait de même de tout autre point de cette demi-ci rconfércuce ; mais si le demi-cercle se fût arrêté dans son mouvement à l'instant où C se trouvait au-dessus de c', alors la projection horizontale du rayon Ce serait ce: il en sera de même à l'égard du point E; ainsi la demi-corde <?E aurait pour projection la droite ee'. Ces deux projections seront donc entre elles dans le même rapport que leurs rayons , c'est-à-<lire que Ce : Ee: : de: ee. Donc ee' sera une quatrième proportionnelle aux trois droites cC, eE, cr'.Les points de' seront donc à la circonférence de l'ellipse; donc l'arc ce sera la projection de l'arc de cercle CE. Par conséquent l'ellipse entière sera la projection du cercle incliné au plan horizontal selon l'angle C'cC. D'après ce qui vient d'être * dit , nous pouvons facilement construire l'ellipse demandée. Soient AB,f/V, les deux axes donnés. Duceutrec, intersection des axes avec Ac , ou cB comme rayon, décrivons un cercle sur la ci rcojiférence duquel nous prendrons à volonté autant de points que nous jugerons à propos, tels que C, E, F, etc. De chacun de ces points abaissons sur AB autant de perpendiculaires; formons ensuite l'angle de réduction (que nous connaissons) en portant sur une droite quelconque figure X,le rayon cC. De h, comme .centre avec ce rayon nous décrirons un arc indéfini sur lequel nous porterons le demi-axe cd , de g<en.t, et nous mènerons la droite ih. Voulons-nous avoir un point tel que/?prenons

Fe , que nous porterons sur l'angle de A, en k, nous décrirons un. arc qui coupera hi en un point /, nous prendrons la corde A/, que nous porterons sur AB, de eeo /, et aiusi des autres. Par tous les points que nous aurons trouvés, nous ferons passer la courbe demandée.

On nomme ordonnée toute perpendiculaire abaissée d'un point de la circonférence d'un cercle sur le diamètre, telle que Ce, E<?, Fe, etc.; et dans une ellipse, toute perpendiculaire abaissée d'un point de la circonférence sur l'un des axes, est nommée ordonnée à cet axe. Il reste encore beaucoup de lignes à connaître dans l'ellipse, mais comme nous n'avons besoin que de quelques-unes d'entre elles, nous les nommerons à mesure quelles se présenteront.

Autrement. Soient ab, cd ligure 2 bis, les deux axes donnés. Si dans une ellipse nous prenons le demi-grand axe ai comme rayon , et que de c comme centre , nous décrivions un arc qui coupe le grand axe en deux points /, g, qu'on nomme foyers, ces points auront cette propriété, que si de l'un d'eux nous menons à un point quelconque h de la circonférence, une droite fh , et que de ce dernier point nous menions à l'autre foyer une droite hg, la somme de ces deux lignes sera égale au grand axe, ce qui est évident pour le point c, puisque cf^cg , sont ebacuneégale à la moitié de ce grand axe. Ainsi fh plus hg égale ab. De cette propriété, il résulte une seconde manière de construire l'ellipse. Pour cela,. divisons le grand axe, en partant du foyer /, en un nombre quelconque, tel que//, etc. Le grand axe se trouvera partagé en deux parties inégales aï, ib. Prenons ai pour rayon , et de ebacun des foyers comme centre; décrivons de part et d'autre les quatre arcs j, A; ensuite prenons l'autre partie ib pour rayon; et, des mêmes foyers, comme centres, coupons ces quatre angles, et les intersections h , etc., seront autant de points à la circonférence de l'ellipse.

iao NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

Voici une autre propriété qu'il nous importe beaucoup de connaître.

Si dans une ellipse, ligure 3, nous menons à volonté des droites ab, cd, ef, etc. , parallèles entre elles, et que nous les divisions en deux parties égales aux points g, h 9 la droite ly, qui passera par ces points, passera aussi par le centre de l'ellipse, et par conséquent sera un diamètre. Celle des parallèles qui passera aussi par le centre, comme cd, sera de même un diamètre j mais il sera conjugué au premier , c'est-à-dire qu'il répondra (ainsi que nous l'avons déjà vu) à deux diamètres perpendiculaires entre eux dans le cercle générateur de cette ellipse. Si par les extrémités y, cd, de ces diamètres conjugués nous menons des parallèles à l'autre diamètre , ces lignes seront tangentes à l'ellipse, et répondront aussi aux tangentes des points correspondans dans le cercle générateur, et le rhombe khnn, formé par. ces lignes, répondra au carré komp , formé par les tangentes du cercle. Ges propriétés nous seront utiles dans bien des cas ; car il arrive souvent dans les Projections et dans la Perspective , de n'avoir pour construire une ellipse, que deux diamètres conjugues, ce qui obligerait de chercher un grand nombre de points, ne connaissant pas les axes. Il est donc important pour nous de connaître le problème suivant.

Problème 5o (flg. 4)- Etant donnés deux diamètres conjugués dune

Ellipse, trouver les deux axes.

Nous avons déjà vu qu'une ellipse quelconque pouvait toujours être considérée comme étant le résultat de l'intersection d'un cylindre à base circulaire, droit ou oblique, ainsi que nous pouvons le voir figure Z, dans laquelle un cylindre oblique est coupé parallèlement à sa base par le plan ab, et obliquement à cette même base par le plan bc. Soient ab', c'd', les deux diamètres

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. iai

conjugues donnés} il s'agit premièrement de trouver le cercle géne'rateur de l'ellipse à laquelle ces diamètres appartiennent. Par l'extrémité a, de l'un des diamètres ai', par exemple, menons une droite EF , parallèlement à l'autre diamètre cfd. Cette droite sera considérée comme étant la commune section des plans coupans le cylindre. Par a, abaissons sur EF, une perpendiculaire indéfinie, sur laquelle nous porterons , comme rayon , le demi-diamètre c'g', ou g'd, de a en ^, et de g, comme centre, nous décrirons un cercle , qui sera le cercle générateur cherché. Comme tous les points de l'ellipse doivent correspondre à ceux du cercle, joignons les centres du cercle et de l'ellipse par la droite gg; cette ligne nous servira de directrice pour trouver dans le cercle les projections des deux diamètres conjugués donnés. Cherchons d'abord le diamètre ai', le point a étant commun à l'ellipse et au cercle , est tout trouvé 5 de l'autre extrémité i', menons une parallèle à g' g , prolongée jusqu'à ce qu'elle coupe le cercle en un point i, et la droite ai sera la projection cherchée de ai'. Comme deux diamètres conjugués répondent dans le cercle à deux diamètres perpendiculaires, et que ai est l'un d'eux, pour avoir l'autre, nous n'avons donc qu'à lui mener perpendiculairement le diamètre cd. ( Dans l'opération qui nous occupe, nous aurions pu nous dispenser de chercher ce second diamètre. ) Avant d'aller plus loin , nous croyons utile de suspendre cette construction , que nous reprendrons dans un instant. Supposons le problème résolu , et que les deux axes que nous cherchons soient h'ï, k'V: prolongeons ces axes jusqu'à la rencontre de EF aux points m , n ; de ces points et par g, centre du cercle, menons des droites indéfinies; ces lignes se couperont à angle droit, et nous donneront les diamètres ii, kl, qui seront les projections des deux axes de l'ellipse. Supposons maintenant que nous n'avons ni les axes, ni leurs projections, qu'il ne nous reste seulement que les points met n; nous allons voir qu'avec le seul secours de ces

deux points, nous pouvons trouver, non-seulement les axes, mais encore leurs projections. Nous n'avons pour cela qu'à mener parles centres gg', les droites indéfinies mg', mg, ng', ng,nous aurons les directions des axes, et dans le cercle les diamètres kl, hi, qui sont les projections des axes; par conséquent si des extrémités hi , kl, de ces diamètres, nous menons des parallèles indéfinies à gg, ces lignes couperont les directions des axes aux points h'i'y h! t , et ces axes seront déterminés. Nous devons sentir que nous aurions pu ne déterminer qu'un seul point de chaque axe, par exemple H et k', et porter Kg, de g' en i', et kg' de g' en V.

11 ne s'agit donc plus que de trouver ces deux points m, n. Observons que ces points sont les extrémités du diamètre d'un cercle dont la circonférence passe par les centres g, g, de l'ellipse et du cercle. Il ne nous reste donc plus qu'à trouver le centre de ce cercle, ce qui n'est pas difficile dans ce cas-ci , puisque gg se trouve être par hasard un des diamètres de ce cercle; par conséquent ce centre sera en o. Mais il n'en est pas toujours de même; le plus souvent la droite qui joint les deux centres se trouve être une corde au lieu d'être un diamètre; alors on élève, sur le milieu de cette corde, une perpendiculaire qui coupe la commune section des deux plans , et l'intersection est le centre cherché. Nous prendrons donc og ou og' pour rayon , et nous décrirons un cercle qui coupera EF aux points m, n, le reste, etc.

Nous allons résoudre le premier problème en sens inverse du précédent , afin de nous bien convaincre de la généralité du principe. Soit afb', c'd, fig. i , pl. i3, les deux, diamètres conjugués donnés , absolument les mêmes que ceux de l'exemple précédent. Nous avons commencé par mener une parallèle au plus petit des deux diamètres; dans cet exemple, nous ferons le contraire. Par l'extrémité d, du diamètre c'd , menons une parallèle à a'b' et de d ; abaissons à cette parallèle EF, une perpendiculaire dg, égale à a' g'; de g comme centre et de gd comme rayon , décrivons le

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. xa3

cercle générateur} joignons les deux centres par une droite gg', du milieu p , de cette ligne abaissons une perpendiculaire qui coupera EF, en un point o, qui sera également éloigné des deux centres gg, et sera lui-même le centre d'un cercle qui passera par gg', et qui coupera EF , aux points m , nj de chacun de ces points, menons par les centres gg\ des droites indéfinies qui nous donneront les directions des axes, ainsi que les projections de ces mêmes axes. Du point /*, menons une parallèle à gg\ qui coupera la direction du grand axe en h'\ portons h'g' f de g en ï, et nous aurons le grand axe $ de l menons une parallèle à gg' cette ligne coupera la direction du petit axe , en un point portons ïg\ de g' en A', et nous aurons le petit axe k'I'. Nous pourrons alors décrire facilement l'ellipse par des moyens que nous connaîtrons sous peu, et qui sont beaucoup plus expéditifs que ceux que nous avons vus, jusqu'ici, mais qu'il était important pour nous de connaître. Nous voyons, ainsi que nous l'avons déjà dit, que g g' pouvait être une corde du cercle dont o est le centre ; nous avons vu en Géométrie qu'une perpendiculaire élevée sur le milieu d'une corde passait nécessairement par le centre du cercle : or comme la droite EF, passe aussi par le centre du même cercle , l'intersection de ces deux lignes sera nécessairement le centre o. Nous pouvons encore nous assurer que par cette opération, les axes ainsi que leurs projections, sont réellement perpendiculaires entre eux; car n, g ', g'm, sont les côtés d'un angle dont le sommet g' est à la circonférence, et dont les côtés sont appuyés sur les^extrémités du diamètre. Il en sera de même de l'angle vagn. Nous nous sommes un peu étendus sur cette opération , parce que cela était indispensable pour la faire comprendre des personnes qui ne veulent pas se contenter d'un moyen purement mécanique. D'ailleurs nous aurons fréquemment l'occasion de faire cette opération , et d'en appliquer les principes.

ia4 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

Problème 3i (fig. 3). Par un point a, donné sur la circonférence d'une Ellipse f mener une tangente à cette courbe.

Menons aux foyers les droites ab, ac, portons ab sur le prolongement de ac'y de a en d, menons la droite db, et du point donné a, abaissons sur db une perpendiculaire, qui sera la tangente demandée. Ou bien portons ab sur ac , de a en e , menons la droite eb, sur laquelle nous abaisserons une perpendiculaire du point a; ensuite par a, extrémité de la perpendiculaire af, menons une parallèle à be, ou une perpendiculaire à af; cette Ligne gh sera la tangente cberchée. Observons que Fanglc eab est divisé en deux parties égales par la |)erpendiculaire af; mais af est perpendiculaire a gh; par conséquent ea, ba, sont également inclines sur gh; l'angle eah ou cah est donc égal à l'angle bag. Considérons pour un moment gh , comme étant la trace ou le proGl d'un plan 5 concevons de plus qu'un corps élastique tel qu'une balle, un rayon de lumière, etc., soit lancé de c, vers le plan gh y au point a; l'expérience et l'observation nous ont appris que ce corps élastique après avoir touché le plan gh en a , sous l'angle cah, se réfléchira sotis l'angle bae; et comme de tous les points de la circonférence «l'une ellipse, nous pouvons mener une tangente, il s'ensuit qu'un corps élastique qui serait lancéde l'un des foyers à un point quelconque de la circonférence, serait réfléchi à l'autre foyer. Ainsi une personne placée au foyer d'une salle de forme elliptique, et qui parlerait assez bas pour ne pas être entendue d'une autre personne qui serait placée en i, serait entendue d'une personne placée à l'autre foyer b. L'angle sous lequel est lancé un corps comme l'angle cah, se nomme angle d'incidence , et relui sous lequel ce corps est réfléchi, se nomme angle de réflexion; tel est Fangle bae. D'où nous pouvons cmi-

dure que Y angle d'incidence est égal à t angle de réflexion et réciproquement.

Problème 3a . Un point étant donné hors à* une Ellipse , mener une tangente

à cette courbe.

Soit h le point donné j menons de ce point à chacun des foyers les droites hb, hc, puis de h, comme centre, avec chacune de ces lignes comme rayon , décrivons les arcs indéfinis bd,ck\ prenons Taxe Im comme rayon, et de chacun des foyers, comme centre, décrivons sur l'arc opposé un second arc qui coupera chacun des premiers aux points d, A*, par chacun de ces points et par les foyers, menons les droites bk, cd\ elles couperont la circonférence de l'ellipse aux points a, n, qui seront les points par lesquels et par A, nous mènerons les tangentes hag, hno. Il suit de ce problème que si , par un point donné sur la circonférence de l'ellipse, nous voulions mener une perpendiculaire à cette courbe, nous n'aurions qu'à mener de ce point une perpendiculaire à la tangente.

Problème 33 ( fig. 3 ). Les deux axes AB, CD, dune Ellipse étant donnés, trouver autant de points à cette courbe qu'on voudra, sans tracer une seule ligne.

Supposons pour l'instant l'ellipse tracée. Ajoutons le demipetit axe eC , sur le prolongement du grand axe de A en c; le point A sera évidemment à l'ellipse, et la droite ce sera égale à la somme des deux demi-axes. Si nous faisons mouvoir cette ligne de manière que ses deux extrémités soient toujours sur les directions des deux axes, telles sont les droites cV, c"e", etc. , dans ces différentes positions , le point A se trouvera successivement en a , a', etc. ; mais toujours à la circonférence de l'ellipse. Autrement, posons le demi-petit axe éD, sur le grand de B, en d\

i26 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

de sera la différence des deux demi-axes, et B sera à la circonférence. Faisons mouvoir cette ligne eB, de manière que les deux points d, e, de la différence soient toujours sur la direction des deux axes, comme de, d"ë\ etc., B se trouvera successivement en b y b'j etc., et toujours à la circonférence de l'ellipse. De cette propriété résultent deux manières très simples de trouver , facilement et sans aucune opération, un nombre de points suflisans pour tracer la courbe elliptique. L'application graphique de ce moven est fréquemment employée dans les projections, la Perspective, etc. Ce procédé est le suivant. Coupons proprement deux bandes de papier telles que Y, Z, figure 4 } avec une règle et un canif ; marquons par des points sur ces bandes les deux demiaxes, tels que nous venons de le dire; ajustons l'un ou l'autre de ces papiers, ainsi que nous le voyons dans cette figure, et marquons avec uu crayon les points à l'ellipse a, &,ctc, et en continuant autant que nous le jugerons à propos.

Mais nous pourrions nous trouver dans le cas (ce qui arrive quelques fois) de n'avoir qu'un axe et un point à l'ellipse, et cependant il nous faudrait avoir l'autre axe. Soit, par exemple^ l'axe AB , et un point a donné; il s'agit de trouver le petit axe CD. Sur le milieu de l'axe donné, nous mènerons départ et d'autre une perpendiculaire indéûnie, qui sera la direction de l'autre axe. Nous prendrons une règle ou bande de papier Y sur laquelle nous marquerons un point à volonté, tel que e'; nous poserons cette règle de manière qu'elle touche le point donné a , et que le point e\ que nous avons pris à volonté , soit sur la direction de l'axe que nous cherchons; l'endroit où la règle coupera le prolongement du grand axe , sera le pointe cherché; nous le marquerons avec un crayon , et ac sera le demi-petit axe, que nous porterons du centre e, de part et d'autre en C et en D. Nous pourrons ensuite décrire le reste de l'ellipse sans difficulté. La ligure indique

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. :a 7

suffisamment que nous pourrions faire la mèmechose avec la règle Z, c'est pourquoi nous n'en dirons pas davantage à ce sujet.

Du Cône.

Problème 34- Étant donné un Point dans l'unè des projections du Cône à base circulaire, trouver la projection de ce point dans Vautre projection du Cône (fig. x,pl. 14).

D'après ce que nous avons dit sur la génération du cône (Géométrie), ce problème ne doit présenter aucune difficulté. Soit a le point donné dans la projection horizontale. Nous savons déjà que ce point appartient également à un cercle ou à une ligne droite. Elevons d'abord de ce point a une verticale indéfinie sur laquelle doit se trouver la projection verticale de ce point. Il ne s'agit plus que d'en déterminer la hauteur. Concevons un plan horizontal coupant le cône parallèlement à sa base , et passant par le point a j le résultat de cette coupe sera un cercle qui coupera le diamètre BC , aux points d, e : mais comme B/, et C/, sont les projections horizontales des côtés b/', cf'j les verticales élevées des points d, ou c, détermineront les projections verticales de ces points, en <f, ou c; et comme ces points sont les projections verticales des extrémités du diamètre de, il s'ensuit que la droite de! sera la projection verticale du cercle dae\ et puisque a appartient à ce cercle, a' appartiendra de même à dé , projection du même cercle , et comme il se trouve aussi sur la verticale élevée de a , ce point a' sera donc le point cherché. Dans la pratique , nous pouvons nous dispenser de décrire entièrement ce cercle; il nous suffit de prendre la distance fa comme rayon , et de / comme centre , nous couperons le diamètre BC en un point d ou e . De l'un de ces points nous élèverons une perpendiculaire qui coupera le

ia8 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

côté hf ou cf en un point d ou e . De l'un ou l'autre de ce 6 points , nous mènerons une horizontale qui coupera la verticale

élevée de a en un point a', qui sera le point cherché.

Autrement. Concevons un plan vertical passant par/, projection horizontale du sommet, et par le point donné a, la trace de ce plan seva.fg , et sa projection verticale /'g , qui coupera la verticale élevée de a en a . Ce point d'intersection sera donc le point cherche. Celte .seconde manière pourra nous servir à trouver la même projection d'un point donné dans la projection horizontale d'un cône à hast; irrégulière, figure 2, ce que nous n'aurions pas pu faire par la première manière. Il peut arriver un cas particulier dans lequel nous pourrions être cmharrassés , en voulant nous servir de cette seconde manière. Par exemple , si le point donné eut éiê placé en h au lieu d'être en a , nous n'aurions pas pu avoir 1 intersection de deux lignes, puisque les projections de ces deux droites se confondent dans un môme plan perpendiculaire aux deux plans de projections. Comme dans le cas précédent, concevons un plan vertical passant parle sommet /, par le point donné h et par la hase en 1; couchons ce plan dans le plan horizontal en le faisant tourner sur sa trace fi, ou ce qui revient au même du point /, élevons sur/i une perpendiculaire indéfinie sur laquelle nous porterons la hauteur du cône i/', de/en F; nous mènerons Fi, qui sera le côté du cônedont/ï est la projection horizontale, et le triangle rectangle if F, représentera la coupe verticale du quart du cône/ i. Maintenant, si de/i, nous élevons sur /Vune perpendiculaire qui coupera iF en H, ce point sera le point cherché, nous prendrons la hauteur hïl, que nous porterons dans le plan vertical de i en h'. Si le point proposé eut été donné dans la projection verticale comme en K, a', etc., nous devons voir qu'il nous aurait fallu faire l'inverse de ce que nous venons de faire. Cependant comme nous pourrions encore être embarrassés, nous allous résoudre le cas

particulier où le point serait donné en K figure 2. Prenons//, que nous porterons sur kl de f en i; menons i/*'; de /^menons une horizontale qui coupera if en H'; prenons A'H', que nous porterons dans la projection horizontale de / en h, qui sera le point cherché.

Des différentes sections du Cône droit, ou oblique à luise

circulaire (figure 3 ).

Un cône peut être coupe par un plan de cinq manières différentes, et les sections qui en résultent sout nommées sections coniques. Soit le cône abc' ; i° si le plan coupant passe par l'axe fc'd , la section sera un triangle qui aura cet axefxmr hauteur, pour base le diamètre, et pour côtés, les côtés de ce même cône. Si le plan coupant passait seulement par le sommet sans passer par Taxe , comme par c'e , la section serait encore un triangle qui aurait pour base la corde EF, pour hauteur la droite eC, et pour côtés, les côtés du cône qui ont pour projections verticales la droite ec', et pour projections horizontales les droites Ec, Fc; en un mot , le triangle qui résulte de cette coupe aurait pour projection horizontale le triangle EcF. Nous devons facilement voir que la base du triangle de cette coupe diminuera à mesure que le plan coupant s éloigne du centre de la base du cône. Enfin, si ce plan passait par le sommet c' et par l'extrémité a de la base, alors il n'y aurait plus de section, le résultat serait la ligne de taugence ac' du plan et du cône, dont la projection horizontale serait la droite Ac. 2°. Si le cône est coupé parallèlement à sa base comme g h', la section sera un cercle tlont g'K sera le diamètre, et dont le centre sera en / sur l'axe \ la projection horizontale de cette coupe sera le cercle dont le diamètre est gh. Il est évident que le diamètre de chacun des cercles résultans des différentes sections d'un cône, coupé par un plan parallèlement

i5o ÎSOLYEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

à sa base, diminuera en raison de la distance du plan coupant à la hase de ce cône ; en sorte qu'il ne sera plus qu'un point lorsque le [>l;m coupant passera par le sommet c . 3°. Lorsqu'un côneest coupé selon la droite a//, de manièreque le plan coupant puisse rencontrer les deux côtés ac , bc', la section qui résultera de cette coupe sera une ellipse dont le grand axe sera égal à la droite ah', et dont le petit axe sera la corde du cercle provenant de la coupe sY, dont le plan passe par m, milieu du grand axe a/*'. Ainsi m sera le milieu de la corde ou petit axe , qui sera égal à la projection horizontale kl. 4°« Si un cône est coupé par un plan, parallèlement à un de ses*(?Ôtés, comme n/t, qui est parallèle au côté ac', la seetkm qui en résultera sera terminée par une courbe nommée parabole^ qui*f>cut être considérée comme étant une ellipse infini ment alongéc. La hauteur de cette parabole sera la droite n^', sa hase sera op, et sa projection horizontale sera opho. 5°. Eniin , lorsqu'un plan coupe un cône de manière que le cône OppoSti (formé par le prolongement des côtés du premier) se trouve aussi coupe, tel est le plan qh\ la courbe qui résultera de celte coupe est nommée hyperbole. Puisque le plan coupant se tr*ouvc par hasard être perpendiculaire au plan horizontal et vertical, les deux projections de cette courbe seront les droites qh', qr. La projection q/i' de l'hyperbole couchée dans le plan vertical €BH la ligure 5. Les bornes de cet Ouvrage ne nous permettant pas d'examiner les propriétés de ce& différentes espèces de courl qui sont du ressort des Sections coniques; nous nous occuperons seulement des projections de ces courbes.

Pour résoudre ces problèmes , il ne s'agit que de nous rappeler les différentes manières de trouver la projection d'un point donné surl'une ou l'autre projection du cône. Soit , par exemple, à cher- < lier la coupe par leplana/i'; prenons à volontésur ce plan plusieurs points tels que m', etc. ; abaissons de ce point une perpendiculaire an plan horizontal ,sur laquelle doit se trouver la projection hori-

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. # i5i

zoatale de ni; menons par ce même point une parallèle kyz, que nous considérerons comme étant la trace verticale d'un plan coupant j la section faite par ce plan sera un cercle dont le rayon sera si/., tm u't'; ouvrons le compas de la grandeur de ce rayon; posons-en une pointe en c, et avec l'autre, coupons la perpendiculaire abaissée de ni aux points k, /, qui seront les projections cherchées des points à la circonférence de l'ellipse. Il en sera de même de tous les autres points que nous pourrions prendre sur la trace du plan àh\ Nous devons observer qu'on peut souvent abréger l'opération , comme dans le cas présent : si ni est sur le milieu de ah', kl sera le petit axe d'une ellipse dont Ah sera le grand axe. Dans ce cas,- le seul point ni nous suffira donc, puisque nous pouvons finir cette ellipse avec la règle de papier. Pour la coupe nh' de la parabole, nous serons obligés de chercher plusieurs points, tels que v, u, a', etc. Observons que nons n'avons ici que les projections de ces différentes coupes, et qu'il est souvent utile d'avoir leurs développemens tels qu ils doivent être-, c'est ce dont nous allons nous occuper. i°. L'qllipse provenant de la coupe aJi aura pour grand axe ah', ainsi que nous l'avons déjà dit , et pour petit axe la corde kl du cercle dont le diamètre es^//. Quant à la- parabole nJi et à l'byporbole qh', nous allons les construire séparément (iig. 4)«

Menons deux droites indéfinies perpendiculaires entre elles, telles que op, ntf; prenons sur là projection horizontale (iig. 3), la grandeur mo, que nous porterons (lig. 4 ) de n en o et en p; prenons de même xv que nous porterons , de part et d'autre , de «en v, ainsi que y , u , 2 , etc.,, que nous porterons de n en u , de 7i en 2, etc. ; de chacun de ces points, élevons des perpendiculaires à op y sur lesquelles nous porterons les hauteurs respectives de chacun de ces points ; par exemple , n^ sera porté sur op, de y en V; nuf, de u en U, etc. , et nous mènerons la courbe TV, 2UV0, qui sera la parabole cherchée. Pour l'hyperbole qÀ',

.32 'nouveau traité de perspective.

menons deux perpendiculaires d//, ce (lig. 5), que nous ferons égales, savoir d/7, au diamètre de la l>ase du cône de la figure 3 ,

et ce égale a la hauteur tlu même cône; de c, comme centre, avec le rayon cd, décrivons un demi -cercle qui sera la projection horizontale de la moitié du cône, et le triangle dc'd sera la projection verticale de ce même cône. Prenons sur la ligure 3, ch } qui est la distance du plan qr, au centre c, et portons-la de c en h \ par ce point h, menons parallèlement à dd le plan ^r, que nous diviserons en autant de parties que nous jugerons à propos, telles que q\ , i 2, a 3, 3/t, etc. ; par chacun de ces points élevons une perpendiculaire au plan vertical , sur laquelle nous chercherons la hauteur du point correspondant , par exemple le point A; de c comme centre, avec un rayon ch, décrivons le quart de cercle /di; élevons la verticale hH, qui coupera cfd en H; de ce point, menous une horizontale qui coupera la verticale élevée de h en /*', qui sera le point cherché. Il en sera de même du point 3, ainsi que de tous les autres.

De la Sph&v.

Problème 55 (tig. i, pl. i5). Un point étant donne dans Vwte des projections de la SjihcrCj trouver ce point sur l'autre projection. •

Nous avons déjà vu qu'un point quelconque à la surface d'une sphère appartenait toujours à un cercle de cette sphère, grand ou petit. Donc, si nous faisons passer par a un plan vertical bc, parallèlement à rz, la section de la sphère, par ce plan, sera un cercle qui aura pour diamètre la droite bc , et par conséquent pour rayon cd ou bd\ le point sera donc à la circonférence de ce cercle; le.centre d de ce cercle sera nécessairement à la hauteur du centre de la sphère, puisqu'il est situé sur Taxe horizontal de cette même sphère; et comme cet axe vx est perpendiculaire au

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. i33

plan vertical , il en résulte que d sera la projection verticale du centre d. Par conséquent, si de ce point, comme centre, avec un rayon cd, nous décrivons un cercle, il sera la projection verticale de la coupe par le plan bc. Il est évident que la projection verticale du point donné «, doit se trouver sur la circonférence de ce cercle ; mais cette même projection doit aussi se trouver sur la verticale élevée du point «; elle doit donc se trouver à l'intersection de cette ligne et du cercle-, elle sera donc en af, ou en a , selon que le point donné « doit se trouver à la partie supérieure ou inférieure dè la sphère. Nous aurions pu trouver cette projection par une opération inverse, qu'il nous est nécessaire de connaître.

Concevons un plan horizontal coupant la sphère et passant par le point a\ la section sera un cercle horizontal qui aura ah pour rayon ; la projection verticale de ce c#cle sera la droite gV, ou 8 e "* et ^ intersections de cette ligne avec la verticale élevée de nous donneront les projections cherchées aa' } qui serout les mêmes que colles trouvées précédemment.

Problème 3G(fig. 3). Étant données les traces dun plan coupant la Sphère, trouver les projections de cette Couiu-.

Soit ab la trace horizontale du plan coupant; prenons sur cette ligne autant de points que nous le jugerons nécessaire, tels que o, c, b, etc. De chacun de ces points, élevons autant de verticales sur lesquelles doivent se trouver les projeclions verticales de ces points. Commençons par le point «, qui étant situé sur la circonférence du grand cercle horizontal de la sphère , doit avoir sa projection verticale sur celle de ce cercle, ainsi que sur la perpendiculaire élevée dudit point; or, la projection verticale du cercle est «VA; donc la projection verticale de a sera af. De plus, le point a appartient aussi à un des grands cercles de la sphère, dont ad est la projection horizontale; nous voyous que

i54 - NOUVEAU TRAITÉ DE -PERSPECTIVE, le, plan de ce cercle est parallèle au plan vertical de projection; par conséquent la projection verticale de ce cercle sera le cercle edf à^ s donc d repond à toutes les conditions que .nous venons d'exjKJser. Le point b appartient seulement au cercle horizontal j ainsi sa projection verticale sera évidemment b'. Pour le point c, qui est situé à un lieu quelconque de la surface de la sphère, servons-nous de l'un des moyens ,qne nous avous vus dans la ligure précédente, Considérons d'abord c comme étant la pro^ jectiou horizontale de deux points situes dans une même ligue perpendiculaire au plan horizontal; l'un de ces points est à la partie supérieure de la sphère, et l'autre à la partie inférieure; les projections verticales de ces deux points devront donc se trouver sur une même perpendiculaire k yz, élevée de , c. Pour trouver ces points, j#r c., menons gh parallèlement à cette ligne (ainsi que nous lavons vu précédemment) sera la trace d'un plan coupant vertical , et parallèle au plan vertical de projection ; le résultat de .cette couoe sera iiu cercle qui aura gh pour diamètre, et par conséquent gi pour rayon; prenons ce rayon avec. le compas, et de b\ comme «centre, décrivons deux arcs qui couperont la verticale élevée de cvn deux points c, c, qui seront les points cherchés. Nous en ferons autant pour tous les autres points que nous pourrions prendre sur ab. Comme ici le point c se trouve au milieu de ab 9 la droite ce se trouve perpendiculaire sur le milieu de a'b', et sera par conséquent le grand axe d'une ellipse dont a'b' sera le petit axe. Nous pouvons douç tracer la circonférence de cette ellipse avec la règle de papier, sans avoir besoin de chercher d'autres points.

Si la trace du plan coupant eût été donnée dans le plan vertical en fd , nous ferions le même raisonnement que pour le cas précédent, et nous aurions le même résultat dans la projection horizontale.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. i35

Des Plans tangens aux Surfaces courbes; i° au Cylindre

(û'g. 3, pl. i5).

Soient les droites ab, cd, tangentes aux deux cercles générateurs efgh, /À/m; comme ces cercles sont parallèles entre eux, les tangentes le seront aussi entre elles; elles seront aussi perpendiculaires aux rayons m, oe. Si, par ces deux tangentes nous faisons passer un plan ad, ce plan sera perpendiculaire au rectangle ib, et la génératrice ei sera par conséquent la ligue sur laquelle se trouveront les points de tangence de tous les cercles que nous pourrons imaginer entre les bases supérieure et Inférieure de ce cylindre, puisque par la formation du cylindre par le cercle générateur, le rayon m'a passé par tous les points de la droite ei; le plan ad contiendra donc les tangentes de tous les cercles supposés dans ce cylindre, tels par exemple que le cercle pqrs , dont la tangente e>t tu \ donc le plan ad est tangent à la surface du cylindre, selou^la droite ei. L'axe on se nomme aussi la directrice, parce que, dans la formation du cylindre, la base en s'élevant a suivi celte direction. De même lorsque nous considérons le cylindre formé par la rotation du rectangle 01 sur le côté 7io, nous voyons que la génératrice ei est nécessairement parallèle à la directrice wo; nous devons voir aussi que i est le point de contact de la génératrice ie et du cercle générateur iklm , par lequel passe la tangente cd. Donc , si , par un point de tangence pris sur la circonférence du cercle générateur d'un cylindre, nous menons une droite parallèle à la directrice, cette droite sera la ligne d'attouebement du plan tangent à la surface du cylindre. Il en sera de même du cylindre oblique.

Le cône (h'g. 4) diffère du cylindre en ce que la génératrice ab n'est pas parallèle à la directrice cb, et qu'elle passe toujours par le sommet du cône.

■2°. Du Plan tangent à la surface de la Sphère (iig. 5).

Soit un plan ab perpendiculaire à l'extrémité du rayon ce ; si nous prenons un point quelconque f sur ce plan , et que nous menions les droites fc,fe, nous aurons un triangle rectangle en e , et dont l'hypoténuse cf sera plus grande que le côté ce ; mais comme ce égale le rayon cg } le point /sera donc hors de la sphère; et comme il en serait de même de tout autre point pris dans le plan ab, il s'ensuit que ce plan ne peut avoir qu'un seul point e qui lui soit commun avec la surface de la sphère. Donc, tout plan perpendiculaire à l 'extrémité d'un rayon de la sphère f-st tangent à cette même sphère.

Celle propriété peut encore se démontrer de cette manière.

Si la droite ef est perpendiculaire au rayon ce du cercle diek, cette ligne sera par conséquent tangente à ce cercle; et si la droite en est aussi perpendiculaire au même rayon ce (lequel rayon dans ce cas peut appartenir au cercle dleni) , cette ligne sera de même tangente à ce dernier cercle. Or, deux droites qui se coupent sont dans un même plan, puisqu'elles ont trois points f, e,«n,' qui ne sont pas en ligne droite. Donc, si nous faisons passer un plan ab par ces deux droites, ce plan sera perpendiculaire au rayon ce et tangent aux deux cercles , ainsi qu'à tout autre cercle qui aurait avec ces deux -ci de pour diamètre commun ; ce plan sera donc tangent à la surface de la sphère. Les deux cercles diek , dlem, sont également générateurs de la sphère ; par conséquent leurs circonférences seront deux courbes génératrices qui passeront par le même point e, et les droites fe, ne, seront des tangentes à ces mêmes courbes et passeront aussi par le point de contact e. Donc, si par le point de contact de deux courbes génératrices on fait passer deux tangentes , ces tangentes détermineront le plan tangent à la sphère.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. i3 7

Problème 5y ( fig. 6). ( Analogue à Varticle de la page i35, figure 3 ). Par un point donné à la circonférence de la base circulaire d'un

Cylindre droit , numer un plan tangent à ce Cylindre.

D'après ce qui vient d'être dit , nous devons facilement résoudre ce problème. Soit e le point donné dans le plan horizontal;

menons le rayon oe, auquel nous mènerons par son extrémité e une perpendiculaire ah tangente au cercle, et qui sera la trace du plan tangent cherché; de e, élevons une verticale qui nous donnera ci' pour la ligne d'attouchement du plan tangent, qui est parallèle à la directrice on'. La ligure 7 est ahsolument l'inverse de celle-ci. Si le point eût été donné à volonté sur la surface du cylindre, comme a (lig.i,pl. 16) dans la projection horizontale , nous mènerions d abord par ce point une droite bc, parallèle à l'axe de-, cette ligne Userait la projection horizontale de la ligne d'attouchement ou de tangence du plan et du cylindre. Maintenant, cherchons la projection verticale de a (ce que nous savons déjà faire) , qui sera a'\ par ce point , menons une droite b'c, parallèle à l'axe «/V ; cette droite b'd sera la projection verticale de bc ou de la ligne d'attouchement. 11 nous reste encore à déterminer les traces du plan tangent. Couchons, dans le plan horizontal , le cercle de la baseyg; prolongeons cb jusqu'en B, qui sera le point de tangence du plan sur la base; menons le rayon DB, ainsi que la tangente qui coupera le prolongement de gf f en H., et la tangente IH sera le profil du plan cherché , dont iH sera la projection horizontale, tandis que l'angle IHï sera la mesure de l'inclinaison du plan tangent sur le plan horizontal. De H, menons Hj, parallèle à Taxe de\ cette ligne Hj sera la trace ou l'intersection du plan tangent avec le plan horizontal. De I, menons une parallèle à Hj, nous aurons ik pour la projection horizontale de la limite supérieure du plitn /j. Nous avons maintenant tout ce

iS8 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

qu il nous faut pour construire la projection verticale. Lorsqu'un point est donné sur la surface d'un cylindre, comme dans le cas présent , nous devons faire attention si le plan doit être tangent à la partie supérieure ou inférieure du cylindre, ce que nous allons voir dans l'exemple suivant (fig. 2).

Soit a le point donné dans la projection horizontale d'un cylindre oblique à base circulaire; menons par ce point une droite indéfinie parallèle à Taxe bc \ cette droite coupera les deux bases du cylindre, chacune en deux points rf, e, f, g, qui seront les extrémités des deux lignes de tangence df, eg, supérieure et inférieure. Pour procéder avec un peu d'ordre, nous ne considérerons d'abord qu'un seul de ces plans, par exemple, le plan supérieur qui doit toucher le cylindre selon la droite df La projection verticale de d sera d, celle de /'sera/ 1 '; puisque ces deux points sont les projections verticales des extrémités de la ligne de tangence, menons donc la droite df, qui sera cette ligne de tangence. Par a, élevons une verticale indéfinie qui coupera df en a'; ce point sera la projection verticale de a. Pour avoir maintenant les traces- du plan tangent , menons par d la tangente indéfinie BWb, qui sera la trace horizontale cherchée; et b/, qui se trouve dans le plan de l'axe hc, sera la trace verticale de ce même plan. Si nous voulons limiter ce plan , prenons sur la trace horizontale hd f prolongée, un point quelconque tel que H, qui aura pour projection verticale h ; de ce point, menons une droite hi v , qui soit parallèle à la projection verticale du cylindre; cette ligne sera une des limites cherchées. Il en sera de même des limites bj , b#", ij , ry% etc. Cherchons maintenant le second plan tangent à la partie inférieure du cylindre. Par e, second point où la droite dg coupe la base inférieure du cylindre, menons la tangente beR, et opérons pour le reste de la même manière que pour le premier plan. Nous devons voir que si le point a eût été donné hors la projection du cylindre , par exemple en b ou

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. rôg

ailleurs, l'opération serait encore là même. Afin de concevoir plus facilement cette opération , côrisultons la figure 3 en perspective. D'après ce que nous venons de dire du cylindre, les figures 4,5, n'ont pas besoin d'explication , les lettres étant à peu près les mêmes que dans la ligure précédente.

Problème 58 (fig. 6). Par un Point donné sur la surface de ta Sphère, mener un plan tangent à la surface de cette Sphère.

Soit a le point donné dans la projection horizontale. Comme dans le cylindre , nous devons considérer si ce point doit être situé à la partie supérieure ou inférieure de la sphère : ici nous le considérerons comme étant donné à la partie inférieure. Concevons d'abord que ce point a ait tourné horizontalement jusqu'à ce qu'il soit arrivé en a*, sur le diamètre bc, qui peut être aussi considéré comme étant la projection horizontale du grand cercle de la sphère , parallèle au plan vertical ; par conséquent la projection verticale de a* sera &*'. Si , par ce point , nous menons la tangente de', cette ligne sera la trace verticale d'un plan tangent à la sphère, et perpendiculaire au plan vertical ; par conséquent la droite dF*, perpendiculaire à yz , sera la trace horizontale de ce même plan , qui sera incliné au plan horizontal selon l'angle edz. Par a •', menons une horizontale à'\ g', qui coupera la verticale élevée de a en un point af, qui sera la projection verticale de a, ou du point de tangence. Concevons maintenant que le point a' soit retourné à sa première position à, et que le plan e'dF*, qui contient <r ait tourné avec ce point. Il est clair que lorsque a* sera en a, le point h* sera en h, et n'aura pas quitté le plan horizontal ; par conséquent la trace dF* , qui était perpendiculaire au rayon ih', sera en DF, et sera toujours perpendiculaire au rayon ih. Il ne s'agit plus que de trouver la trace verticale de ce plan. Pour cela , menons la droite «a

i4o NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

parallèlement à la trace DFj cette ligne aa est perpendiculaire au rayon ia, comme cra* l'était au rayon ia % avant d'avoir tourné. Cette droite em étant horizontale à la hauteur du point de tangence a, et située dans le plan tangent, son extrémité a appartiendra nécessairement à la trace verticale que nous cherchons; donc, en élevant une verticale par a, cette ligne coupera a g' en A', qui sera le point cherché. Or, D étant aussi un des points" de cette trace, donc la droite DA', prolongée, sera la trace verticale cherchée. Si nous limitons ce plan, noua aurons pour ses projections les rhomhes ou losanges DZ, D/'.

Nous pouvons obtenir le même résultat par un moyen plus direct, plus simple, et par couscquent plus cxpéditif, mais que nous aurions difficilement saisi , sans la connaissance du premier que nous avons employé , ligure i. pl. 17. Soit a le point donné (comme dans l'exemple précédent) ; menons par ce point a et par le centre i un diamètre que nous considérerons comme étant la trace d'un plau coupant. Si nous renversons cette coupe dans le plan horizontal , nous aurons un grand cercle de la sphère pour projection verticale de cette même coupe par le diamètre. Par «, élevons une perpendiculaire sur le diamètre; cette ligne coupera le cercle en A : par ce point, menons une tangente jcAh, qui sera le protil du plau tangent, lequel rencontrera le plan horizontal en //; par ce dernier point, menons perpendiculai rement au diamètre la droite D//F, qui sera la trace horizontale du plan tangent. Par a, élevons une verticale sur laquelle nous porterons la hauteur «A , de a* en a. Le reste de l'opération se fera comme dans l'exemple précédent. La figure 1 est encore le même problème; seulement le point donné a est considéré comme étant situé sur la partie supérieure de la sphère, et est résolu par le dernier moyen que nous venons d'employer.

Avant d'aller plus loin, nous croyons utile de faire voir seulement deux exemples de l'application des plans tangens dans la

projection des ombres. Nous voyons dans les figures 3 et 4> les ombres d'un cône et celles d'un cylindre , dont les limites sont déterminées par les intersections de plans tan gens. Dans la suite de cet Ouvrage, nous nous occuperons spécialement de cette partie.

Des Intersections des Surfaces courbes.

Lorsque deux corps à surfaces courbes se pénètrent ou se coupent, les intersections de leurs surfaces forment des lignes courbes d'espèces différentes, dont les unes, comme le cercle, l'ellipse , etc. , peuvent être contenues exactement dans un plan , et les autres ne le peuvent pas ; ces dernières sont nommées courbes h double courbure. Pour avoir une idée de cette espèce de lignes, ouvrons un compas à volonté, et décrivons un cercle sur la surface convexe ou concave d'un cylindre; nous verrons d'abord que cette courbe ne peut pas être contenue dans une surface plane. Ainsi , la solution des problèmes que nous allons voir, consiste principalement à savoir trouver, de la manière la plus avantageuse, les projections d'un point sur une surface courbe; ce qui n'est autre cbose qu'une application des principes que nous avons vus précédemment. La manière la plus simple et la plus générale pour construire ces intersections , consiste à concevoir ces corps coupés par des plans, suivant certaines conditions qui dépendent plus ou moins de la nature de la surface proposée. Ces plans peuvent être menés parallèlement à l'un des plans de projection; et comme tous les points des intersections de ces surfaces se trouveront sur les plans coupans, ou sur l'une de leurs projections, il sera toujours facile de construire ces courbes, en rapportant ces points sur l'autre projection de ces mêmes plans. Cette méthode peut s'appliquer à toutes les surfaces courbes en général. C'est ce que nous allons tâcher d'éclaircir par des

Problème: 39 (fig. 5). Étant données les Projections de deux Cylindres qui se coupent à angle droit , trouver les projections verticales de leur intersection.

Concevons dans la projection horizontale une suite de plans verticaux, coupans le cylindre parallèlement à son axe cd; les

projections verticales de toutes ces sections seront autant de parallélogrammes rectangles, semblables à celui e'f ou e'f, qui est le résultat de la coupe du cylindre par le plan vertical ef, car ce plan coupe la surface du cylindre en dessus et en dessous. La circonférence du second cylindre , dont l'axe est vertical , se » muve aussi coupée par le même plan ef, aux points supérieurs gh, ,iinsi qu'en deux autres points inférieurs situés dans les mêmes verticales. Les projections verticales de ces points devant se trouver sur les perpendiculaires à ab, élevées de chacun d'eux, ainsi que sur les droites ef, e'f, seront donc situées aux intersections de ces lignes, aux points g', h', g', h". 11 en sera de même des autres points », k, l, m, etc. Observons ici que, pour iibréger, nous pouvons obtenir les projections de ces points sans le secours des plans que nous venons d'employer. Couchons une des bases du cylindre, par exemple no, dans le plan horizontal ; prolongeons la droite gh jusqu'à ce qu'elle coupe le cercle de cette base aux points supérieur et inférieur G, G- ; prenons les hauteurs eG', eG, que nous porterons sur ab, de g en g', g', et de h en A", /*'. La tigure 6 est la projection faite sur la ligne 1 %.

Pbobi.kmk 40 ( fig. 7 ). Etant données les Pivjections de deux Cylindres dmits dont les axes se coupent obliquement , construire la projection horizontale de leur intersection.

( jimvvons, dans la projection verticale, les deux cylindres coupés par un nombre quelconque de plans horizontaux; les

projections de ces coupes seront, dans le plan horizontal, des rectangles semblables à ceux de l'exemple précédent, et dont les côtés seront des droites parallèles aux axes dans chacun de ces

cylindres, et les points d'intersection de ces lignes seront les points cherchés. Nous pouvons d'abord , sans opération préalable, trouver facilement six points de cette intersection. Par exemple, le point c' est évidemment situé sur d'e', qui est la partie la plus élevée du cylindre j par conséquent la projection horizontale de d doit être sur de, projection horizontale de d'e", ainsi que sur la perpendiculaire abaissée de c 7 , ou de la droite cf, qui est une des parallèles à l'axe g/i. Le point cberché sera donc c , qui se trouve à l'intersection de ces deux hgnes. Il en sera de même du point f» Le point f se trouve sur la droite k'I', qui est dans un plan horizontal passant par l'axe dé ; cette ligne k'V aura pour projection horizontale la droite kl, ainsi que son opposée mn ; donc, en abaissant de / une perpendiculaire, les intersections de ces lignes nous donneront les points j , y : il en sera de même pour le point p' 9 dont les projections horizontales seront les points pp-. Cherchons maintenant un point quelconque tel que q; par ce point , menons une droite rs, parallèle à ab j cette ligne rs sera la trace verticale d'un plan coupant le cylindre horizontalement ; la projection horizontale de cette coupe sera (ainsi que dans les exemples précédens) un rectangle que nous obtiendrons en prenant , dans la projection verticale , la hauteur du plan coupant au-dessus de l'axe de', que nous porterons dans la projection horizontale , sur la base In, rabattue, de G en Tj par ce point, nous mènerons une droite horizontale parallèle à In, et qui coupera le cercle aux points Q , U \ de chacun de ces points , menons des droites parallèles à l'axe de ; ces droites seront les côtés du rectangle, qui couperont les perpendiculaires abaissées des points qui. Les intersections de ces lignes seront les points

i44 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

cherché ; q, q', u,w, par lesquels nous ferons passer les courbes , et l'opération sera achevée.

Problème 41 (fig. 1, pl. 18). Trouver les intersections d'une Sphère et

d'un Cylindre.

Menons, parallèlement à AB, autant de plans verticaux cd> ef, etc. , que nous le jugerons nécessaire ; ces plans couperont en même temps la sphère et le cylindre 5 les résultats de chacune de ces coupes seront un cercle pour la sphère, et un rectangle pour le cylindre , ainsi que nous l'avons déjà vu. Par chacun des points d'intersection g, h, i % k, menons des perpendiculaires indéfinies à AB ; prenons les rayons des cercles de chacune des coupes , et du centre vertical /' , décrivons des cercles (ou simplement des arcs) qui couperont les perpendiculaires correspondantes aux points cherchés g , g' 1 , h', h'% etc. , par lesquels nous ferons passer les courbes, en observant de ponctuer les parties de ces courbes, qui sont au-delà du diamètre ik du cylindre. Cette opération doit être si facile pour nous, qu'il est inutile d'en dire davantage à ce sujet.

Problème 4a (flg. 3). Construire les intersections de deux Cônes droits

h base circulaire.

La résolution de ce problème consiste à savoir trouver les projections d'un point donné sur l'une des projections de ces cônes, par les moyens que nous connaissons déjà. Soient AB la commune section des deux plans ; les cercles %def, ghik, les projections horizontales des deux cônes donnés; et les cônes dLg'f, hti , les projections verticales. Si nous supposons ces deux cônes coupés par une suite de plans horizontaux , chacune de ces coupes sera composée de deux cercles qui s'entrecouperont > et chaque

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. i45

point d'intersection de ces cercles sera un des points de Tintersection des surfaces coniques. Par exemple, la section faite par un plan m'ri aura pour projection horizontale deux cercles de diamètres différons,' dont, l'un aura pour rayon grn, et l'autre lo.

Nous voyons que ces cercles se coupent en deux points p, tj ; ces points appartiennent donc également aux deux circonférences; donc les projections verticales de ces points seront sur le plan m'ri enp'q'. Nous pouvons trouver, de cette manière, autant de points qu'Usera nécessaire. Mais comme il se trouve quelquefois des points qu'il est difficile de déterminer rigoureusement, ainsi, sans beaucoup de tâtonnement , nous allons chercher à déterminer d'une autre façon la position du point r J , qui se trouve dans ce cas.

Supposons, pour un moment, ce point trouvé ; nous verrons que les deux cercles résultans de la coupe des cônes par le plan s't' ne se couperont pas dans la projection horizontale, qu'ils seront seulement tangens en r, qui sera le point cherché. Mais admettons maintenant que ce point n'existe pas encore; nous devons voir qu'il nous sera impossible de savoir précisément et sans tâtonnement où nous placerons le plan sY; car, si nous le plaçons plus haut , les deux cercles ne se couperont pas , et par conséquent il n'y aura point d'intersection. Si nous faisons passer ce plan un peu plus bas que r , les intersections des cercles seront si proches l une de l'autre, qu'il nous sera physiquement impossible de déterminer avec précision la position du point eu question ; nous serons donc dans la nécessité de recourir à un autre moyen. Nous voyons d'abord que le point que nous cherchons doit être situé dans la projection horizontale sur la droite gi , qui passe par les sommets des deux cônes. Nous pouvons considérer cette ligne comme étant la trace d'un plan vertical qui contient i° le côté du grand cône passant par le sommet g, et se terminant à la base en i ; 2° le côté du petit cône passant par

le sommet 7, et par la base en g : ces deux lignes doivent donc se couper à la surface des deux cônes ; par conséquent leur intersection sera le point cherché. Nous n'avons donc qu'à chercher les projections verticales de ces deux lignes, qui seront ig, g/', et qui se couperont en r, point cherché, dont la projection horizontale sera r. 11 pourrait, arriver (ainsi que nous l avons déjà vu) que ces deux lignes se coupassent trop obliquement pour pouvoir déterminer avec précision le point de leur intersection ; dans ce cas , il faudra que nous le cherchions par un autre moyen que nous connaissons, qui est encore plus direct et plus général que celui que nous venons d'employer. Par g, élevons sur gi une perpendiculaire que nous ferons égale à la hauteur du cône gg'; meuons la droite Gi, cette ligne sera le côté dont gi est la projection horizontale. Par /, élevons sur Ig une semblable perpendiculaire-, menons la droite Lg, cette ligne sera le côté du second cône, et aura la droite lg pour projection horizontale. Ces deux côtés de cônes se couperont en de ce point, abaissons sur lg une perpendiculaire dont l'extrémité r sera la projeotion horizontale de R ou du point cherché. Par ce point r, élevons sur AH une perpendiculaire indéfinie, sur laquelle nous porterons la hauteur r\\ de r en r.

Nous ne devons pas négliger l'occasion qui se présente ici de remarquer que nous pouvons faire toute l'opération ci-dessus d'une manièi v plus abrégée. Commençons par chercher d'abord les deux points i , r, et ensuite considérons l'intervalle ir comme étant un diamètre. \)eu, comme centre avec un rayon ur, nous décrirons un cercle dont la circonférence sera la projection horizontale de l'intersection des deux cônes. Il ne nous restera donc plus qu à chercher la projection verticale de ce cercle par les diflérens moyens que nous connaissons, ce qui nous donnera l'ellipse \p't J q'.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. i4 7

Problème 43 ( fig. 3 ). Étant données les Projections d'une Sphère pénétrée par un Cône scalène ou oblique, construire les projections de V Intersection de ces corps.

Ce problème est à peu près le même que le précédent, et

cependant le moyen que nous avons employé pour la solution du premier ne serait pas le plus avantageux pour la solution de celui-ci , et nous serait tout-à-fait inutile si le cône était à base irrégulière:, ce qui nous prouve de nouveau la nécessité qu'il y a de savoir employer plusieurs moyens pour une même opération. Concevons le cône coupé par un nombre quelconque de plans verticaux, passant tous par le sommet C et par la base; les sections faites par ces plans seront autant de triangles qui seront faciles à déterminer, et les sections de la spbère, par ces mêmes plans, seront autant de cercles, aussi faciles à construire ; d'où il s'ensuit que l'opération se réduit à trouver les intersections d une ligne droite et d'un cercle. Afin de ne pas trop surcharger cette ligure, nous allons faire cette opération à part, fig. \. Soient cr/, c'd, les projections de la droite donnée; cette ligue est analogue au côté cd du cône de la figure 3. Concevons cette droite comme étant la trace d'un plan vertical coupant la sphère; cette section sera un cercle contenu dans ce plan , et dont le rayon sera f h ou fg. Si nous rabattons cette coupe dans le plan horizontal , nous aurons le triangle rectangle r/cC, dont l'hypoténuse sera la droite dC , qui coupera le cercle de la section sphérique, ou bien qui entre dans la sphère en I, et en sort en J. De ces deux points, abaissons des perpendiculaires sur de, nous aurons i, y, pour les projections horizontales des points dentrée et de sortie de la droite dans la sphère, et dont les projections verticales seront les points ?, fi Eu répétant cette opération sur chacune des autres droites de la ligure 3 , nous aurons une série de points par lesquels nous ferons passer les courbes des

intersections cherchées. Mais comme cette opération peut être encore abrégée sensiblement , nous allons la répéter d'une afutre manière.

Concevons que le plan contenant le triangle et le cercle, que nous venons de coucher dans le plan horizontal , soit redressé , et ait tourné sur le point c, en décrivant l'arc rfd*, alors ce plan se trouvera appliqué dans le plan vertical en d*c'c, sans avoir subi aucune altération; par conséquent les points I', «F, d'entrée et de sortie se trouveront autant élevés au-dessus de AB, que les projections verticales ï 9 /, ainsi que les centres F', e', des deux cercles. Il suit de ce qui vient d'être dit , que nous aurons -beaucoup plus tôt fait cette opération en nous y prenant de cette manière. De c, comme centre, avec un rayon cd, décrivons l'arc dil \ menons la droite d'C, du même point c, avec un rayon cf\ décrivons l'arc ff\ de ce dernier point, élevons une perpendiculaire sur laquelle nous porterons la hauteur du rayon de la sphère, de f en F'j de ce dernier point, comme centre, avec un rayon fi ou fj, nous décrirons un cercle, ou plutôt nous couperons d'un petit arc la droite de, aux points 1', J'. De chacun de ces points, menons à AB une parallèle qui coupera de' en z'et en / , qui seront les points d'intersection cherchés. Comme nous pouvons appliquer de nous-mêmes ce que nous venons de faire à la figure 3, il est inutile d'en dire davantage sur ce sujet.

Problème 44 5). Construire les Intersections de deux Cônes droits

et égaux à base circulaire.

Nous pourrions résoudre ce problème par la méthode des coupes horizontales que nous avons employée ligure 2; mais comme cette méthode serait inutile si ces cônes étaient à bases irrégulières, ainsi que nous l'avons déjà remarqué, il nous convient donc d'employer un moyen plus général ; et pour le comprendre plus aisément , nous commencerons par un cas très

simple. Concevons (dans la projection horizontale) un plan vertical CD., coupant les deux cônes selon les axes; les sections seront deux triangles qui auront pour bases les diamètres des cercles des bases, et pour hauteurs les hauteurs de ces mêmes cônes. Mais , comme dans cet exemple les deux cônes sont égaux , les triangles seront égaux; tels sont les triangles verticaux ce'f, g/M. Concevons maintenant ce même plan CD, passant successivement par différens points de la base, ou dés bases, sans pour cela quitter les sommets; nous verrons que lés coupes qui résulteront de toutes ces sections, seront autant de triangles (ce que nous savons déjà) , dont les bases diminueront à mesure que le plan s'éloignera des centres des bases, jusqu'à ce qu'il soit devenu tangent aux surfaces de ces cônes : alors comme il n'y aura plus de sections, les résultats ne seront plus que les lignes de tangences he y hf f ge', ff. Ainsi nous voyons que les traces horizontales du plan coupant ont changé de places à mesure qu'elles se sont éloignées des centres des bases , tandis que la trace supérieure ddf, n'a pas varié, puisque le plan a passé constamment par les sommets e'f. Nous voyons encore que les circonférences des basés se coupent en m et en i , qui sont les deux premiers points de l'intersection , qui auront pour projection verticale le seul point m. Cherchons maintenant les projections verticales des différentes sections des cônes par le plan coupant. Comme ces constructions n'ont aucune difficulté pour nous , l'inspection de la figure nous suffira, car nous voyons bien que les triangles horizontaux nem, mfo, kep, qfr, etc. , auront pour projections verticales, les triangles nc'p, q/*o, ke'p, etc. Ainsi passons de suite à la recherche des points de l'intersection. Nous avons déjà dit que les points m, i, de la base, qui sont dans un plan perpéndiculaire à AB, avaient pour projections verticales le seul point m; remarquons que ce point n'est pas seulement situé à l'intersection des bases , mais qu'il est aussi à l'intersection des côtés me, mf, et me ,

i5o . NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

mf; parcons( ; .|i]ciii les cotés pe, qf, pe',q/*, qui se coupent, nous donneront les pui nts il in lei section/,/'. Ji en sera de même pour les autres points tels que /, /', etc. Puisque la courbe de l'intersection se trouve contenue dans un plan qui est perpendiculaire aux deux plans de projections, celte courbe aura pour projections les deux droites iim 9 «'ni. La fig. 6 est projetée selon la ligne ox, de la iïg. 5.

a* Exemple du problème précèdent (iig. i, pl. 19). Ce problème ne diffère du premier que par l'inégalité des cônes proposés. Concevons une droite indélînie CD, connu.' étant la trace horizontale d'un plan vertical ; coupant les deux cônes par leurs axes e,f\ concevons encore dans ce plan une droite indéliuie efD , passant par les sommets de ces cônes, la projection verticale de cette ligue sera la droite e'fd; de d, abaissons sur AB, une perpendiculaire qui coupera CD, enD, qui sera le point où la droite passant par les sommets des cônes rencontrera le plan horizontal. C'est par ce point D, et par les sommets e, /, que doivent passer les plans qui couperont les cônes de la même manière que dans l'exemple précédent, telles sont les l races GD,OD, etc. Nous voyons que cette dernière est la trace d'un plan tangent aux deux surfaces couiques selon les droites Oe, P/.Nous devons voir également que Je plan passant par la trace GD, et par la droite eD, «oupera le grand côue selou les triangles GeH, g^b, et le petit selon les triangles I/J, i/j. Dans la projection horizontale, nous voyons que les côtés Ht-, 1/, dos deux triangles, se coupent en k, • pu est la projection horizontale de l'un des points de l'intersection, et la projection verticale de ce même point A , sera A', qui se trouve de même à l'intersection des côtés he, if. Nous chercherons de la même manière les autres points dont nous aurons besoin. Nous.devons facilement voir que les points/, t, M, N, appartiennent aussi a I intersection ; nous mènerons donc par ces points la courbe NMM, dans le plan horizontal , et la courbe /'À'm, dans le vertical. n

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. i5i

3 e Exemple (fig. 2). Cette figure est en partie analogue à la lig. 5, pl. 18, c'est-à-dire que les deux cônes sont de même hauteur,

mais que le plan coupant qui passe p;ir les axes, n'es! pas parallèle au plan vertical de projection , et que le cône droit est pénétré par un cône scalène. D'ailleurs, lojiération se l'ait absolument de la même manière. Si nous voulons éviter la confusion, à mesure que nous aurons trouvé deux ou trois points, nous aurons soin de les lier par un léger ti ait de crayon ; car sans cela , nous aurions souvent de la peine à nous reconnaître.

Problème 45 ( fig. 3). Construire rintcrscction d'un cylindre pénétré par

un cône sctilènc.

Concevons une droite ccc' parallèle à la génératrice du cylindre, et passant par le sommet du cône; tous les plans verticaux qui passeront par cette ligue et par la base du cône, couperont ce dernier, ainsi que le cylindre, suivant des droites qui seront dans ces plans, car le cône sera coupé en triangles, et le cylindre le sera en tectanglesj par conséquent l'intersection de chacune de ces lignes (du cône et du cylindre) nous donnera un des points de l'intersection cherchée. Ainsi , comme dans ce cas la génératrice du cylindre est verticale, la droite e'c, menée par Le sommet du cône le sera aussi , et aura c, pour projection horizontale. C'est par ce point c, et par la hase du coue, que nous ferons passer les plans verticaux dont nous aurons besoin. Par exemple, le plan vertical De, coupera le cône par l'axe, selon le triangle dc'e, et le cylindre, selon le rectangle ef' ; ces, deux figures se couperont en e, e 7 , et g'g'. Ces intersections étant à la fois à la surface de chacun de ces corps, seront nécessairement des points cherchés, et dont les projections horizontales seront e, g, 11 en sera de même pour le plan Hc. Enfin le plan Me, frai est tangent à la surface du cône selon la droite Me. me', ne coupera pas ce corps, mais coupera le c\ liudre en deux points n , o, ce qui nous donnera

i5a NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

pour cette coupe le rectangle np', et pour points d'intersection n,o', etc. JVous voyons que ce problème ne présente aucune difficulté.

Exemple du problème précédent •( fig. 4 )• Concevons le cône, ainsi que le cylindre, coupés l'un et l'autre par un plan vertical , dont Cd est la trace. Renversons cette coupe dans le pian horizontal , nous aurons pour section du cône le triangle CDE, et pour section du cylindre le cercle /GH. Nous voyons dans cette coupe que la droite CD, est tangente au cercle en G. Nous voyons encore qu'un plan qui serait parallèle à l'axe, ou à la génératrice du cylindre, et qui passerait par le sommet D, ou d, du cône, et par le point C, serait tangent à la surface de ce cône, ainsi qu'à celle du cylindre. Le point G, qui se trouve également situé sur ces deux surfaces, et dont les projections sont g, g', sera donc un premier point de l'intersection. La droite ED, qui est le côté inférieur du cône , pénètre dans le cercle du cylindre en I et en sort en H; ces deux points appartiennent donc encore à l'intersection , ainsi leurs projections seront i, h, i, h'. Cherchons maintenant un autre point quelconque. Par un point j , pris à volonté sur la droite Ce?, menons parallèlement à la génératrice du cylindre la droite KL; cette ligne sera la trace d'un plan passaut par le sommet et par la base du cône. Le triangle K JL sera la projection horizontale de la coupe du cône par ce plan. Puisque le plan de ce triangle est parallèle à l'axe du cylindre, les côtés Kd, hd, du triangle entreront en même temps dans le cylindre, et chacun de leur point d'intersection , d'entrée et de sortie, tels que m, m*, nn- , seront situés sur les génératrices op, qràe ce même cylindre. Il ne s'agit donc pins que de déterminer ces génératrices. Par j, point pris au milieu de la base du triangle, menons la droite j\ > ; cette ligne entrera dans le cercle au point M , et en sortira en N : par ces deux points menons les génératrices op, qr, qui couperont les côtés du triangle en mm', nn-,

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. i55

qui seront les points cherchés. 11 en sera de même de tout autre point. Nous pouvons obtenir les projections verticales de tous ces points, par les divers moyens que nous connaissons, mais particulièrement par celui indiqué au sujet de la fig. 5, pl. 18.

Afin de nous familiariser avec les opérations des projections, nous ne devons pas nous en tenir au petit nombre d'exemples que nous avons donnés, lequel est cependant suffisant pour connaître les principes généraux, et par là nous mettre sur la voie d'acquérir par le travail , les moyens de vaincre les difficultés qui peuvent se présenter dans une infinité de cas particuliers , qu'il nous est impossible d'exposer et de prévoir.

Des Hélices (Gg. t. pl. 20).

Soit Abcd, etc. , une courbe quelconque tracée sur le plan horizontal. (Dans cet exemple, c'est un cercle , ou la projection horizontale d'un cylindre droit.) Prenons sur cette courbe une série de points tels que A , b , c, d, etc. ; par chacun de ces points élevons une verticale, puis concevons une courbe coupant toutes ces verticales en des points a, b' y c, d , etc. , de manière que les hauteurs de ces points au-dessus du plan horizontal , soient dans un rapport constant avec les arcs Ab, bc, cd, etc. , rectifiés; par exemple, que A, a, soient sur les plans horizontal et vertical à zéro de hauteur, que b, fr, soient à i,c, c'àa, dd' à 3, etc. Cette courbe sera nommée Hélice. Telle est, par exemple, celle d'un tire-bouchon , ou d'un fil de fer roulé régulièrement autour d'un cylindre quelconque.

Pour construire cette ligne , nous porterons sur chaque verticale une hauteur que nous aurons déterminée, comme de b, en //, deux de c, en c trois de d, en d\ etc. , et par tous ces points, nous ferons passer la courbe cherchée. Il est facile de voir que cette ligne est indépendante du cylindre sur lequel nons venons de la tracer, et que si elle était isolée sa projection horizon-

taie n'en serait pas moins un cercle. On donne à la courbe d'après laquelle une hélice est déterminée le nom de base de l'hélice; et lorsque cette base est un cercle comme dans cet exemple , on l'appelle hélice à base circulaire. La droite verticale en, est

nommée a. ri' fie l'Hélice \ et la hauteur aa', comprise entre deux

intersections consécutives de la courbe avec une verticale, est appelée pas de l'hélice. Cette ligne est fréquemment employée dans les vis, les escaliers tournans, etc.

Nous venons de voir que les points A, h, c, d, e, etc., étant situés sur la circonférence d'un cercle, se trouvent nécessairement à une même distance du centre. Concevons maintenant, tig. a, que chacun de ces points se rapproche du centre dans un rapport constant, tel, par exemple, i, •?. , 3, .\ , 5 , etc. La courbe que nous ferons passer par tous ces points, perdra son nom d'hélice, et s'appellera spirale (toutefois étant considérée dans un même plan). Si nous supposons, comme dans l'exemple précédent, que ces points soient élevés au-dessus du plan horizontal dans un rapport aussi , constant , ou bien que nous supposions cette spirale tracée sur la surface d'un cime, alors sa projection verticale se nommera limace. ÏNous pouvons encore tracer cette dernière ligne sur la surface d'une sphère (u'g. 3 ). i\ous voyons dans la projection horizontale de cette dernière ligure, deux courbes qui paraissent en sens contraire l'une de l'autre; la première qui est pleine appartient à l'hémisphère supérieur, et celle tfui est ponctuée, à l'hémisphère inférieur. Ces deux courbes ne font qu'une seule et même ligne, ainsi que nous le voyons dans la projection verticale. Lorsque nous aurons tracé cette courbe dans la projet lion horizontale, nous en chercherons la projection verticale par les moyens que nous connaissons, c'est-à-dire, en coupant la sphère par des plans verticaux parallèles au plan vertical de projection, tels sont les plans ik, AB, If, etc. * •

fTV Vf. LA OKOMKTRIE nESCMPTlVE.

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