A,A2-LB,B.. + C,C

AiB,C,A.,BA = A'B'C- -^^^ ' ' ' -•

III. Les tétraèdres A,B,C,A2, A,B,C,Bo, A,B,C,C2 qui ont pour base commune la base A,BiC, du tronc, et pour sommets opposés ceux de l'autre base, A.2, B2, C2, ont les mêmes bases linéaires A, A,, BjB^, C,C.2 que les précédents (II), et aussi la même hauteur aréolaire commune A'B'C, ceci parce que chacun a encore ses deux sommets, autres que ceux de sa base finéaire, sur les deux autres arêtes latérales du tronc. Ils leur sont donc équivalents, et la somme de leurs volumes donne encore celui du tronc.

Or, relativement à leur base commune A,BiCi, leurs hauteurs sont les distances «.2, f^^, Y2 au plan de cette base du tronc, des

VOLUME d'un l'HIS.ME. 193

sommets Aj, B^, Cj de l'autre base. Il vient donc comme tout à l'heure

390. Le volume d'an prisme quelconque (382) a pour mesure le produit de sa seclion droite par la longueur de ses arêtes latérales, ou bien encore celui de sa base par sa hauteur.

Soit AiB,CiDiE,A2B2C2DiE2 {fig. 93) le prisme en question dont nous nommerons S' l'aire de la section droite A'B'C'D'E', / la lontfueur commune des arêtes latérales, S l'aire commune des deux bases et h la hauteur, distance des plans de celles-ci.

I. Si ce prisme est triangulaire comme AiBjCiAjBjCj, ayant s', s pour aires de sa section droite A'B'C et de sa" base A,B,C, (ou A.^B^Co), on peut le considérer comme un tronc triangulaire dont toutes les arêtes latérales et toutes les distances à sa base AiBjCj, des sommets Aj, Bj, Q de l'autre base, ont pour valeurs communes / et h. Pour son volume, on aura donc (389) les deux expressions

s' =sl, s =is/i,

II. Sinon, des moulures de la direction de celle du prisme et décomposant sa section droite en une somme de triangles d'aires s', t', ..., décomposeront simultanément les bases en triangles d'aires s, t, ..., et le prisme lui-même en prismes triangulaires de sections droites s', t', ..., de bases s, t, ..., ayant toujours / pour longueur d'arêtes latérales, et h pour hauteur. Pour le volume du prisme, on trouvera donc (I)

ou bien encore

sh + thi- ...={s-{-t+ ...)h = Sh.

391. Le volume d'un parallélépipède (383, I) a pour mesure le produit de l'aire d'une quelconque de ses faces, par sa hauteur correspondante.

Car il est un prisme ayant pour base et hauteur, la face et la hauteur considérées (390).

S'il est rectangle (384), son volume a pour mesure le produit de ses trois dimensions. Car le produit de deux dimensions mesure l'aire d'une face (315), et la ti"oisième est la hauteur correspondante.

S'il est un cube (385\ son volume est mesuré par le cube (arithmétique) de son côté. D'où le nom de cube, donné au produit de trois facteurs égaux {Cf. 315).

194 FIGURES, VOLUMES POLYÉDaïQUES.

392. Le volume d'une pyramide quelconque (386) a pour mesure le tiers du produit de l'aire de sa base par sa hauteur.

Par les périmètres des triangles en la somme desquels la base ABCDE (fig. 95), d'aire S, de la pyramide considérée, peut être décomposée, on fera passer des angles trièdres de même sommet commun O que la pyramide, et, à leur tour, ces trièdres décomposeront la pyramide en tétraèdres ayant pour bases ces divers triangles d'aires s, t, ..., et pour hauteur commune h =z HO, hauteur de la pyramide.

Pour le volume de celle-ci, on obtiendra donc (388)

sh th (s-fî+...)/2 SA

On trouvera au n" 411 {inf.) la mesure du tronc de pyramide à bases parallèles.

393. On évaluera le volume d'un polyèdre quelconque, en le décomposant en tétraèdres que l'on calculera séparément, comme nous venons de le faire pour ceux mesurés ci-dessus.

On pourrait encore imiter la méthode du no 316 pour les aires planes : décomposer toutes les faces du polyèdre en triangles par lesquels on fera passer des surfaces prismatiques d'une même direction commode, puis former les sections droites de toutes ces moulures triangulaires, en les coupant par quelque même plan sécant perpendiculaire à leurs arêtes. Chaque section droite et le triangle correspondant (dont elle est la projection orthogonale sur le plan sécant) appartiennent comme bases, à un tronc de prisme triangulaire dont les arêtes latérales sont précisément les distances des sommets du triangle au plan sécant. Comme les volumes de ces troncs, combinés par des additions et soustractions évidentes, reproduisent celui du polyèdre, l'évaluation de ce dernier est ramenée à celles des sections droites et des distances dont nous avons parlé (389).

394. La considération des volumes peut procurer quelques artifices de raisonnement ; par exemple, la décomposition simultanée d'un tétraèdre en deux autres, et de l'une de ses arêtes en deux segments, par le plan bissecteur du dièdre dont l'arête est opposée à celle-ci, montrera bien facilement que ces segments sont proportionnels aux aires des faces du tétraèdre qui comprennent le dièdre considéré; etc.

Mais, à ce sujet, nous ne pourrions que répéter avec plus de force les observations faites à la fin du n*^ 318.

DEFINITIONS. lUÔ