Nouvcavx EUm&titsi
rf(.-7==:)
dx
En inlégranl, on trouve successivement :
^ =« Ar + c ,
dy Aa; 4- c
^•^ K 1 (Ajc+c)« '
Les constantes d , c se déterminent , en fonction de A, par les équations
Soient
l'équation (« donnera
et réquîUion L = , devient
I ? ( X, A ) dx = i.
En effectuant Tintégration , on trouve une relation de la forme
de laquelle on déduit A , quand fc est donné.
du calcul des tarialions. 127
Treizième Problème.
Chercher la ligne plane d'une aire conHmte k la plus courte^ comprise entre les courbes
b=^ ^a, /3 =5 Xa.
Les limites a: = a , ar = it sonl inconnues ; la question est donc celle-ci :
Trouver une fonction
y = fx satisfaisant à Téquation
L = / ydx — /: = , a cl des valeurs x = a, x= «, propres à rendre intégrale
M = / dx K 1 4- p*
un minimum.
Il faudra poser
U^ J dx [ K 1 + ;>« + At/ ] — Aft
mmimum^
a d'où :
En développant celte relation, on obtient la même équation principale que dans le problème précédent. L*équalion aux limites
sera :
da cl da étant indépendantes, cette équation fournira les suivantes :
■—A — (*+p« r) +^ya = o.
En joignant à ces équations celles-ci :
on pourra délerminer a, 6, «, /3, c. , c en fonction de A. Si de plus fe est donné , l'équation L = fera connaître A.
QllAT0R7.1ÉME PROBLÈME.
De toutes les courbes de même longueur , comprises entre les points
(a; = a fx<=»
chercher celle dont Caire est un minimum.
Solution, On a ici :
L= f dx l^ 1 +p' - fc = ,
du calcul des variations» 129
On fera donc
ti ss r dx ^ ky + 1^ 1 + p» I — A* == maximum. a
On trouve :
On en déduit :
x-^-c dy
Pour déterminer c^ c^ A^ on a les équations
h ^ I V 1 + P' . da; a
Xdx
Ad
dx
X I arc sin -^ arc sm —^ — }
Quinzième Problême.
De toutes les courbes de même longueur^ comprises entre les points
chercher celle qui , en tournant autour de taxe des x , engendre la plus petite , ou la plus grande surface.
Solution.
On a
L = /" i^ 1 + p'dx — fc = ,
a donc
du calcul des variations. 1 31
donc
a En développant on trouve :
~dx a
On a donc Téquation principale
I ^-r+? - -^^ - -^^iF- i^'*-»-
En effectuant la différentialion indiquée, on a : dx(l +p-y^(l+p')pdy^(i + p')ydp—H+p')^dp+
yp^dp -j- A//dp = 0.
A cause de
dy = pdx ,
Cette équation se réduit à
dxil+p^y — l^ii +p')dx^(,y+?<)p, d'où :
donc
132 Nouveaux Efements du cakul des variations,
dy pdp 1 ^pdp
^ rfy ^ >^ (y + Ay-c^'
c'est réquation différentielle de la chainette.
cAcme
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