DÉFINITIONS ET NOTATIONS

i . Quand on attribue à x un accroissement quelconque dx , non fonction de x, y^^fx change simplement de valeur , et ne se dé^ forme pas. On aura alors

y+Ay=/'(aî + rfar)«=y-}-dy+ — d*y+etc. +R«,

R« désignant le reste de la série de Taylor.

Dans ce cas y change par différentiation. ^y est la différence tO" taie entre f(x + dix) et /x, et les différentielles dy , d*y , etc. , sont des parties de cette différence.

Soient les deux fonctions fx, Fx , en écrivant Téquatian

Aaî + v)"Fx,

on en déduira ^ pour if, une fonction de x telle que j/=Çx ^ et Ton aura identiquement :

f(x+Kx)^Fx.

Par cette équation , l'ancienne fonctioi) fx, change de propriétés » se déforme , et devient une nouvelle fonction Fx.

C'est ainsi qu'en posant

a(X'^j/)««» sin x, donc

Nouveaux Eléments sin X — ax

la fonction ax se changera en sin x , par réquation

sin a: — ax .

a(X'\ )= sinx.

Si doue If désigne ane fonction arbitraire de x^ il est clair qu'une fonction primitive fx devient une nouvelle fonction quelconque Fx, en posant la relation

f(œ'{'if)—Fx.

Fx se nomme alors la fonction déformée , et v Télément déformateur. Soit de plus ^

D/x=Fa: — /«,

Dfx se nommera la variation totale , et l'on aura ^ par la formule de Taylor :

^ dy i d^y . . ^

Posons maintenant , pour abréger :

Sy^^,, J'^ = ^ ,S etc.,

on aura :

Dans cette expression les parties Sy^ 3»y , etc. , de la variation totale Dj/ se nomment les variations du premier , du second ^ etc. , ordre deia fonction primitive y =« fx.

Comme j/ est une fonction arbitraire de la variable indépendante X dans le cas où la fonction ¥x est quelconque, il est clair que les variations cT^, ^y, etc., seront, dans ce cas, également des fonctions arbitraires de x.

Les fonctions fx et Fx se rapportant à la même valeur de x, on devra considérer la variable indépendante x comme constante dans le passage de fx à Fx ; Tordonnée y seule change de valeur dansée passage, et devient y«9y+Dî/=Fx, l'abscisse x reste constante. II suit de là , que les fonctions , c'est-à-dire les ordonnées , et non les variables indépendantes^ ou les abscisses , sont susceptibles à se déformer, ou à changer par variation. Soit , par exemple ,

y=Fx

du calcul des variaiiom. 5

la nouvelle courbe AB, résultant de la dérormation de la courbe primitive ab , ou

On aura, pour la inénie abscisse> les ordonnées

et

î/'-=PM, j/-=Piw,

Dy — »2M = *y+— *"j/ + etc., +R

2. Etendons les considérations précédentes aux fonctions de deux variables. Soit

une fonction des variables indépendantes a; et y, si jf désigne une fonction arbitraire des variables x et y , et F(x, y) une fonction quelconque de ces mêmes variables, on pourra toujours coiice« voir réquation

par laquelle la fonction primitive jz, devient, pour les mêmes valeurs de a: et de y, la nouvelle fonction j3'-«F(jr,y). Dans le passage dez k z' les variables indépendantes oc et y restent constantes. En désignant par Bz la variation totale , en sorte que l'on ait

Dz=»F(x,y)— /•(x,y), on aura , par le théorème de Taylor :

Dz

dz

dz

t^^)+<*;)^''+T:^t<^>+^(rf^>

dxdy

+ (^)]y^ + etc., + R..

Donc, en posant, pour abréger ,

«te dx

dz

tPz

dx'

d'g dx*

+ (|^)]'/',etc.,

on pourra ecnre :

V Nouveaux Eléments

et 3z , 9'z, etc., parties <Je Dz, seront les variations 1'% 2^% etc., de z I et par conséquent des fonctions arbitraires de oc et de y , regardés comme constants* De plus , la fonction arbitraire tf, composée des variables indépendantes , devra ici , comme dans le cas des fonctions d'une seule variable y être regardée comme constante. La fonction déformée aura donc pour expression :

z^I)z=f(x,y)+Df(x,y)

Dans le cas des fonctions de trois variables indépendantes , telle que

la fonction déformée résultera d'une équation de la forme

dans laquelle y sera uqe fonction arbitraire des variables indépen* dantes x^y^z, et devra être regardée comme constante ; attendu que dans le passage de t# è tf^'=^F{x,yp z) les variables indépendantes x, y, z conservent leurs valeurs primitives, La variation totale Dt«^ sera encore delà forme

Dus=J^-f- -j— ^ J*'w+etc.,-J-Ra,

et l'on aura les expressions identiques

ti 4-Dti ^f{x,y,z) + Df{x,y, z)

En général, quel que soit le nombre des variables indépendantes d'une fonction primitive ti, on remarquera :

l"" Que les variables indépendantes restent constantes pendant que la fonction primitive se déforme ;

2* Que l'élément déformateur y est une fonction arbitraire des variables indépendantes , regardée comme constante ;

S"" La variation totale est toujours de la forme

Dm es J'M 4- r-jr 9*u + etc. , + R« j

4* Les variations ^u , ^u ^ etc, ; sont des fonctions arbitraires , des variables indépendantes ;

cftf calcul des variations. ' 7

5** La fonction déformée^ sera toujours représentée par

u + Dw.

3. Le calcul des variations a pour objet général les règles relatrres à la déformation des fonctions. Ces règles varient selon les divers modes de déformation; il convient donc de définir d'ieibord ceuxci^ et de fixer les notations qui s y rapportent»

Nous nommerons (déments constants les variables indépendantes , éléments variables les variables dépendantes. Nous considérerons deux sortes de fonctions , savoir : 1» des fonctions qui ne renferment que des variables indépendantes ; 2*^ des fonctions compo* sées à la fois de variables indépendantes et dépendantes.

Les déformations de la i'* espèce de fonctions s'obtiennent îmtnédialenient ^ en donnant aux variables indépendanles Taccroissement arbitraire if . Soient ,. par exemple r

1" y =sfx, on aura :

2* z^=f(x,y)f on aura :

z + Dz=^fX'\'if,y + -^) --=f{xry) -i-Ufix^ y); etc.

Les fonctions de ta 3*^* espèce adnnettent deux sortes de déformations , savoir : une déformation simple^ et une déformation composée.

Elle est simple lorsqu'elle s\)père médiatement par h déforma^ tion des variables dépendantes. Soit, par exemple :

une fonction dans laquelle y est la variable dépendante^ et par eonséquenl une fonction de or , telle que

quand x devient x -f </ > y deviendra y-l-Dy. Cela posé, comme x est rélément constant , z se changera en

z + Dz=f[x, y + Dy)^ /*(«,») + !>/'(«>!/>•

Cette déformation de z est simple, mais non tmmétfiato , puisqu'elle s'opère par le moyen de la variation de y^

La déformation est composée lorsqu'elle est le produit d'une double variation , d'abord de celle qu'on obtiendrait immédiatement en considérant toutes ses variables comme éléments constants,

8 Nofiveatfx Eléments

puis en déformant , dans ce premier résultat y toutes les variables dépendantes , c'est-à-dire les éléments variables de la fonction. Soit^ par exemple :

la fonction proposée y dans laquelle x est la variable indépendante y OU l'élément constant ^ et j^ , fonction de x ^ la variable dépendante , ou l'élément variable. Pour obtenir la déformation composée de z y regardons d'abord x ely comme éléments constants , on obtiendra, une déformation simple immédiate y qui sera représentée par

z+I)z^f{x + ^)^f(x,y) + î)f(Xyy).

Si, ensuite I on déforme de nouveau ce premier résultat, en y changeant y en y-^^ Dy , on aura la déformée composée dont il s'agit y et que j'indiquerai , en accentuant le D, de cette manière :.

z + D'z — f{x, y+î)y) + D/l(aî,y+Dy)

^f(x,y)+ïyr{x,ît).

Soil encore

une fonction des variables indépendantes x, y et dé là variable dépendante j? y que je suppose être une fonction de x et de y. Cela posé 9 en regardante, y,z comme éléments constants, on aura la déformée immédiate

u + î>u=f{x+ityy + ihz + ^)=f(xiy, z)+ J)f(x,y,z).

Mais la déformation simple de z étant 2 -|- Dz , si je veux obtenir fa déformée composée de Uy il faudra changer dans l'expression précédente z en z + J)z , et Ton aura ;

ih + Wu'^f{xiy,Z'^Dz) + Dfix,y,z + î)z)

Dans ces procédés , on le voit, les variables indépendantes restent des éléments constants , tandis que les variables dépendantes sont seules les éléments variables , ou soumises à des déformations.

Donnons encore , pour éclaircir ces notions , quelques autres exemples.

1"* Soit la fonction

u^fvdxy

du calcul des variations. 9

dans laquelle on a posé , pour abréger y

et soit X là variable indépendante , ou Télément constant , alors y^ z, p, q sont les variables dépendantes , ou les fonctions de x , dont les déformations immédiates sont représentées par

z + Dz,

î + D?- Par le moyen de ces valeurs la fonction V ^ et par suite la fonction U9 subiront des déformations simples , représentées par