IDÉE DE I-.\ GÉOMÉTRIE SPHÉHIQUE

pcrpeiidicilUtirc à l'arc de grand cercle qui joint son milieu à un pôle du pclil cercle (677), (Cf. 501).

III. En IduI point M d'un pclil cercle c (fiy. 181), sa tangente sphéricpie (676, I) est perpendiculaire au raijon sphêricpie Py.M allant au point de contact {Cf. 510). Car, en considérunl la sphère comme de révolution autour de la droite des pôles PP', la méridienne PM coupe à angle droit le parallèle c (625, IV), et la tangente rectilignc de c en M appartient aussi au grand cercle qui le touche au même point. (Un grand cercle se confondrait avec sa tangente sphérique, comme une droite avec sa tangente.)

IV. Deux cercles dont les pôles P, Q sont distincts et non diamétralement opposés, ne peuvent se couper en plus de deux points, et quand ces intersections existent, elles sont symétriques par rapport au grand cercle PQ, les proposés s'y coupent sous des angles égaux {Cf. 578).

Ces cercles sont dans des plans distincts non parallèles ; leurs points communs ne peuvent donc être que les traces de l'intersection de ces plans sur la sphère, et leur nombre maximum ne peut surpasser 2 (633).

Comme le plan mené par les pôles P, Q et le centre de la sphère est un plan de sj'métrie commun aux deux cercles, ces points communs M, N sont symétriques aussi par rapport à lui, d'où l'égalité des angles des cercles en M, N, d'où la propriété pour le grand cercle PQ d'être perpendiculaire sur l'arc de grand cercle MN, et de passer par son milieu (1).

Les cercles considérés se coupent en deux points, se touchent sur le grand cercle PQ), ou ne se rencontrent pas, selon que l'intersection de leurs plans atteint la sphère en 2 points, ou 1, ou aucun, le premier cas se présentant toujours pour deux grands cercles.

Une discussion basée sur la considération de leurs rayons sphériques^principaux et de la distance sphérique de leurs pôles, conduit à des conclusions imitant les résultats de la discussion du n° 578.

Etc.

680. Comme les intersections de droites et de cercles sur un même plan (Chap. XX), celles de grands et petits cercles fournissent à la Géométrie sphérique ses principales ressources. Elles procurent notamment la solution graphique de beaucoup de problèmes sur les triangles sphériques, sur les trièdres en même temps par voie indirecte. Nous terminons ce chapitre par des détails qui seraient indispensables aux tracés de ce genre.

I. Trouver le rayon d'une sphère matériellement donnée (par des constructions exécutées exclusivement sur sa surface, et sur une épure plane accessoirement).

Deux points A, B ayant été marqués sur la sphère, on déterminera quelque point M, équidistant de tous deux, par l'intersection de deux petits cercles décrits de A, B comme pôles, avec une même distance polaire quelconque (sauf la condition de fournir des cercles qui se coupent), puis deux autres points de ce genre M.,, M3 en prenant d'autres ouvertures de compas. On construira sur l'épure le triangle M'jM'oM'g ayant pour côtés les distances rectilignes M.2M3, M3M,, M, M., relevées sur la sphère au moyen du compas sphérique (678), et lie rayon du cercle circonscrit à ce triangle (507) sera celui de la sphère. Car les points M,, M^, M3 équidistants chacun de A, B sont sur le plan élevé perpendiculairement au segment AB par son milieu (253), passant en conséquence par le centre de la sphère (633), la coupant dès lors suivant un grand cercle circonscrit au triangle M,M.2M3 égal à M',M'.,]\I'3 (234).

(La Terre étant un corps très sensiblement sphérique, cette construction fait concevoir, en gros, la possibilité de mesurer son rayon sans quitter sa surface qui nous est seule accessible. Mais elle ne serait pas praticable, et il faut employer d'autres moyens.)

II. Décrire un grand cercle dont un pôle est donné. Sa distance polaire (678, I) est fournie par le côté du carré inscrit dans un grand cercle à tracer sur un plan au moyen du rayon de la sphère déterminé ci-dessus (I), (678, III), (610).

III. Tracer un grand cercle passant par deux points donnés A, B (670, II). De A, B pris successivement pour pôles, on décrit deux grands cercles (II) dont les intersections P, P' sont les pôles de celui que l'on demande. Car les segments AP, BP, par exemple, étant égaux à la distance polaire des grands cercles, le cercle décrit de P comme pôle avec cette distance polaire est un grand cercle, et il passe évidemment par A et B.

[Si A et B étaient diamétralement opposés, les deux grands cercles auxiliaires se confondraient en un seul Q, et celui que l'on demande serait indéterminé, ayant pour pôle ur^oint quelconque de e (670, II)]

IV. En un point donné A d'un grand cercle, lui en élever un autre qui lui soit perpendiculaire, hcs points P, P' où le grand cercle de pôle A (II) coupe le proposé sont diamétralement opposés dans celui-ci, dans la sphère aussi par suite, puisque les segments AP, AP' sont égaux au côté du carré inscrit. Sur la sphère considérée comme de révolution autour de PP', le grand cercle proposé est donc une méridienne, et celui décrit de P, par exemple, pour pôle, est évidemment l'équateur. C'est celui que l'on demandait, car il coupe orthogonalement toutes les méridiennes (625, IV) en passant évidemment par A.

V. Décrire un cercle passant par trois points donnés A, B, C. Comme ci-dessus (1), on déterminera sur la sphère deux points M,, M2 équidistants chacun de A, B, puis (III) le grand cercle tracé

REPRÉSENTATION d'L'N CÔNE DE RÉVOLUTION, ETC. 373

j)arM,,^r,, lieu si)ht'ri(}uc des points équidistants des mêmes points A, B, passant ainsi par les pôles du cercle inconnu. Une construction semblable exécutée en partant des points A, C donnera un second grand cercle dont les intersections avec le précédent seront les pôles P, P' du cercle cherché.

Il ne reste plus ensuite qu'à tracer ce dernier, en prenant, par exemple, P pour pôle et PA pour distance polaire.

Etc.

La construction de l'alinéa III donne tout d'abord les pôles du grand cercle AB, traces sur la sphère de la perpendiculaire élevée au plan de l'angle AOB par son sommet. En l'appliquant donc successivement aux trois côtés d'un triangle sphérique ABC, et choisissant convenablement trois des six pôles qu'elle fournit, on aura les représentations sphériques des arêtes du triédre supplémentaire au triédrc OABC, c'est-à-dire les sommets du triangle polaire du proposé (673, V), d'où ce nom pour lui.

681. Un petit cercle a une nappe d'un cône de révolution autour de son axe, pour représentation au centre (669). Car la situation du centre O de la sphère sur l'axe de ce cercle (634), impose une telle nature au cône ayant O pour sommet et ce cercle pour directrice (626, III).

Inversement, un cône de révolution au centre a deux petits cercles égaux de même axe que lui, pour représentation sphérique. Car la sphère et le cône étant deux surfaces de révolution autour de l'axe de ce dernier, leur intersection se décompose en cercles pourvus du même axe (625, VI) ; ces cercles sont au nombre de deux parce que la droite et le grand cercle, méridiennes des surfaces, ne se coupent qu'en deux points, et ils sont égaux à cause de leur S5'métrie par rapport au centre de la sphère, ayant pour cause celle simultanée de cette surface et du cône.

Ces ^observations marquent bien nettement la dissemblance des rôles joués sur la sphère par les grands cercles et les autres (676, I), 679).

Elles aident encore à la résolution de certains problèmes sur les cônes de révolution de même sommet, et sont effectivement utilisées en Géométrie descriptive. S'il s'agit, par exemple, de trouver les génératrices d'intersection de deux cônes de ce genre, on déterminera un point sur chacune, en cherchant les traces de l'un de ces cônes et d'une nappe de l'autre sur quelque sphère auxiliaire ayant leur sommet commun pour centre, puis les points d'intersection du dernier des petits cercles ainsi obtenus et de la paire des deux autres.