AB

Si l'on imagine un fil d'une flexibilité parfaite, pouvant se mouvoir sans frottement sur une surface fixe, sous la seule condition d'}' rester exactement a])pliqué, et si, sous l'action d'une simple tension, il vient à prendre une position d'équilibre stable, on voit en Mécanique, que sa forme est alors un arc de moindre longueur entre deux quelconques de ses points. Sur une sphère, par ce qui précède, an pareil fil tracera toujours an arc de grand cercle.

675. Quand les points A, B sont, au contraire, les extrémités d'un même diamètre, une infinité de demi-grands cercles

PLUS COUKT CHEMIN' P:N"riUÎ DKUX POINTS. 367

peuvent être tracés de Vun à l'autre sur la sphère, et chacun de ces hémicycles esl encore inférieur à tout chemin sphérique (ii/dnt les mènu's extrémités, mois une forme différente.

Car si C, U, E, sont trois autres points d'un tel chemin, savoir C entre A et B, puis D entre A, G, et E entre C, B, le point D par exemple étant étranger au demi-grand cercle ACB, on aura par ce qui précède AC < ADC, CB ^ GEB, d'où (AG -}- GB) demigrand cercle < (ADG-fGEB) totalité de l'autre chemin considéré.

Ici donc, un chemin présentant une longueur non supérieure à celles de tous les auti'es, n'est plus unique.

676. Toutes les jjroposilions précédentes sont fondamentales dans la Géométrie si)hérique, et conduisent à d'autres formant un corps assez étendu. Ges déveloi)pements ont pu être indispensables à l'Astronomie, aux époques où l'on devait suppléer par des constructions géométriques, aux ressources du calcul moderne qui n'existaient pas encore ; quelques-uns procurent des solutions à certains problèmes de Géométrie descriptive, et dans leur ensemble, ils offrent un intérêt théorique incontestable. Mais ici, nous ne croyons pas utile d'aller au delà de quelques généralités terminant ce paragraphe, et de ce que le suivant y ajoutera.

I. En thèse générale, on remarquera soigneusement l'analogie assez grande existant entre les grands cercles, leurs arcs saillants, les polygones, sur une sphère, et les droites, segments rectilignes, polygones, sur un plan. Elle est connexe à celle qui rapproche de ces dernières figures, les assemblages de demidroites, plans, ... rayonnant d'un même point (Ghap. X), et naturellement, elle se soutient pour des figures plus compliquées.

Pour la rendre bien apparente, on a, autant que possible, conservé dans la Géométrie sphérique, les mots déjà employés dans les questions analogues de celle du plan. Par exemple, deux grands cercles se coupant à angle droit (ainsi que leurs plans) sont dits perpendiculaires ; l'arc de grand cercle tracé entre deux points est leur distance (sphérique) (674) ; le plus petit de ceux abaissés d'un point donné sur un grand cercle, est sa distance à ce grand cercle {Cf. 262), . . . ; en un point M d'une ligne sphérique, sa tangente sphérique est le grand cercle tangent, trace sur la sphère, du plan tangent mené à la ligne de manière à passer parle centre; etc.

D'après cette dernière observation, l'angle de pareilles tangentes menées à deux lignes sphériques en un point d'intersection, est représenté par le dièdre sous lequel se coupent les cônes au centre correspondants (493), (670, M).

II. Quand, sur une même sphère, deux figures non planes sont égales, leurs représentations au centre le sont aussi, et réciproque-

ment. En outre, chacune d'elles peut être superposée à l'autre par un simple glissement sur la sphère.

1° Soient A,, B, , C, , Dj quatre points d'une figure, non situés dans un même plan, et A.,, B,, C^, D., leurs homologues en même relation dans l'autre. Du déchevêtrement des deux tétraèdres A,B,C,Di, A-^B-^CoD, , de l'égalité de leurs arêtes homologues, et de OA, =zOA.2, ..., OD, = OD., entraînées par la situation simultanée des figures sur une sphère de centre O, on concluera, comme au n° 373, III, l'égalité des figures de points OAiB,G,D,, OA.2B.2C2D.2 . Si donc on déplace la première figure donnée, de manière à appliquer trois de ses points non on ligne droite, A,, Bj, C^ par exemple, sur leurs homologues dans l'autre, non seulement elle se superposera à celle-ci, mais encore le centre O, lié à elle, se réappliquera sur lui-même, et en même temps sur elle-même par suite, la sphère supposée liée aussi à la première figure (639). D'où l'égalité des représentations au centre des deux figures. Les réciproques sont à peu près évidentes.

2o Le déplacement considéré ci-dessus (1°) peut être remplacé par une simple rotation autour d'un axe issu du centre O, parce que ce point supposé lié à la figure mobile se réapplique sur sa position initiale (Addition II, inf.). Or, toute rotation de ce genre laisse appliquée sur la sphère, une figure quelconque existant sur elle (632, I).

Ce théorème montre une analogie de plus entre les figures d'une même sphère et celles d'un même plan. Pour l'étendre à deux figures égales qui seraient planes en même temps que sphériqucs, il faut leur imposer la condition supplémentaire, de fournir deux figures homotaxiques par l'adjonction du centre O à chacune d'elles.

III. Sous la même restriction, la première partie du théorème précédent subsiste en cas d'égalité inverse entre les figures considérées.

A cause de la symétrie de la sphère par rapport à son centre O (632, II), et de celle du même genre entre les figures formées par les demi-droites OA, , OB, , . . . menées du centre aux points A,, B,, ... de la première figure, et par les demi-droites OA',, OB',, ... allant aux points diamétralement opposés A\,B\, . . ., il y a égalité inverse, tant entre les figures AjB, ..., A'^B',.--. qu'entre leurs représentations au centre. Il y a donc égalité directe entre la seconde figure A.2B.2... et A',B'j..., par suite entre leurs représentations au centre (II) ; d'où égalité inverse entre les mêmes représentations pour A.2B.2... et A,B, Raisonnement tout semblable pour la réciproque.

PÔLES d'un cercle. 3G9

Peiils cercles.

677. On nomnio pôles d'un cercle qiielconfjuc considéré sur une sphvix', c (fuj. 181), les deux P, P' de la surface regardée connue étant de révolution autour du diamètre conjugué au plan de ce cercle (632, V), (627).

D'un même pôle qm'lconqiie P à tous les points AI du cercle, les distances reclilujnes PM sont égales entre elles, ainsi que les distances sphériques PuM (676, I).

Réciproquement, le lieu des points M de la sphère, dont les distances ii un point fixe P de la surface, soit rectilignes comme PM, soit sphéri(pies comme PaM, sont égales entre elles, est un cercle ayant P pour un de ses pôles.

I. Les segments rectilignes PM sont égaux entre eux, parce que chaque pôle du cercle considéré appartient à son axe (618, III). Les arcs PjxM sont égaux les uns aux autres, parce qu'ils sont saillants et sous-tendus dans des cercles égaux comme grands cercles (670, I) par les cordes PM toutes égales entre elles (541). Tout ceci est encore rendu évident par la considération du cercle c comme un parallèle de la surface de révolution autour de l'axe PP', que l'on peut voir dans la sphère.

II. Si les distances rectilignes PM sont toutes égales à une même longueur p, les points M appartiennent non seulement à la sphère considérée, mais à une autre encore ayant P pour centre et p pour rayon. Leur lieu est donc l'intersection de ces deux sphères, qui est bien un cercle d'axe OP (661).

Si ce sont les distances sphériques PfxM que l'on suppose égales entre elles, les distances rectilignes PM le sont aussi comme cordes d'arcs égaux dans des grands cercles tous égaux entre eux (541), et l'on est ramené à ce qui vient d'être dit.

678. Le théorème précédent assure la possibilité de décrire tout cercle sur une sphère matérielle, exactement comme on le ferait sur son plan, c'est-à-dire au moyen d'un compas d'ouverture convenable, dont la pointe sèche est fixée en l'un des pôles. Il faut seulement que les branches soient arquées, pour que l'impénétrabilité de la matière dans laquelle la sphère a été taillée, ne s'oppose jamais à l'application simultanée des pointes sur deux points quelconques de la surface ; un tel compas est dit sphérique.

On pourrait tout aussi bien en théorie, emploj-er un morceau de fil d'une longueur convenable, que l'on traînerait tendu sur la sphère, un de ses bouts fixé en un pôle, l'autre libre et porteur d'une pointe traçante (674). Mais pratiquement, ce procédé est bien inférieur à l'autre, et il serait à rejeter, si l'intérêt des

tracés sur la sphère n'était pas devenu purement spéculatif. Sur toute cette matière, quelques observations sont à retenir.

I. La valeur commune des segments PM [fig. 181) est la distance polaire du cercle c, celle des arcs Pu.M est son raijon sphériqiie, tous deux relatifs à son pôle P.

Le triangle PMP' étant rectangle en M, parce que M est sur un grand cercle de diamètre PP' (506), les deux distances polaires PM, P'M du cercle considéré sont liées par la relation

(1) Pm' + Fm' = PF' := 4 r\

où r représente le rayon de la sphère.

Les raj'ons sphériques Py-M, P'a'M des mêmes cercles, sont évidenuncnt supplémentaires.

II. Quand c est un petit cercle, son centre w est distinct de celui de la sphère, l'un de ses pôles, ici P, est situé sur la demidroite Oto, l'autre P' est sur son opposée, et l'inégalité ojP <ioP' entraîne PM < P'M (262), PaM < P'a'M (541). Le premier P correspondant à la moindre distance polaire, au moindre rayon sphérique est le pôle principal du petit cercle, son centre sphériqiie encore.

III. Pour un grand cercle S, dont le plan est perpendiculaire au segment PP' et passe par son milieu O, les distances polaires PN, P'N sont égales, et la relation (1) devient 2PN' = 4r", d'où PN=: rl/2, côté du carré insx^rit dans un grand cercle (610); les deux rayons sphériques sont égaux entre eux et à un quadrant (de grand cercle). La distinction entre les pôles n'est plus possible sans l'intervention d'autres données, par exemple d'un parcours de sens déterminé assigné au grand cercle.

679. Les considérations précédentes peuvent faire déjà pressentir que les petits cercles d'une sphère fournissent aux cercles d'un plan, des pendants analogues à ceux que ses droites trouvent dans les grands cercles (676, I).

La solution de quelques menues questions de Géométrie sphérique corroborera cette présomption.

L Le lieu des points m de la sphère, dont chacun est équidistant (même sphériquemcnt) de deux points fixes A, B de la surface, est le grand cercle élevé perpendiculairement à la distance sphérique AB, en son point milieu {Cf. 254). Car les cordes des distances sphériques Am, Bm étant égales aussi (541), le point m a pour lieu l'intersection de la sphère par le plan diamétral conjugué à la corde AB (253), (633), plan par rapport auquel les points A, B sont symétriques, auquel en conséquence, le plan du grand cercle passant par ces points est perpendiculaire (670, V).