CHAPITRE XXII

Le cercle considéré dans Uespace.

618. De l'identité complète existant entre les déplacements possibles pour une figure plane qui glisse sur un plan fixe en y conservant un de ses points dans une position invariable, et ceux que peuvent lui imprimer des rotations exécutées autour de la perpendiculaire au plan fixe élevée en ce pivot (84), il résulte qu'u/z cercle, lieu de l'extrémité mobile M {/ig. 170) d'un segment de longueur constante OM qui pivote sur un plan fixe autour de son autre extrémité O fixée sur ce plan (A97 ), peut être considéré tout aussi bien, comme celai d'an point tournant autour de la perpendiculaire AOB élevée sur son plan en son centre, avec laquelle il aurait été solidarisé.

Réciproquement, quand la figure solide, fornwe par un point M et une droite AB quelconques, tourne indéfiniment autour de celle-ci prise pour axe, le point décrit évidemment un cercle dont le rayon est sa distance OM à l'axe, dont le centre est le pied immobile O de cette distance, dont le plan est celai de même pied qui est perpendiculaire à l'axe.

En conséquence, on nomme axe d'un cercle, la perpendiculaire AOB élevée en son centre, sur son plan. Cette droite remarquable jouit, par rapport à lui, de propriétés tout à fait comparables à celles de son centre, et dont voici les principales.

I. Une rotation d'un cercle autour de son axe ne fait que le réappliquer sur sa position primitive, car cette rotation fait simplement pivoter le cercle dans son plan autour de son centre (498, I).

Réciproquement, une ligne continue est un cercle d'axe Jio, quand toute rotation autour de eAa la réapplique sur elle-même. Comme au lieu cité.

II. Un cercle est symétrique par rapport ci son axe, et aussi par rapport à tout plan passant par cette droite (473). Raisonnements tout semblables à ceux du n^ 498, II.

III. Il y a une infinité de points dont chacun est équidistant de tous ceux d'un cercle donné, et ils ont pour lieu l'axe de celui-ci.

Soient H, un point marqué arbitrairement sur le cercle, M, N, P, . . ., d'autres points quelconques de celui-ci, et 31o, 3b, '$,...

les plans élevés perpendiculairement sur les segments HM, HN, HP, ... en leurs points milieux [a, v, ts, ..., plans qui sont les lieux des points équidistants, l'un de H, M, les autres de H, N, de H, P, ... (253).

Un quelconque .To de ces plans est perpendiculaire à celui du cercle, puisqu'il l'est à une droite HM située dans celui-ci ; en outre, il passe par son centre O, puisque sa trace sur son plan est une perpendiculaire à la corde HM en son milieu fi, contenant par suite le centre 0 (501). Il contient donc la perpendiculaire élevée en O sur le plan du cercle (107), c'est-à-dire l'axe, et, pour la même raison, les autres plans -X, '~^, . . . passent aussi par cette droite qui est ainsi l'intersection commune de tous.

Il en résulte qu'aucun point étranger à l'axe ne peut être équidistant de H, M, N, P, ... à la fois, mais que tout point de l'axe jouit de cette propriété ; car, situé simultanément sur chacun des plans OÏL, Ob, y.\ ... il est équidistant de H et de M, de H et de N, de H et de P, .... c'est-à-dire de tous les points du cercle.

619. La tangente MT (fïg. 170) à un cercle en M (510) se confond avec la perpendiculaire élevée en M sur le plan passant par ce point et par l'axe AOB.

Les plans MOA, OMT qui se coupent suivant OM, sont perpendiculaires l'un à l'autre, parce que le second est le plan du cercle (451), auquel est perpendiculaire l'axe OA situé dans le premier. La droite MT élevée dans le second, perpendiculairement à leur intersection OM, est donc perpendiculaire au premier.

620. Le plan normal (453) à un cercle en M (fig. 170) est celui MOA qui passe par ce point et par l'axe. Car nous venons de constater que le plan perpendiculaire en M sur la tangente contient l'axe (619).

Inversement, tout plan passant par Vaxe, coupe le cercle en deux points M, ^M' où il lui est normal. Ces points sont effectivement les extrémités du diamètre du cercle tracé sur son plan par le plan considéré, et, d'après ce qui précède, les plans normaux en M et en M' se confondent tous deux avec celui-ci.

Pour mener à un cercle un plan normal par un point quelconque donné 1, ou parallèlement à une droite donnée 3, il suffit donc de prendre le plan conduit par l'axe et par I, ou parallèlement à 0 (52). Quand I est étranger à l'axe, ou 3 non parallèle à cette droite, il y a une seule solution. Quand I lui appartient, quand 3 lui est parallèle, il y en a une infinité constituée par tous les plans issus de l'axe.