BC CA AB

suite de rapports égaux exprimant la proportionnalité affirmée par notre énoncé entre les côtés homologues de nos triangles.

215. Deux triangles ABC, A'B'C (fuj. 44) qui ont un angle égal A := A' compris entre des côtés respectivement proportionnels

AB j\C

sont équiangles ; par suite (214), tous les côtés de chacun sont proportionnels à leurs homologues dans l'autre.

Comme ci-dessus, appliquons le second triangle sur le premier, de manière que les côtés A'B', A'C de son angle B'A'C s'appliquent respectivement sur les côtés AB, AC de l'angle BAC, son égal par hypothèse (162).

Dans cette nouvelle position ABjC, du second triangle, on a

AB AC ÂB 1 ~ ÂCi '

à cause de la proportion supposée (4) et de l'égalité de AB, à A'B', de ACj à A'C, assurée par celle des triangles ABjCj, A'B'C;

de plus, les directions des segments AC, AC, sur leur droite commune sont identiques, comme celles de AB, ABj sur la droite qui les contient. Donc (146), (184i, les droites BC, BiCj sont parallèles, et les angles ABC, ACB sont égaux à AB,C,, AC,B|, comme respectivement correspondants dans les deux figures formées par les mômes parallèles BC, BiCi, coupées tantôt par la sécante AB,B, tantôt par l'autre sécante ACjC. Or l'égalité des triangles AB,Cj, A'B'C donne en particulier B, = B', C,=:C'; donc, enfin, on a non seulement A = A', mais encore Br=B', C = C'.

216. Deux triangles quelconques ABC, A'B'C sont égaux quand ils ont égaux respectivement, soit deux angles et un côté de l'un, à deux angles et un côté offrant les mêmes dispositions relatives dans l'autre, soit deux côtés et l'angle qu'ils comprennent dans l'un à deux côtés et l'angle qu'ils comprennent dans l'autre.

I. Dans le premier cas, nos triangles sont équianglcs (214), et les rapports égaux

ont 1 pour valeur commune, parce que celui d'entre eux dont les termes sont les côtés supposés égaux a précisément cette valeur. Leur application mutuelle, faite comme celle du numéro cité, fera donc tomber B' en B, C en C, c'est-à-dire fera coïncider leurs trois sommets simultanément, leurs côtés par suite, d'où leur égalité.

II. Pour fixer les idées, supposons que l'on ait A — A', avec AB = A'B', AC = A'C ; on a alors