Pentédccagone (1 : 15). Comme on a

(1 :15)yl = (l :6)3l— (1 .-10)01,

l'angle au centre du pentédécagone déchcvétré est l'excès de celui de l'hexagone sur celui du décagone déchevètré, construits tous deux maintenant (611), (612 1. Pour l'inscrire, il suffira donc de couper la circonférence par deux autres ayant pour centre commun un même point I de la première, pour rayons o,;, a,i„ de choisir deux de ces traces P, Q situées d'un même côté du rayon 01 et de prendre le segment PQ pour côté. En joignant ensuite les sommets de 2 en 2, de 4 en 4, de 7 en 7, on obtiendrait les trois pentédécagones étoiles. Nous supprimons les calculs des éléments de ces nouveaux polygones, plus oiseux encore que les précédents.

615. Tout polygone régulier déchevètré dont l'angle est une partie aliquote de l'angle replet, fournit un modèle de plaques planes toutes identiques, susceptibles d'être juxtaposées indéfiniment sur un même plan, sans y laisser de lacunes. On s'assurera bien facilement que, seuls, le triangle équilatéral, le carré et l'hexagone remplissent ces deux conditions.

Le premier règle la disposition qiiinconciale imposée par les

332 POLYGONES RÉGULIERS ÉLÉMEXTAIRES.

cultivateurs aux sujets d'une plantation étendue, pour espacer chacun également des plus rapprochés de lui : elle consiste à les planter aux sommets de triangles équilatéraux égaux et contigus.

Pour la fabrication de carreaux de pavage uniformes, on délaisse le triangle à cause de la fragilité de ses angles tous aigus, on emploie quelquefois le carré, mais on lui préfère l'hexagone dont les angles sont obtus, par là moins fragiles, dont le carrelage exempt de longs joints rectilignes est moins sujet au gauchissement et à la dislocation.

L'hexagone fournit encore aux tonneliers, avec une simplicité extrême et une précision parfaite, une construction du rayon du fond circulaire à tailler pour fermer une futaille. Elle consiste à chercher par tâtonnement, l'ouverture de compas susceptible d'être portée six fois exactement comme corde, sur la gorge de la rainure intérieure des douves où le bord du fond doit se loger (611).

Calcul du nombre tc par la duplication indéfuiie. du nombre des côtés dun polygone régulier.

616. Dans un cercle donné de raj^on R, si un angle au centre 0) est infiniment petit, la première des relations (2) du n" 601 montre que la corde a de l'arc intercepté par lui, l'est également (443 bis, I), allant même en diminuant sans cesse quand il en est ainsi pour w. D'autre part, la disposition topographique de plusieurs arcs de cette circonférence est toujours identique à celle de leurs angles au centre (536). Il en résulte que des rayons divisant l'angle au centre d'un arc donné en une somme d'autres tous infiniment petits, diviseront cet arc en d'autres mutuellement extérieurs aussi et pourvus de cordes toutes infiniment petites, qu'ils traceront ainsi sur cet arc les sommets d'une ligne brisée variable ayant sa longueur pour limite (458).

Comme rien n'empêche de prendre égales entre elles les divisions de l'angle au centre, et que, pour un polygone régulier inscrit dans le cercle et déchevêtré, dont le nombre n des côtés augmente indéfiniment, l'angle au centre o) :=d{ : n est infiniment petit, le périmètre de ce polygone aura une limite fournissant la longueur n de la circonférence entière, arc de l'angle au centre repfet, puis, par suite, la valeur du nombre n défini par la formule 7:= II:2R (538).

Comme enfin, la loi de la subdivision progressive de l'angle replet en parties infiniment petites est arbitraire, comme un nombre doublé sans cesse augmente sans limite, et que les

l-OHMULIiS PKKLIMIX.VIKKS. 333

formules du n» 609 rendent facile le passage des éléments du poljgone de n cotés à ceux du pohgone de 2/i côtés, on rendra les calculs praticables par les moyens élémentaires, en faisant dériver le pohjgone variable de l'un de ceux que l'on sait inscrire (610 et suiv.), par la duplication indéfinie du nombre de ses côtés.

C'est cet artifice du à Archiméde, qui a procuré les premières valeurs approchées du nombre tt, et son invention fait un honneur de plus au génie de ce grand homme. Depuis bien longtemps, les Modernes l'ont remplacé par des méthodes inliniment plus naturelles et rapides. Mais il est une de ces choses sans valeur aujourd'hui, sur lesquelles, cependant, les traditions classiques s'obstinent à égarer, à fatiguer l'attention de la jeunesse, et il nous faut esquisser sa mise en œuvre.

617. Nous simplilierons l'écriture en prenant pour R l'unité de longueur, ce qui réduit l'expression de tc ci-dessus à

et les formules (3) du n» 601, (2), (3) du n° 609 à

(4) r,„=: \/(l+rJ:2.

I. De même que dans ces expressions, il y aura commodité à ne conserver que r„ dans les subséquentes.

Pourp„, P2„, périmètres des polygones inscrits de n, 2/j côtés, on trouvera

(5) p„ = na„=2n)/l-rj (2),

(6) p,n = 2na,„ = 2n V2{\ - r„) (3),

et on remarquera l'inégalité p„ < pj»; car, à cause de r„ < R < 1, 1 + r„ est < 2, et 1 — r„- = (1 + r„) (1 — rj est < 2(1 — r„).

IL Pour P„, P,,,, périmètres des polygones circonscrits de n, 2n côtés, il viendra

(7) P„=P„:/-.= 2nl/l-r,;2:r„ (5),

Effectivement, les polygones de n côtés, circonscrit et inscrit,

sont semblables comme oifrant le même caractère 1 : n (604, III), avec leurs apothèmes R = l, et r„ pour segments homologues, d'où la proportion P„ :p« = 1 : r„ ; et de même, pour Pj,,. A cause de r„ <1, la formule (7) donne immédiatement P„>p„, et, ici, on a cette autre inégalité P„> P.2„, contraire à la précédente entre p„, p^-. (I)- Car les formules (7), (8) conduisent à

(9) P„ : P,„ = y'\ - rj \/\ -^ /•, : 2;-,^ 1 - ;■„ = (1 + l'n) : 2r„,

quantité > 1, à cause de 1 > /•„, d'où 1 -^ r„> 2r„.

III. Nous aurons encore besoin d'une limite supérieure du rapport (P„ — p.ij : (P» — PJ évidemment égal au premier membre des relations

dérivant facilement de (8), (7), (9), (4). Si, ensuite, on multiplie

par v/2, puis par 2 -\- v/l -~ r„ les deux termes du premier facteur du dernier membre, il reste, après des réductions et transformations sans difficulté,

'Pin—P^a I v/2~v/r^ \ / \/V„

Pn - Pn V V/ 2 + »/ ï + /■„ / \ 1 + r„

Or chacun des facteurs du second membre est <1 :2. Car le premier peut s'écrire

r-a \ ''ni

où, dans l'expression entre crochets, et à cause de r„ < 1, chaque radical est > 1. Quant au second, son dénominateur surpasse aussi le double de son numérateur puisqu'on a (1 — r„) = 2 l/i-„ -|- (1 — v^rj-, avec i/r„ < 1. Finalement, îl reste donc

IV. Maintenant, si v est le nombre des côtés du pohgone originaire (616), 2v, 2.2v = 22v, 2.2-v = 2^v, ..., 2'v, ... seront les nombres des côtés de ceux déduits successivement de lui par 1, 2, 3, ..., k, ... duplications, et on pourra représenter parpW, Pt'^) les périmètres des poh'gones de 2*^v côtés, inscrit et circonscrit. Gela posé, il résulte immédiatement des considérations précédentes, que les termes vont sans cesse en croissant dans la suite

APPLICATION AU CALCUL DU NO.MBUL tt. 335

mais en décroissant dans

pm, p(i), P'2', ... (II),

que tout terme de la première est inférieur à tout terme de la seconde, que l'on a cfucl que soit k,

p[k) pi.fc) <; (pin) p(0))

quantité tendant vers zéro quand k augmente indéfiniment (10), qu'ainsi, les termes de la seconde suite tendent également vers 11 limite de ceux de la première, en la surpassant sans cesse et par décroissance continuelle ; d'où, celte manière très nette d'écrire tous ces faits

pm < pw < p(^) < . . . < n < . . . < P -^i < P") < PW,

puis les inégalités

P(fc) — II ) 1

(11) <P'^)-pW< -(P'O'-p"»).

Pour calculer tc à z prés par défaut, il suffira donc (1) de calculer II à 2e près, et pour cela :

P De prendre pour l'exposant A- la moindre valeur donnant

Pli') nC^Ï 4^> ^-^ (11);

2» De tirer successivement les apothèmes r"*, r-', ...,/'(^-*), puis p"', des formules

rC) = »/(l -H /■i'')) : 2, r(2) = \/(l + r ") : 2,

ri^— 1)= \/(l-fri'^-2)):2 (4), p(fc) =r 2'^ + * V v/2(l — ri'^— 1>) (6),

que l'on calculera successivement, après avoir déduit de proche en proche, par la théorie des approximations numériques, les limites £,,,, ..., Sj, £(>, au-dessous desquelles devront être maintenues les erreurs à commettre dans les calculs de r''-', ..., rC, z-'"' pour que celle pouvant alTecter pC'' ne surpasse pas 2e;

3" De substituer enfin à II, dans la formule (1), la valeur de pW ainsi obtenue.

Il est visible que si, avec des approximations arbitraires, on calcule deux périmètres quelconques p'", P*-'', le premier par défaut, le second par excès, la limite n sera comprise entre ces valeurs, et qu'ainsi, tous les premiers chiffres consécutifs

communs aux expressions décimales de ces dernières, appartiendront aussi à celle de II. Cette observation dispense de tout recours à la théorie des approximations numériques. V. On constatera facilement l'exactitude des égalités

P-2. 2\Pn PJ P^n Psn Pn

en formint les expressions de tous leurs membres en /•„ seulement, au moyen des relations (8), (7), (5) (6).

Si donc, pour plus de clarté, on représente par V'^^\ !('-'"+ 1) les inverses arithmétiques 1 : ?'■ , 1 : p"^^ des polygones de 2''v côtés, circonscrit et inscrit, on aura entre ces quantités les relations générales

T(2t) = \ . I V^k + 1) . / J (2A:- 1) I (2fc)

elles formeront la suite

composée de deux tronçons indéfinis s'allongeant dans des sens inverses, et, à partir des termes extrêmes I'"' .— 1 : Pi"), I(i)^ 1 : pW qui sont supposés connus, chacune se calculera en prenant la moyenne entre les deux obtenues antérieurement, moyenne arithmétique si son accent est pair, géométrique s'il est impair. Comme !"" tend évidemment vers 1 : il quand l'accent m augmente indéfiniment, cet algorithme indirect peut être substitué aux calculs précédents. Mais nous nous bornerons à cette indication, pensant avoir beaucoup trop insisté déjà sur une question dont l'intérêt historique ne compense pas du tout l'aridité et la complète inutilité.

AXK ULN ci:ucLi:. 337