AB BC

A'B' "" " WC' '

et les triangles sont équiangles (215) comme ayant égaux leurs angles A, A' compris entre ces côtés respectivement proportionnels; par suite ils sont égaux (I), puisque, en outre, un côté de l'un, AB par exemple, est égal à A'B' son correspondant dans l'autre (I).

Applications.

216 bis. Sur un plan donné, à partir d'une demi-droite donnée OA {fig. 45) et dans un sens rotaloire déterminé, porter un angle (recti ligne) égal à un angle donné aob (201).

Prenant une équerre d'angle cs quelconque (Ibid.), mais inférieur au supplément de l'angle donné aob, je l'applique sur le demi-plan ôâb, l'une de ses arêtes qui font les côtés de son

angle a s'appliquant sur le côté oa de l'angle donné dans une direction opposée à celle de ce coté, puis, le long de l'autre côté de l'angle n de l'équerrc, je trace la droite pq, rencontrant la droite ob en (iucl([ue point q, parce que les angles opq, aob ayant la position d'intérieurs relativement à la sécante pq ne sont pas supplémentaires (184), (67) ; et cette rencontre s'opère sur la demi-droite ob elle-même, car si c'était sur son prolongement en quelque point q', on aurait formé un triangle opq' dont les angles pof/' ^2 droits — aob, opt/' ;= 2 droits — cs donneraient la somme 4 droits — (aob + ^), qui serait > 2 droits à cause de aob + ^^ < 2 droits (211 1.

Cela fait, à partir de O et dans la direction OA, je porte en OP un segment rectiligne égal à op (155); sur la demi-droite OA, dans celui des demi-plans indiqué par la direction rotatoire de l'angle à construire parmi ceux en lesquels OA prolongée découpe le plan de cet angle, j'applique la même arête de la même équerre, comme je l'avais appliquée sur oa, mais en plaçant en P le sommet de l'angle zi ; le long de l'autre arête, je trace enfin la demi-droite PQ sur laquelle je porte, à partir de P, un segment PQ égal à pq, et je mène la demi-droite OQ.

L'angle AOQ est celui que l'on voulait construire, car il a été porté dans le sens voulu, et il est bien égal à l'angle aob, à cause de l'égalité des triangles OPQ, opq ayant leurs angles P et p tous deux égaux à a, compris entre les côtés PO, PQ et po, pq respectivement égaux, le tout par construction (216, II).

Il suffirait même (215) que, au lieu d'être égaux à op, pq, les segments OP, PQ leur fussent simplement proportionnels.

Cette solution du problème est la plus simple en théorie ; mais d'autres sont souvent plus avantageuses dans la pratique. iChap. XX, inf.)

216 ter. Construire an triangle connaissant un de ses côtés a et ses deux angles B, C adjacents à ce côté.

Sur l'arête d'un demi-plan, je porte arbitrairement un segment BC égal à a, puis sur ce demi-plan, à partir des demi-droites BC, CB, les angles B, C (216 bis). Les autres côtés B5, Cy de ces deux angles se couperont au troisième sommet A du triangle cherché, si toutefois celui-ci existe.

Pour cela, il faut que l'on ait :

B-f-C<2droits (211),

et cette condition est suffisante ; car alors les droites B3, Cv se coupent (184), (67), cela sur les demi-droites B(3, Cy ellesmêmes, non sur leurs prolongements, puisqu'alors ceux-ci et BC formeraient un triangle dont les angles, comme ceux du triangle imaginaire opq' discuté ci-dessus (216 bis), donneraient une somme supérieure à deux droits.

La solution est unique, en ce sens que tous les triangles pouvant être construits de cette manière sont nécessairement égaux (216, I).

Si l'on avait B -|- C = ou > 2 droits, les droites B'^, Cy seraient parallèles dans le premier cas (185) et ne se rencontreraient pas (42) ; dans le second, elles se couperaient bien, mais sur les prolongements seulement des demi-droites B^, Cy.

216 qiiater. Construire un triangle connaissant un de ses angles et les deux côtés qui comprennent cet angle.

On portera d'abord dans un plan l'angle donné (216 bis), puis, à partir de son sommet et dans les directions de ses deux côtés successivement, les segments donnés comme côtés du triangle demandé (155).

Le problème est toujours possible évidemment, et, comme tout à l'heure, il n'a qu'une solution.

Triangles et autres figures polygonales homotaxiques ou antitaxiques dans un même plan.

217. Les considérations suivantes ne sont pas sans intérêt pour une intelligence plus approfondie des propriétés des figures planes, mais surtout elles faciliteront celle de choses analogues qui s'imposent absolument dans l'étude des figures non planes. (347 et suiv., 370 et saiv., inf.)

La correspondance entre les éléments de deux triangles déchevétrés et situés dans un même plan aycmt été réglée par les notations A,B,C,, AoBjCo, les relations entre les angles B,A,C,, C,B,Ai, AjCiBj du premier et les angles honwlogues B.^A.^C^, C2B.2A2, AjC.^Bo du second, respectivement, sont toujours identiques (178).

Dans un même triangle ABC (fig. 45 bis), deux angles quelconques dont deux côtés correspondants ont des directions opposées, ABC, ACB par exemple, sont toujours antitaxiques. Car leurs autres côtés BA, CA sont d'un même côté de la droite BC sur laquelle s'opposent leurs premiers côtés (Ibid., IV),

Si donc l'angle A,B|C, est homotaxique à AoB.X.,, leurs antitaxiques AiCjB,, A.^C.iBj sont homotaxiques aussi (Ibid., II), et de même en cas d'antitaxie; de même encore, pour toute autre paire d'angles homologues.

Nous dirons, en conséquence, que les triangles en question sont homotaxiques ou antitaxiques, selon qu'ainsi les relations entre leurs angles homologues seront de la première sorte ou de la seconde. Les points suivants sont évidents.

I. La relation entre deux triangles est toujours changée par une permutation de deux lettres dans la notation d'un seul. Car