Après ceux-ci mentionnés pour mémoire, viennent les

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triangles (sphériqucs) dont riiiiporlance relative est considérable. Sous la restriction ci-dessus (671 ), et en prenant pour ses angles les angles saillants que comprennent ses côtés euxmêmes, un triangle sphériquc (déchevétré), ses divers éléments trouvent des représentations parfaites dans un trièdre au centre qui est toujours convexe (337). De là dérivent des propositions comme les suivantes, tlont le lecteur apercevra immédiatement l'exactitude.

I. L(i somme des (tnules d'un triangle sphéri(iue est inférieure à 3 neutres (G droits), supérieure à 1 neutre (2 droits), et chueun d'eux migmenté de 2 droits surpasse la somme des deux autres (340).

L'excès de la somme en question sur l'angle neutre est à considérer quelquefois, et se nomme l'excès sphérique du triangle (700, /;;/.).

II. La somme des côtés est inférieure « une circonférence (de grand cercle^ ; en outre, chacun d'eux est compris entre la somme et la différence des deux autres (342).

III. Sur une même sphère, deux triangles spliériques sont isomères, quand ils ont égaux chacun ci chacun, trois éléments, soit consécutifs, soit d'une même nature (354 ii 358j.

IV. Dans un même triangle sphérique, l'égcdité de deux angles assume celle des côtés opposés, et réciproquement. Le triangle est isoscèle (359).

V. En coupant la sphère par le trièdre au centre, qui est supplémentaire à celui d'un triangle sphérique ABC, on en obtient un autre cl.tB9, dont les côtés et angles sont respectivement les suppléments des angles et côtés du proposé (351). La relation de deux triangles de ce genre est réciproque, et on nomme chacun d'eux le triangle po/a/re de l'autre (680 in fine, inf.)

Etc.

674. L'arc de grand cercle qui joint deux points A, B d'une sphère, non diamétralement opposés i670, IV), est de moindre longueur parmi tous les chemins pouvant être tracés de l'un « l'autre sur la surface (Cf. 459).

I. L'arc en question AB [fig. 180) étant, par hypothèse, inférieur à une circonférence, il existe quelque diamètre PQ de son cercle, de la splière par suite, qui le laisse tout entier dans l'un des demi-plans séparés par lui sur le plan de ce grand cercle. En coupant donc la sphère par des plans issus perpendiculairement à ce diamètre, de A, K, L, . . . , N, B, sommets d'une ligne brisée ( proprement inscrite dans l'arc AB (457), chacune des cordes AK, KL, ..., NB, sera la moindre distance de points empruntés respectivement aux cercles ainsi obtenus qui passent par ses extrémités (624).

On constatera facilement que A, B sont de part et d'autre

de chacun de ces plans sécants ; il en résulte que ceux-ci rencontrent tout chemin tracé de A à B, sur la sphère en particulier, fait dont nous omettrons cependant la démonstration pour abréger. Si donc A, K', L', ..., N', B sont les traces de ces plans, celles tout aussi bien des cercles mentionnés ci-dessus, sur un chemin donné conduisant de A à B sur la sphère, les cordes AK', K'L', ..., N'B, sont au moins égales à AK, KL, ..., \B, et toute ligne i' inscrite dans ce chemin, dont les sommets comprendront ces traces, sera de longueur au moins égale à la ligne brisée T.

Or, on peut évidemment supposer que la ligne t" est inscrite proprement aussi dans le chemin considéré, que, par suite, sa longueur a pour limite ii' longueur de ce chemin, quand t' varie de manière à tendre vers AB longueur de l'arc. A cause de la relation contenant ('<(", on aura donc aussi