POINTS ÉQUIDISTANTS DE DEUX DROITES CONCOURANTES

ses deux bissectrices 0(î, Op, (264), et qui sont comme celles-ci perpendiculaires l'un à l'autre (196).

273. Quand au lieu d'un angle, il s'agit d'une bande, le lieu du n<> 270 ne se compose plus que du plan mené jxu- la bissectrice de la bcuule (265), perpendiculairement au pUui de celle-ci, l'autre plan ayant disparu.

Quant à celui du n" 271, il n'y a pas à en faire mention, puisqu'il n'y a plus d'angles possibles, à proprement parler.

Distance cran point à un plan.

274. La simple substitution d'un plan AiAjAg à la droite A^Aî du no 255 procure la définition de la distance d'un point M de l'espace à ce plan, mesurée parallèlement à une droite donnée X,X2, celles aussi de son ])ied et de sa direction.

A ces nouveaux objets, s'étend immédiatement la proposition du no 256, celles aussi des n^s 257, 258, à cela prés que les lieux obtenus sont, non plus des droites, mais des plans, le premier parallèle au plan AjA^Ag, le second passant par une droite OiOg à substituer, sur ce même plan, au point unique G dont il était question ; dans les données de ce second lieu, il faut encore substituer à la distance OP, celle du pied P à la droite 0,0.2, niesurée parallèlement à quelque droite fixe du plan donné x\,A.2A3.

275. Le lieu des points M dont le rapport PM : QM des distances à deux plans fixes A,A.2A3, BjB^Ba, mesurées parallèlement à deux directions fixes, soit directement toutes deux à la fois, soit inversement, est égal à un rapport donné a : b, est un plan qui est parallèle aux plans donnés si ceux-ci le sont mutuellement, qui passe par leur intersection s'ils se coupent (Cf. 259, 260).

I. Quand les directions données sont parallèles à une même droite, soient Mq, PoM^, QoMq, un point fixe du lieu et ses distances aux plans donnés, puis M, PM, QM, un autre point quelconque de ce lieu et ses distances. On a l'égalité

(1) PoMo : QoMo = PM : QM (= a : b),

et, comme les droites PqQo» PQ sont supposées parallèles, les droites PgP, QoQ sont toujours dans un même plan, par suite parallèles ou se coupant en quelque point O.

Quand les plans donnés sont parallèles, le premier cas se présente forcément (57), et, en vertu de l'égalité (1), la droite MqM est toujours parallèle aux droites P^P, Q^Q (259, 1), aux

plans proposés par suite, et le lieu de M est le plan mené par Mq parallèlement à ceux-ci (60).

Quand les plans donnés se coupent, les droites P,jP, Q„Q, si elles ne sont pas parallèles à leur intersection O'O", ont leur point de concours O sur cette intersection, et la droite M^M, soit parallèle à toutes deux (259, I), soit concourant en O avec elles (260, I), est toujours dans un même plan avec O'O". Donc le point M a pour lieu le plan déterminé par l'intersection O'O" et par le point My.

II. De là, le raisonnement du n" 259, II, conduit immédiatement au cas de directions quelconques imposées aux distances.

III. Les indications données aux alinéas III des numéros cités montreront facilement au lecteur, comment on trouvera quelque point du lieu, d'où ce lieu lui-même.

Comme au n" 259, ce lieu peut ne pas exister, quand il y a parallélisme entre les plans donnés.

276. En supprimant toute restriction sur le choix des directions des distances, le lien dont nous venons de parler devient l'ensemble de deux plans, tantôt parallèles aux proposés, tantôt concourant avec eux, l'un d'eux pouvant disparaître dans le premier cas.

Les deux plans du même lieu et la paire des proposés, tous parallèles ou concourant en une même droite, forment un faisceau harmonique (Cf. 261).

277. La distance pM d'un point M à un plan, est orthogonale quand elle est mesurée sur la perpendiculaire à ce plan menée par le point M.

Elle est inférieure à toute distance oblique, et, entre deux distances quelconques PM, P'M, /7 y a la même inégalité on égalité de grandeur qu'entre les distances pF, pP' de leurs pieds à celui de la distance orthogonale. Les triangles MpP, MpP', tous deux rectangles en p, le montrent exactement comme au ii'' 262.

C'est à la distance ortliogonale, la plus courte ainsi de toutes, que l'on afïecte plus spécialement le nom de distance sans autre désignation.

278. Dans l'intérieur d'un dièdre ou de son opposé à l'arête (192), le lieu des points équidistants des plans des faces en est un autre passant par l'arête et partageant chacun de ces dièdres en deux parties égcdes (Cf. 263).

Car la bissectrice de l'angle plan du dièdre (194), (263) fait évidemment partie du lieu qui est toujours un plan passant par l'arête (275) ; ce plan d'ailleurs partage le dièdre en deux parties égales, puisque sa trace sur celui de l'angle rectiligne jouit de la même propriété relativement à celui-ci (194).

Ce lieu est le phm bissecteur du dièdre.

PLAN BISSECTEUR d'uN ANGLE DIÈDRE, d'uX MUR. 125

279. A cause de leur intérêt secondaire et de leur facilité, nous pouvons supprimer les démonstrations de ces deux propriétés du plan bissecteur.

I. // est le lien des dcini-droiles issues de l'arêle, qui font des angles êganx avec les faces du dièdre (331, inf.}, (Cf. 271).

II. En coupant un dièdre et son bissecteur par un plan (jnelconqne perpendiculaire à ce dernier, on obtient un angle rectiligne et sa bissectrice, ou bien une bande et sa bissectrice, quand le plan sécant est parallèle à l'ai-èle. {Cf. 419, inf.)

280. Le lien des points quelconques de Vespace qui sont équidistants des plans des faces d'un dièdre, se compose de son plan bis.scctenr intérieur ci-dessus (278) et de son plan bissecteur extérieur, c'est-èi-dire appartenant coniinc intérieur aux dièdres opposés au proposé par ses deu.v faces. Ces deu.v plans sont perpendiculaires l'un et Vautre [Cf. 264).

281. Pour deux plans parallèles, considérés au lieu d'un dièdre, les lieux ci-dessus (278), (280) se réduisent au plan unique, parallèle aux proposés et divisant en deux parties égales le mur dont ils sont les faces (144).

Ce plan bissecteur du nuu' passe évidemment par les milieux des segments interceptés par lui sur des sécantes perpendiculaires à ses faces ou même quelconques {Cf. 265).

282. Les considérations du n° 267 expliquent d'elles-mêmes, par analogie, en quoi consiste la distance algébrique d'un point à un plan, mesurée parallèlement à une droite donnée.

Cette définition permettra au lecteur une extension facile à l'espace, des théorèmes du numéro cité et de celui du numéro qui le précède. Ces deux propositions sont renfermées dans l'énoncé suivant :

Les puinls dont les distatices al (jé If tiques à des plans fi.ves, mesurées parallèlement à autant de droites fixes correspondantes, et muUi}>liée.-; ]>ar des coefficients constants donnés, donnent une somme consianle, ont nn certain plan pour lien géométrique (sauf le cas d'indétermination ou celui d'impossibilité qui peuvent se présenter).

Dans le même sens, on élargira non moins facilement la remarque faite à la fin du n° 268.

Distance de (Lni.v droite.'^ on de dcii.v plans parallèles^ de deux droites non parallèles.

283. La longueur commune (138, IV), (143) des segments découpés par une paire de droites parallèles ou de plans parallèles sur des sécantes perpendiculaires ci ces figures, est inférieure à ce qu'elle est pour des sécantes parallèles entre elles mais obliques.

Car, en faisant passer par un même point de l'une des deux

figures une sécante perpendiculaire et une oblique, les segments correspondants se présenteront comme des distances orthogonale et oblique de ce même point à la figure parallèle (262), (277).

Cette longueur minimum du segment découpé ainsi sur une perpendiculaire commune, se nomme la distance des droites ou des plans parallèles considérés. Elle est la largeur de la bande (141) ou l'épaisseur du mur (144) dont les côtés ou faces sont constitués par les droites ou plans parallèles considérés.

284. Quand deux droites D, E ne sont pas parallèles, la distance mn (250) de points quelconques m, n, pris respectivement sur l'une et sur l'autre, est tout aussi bien celle des mêmes points considérés comme appartenant aux deux plans parallèles dont chacun passe par l'une parallèlement à l'autre (52), (283). Quand il s agit des pieds p, q de la perpendiculaire commune cnix droites D, E (104), le segment correspondant pq est donc inférieur à tout autre mn de ce genre, puisque alors il occupe la position unique où il est perpendiculaire sur les plans parallèles dont nous venons de parler (283).

En conséquence, on nomme distance des droites D, E, ce segment pq qu'elles découpent ainsi sur leur perpendiculaire commune. Cette distance est nulle, quand les droites non parallèles sont dans un même plan.

Projection orthogonale cVnne ligne brisée sur une droite.

285. La projection orthogonale A'B' d'un segment rectiligne AB, sur une droite (149), n'est pas autre chose qu'un segment perpendiculaire à la fois sur les deux plans parallèles qui projettent ses extrémités A, B. Sauf le cas où le segment AB est parallèle à l'axe de projection et où c'est l'égalité qui a lieu, cette projection est donc inférieure au segment AB, distance oblique des mêmes plans projetants (283).

Le n"^ 244 donne à la démonstration une forme tant soit peu différente: il suffit effectivement de s'j' souvenir que tout cosinus est un nombre essentiellement < 1 (240), quand il n'est pas celui d'un angle nul.

286. Quand une ligne brisée n'a pas tous ses côtés situés sur une parallèle à un axe, sa projection orthogonale sur cet axe lui est inférieure en longueur.

La longueur de la projection de la ligne brisée est, par définition, la somme de celles des segments rectilignes, suivant

PUOJKCTION d'une LIGNE BIUSÉE SUR UNK DIÎOITK. 127

lesquels se projettent les divers côtés de la ligne brisée. Or, de ces segments, les uns sont égaux à ceux des côtés correspondants qui sont accidentellement parallèles à l'axe de projection ; mais tous les autres leur sont inférieurs (285), et il existe forcément de ces derniers, sans quoi la ligne brisée serait afïectée de la particularité exclue. Donc, la sonune des segments provenant des projections des côtés est inférieure à celle des côtés, c'est-à-dire à la longueur de la ligne brisée.

287. La longneiir d'an segment recliligne est infcrieare à celle de tonte ligne brisée de mêmes extrémités, ponrvn qne celle-ci ne dégénère pas en nne association de fragments du segment considéré.

Tout ])lan coupant le segment à son intérieur, sans le contenir tout entier, laisse ses extrémités de part et d'autre de lui (26) ; par suite, il a quelque point conmum avec la ligne brisée, car si aucun côté de cette ligne n'atteignait ce plan, les extrémités d'un côté quelconque, tous les sonunets par suite, seraient d'un même côté de lui, ce qui n'a pas lieu.

En particulier, tout point du segment est la projection orthogonale de quelque point de la ligne brisée ; en d'autres termes, la projection de toute la ligne brisée couvre le segment ou le déborde et, par suite, lui est au moins égale en longueur. Le segment est ainsi égal au plus à la longueur de la projection qui, elle (286), est inférieure à celle de la ligne brisée ; il est donc inférieur à cette dernière, à plus forte raison peut-être.

288. Aux considérations qui précèdent, se rattache cette propriété du triangle.

Si a représente la longueur d'un côté quelconque et b ^c celle des deux autres, on a les inégalités

b — c <a <ib -{-c.

La dernière résulte de ce que b -\- c est la longueur d'une ligne brisée ayant pour extrémités celles d'un segment de longueur a (287), et la première est une conséquence immédiate de l'inégalité de même cause 6 < a + c.