CHAPITRE VIII

Faits topographiqiies et axiomes.

289. Une figure est limitée ou ilUmUée, selon qu'il est possible ou non d'assigner une longueur fixe surpassant la distance variable de deux points qui se déplacent arbitrairement sans cesser d'en faire partie. Un groupe de quelques points pris en nombre limité, l'intérieur d'un segment rectiligne, l'ensemble de ceux de plusieurs, ..., sont évidemment des figures limitées. Sont au contraire des figures illimitées, l'ensemble des points que l'on peut marquer indéfiniment sur une droite, chacun à une même distance donnée du précédent, une droite, un plan, l'espace, une demi-droite, ..., l'intérieur d'un angle plan ou dièdre... ^

290. Une figure est continue, quand deux quelconques de ses points ayant été pris pour extrémités, on peut les réunir par une ligne brisée (205) dont les sommets appartiennent tous à la figure et dont les côtés sont aussi petits qu'on le veut : tels sont une droite ou demi-droite, segment rectiligne ou ligne brisée, ..., un plan ou demi-plan, l'intérieur d'un angle, même l'ensemble de cet intérieur et de celui de l'angle opposé au sommet ou à l'arête...

Une figure est discontinue, si un pareil tracé n'y est pas toujours possible. Quelques points isolés, des demi-droites, segments ou demi-plans, dont deux au moins n'ont aucun point commun, ..., sont des figures discontinues.

291. Quand une ligne brisée fermée (208) ou contour polygonal, ou poh'gone plus simpleinent encore, est déchevêtrée (206i, elle est une sorte d'anneau évidemment indécomposable en plusieurs autres lignes fermées,

Nous ne considérerons ici que des lignes ou contours polygonaux plans (22), et nous commencerons par rattacher une notion très importante à celle de ces derniers supposés déchevêtrés.

292. Le plus simple d'entre eux, le plus remarquable aussi, est le périmètre d'un triangle (208), auquel nous dirons intérieur toui point de son plan intérieur à deux de ses angles à la

INTÉRIEUU, EXTKKIKUR D'UN TRIANGLE. 129

fois (159, I), par suite au troisicnie cvidcninient aussi, (placé mèuîc sur le périmètre, quelquefois encore), et extérieur tout point du même plan non intérieur. Par exemple, les points intérieurs à tout segment rectiligne ayant ses extrémités sur le périmètre sont intérieurs au triangle ; mais ceux des prolongements de ce segment sont tous extérieurs.

On reconnaîtra immédiatement que la figure formée par tous les points intérieurs à un triangle est limitée (289) et continue (290); c'est l'a/re du triangle. Quant au surplus du plan, contenant les points extérieurs, c'est une figure encore continue, mais illimitée.

293. On juxtapose extérieurement plusieurs triangles en les plaçant dans un même plan, de manière que l'un d'eux ait toujours commun avec quelque autre les points au moins d'un côté ou fragment de côté, mais qu'aucun autre point du plan commun ne soit intérieur à deux d'entre eux à la fois.

Si, après cette opération (qui est réalisable d'une infinité de manières), on supprime les côtés ou fragments de côtés communs à toute paire de triangles contigus, la réunion des surplus de leurs périmètres forme un contour polygonal plan déchevêtré, auquel on dit intérieur tout point intérieur à quelqu'un des triangles ainsi assemblés, et extérieur tout point extérieur à tous à la fois.

Uaire d'un pareil contour, ou plus simplement polygone, est, par définition, la figure encore limitée et continue qui comprend tous ses points intérieurs. L'extérieur est toujours continu, mais illimité,

294. Inversement, tout contour polygonal plan déchevêtré peut être considéré comme le résultat d'une opération du genre expliqué dans le numéro précédent.

Pour éviter des longueurs, nous restreindrons la démonstration au cas que nous aurons presque exclusivement à considérer, celui d'un contour convexe, tel que ABCDEFA (fig. 61), c'està-dire dont tous les sommets nappartenant pas à un côté quelconque, et par suite tous les autres côtés, tombent d'un même côté de celui-ci et de ses prolongements. Tels sont évidemment tous les triangles.

I. A Viniérieur de chaque angle saillant formé par deux côtés consécutifs, tombent toujours sinudtanément tous les sommets du contour non situés sur les côtés de cet angle et, par suite, tous les autres côtés. Ceci résulte immédiatement de la définition d'un contour convexe et de celle de l'intérieur d'un angle saillant (159, I).

II. La substitution à deux côtés consécutifs AB, BC, du segment unique AC réunissant leurs extrémités autres que leur soudure, donne un nouveau contour ACDEFA qui est encore convexe.

La droite AC ne peut contenir aucun point p intérieur à quelque côté EF n"a\ant pas une extrémité en A ou en C ; car, si la droite EF coïncidait avec AC, elle ne laisserait pas d'un même côté d'elle les trois sommets A, B, C, et le contour donné ne serait pas convexe ; si coupant AC en p, le point p était en A ou en C, le contour donné ne serait pas déchevêtré ; si cette intersection p se trouvait sur un prolongement du segment AC, elle ne serait pas, comme E et F tous deux, intérieure à l'angle saillant ABC (159, 111), (I) ; si, enfin, cette même intersection était à l'intérieur de AC, la droite EF laisserait A et C de part et d'autre d'elle, et le contour donné ne serait pas convexe.

Enfin, tous les autres sommets A, C, D du nouveau contour tombent d'un même côté de ce côté quelconque EF, parce ([u'ils appartiennent aussi bien au contour primitif qui a été donné convexe.

De tout ceci, résulte la convexité du nouveau contour ACD EFA.

III. Les triangles contigus ABC, ACD, ADE, AEF qui ont pour sommet commun un même sommet quelconque A de notre contour convexe, et, pour côtés opposés à ce sommet conjmun, les côtés BC, CD, BE, EF du contour qui n'aboutissent pas à A, sont tous extérieurs les uns aux autres.

Le contour donné étant convexe, le point C et, par suite, la demi-droite AC sont intérieurs à l'angle saillant BAF (I). Les angles adjacents BAC, CAF sont donc extérieurs l'un à l'autre; et sont placés de même, les angles CAD, DAE, puis DAE, EAF, parce que les contours ACDEFA, ADEFA sont tous convexes (II). Il en résulte que les angles BAC, CAD, DAE, EAF sont juxtaposés extérieurement, et par suite aussi les triangles considérés auxquels ils appartiennent.

295. Un contour déchevêtré et plan quelconque étant donné, la construction des triangles contigus dont nous venons de parler permet de lui étendre immédiatement les définitions du no 293, mo3'ennant cette proposition dont nous supprimons la démonstration :

La distinction entre les points intérieurs et les points extérieurs est indépendante de la manière, évidemment variable, dont ces tricmgles peuvent être construits.

Quand il s'agit d'un polygone convexe, en particulier d'un triangle, Cintérieur n'est pas autre chose que la région du plan commune à tous les demi-plans dont chacun a pour arête un côté {avec ses prolongements) et contient tous les sommets.

296. Pour l'angle intérieur de sommet quelconque A d'un polygone plan déchevêtré, l'ambiguïté mentionnée gu n" 205 se lève en choisissant celui (tantôt saillant, tantôt rentrant) des

SOMME DES ANGLES d'uN POLYGONE PLAN. 131

deux angles replcmenlaires compris entre les côtés issus de A, auqnel est intérieur quelque angle de même sommet A appartenant à l'un des triangles élémentaires considérés ci-dessus (294). Pour un polygone convexe, celte règle ne donne évidemment que des angles saillants. Sur cette matière, on a deux propositions très simples dont voici la première.

La somme des angles intérieurs d'un polijgone plan déchcvêtré de yi sommets est égale à N — 2 fois l'angle neutre (161) ou, si on préfère parler a'insi, à 2N— 4/o/s l'angle droit (188), (C/. 211).

Un polygone de ce genre ayant clé décomposé en les triangles élémentaires mentionnés au n^ 294, si l'on enlève un de ces triangles ayant quelque partie de son périmètre conmiune avec le contour du polj'gone et si l'on ferme, par le surplus de ce périmètre triangulaire, la. brèche faite ainsi au contour polygonal, l'examen des cas possibles montrera bien facilement à l'aide du théorème du no 211, que, dans le passage du polygone considéré au nouveau, la somme des angles intérieurs perd, gagne moins souvent, autant de fois l'angle neutre que le nombre des sommets perd ou gagne d'unités. Si donc, répétant cette opération sur le nouveau polygone, puis sur un troisième obtenu de la même manière, et ainsi de suite, on nomme n le nombre des sommets de l'un quelconqne de ces poh'gones et S,j la mesure de la somme de ses angles intérieurs relativement à l'angle neutre, la différence n — S„ conserve une valeur constante. On a doncn— S,j = 2, d'où Sn = n — 2, comme il fallait le prouver; car l'ablation successive de tous les triangles élémentaires sauf un, laisse un triangle unique pour lequel on a n ;= 3, S,i = 1 [Ibid.), c'est-à-dire n — S« = 3 — 1 =: 2.

Le point en question s'aperçoit avec une facilité extrême, quand la formation des triangles élémentaires n'exige, comme dans la fig. 62, que le tracé de certaines diagonales du polygone considéré. La somme des angles intérieurs de ce poh^gone est égale etfectivement à celle des mêmes sommes pour chacun de ces triangles, c'est-à-dire à autant de fois l'angle neutre qu'il y a d'unités dans le nombre de ces triangles. Or ce nombre est visiblement N — 2.

297. Quand il s'agit d'un polygone convexe, la somme de ses angles extérieurs est toujours égale à l'angle replet, c'est-à-dire ci quatre droits (Cf. 210).

Comme au numéro cité, pour un triangle, on formera les angles extérieurs en assignant d'abord un sens de parcours déterminé au périmètre du polygone considéré, puis en prenant chaque angle saillant compris entre un côté prolongé dans son sens et le suivant. On achèvera le raisonnement de la même manière.

La démonstration se ferait facilement encore, en procédant à l'inverse de la marche qui nous a fait passer du n" 210 au no 211.

L'introduction d'angles extérieurs negafz/s (175) permettrait d'étendre ce théorème aux polygones déchevêtrés non convexes, d'en déduire ensuite le précédent en revenant à la marclie précitée.

298. Si l'on obtient un autre contour encore déchevêtré, en juxtaposant les aires de deux polygones de ce genre, cela dans un même plan, de manière qu'elles soient contiguës l'une à l'autre par quelque ligne brisée commune à leurs périmètres, et que, sauf les points de cette ligne, ceux de chacune de ces deux aires soient extérieurs à l'autre, puis en supprimant la ligne de contiguïté pour ne conserver que les surplus des périmètres des deux polygones, on dit que l'aire incluse dans le nouveau contour est la somme (géométrique) de celles des aires considérées.

En construisant ainsi la somme des aires de deux polygones déchevêtrés, puis celle de cette somme et d'une troisième aire, et ainsi de suite, on obtiendra la somme (géométrique) de toutes les aires considérées.

299. Inversement, on divisera (géométriquement) une aire en deux autres, en marquant sur son contour deux points distincts P, Q partageant celui-ci en deux lignes brisées PAQ, QBP, en traçant de P à Q, à l'intérieur du même contour, quelque ligne brisée PHQ, déchevêtrée et n'aj^ant sur le contour aucun point autre que ses extrémités, en dédoublant cette ligne pour former avec PAQ et QBP les deux contours déchevêtrés PAQHP, PHQBP, en prenant enfin les aires de ces deux derniers polygones.

Pour diviser la même aire en un nombre quelconque de parties, on la divisera d'abord en deux comme ci-dessus, puis l'une de ces parties, ou toutes deux, en deux nouvelles parties, et ainsi de suite.

300. Si sur deux aires A,, fB, il est possible d'exécuter la première opération expliquée au no 298, à cela près que les points de tS soient tous intérieurs à rV, l'aire résultante G est l'excès (géométrique) de Jta sur tB, ou bien la différence entre l'une et l'autre. Il est évident que l'aire =Ao est la somme (géométrique) des aires 93 et ©.

En même temps, on dit que l'aire A, est plus grande que l'aire 95, que celle-ci est plus petite que l'autre.

301. Voici maintenant comment on définit le rapport de deux aires planes polygonales données A, B.

1" Quand il se trouve que A peut être considérée comme la

somme de m aires égales à B chacune i298i, le rapjjort de A à B est l'enlier m.

2° Quand il arrive que A et B peuvent être considérées comme les sommes, la première de m, la seconde de n aires toutes égales entre elles, leur rapport est la fraction m : n.

3" Dans tout autre cas, il est possible de construire deux aires variables A', B' dont le rapport puisse se définir comme ci-dessus (lo, 2"), et dont les différences à A, B soient toutes deux infiniment petites (443, inf.).

Le rapport variable de A' à B' tend alors vers une certaine limite qui est indépendante de la nature du procédé suivi, et dont la valeur est celle du rapport de A à B.

302. Les rapports de plusieurs aires à l'une d'entre elles adoptée pour iinilé, sont leurs mesures (quelquefois leurs surfaces), et, à ce propos, il 5' a lieu de renouveler textuellement les observations faites aux nos 129, 130, ..., où il s'agissait tantôt de segments rectilignes, bandes, murs, tantôt d'angles plans ou dièdres.

Il y a toutefois une dissemblance essentielle à noter : l'addition ou la soustraction géométriques de grandeurs de ces dernières sortes nous ont donné des résultats dont la forme géométrique de chacune est, aussi bien que sa mesure, indépendante du mode opératoire. Pour des aires polygonales au contraire, la figure du résultat, sinon sa mesure, est évidemment variable à l'infini.

Quand deux aires ont ainsi même mesure, sans être superposables, on les dit équivalentes.

Comparaison des aires de deux triangles.

303. Quand deux triangles ont un sommet commun et leurs côtés opposés à ce sommet placés sur une même droite, le rapport de leurs aires est égal à celui de ces côtés.

I. En coupant une même paire de parallèles fixes E, E' (Jig. 63) par des paires A, B et C, D et ... de droites toutes parallèles entre elles, mais d'une autre direction fixe H, on obtient chaque fois, en a, a', b, b' par exemple, les sommets d'un quadrilatère évidemment déchevêtré (208), (42) dont nous nommerons temporairement cote le côté ab placé sur la droite E [égal au côté a'b' placé sur l'autre parallèle E' (138, IV)], et qui appartient à l'espèce des parallélogrammes (309, inf.).

En imprimant à ce parallélogramme une translation parallèle aux droites E, E' (77), il est évident qu'on peut amener sa cote ab en juxtaposition, extérieure ou intérieure à volonté, avec

celle cd de tout autre cc'd'd, et qu'alors les deux polygones se trouvent juxtaposés aussi par un côté parallèle à la direction H, extérieurement dans le premier cas, intérieurement dans le second (138, VI), donnant un parallélogramme analogue par leur addition ou leur soustraction (298), (300).

11 est encore évident qu'en partageant la cote d'un semblable parallélogramme en plusieurs parties, et en menant par les points de division, des parallèles à la direction H, on partagera le parallélogramme en d'autres du même genre, ayant naturellement pour cotes les parties de celles du premier (299).

Cela posé, le rapport des aires de deux parallélogrammes de ce genre est égal à celui de leurs cotes.

1" La somme de plusieurs côtés est la cote de la somme des parallélogrammes correspondants. On l'aperçoit immédiatement par ce qui précède, en juxtaposant extérieurement les cotes considérées, puisque, simultanément, les parallélogrammes correspondants se juxtaposent extérieurement.

2" A deux cotes égales, correspondent deux parallélogrammes égaux et réciproquement. Car la juxtaposition intérieure des cotes, opérée par glissement de l'une sur la droite E, les superpose à cause de leur égalité, superpose en conséquence les parallélogrammes correspondants.

3o La démonstration s'achève ensuite comme celle des iifs 140, 144, 194, ..., en considérant ici un parallélogramme quelconque et sa cote comme deux grandeurs correspondantes.

11. Etant donnés dans un même plan deux droites fixes non parallèles X, Y (fig. 64) et un segment mn non parallèle à l'une ou à l'autre, nous représenterons par [mn] pour abréger, le parallélogramme mh'nh" ayant pour sommets les intersections mutuelles des parallèles à X et à Y menées par les extrémités de ce segment.

Cela posé, si après avoir décomposé en parties quelconques ..., mn, ..., un segment fixe AB non parallèle à\ ou Y, et après avoir construit sur ces segments partiels les parallélogrammes ..., [mn], ..., on vient à faire varier le mode de division, de telle sorte que, chaque fois, tous les fragments ..., mn, ..., soient inférieurs à quelque segment infiniment petit (443, inf.), la somme S [mn] des aires des parallélogramme.'^ considérés est aussi une quantité infiniment petite '*'.

(1) Il n'est pas possible de démontrer en Géométrie élémentaire les propositions du même genre, mais autrement vastes, que nous aurons à énoncer à propos des figures courbes (Chap. XIII, inf). Il nous paraîtrait donc oiseux de nous attarder à établir le présent point, et encore celui, tout semblable, du n" 376, II (inf); ceux qui, pourtant, y tiendraient absolument, le feraient très facilement en s'appu^ant sur ce que nous dirons au u' 443 bis, II (inf).