MAXIMA ET MINIMA RELATIFS
Onzième Problème.
Chercher la ligne la plus courte entre deux points donnés sur une sphère donnée.
Il faut trouver deux fonctions
y^fX, z===\bx, propres à rendre l*intégralc
M= f dx ^ l -^ p'* + q*
a un minimum entre les limites données
X =^ a^ X ea« ^
en même temps que ces fonctions doivent satisfaire à la relatiao
Solution, En posant
u « J dx V 1 J^p^j^q^ + AL ,
a on trouve :
r dy y dz - r du y dz . ^
L'équation aux limites s'évanouit à cause dc^j/jj = 0, «îya = L'équation principale est
D où :
dz di/
^ dT d^ "
UtA/ US
/" . dz r . du
ou
ydz — zdy = cds.
On a de même
zdx — xdz = c^ds ,
xdy — ydx = c"rf5.
En multipliant ces équations^ la première par x, la seconde par y, la troisième par z ^ on trouve , en ajoutant :
ex -|- c'y -f- c"z= ,
plan d'un grand cercle de la sphère.
Les constantes -7^ , 7p se déterminent par les équations
*> y3> *^ ttf b, c sont les coordonnées des points donnés. Les fonctions inconnues
y zz:^ (pX, z = ^x
sont représentées par les équations simultanées
ex -j- c'y 4" c"jz == ,
ac» 4- j/» -f 5j* — r* = 0.
La distance cherchée est l'arc de grand cercle passant par les points donnés.
du calcul des variaHons, 12S
Douzième Problème.
Chercher lapins courte des lignes planes de même surface ^ comprises entre les points donnés
[ y = b f 2/ = iÔ.
Il faut ici chercher une fonclion
y = <px
propre à rendre l'expression
a un minimum , et à satisfaire, en même temps à Féqualion
L =■ / ydx — A: = , a
dans laquelle k est une constante donnée.
On posera par conséquent:
a, II— / ax \ y \ -^p^ -^ A// I — Âft =. mmimnm ; a ou :
--= r dx [y' \ -\-/)^ + K}l ] — Ak
L'équation aux limites s'évanouit , à cause de Sija^ = , «Jy^ *=*^' L'équation principale fournit :
