CHAPITRE XXV

Grands cercles, triangles sphcriques. — Plus courte distance de deux points sur une sphère.

669. A tout point M d'une sphère donnée, correspond une seule demi-droite allant à lui, du centre 0 de la surface ; et, à toute demi-droite issue du centre, correspond sur la sphère, sa trace unique, inversement. Il en résulte que chacun de ces objets trouve dans l'autre une représentation univoque (395), représentation radiante, dite au centre, pour le point par la demi-droite en question, dite sphérique, pour celle-ci, par sa trace. De là dérive immédiatement la notion de la représentation au centre, de toute figure sphérique, et celle connexe de la représentation sphérique d'un lieu quelconque de demi-droites rayonnant d'un même point. Par exemple, une ligne sphérique sera représentée par une nappe conique ayant son sommet au centre de la sphère (490), et réciproquement (Cf. 536).

Par son premier côté, cette conception domine la théorie des figures tracées sur une même sphère, ou Géométrie sphérique ; par l'autre, elle est extrêmement utile à celle des figures radiantes, à l'Astronomie en particulier, où la considération de figures de ce genre s'impose presque perpétuellement. Le

GRANnS r.RRCLES. 363

prc'scMit clKipitrc ne contient guère que ses dcveloppemenls tout a l'ait élénuMitaircs.

670. Les figures sphériques les plus sinq)Ics sont les grands cercles (632, 111), leurs arcs, et les chemins fermés (459), dits ]>oIij<j()ii('s sphcriqiics, qui sont dcconqiosabics en de tels arcs. Voici les premières observations à faire à ce sujet.

I. Les grands cercles d'une même sphère sont représentés an cenlre par des j)lans (issus de ce point), et sont éipuix entre eux (498, IV).

II. Par deux points (distincts) de la sphère A, B (fig. 179), on peut faire passer un seul grand cercle, s'ils ne sont pas diamétralement opposés, mais une infinité, s'ils le sont comme A, A'.

Les grands cercles passant par A et B sont les sections de la sphère par les plans contenant à la fois ces points et le centre O de la surface. Or, dans le [)remier cas, ces trois points ne sont pas en ligne droite et déterminent un plan unique; mais ils sont tels dans le second, et les plans menés par une droite comme AOA', traceront tous sur la sphère, des grands cercles AHA', AKA'. . . ., passant par A et A'.

III. Les grands cercles étant tous égaux, entre eux (I), leurs arcs, indistinctement, peuvent être comparés les uns aux autres comme ceux d'un même cercle, et, ainsi qu'au n " 547, on peut prendre pour unité, celui qu'intercepte sur l'un d'eux un angle au centre égal à l'unité angulaire.

Sous le bénéfice de cette convention, un arc de grand cercle AB (fig. 179) a pour représentation un angle rectiligne au cenlre de la sphère, AOB, dont la mesure est la même. Car cet angle est au centre aussi, dans le grand cercle AH.\' dont lare en question fait partie, et, à des points intérieurs à l'arc, correspondent des rayons intérieurs à l'angle (536).

lui particulier, des angles au centre, soit saillants, neutres ou rentrants, soit aigus, droits ou obtus, correspondront à des arcs de grands cercles, inférieurs, égaux ou supérieurs, soit à la demi-circonférence, soit au quadrant, arcs que nous avons précisément distingués par les mêmes noms (540).

IV. Deux points de la sphère, quand ils ne sont pas diamétralement opposés, découpent le grand cercle unique passant par eux (II) en deux arcs replémentaires dont ils sont simultanément les extrémités. Mais on considère presque exclusivement celui des deux qui est saillant, et qu'on dit joindre sur la sphère, les points considérés.

Dans le cas contraire, les points en question peuvent être joints par une infinité d'arcs de grands cercles, alors tous neutres, c'est-à-dire d'une demi-circonférence.

V. Deux grands cercles (distincts) [H], [K] (fig. 179), se coupent en deux points A, A' qui sont diamétralement opposés, et en

lesquels leurs angles (456j sont égaux au rectiligne du dièdre correspondant de leurs plans, ceci entraînant légalité mutuelle de ces angles (Cf. 679, IV, inf.).

Les points communs aux cercles considérés appartiennent au plan de chacun d'eux, à l'intersection de ces plans par suite, à la sphère en outre, et sont ainsi les traces A, A' laissées sur la surface par cette intersection. Comme il s'agit de grands cercles, leurs plans passent tous deux par le centre, et leur intersection AA' aussi.

Maintenant, les demi-tangentes AT, AU menées en A aux demi-cercles AHA', AKA' (456), sont situées dans les demiplans AA'H, AA'K qui les contiennent ; toutes deux, en outre, sont perpendiculaires au diamètre AOA' (510). Leur angle TAU est donc bien le rectiligne du dièdre HAA'K (194).

VI. 11 résulte de ceci, qu'un angle sphérique FL\K, figure formée par deux arcs de grands cercles issus d'un même point A (tous deux saillants, à part cela indéfinis, c'est-à-dire abstraction faite de la seconde intersection A' de leurs cercles), est représenté au centre par un dièdre de même mesure, savoir celui dont les faces contiennent ses côtés AH, AK, dont l'arête va du centre O à son sommet A.

671. On obtient la définition des lignes brisées, polygones spbériques, de leurs côtés, sommets, angles. ... , en substituant simplement des arcs de grands cercles sur une même sphère, leurs points de soudure, leurs angles (670, VI), aux côtés, sommets, angles, . . . , des lignes brisées, des polygones proprement dits, situés tout entiers sur un même plan (205 et suiv.), (291 et suiv.). Presque toujours, il faut y ajouter la restriction que tous les côtés sont des arcs saillants (670, IV).

Un polygone sphérique a des côtés et des sommets en un même nombre aidant à sa spécification, et, d'après tout ce que nous venons de voir, il a pour représentation évidente, un angle solide au centre de la sphère, dont les faces sont saillantes, passant, elles et les arêtes, par ses côtés et sommets, dont les faces et dièdres ont mêmes mesures que les côtés et angles du polygone. En outre, l'angle solide est toujours déchevêtré en même temps que le polygone, cas où nous nous plaçons exclusivement.

672. Deux demi-grands cercles distincts AHA', AKA' (fig. 179) se soudant en deux points A, A' diamétralement opposés, forment un polygone sphérique déchevêtré, ayant deux côtés seulement et deux angles en A, A' égaux aussi (670, V), auquel correspondent les faces d'un simple dièdre au centre, devant ici être considéré comme radiant (337, IV).