A.BC BC

A,;OC bc

c'est-à-dire A.,BC = A.jèc.

On a donc AjBC^: AjBC, puisque A.^ftc = AjBC.

306. Dans un triangle quelconque, on nomme base un de ses côtés arbitrairement choisi, et hauteur (correspondante) la distance (ortliogonalc) à ce côté, du sommet qui lui est opposé (262), celle tout aussi bien au même côté, de sa parallèle menée par le sommet opposé (283).

Le rapport des aires de deux triangles est égal à celui du produit de la base du premier par sa hauteur, au produit de la base du second par sa hauteur.

I. Tout triangle ABC ifig. 68) est équivalent à un triangle rectangle ayant sa base BC et sa hauteur HA pour côtés de son angle droit respectivement.

Car si A^ est l'intersection d'une parallèle à la base BC, issue du sommet opposé A, et d'une perpendiculaire à cette base, élevée en l'une de ses extrémités B, le triangle AjBC est rectangle en B, ayant pour côtés de son angle droit, BC et BA, = H.\ comme parallèles comprises entre parallèles (100), (138, IV), et il est équivalent à AB( tous deux ayant le côté commun BC avec des sommets opposés A,, A sur une parallèle à celui-ci (305).

II. Soient maintenant A'B'C un autre triangle de base B'C, de hauteur H'A', et A', B'C le triangle rectangle déduit de lui comme A,BC l'a été de ABC. Les angles AjBC, A'jB'C étant égaux, comme droits, on a (304)

ABC AjBC BCBA, BC.HA

A'B'C ~ A'JB'C ~~ B'C.B'A'^ ~~ B'C. H' A''

à cause de ABC = A,BC, A'B'C = A', B'C (I), BA, = HA, B'A', ^ H'A'.

TRAPKZi:, PARALLÉLOGRAMME, ETC. 139

On utilise plus particulièrement ces cas particuliers évidents: Les aires de deux triangles sont entre elles comme leurs hauteurs, quand leurs bases sont égales; comme leurs bases, quand leurs hcuileurs sont égales.

Deux triangles dont les bases sont égales ainsi que les hauleurs, sont équivalents.

Mesure des aires polygonales courantes.

307. Après les triangles, les quadrilatères plans sont les polygones dont la considération s'impose le i)lus souvent.

Dans un quadrilatère quelconque, on dit opposés deux cotés non contigus, et aussi deux sommets non placés sur quelque même côté. Il y a deux diagonales (205) dont chacune joint deux sommets opposés.

Quand il s'agit d'un quadrilatère déclievètré, ce que nous supposerons désormais sans le répéter, la somme des angles intérieurs est égale à 2 neutres ou 4 droits, parce que l'excès de 4, nombre des sommets, sur 2 est 2 aussi (296).

308. Un trapèze est un quadrilatère déchevêtré, ayant deux côtés opposés parallèles. Tel est celui que l'on obtient en joignant les origines, puis les extrémités de deux segments quelconques directement parallèles, car un raisonnement analogue à celui du n" 258 montrera bien facilement que ces nouveaux côtés ne peuvent avoir en commun aucun point intérieur à l'un d'eux.

Les côtés parallèles d'un trapèze se nomment ses bases, et leur distance mutuelle est sa hauteur ; celle-ci est ainsi la largeur de la bande ajant les bases pour côtés (141).

Deux angles d'un trapèze dont les sommets sont les extrémités d'un côté autre qu'une base, sont toujours supplémentaires (184).

309. \^n parallélogramme est un trapèze ayant parallèles, non seulement ses bases, mais encore ses côtés opposés de l'autre paire ; il est donc un trapèze de deux manières.

On peut ainsi choisir pour base d'un parallélogramme, l'un quelconque de ses côtés.

Deux côtés opposés sont toujours égaux (138. IV), ainsi que deux angles opposés (182>. Deux angles non opposés sont toujours supplémentaires (308).

On en conclut immédiatement (216, II) que chaque diagonale décompose le parallélogramme en deux triangles égaux, et, bien facilement encore, que toutes deux se coupent au point milieu de chacune ; c'est le centre du parallélogramme (421, inf.)

Quand deux côtés contigus sont égaux, les quatre côtés le sont les uns aux autres indistinctement, et le parallélogramme se nomme un losange ou rhoinbe. Gomme ainsi, chaque extrémité d'une diagonale est équidistante de celles de l'autre, ces diagonales se coupent, non seulement en leur milieu commun, mais encore à angle droit (254).

310. Un rectangle est un parallélogramme dont les côtés opposés d'une paire sont perpendiculaires à ceux de l'autre paire, dont ainsi tous les angles sont droits.

La hantenr d'un rectangle (308) se confond donc avec tout côté contigu à celui qui a été pris pour base. La longueur commune de deux côtés parallèles et celle des deux autres sont les dimensions du rectangle.

On aperçoit immédiatement que les deux diagonales sont égales.

Quand deux côtés contigus d'un rectangle sont égaux, c'està-dire quand il est un losange aussi, on le nomme un carré. Les diagonales d'un carré se coupent en leur point milieu et orthogonalement, parce que la figure est un losange ; elles sont égales entre elles, parce qu'elle est aussi un rectangle ; en conséquence, elles décomposent les carrés en quatre triangles tous rectangles et isoscéles, de plus, égaux les uns aux autres. Un carré est un polygone régulier de 4 côtés (Gliap. XXI, inf.).

311. On a pris pour unité d'aire, Faire du carré dont les quatre côtés sont égaux à l'unité de longueur, par conséquent le mètre carré, le décamètre carré, ..., le kilomètre carré, les décimètre, centimètre, millimètre carrés, selon que, soit le mètre, soit l'un de ses multiples ou sous-multiples décimaux, a été adopté pour unité de longueur. C'est sur cette convention expresse que reposent toutes les propositions du genre des suivantes.

Des considérations théoriques où nous ne pouvons nous attarder, rendraient préférable, pour unité d'aire, celle d'un triangle ayant sa base et sa hauteur toutes deux égales à l'unité de longueur.

312. L'aire d'un triangle a pour mesure la moitié du produit de la longueur d'un côté quelconque pris pour base (306) par celle de la hauteur correspondante.

l. L'aire du triangle QPR (fig. 69) qui est rectangle en P avec les côtés de son angle droit PQ, PR tous deux égaux à l'unité de

longueur, a pour mesure - ■

Car on peut le considérer comme l'une des deux moitiés en lesquelles est divisé, par la diagonale QR, le carré PQSR, construit sur l'unité de longueur PQ comme côté (309), duquel carré l'aire a pour mesure 1, par convention générale.

MESURE DE l'AIRE D'lN TRIANfH.E, d'lN TR.VI'ÈJCE, ETC. 141

II. Soit ABC (////. ()<S) le triangle en question, de base BG et de hauteur AH. On a