PM OP

PgMo ~ OPg

montre que les triangles OPM, OPgMg sont équiangles (,215). Les seconds côtés OM, OMg des angles POM, PqOMq coïncident donc, puisque ceux-ci sont égaux et portés dans un même sens à partir de leur côté commun OPgP. En d'autres termes, le point M est situé sur la droite fixe OMg.

Quand la direction de PM est opposée à celle de PoMo, comme en P'M', les choses se passent de la même manière, à cela près que les angles égaux P'OM', PoOMg sont portés, à partir de demi-droites opposées OP', OPq, dans des demi-plans opposés, et que la demi-droite OM' est le prolongement de OMg, en vertu du n° 170, III.

259. Quand il existe, le lieu des points M (fig. 58), dont le rapport PM : QM des distances à deux droites fixes parallèles, AjAj, B,B.2, mesurées parallèlement à deux directions fixes, est égal à un rapport donné a : b, est une droite parallèle aux proposées.

I. Supposant d'abord que les directions données sont parallèles à une même droite et, pour fixer les idées, inversement parallèles l'une à l'autre, soient Mg un point fixe du Heu, M un point quelconque, puis HgMg, KgMg et HM, KM leurs distances à AjAj, BjBjj. Par hypothèse, on a les proportions

HoMg a HM a