CHAPITRE PREMIER

Objet et nature de la Géométrie.

1. La Géométrie est la science des corps matériels envisagés seulement au point de vue de leurs formes, de leurs étendues et de leurs />05z7/ons relatives. Comme la plupart des autres sciences, elle se compose de vérités ou propositions de deux sortes : les unes, en nombre relativement infime, ont pour origine, tantôt l'expérience directe combinée avec l'abstraction, bien plus souvent des vues générales abstraites de l'esprit, nées de l'imagination inductive, trouvant ensuite une confirmation définitive dans la concordance constante de leurs conséquences observables avec les faits de la nature. Dans leur essence et dans leur rôle, ces vues ne diffèrent pas des hypothèses qui dominent toute science expérimentale dès qu'elle commence à s'élever au-dessus d'un empirisme grossier. Elles sont seulement bien moins risquées qu'en Physique, en Chimie..., et plus promptes à devenir des certitudes ; elles nous deviennent bientôt si familières que nous les trouvons évidentes. Les autres propositions qui sont innombrables, se tirent de celles-ci, puis les unes des autres par le raisonnement, et forment la presque totalité de la Géométrie rationnelle.

Les vérités du premier genre se nomment des axiomes, celles du second, des théorèmes. Il règne naturellement une grande indétermination dans le choix des vérités à démontrer comme théorèmes, ou bien à prendre pour axiomes. Mais la nécessité de

(1) Avis essentiel. — Il impoiie que le lecteur suive les démonstrations sur des figures qu'il tracera lui-même, soit d'après celles des planches, soit d'après les indications du texte.

ces derniers, dans quelque branche des connaissances humaines que ce soit, résulte de ce qu'un raisonnement est la simple liaison dèdnctive d'idées nouvelles à des idées acquises anlérieiirement, qu'ainsi la possibilité d'établir un fait par voie déductive exige \a connaissance préalable d' aiilres faits sur lesquels celui-ci puisse être appuyé d'une telle manière. En éliminant donc, successivement, le fait en question, puis ses appuis, puis ceux de ces derniers, et ainsi de suite, on arrivera fatalement, et ceci, parce que le nombre des faits connus des hommes à un moment donné nest pas illimité, à des vérités sans appui de nature déductive, c'est-à-dire à des axiomes, hypothèses..., comme il plaira de les nommer.

Un lemme est une proposition sans saillie propre, mais nécessaire à la démonstration de quelque théorème plus ou moins important. Un corollaire est un théorème accessoire se déduisant très facilement de un ou plusieurs autres ayant de l'ampleur.

Dans cet ouvrage, les énoncés des théorèmes sont imprimés en lettres italiques, conformément à l'usage, et ceux des principaux axiomes en caractères plus apparents. Nous disons « principaux » parce qu'il faut appuyer les démonstrations sur quantité de menus faits en faveur desquels on ne peut alléguer que leur évidence et dont renonciation catégorique serait inutile et promptemcnt fastidieuse.

Abstractions fondamentales.

2. Nous concevons les faits géométriques dans Yespace illimité, partout identique à lui-même, qu'il n'est pas possible de définir autrement.

A cette conception, s'adjoint fatalement celle du repos ou du mouvement, états spéciaux s'excluant l'un l'autre dans un même corps, états où nous trouvons tantôt l'un, tantôt l'autre, ou bien un même corps tour à tour, et qui sont également indéfinissables. On peut dire qu'un corps est en repos, quand sa position dans l'espace (8, inf.) reste la même ; en mouvement, quand il y occupe successivement des positions différentes ; mais ce sont là de simples mots n'ajoutant rien à la clarté de ces notions, telles qu'elles nous sont données par la contemplation la plus superficielle des phénomènes naturels.

Un déplacement est un mouvement limité faisant passer un corps d'une première position, dite initiale, à une autre, dite finale, où ce corps s'arrête.

Une figure est ce à quoi l'esprit réduit un corps quand il en fait l'étude au point de vue purement géométrique.

Un corps dont la substance est très résistante (pierre compacte, bois dur, métal tenace et rigide...), nous apparaît avec