PQ

valable dans tous les cas, et faisant dépendre le pied H du lieu, de la simple construction d'une troisième proportionnelle à 2 PQ et à un segment de longueur VQ (156).

(Si le segment PQ était nul, ses extrémités P, Q se confondraient, et la condition (4) deviendrait 0 = 3, d'une satisfaction impossible ou toujours assurée, selon que S serait ou non différent de 0. Dans le premier cas, le lieu n'existe pas; dans le second, il comprend tous les points de l'espace.)

252. Le lieu de pareils points siliiés sur quelque surface donnée est évidemment, quand elle existe, la trace sur cette surface, du plan que nous venons de trouver. Si, par exemple, cette surface donnée est un plan 'j? non perpendiculaire à PQ, le lieu est une certaine droite orthogonale à PQ (94), une perpendiculaire par suite, quand le plan 'A' passe par PQ. Quand ce plan "J.^ est perpendiculaire sur PQ, et si son pied se confond avec H, il est encore le lieu particulier dont nous nous occupons. Mais si son pied est distinct de H, ce plan '1^ n'est que parallèle à celui qui constitue le lieu général, et le lieu particulier n'existe pas.

253. Le cas où 8 = 0 est à remarquer. La condition caractéristique (1) des points du lieu du no 251 devient alors

PM-qm'=0, équivalente à

PM = QM.

La formule (7) donne OH=:0, montrant que le pied du plan constituant le lieu général se confond avec le milieu du segment PQ. En d'autres termes, le lieu des points dont chacun est équidislant de deux points fixes, est le plan élevé perpendiculairement à leur distance par son point milieu O ; ceci d'ailleurs s'aperçoit immédiatement en remarquant qu'alors le triangle PMQ est isoscèle, OM par suite perpendiculaire sur PQ (238).

254. Sur un plan contenant PQ, les lieux ci-dessus se réduisent ù la perpendiculaire élevée dans ce plan sur le segment PQ, soit au point H déterminé par la formule (5) ou (G) (251), soit au milieu du même segment (253).

Distance d'un point à une droite.

255. Dans un niènic plan donné, nous appellerons distance d'un point ([uelconque M {fig. ôi) à une droite donnée A,A^, mesiircc parallèlement à une autre droite donnée X^X.^ (non parallèle à A,Ao), celle PM (230) de ce point à la trace P sur AjAo, de la parallèle menée par lui à XjXj. En outre, nous assignerons habituellement une direction à cette distance, savoir celle allant de son pied P au point M. De cette manière, l'un des demi-plans découpés par AjA, dans le plan de la figure contiendra tous les points dont les distances à cette droite ont une direction commune (79), et l'autre demi-plan, tous ceux dont les directions des distances sont opposées à celle-ci (81).

Les points de AjA^ sont ceux dont les distances sont nulles.

256. On remarquera que, mesurées parallèlement ci deux droites fixes arbitraires XjX.,, X',X'., (fig. 54), le rapport PM : P'M des distances d'un même point mobile M ci toute droite fixe A,A.2, demeure constant.

I. Quand les côtés bc, ca, cib d'un triangle abc sont respectivement parallèles à ceux b'c', c'a', a'b' d'un autre triangle a'b'c', ils le sont, soit directement, soit inversement (79) tous à la fois ; par suite (182), ces triangles sont équiangles.

Ces triangles étant d'abord sujjposés dans un même plan (fig. 55), si ab, a'b' étaient parallèles directement, et ac, a'c' inversement, les angles bac, b'a'c' seraient évidemment antitaxiqucs (178); mais alors seraient homotaxiques, soit les angles abc, a'b'c' si le parallélisme de bc, b'c' était direct, soit les angles cicb, a'c'b' s'il était inverse, et, chose impossible, nos triangles seraient à la fois, antitaxiques pour la première cause, homotaxiques pour la deuxième (217).

Quand les plans des triangles sont dificrents, ils sont forcément parallèles, et quelque translation évidente les superposera, sans changer les directions des côtés des triangles.

II. Soient maintenant QN, Q'N {fig. 54) les distances d'un autre point quelconque N à AjAj, mesurées parallèlement aux mêmes droites XjXj, X'jX'j. Les triangles PMP', QNQ' étant équiangles (I), parce que leurs côtés P]\l, QN et de même P'M, Q'N sont mutuellement parallèles comme l'étant les premiers à XiXo, les derniers à X',X'.2 et que leurs troisièmes côtés PP', QQ' sont placés sur la même droite A,A2, la proportionnalité de leurs côtés homologues (214) donne

PM P'M QN ~ Q^^' ou bien, par permutation des moyens, PM : P'M = QN : Q'N.

257. Le lien des points M (fig. 56), dont les distances PM à une droite fixe AjAj sont égales entre elles et directement parallèles, est une droite parallèle à A, A,.

Si Mo est un point fixe de ce genre, les droites M^M et PgP identique à AiA,, sont parallèles, comme joignant les secondes et premières extrémités des segments PqMq, PM égaux et directement parallèles (138, V). Donc M se trouve sans cesse sur la droite unique menée par Mg parallèlement à AjA^ (43).

258. Le lieu des points M (fig. 57) dont les distances PM à une droite fixe A,A.2 sont proportionnelles aux distances OP de leurs pieds à un point fixe O de cette droite, parallèles en outre à une direction fixe donnée, cela directement ou inversement selon que ces pieds sont sur A,.\., d'un côté donné de O ou de l'autre, est une droite passant par ce point O.

Si Mo est un point fixe de ce genre, et s'il s'agit d'un point M tel que la direction OP soit identique à OPq, la demi-droite PM est directement parallèle à Po^Iq» située par suite dans le demiplan OPqMo (81). En outre, les angles OPM, OP^Mg sont égaux comme ayant leurs côtés directement parallèles (182), et la proportion supposée