AXE DE ROTATION ET DE GLISSEMENT

I. Dans la position initiale de la figure, chaque point M (fig. 200), quand il ne restera pas en place, est un sommet d'une ligne brisée indéfinie (426), dont le déplacement considéré opère une réapplication graduelle (429, VI), qui, par suite, est régulière (433).

Si successivement, N, O, P, ... sont les points de la position initiale qui coïncident avec les positions finales de M, N, O, . . ., puis L, K, .... ceux qui ont M, L, . . . pour positions finales, les sommets de la ligne brisée

(1) ...KLMXO...

dans la position initiale, sont transportes en

dans la position finale; cette ligne ne subit donc qu'une réapplication graduelle ; d'ailleurs, son côté MX n'est pas nul, puisque N, position finale de M, est supposé ne pas se confondre avec lui.

II. Si la ligne (1) est de première espèce (426, I), trois sommets consécutifs, K, L, M par exemple, ne sont pas en ligne droite ; pour opérer le déplacement de -i', il suffira donc (34) d'amener son triangle KLM sur LMX, d'exécuter ainsi, sur la ligne (1), la réapplication graduelle dont nous venons de parler (I). Or (429, VI), ce dernier déplacement se résout en une rotation et une translation, l'une autour de l'àme de la ligne, l'autre parallèle à cette droite, dont les amplitudes ne sont nulles, ni l'une, ni l'autre.

L'àme prend alors le nom d'axe de rotation et de glissement ; on remarquera qu'ici tous les points de la ligne se déplacent.

III. Quand la ligne (1) est de deuxième espèce (426, II), deux cas sont à distinguer.

Si elle n'est pas un bilatère, sa réapplication graduelle considérée réalise toujours le déplacement de la figure, mais ici, elle se résout en une simple rotation autour de l'àme dont tous les points restent fixes dans l'espace.

Si elle se réduit à un bilatère MN (fig. 201), soient ii son centre, milieu du segment MX, puis m quelque point pris dans la position initiale de cf en dehors de la droite MX, puis n la position finale de m, et w le milieu du segment mn. On a Xn ^ Mm, Mn:=N/n, parce que les premiers segments sont les positions finales des derniers, et les triangles M/îiX, N/iM sont égaux comme aj^ant leurs trois côtés égaux, ainsi que m'Sln, ny^m. Les médianes mil, nil des deux premiers sont donc égales, et celles aussi des derniers, Mw, Xo). Il en résulte que la droite lîoi joignant les milieux des segments MX, mn, est perpendiculaire à tous deux, que, par suite, une simple rotation de 180' autour de cette droite amènera le triangle M/nX sur son égal XnM, réalisera en

396 DÉPLACEMENT QUELCONQUE d'UNE FIGURE.

même temps, puisque ce triangle est déchevêtré, le déplacement considéré pour la figure ^. Dans ce cas, toutes les lignes brisées régulières fournies par les divers points de la figure (I) sont, comme MX, des bilatères ajant pour âme commune la droite iiw, axe d'une symétrie évidente entre les positions initiale et finale de ^'.

Dans les deux cas, tous les points de la figure se déplacent, sauf ceux de l'axe de rotation.

IV. Quand la ligne (1) est de troisième espèce (426, 111), soient m, n les positions initiale et finale de quelque point de la figure, étranger à la droite Ao qui contient tous les sommets et côtés de cette ligne. Ces positions rendent égaux des triangles déchevêtrès tels que LMm, MX/j, et on réalisera le déplacement de la figure par l'adduction du premier sur le second.

Cela posé, si la droite inn n'est pas parallèle à .JU, on retombe sur le cas (II), car ce mouvement du triangle LMm équivaut à une rotation autour de c\d, d'amplitude égale au dièdre m-l>n, suivie ou précédée d'une translation égale et directement parallèle à MX par exemple.

S'il y a parallélisme, cette simple translation opérera l'adduction dont il s'agit, et tous les points de la figure se déplacent.

713. Pour un déplacement de la figure, qui laisse un de ses plans sans cesse appliqué sur lui-même (119), la ligne brisée régulière (1) est forcément plane, mais non un zigzag dont la réapplication graduelle ne peut s'opérer par simple glissement sur son plan (430). Elle est donc de deuxième ou de troisième espèce, et le déplacement équivaut toujours évidemment : dans le premier cas, à une rotation dont l'axe est perpendiculaire au plan (712, III), dans le second cas, à une translation parallèle au même plan {Ibid. IV).

714. Nous terminons par une proposition qui se rattache aux précédentes.

Quand une figure formée par des points en nombre limité est égale à elle-même d'une seconde manière, il existe un axe autour duquel, toute rotation d'amplitude égale à un multiple entier quelconque d'une certaine partie aliquote de l'angle replet la réapplique sur elle-même.

Nommons M, N deux points distincts de la figure, qui sont homologues dans le second mode d'égalité, considérons le déplacement qui réapplique la figure sur elle-même en amenant M sur N, et construisons comme précédemment (712, 1) la ligne brisée régulière ...MNOPQ... que ce déplacement reporte sur elle-même en . . .NOPQR. . . Tous ces points . . ., M, N, O, P, Q, R, . . . appartiennent à la figure, car il en est ainsi pour M, et . . . , N, O, P, Q, R, ... sont respectivement les homologues de

AXIÎ DE FIGURE. 397

. . ., M, N, 0, P, Q, ...; mais coiiinie l'hypothèse de l'énoncé rend essenliellcnicnt limité le nombre de ceux qui sont distincts, il faut (jue la ligne ne soit ni de première espèce, ni de troisième, mais de seconde (Ihid., III), et qu'elle se ferme en un certain |)olyffone réj^ulier 'fi (606). Il est évident maintenant, qu'en appelant -Ao l'âme de ce polvf^one, oi l'arif^le au centre du poly<^one rèj^ulier déchevèlrè de mêmes sommets (607, V), et k un entier quelconque, toute rotation d'amplitude Aoj autour de -X réappliquera la ligure sur elle-même.

Beaucoup de cristaux naturels et de corps taillés par la main humaine possèdent une ou même plusieurs droites telles que c^l>, cites alors axes de figure, mais auxquelles nous préférerions laisser le nom û'àmes. Quand M, N sont les seuls points distincts de la figure, le |)olygone ;R est un bilatère, et des axes de liguresont fournis en nombre illimité par les perpendiculaires élevées sur le segment MX en son milieu.