V-fDV=/-(x,y + Dy, ir + Dz,p+D/>, g + Dg

U+DU^ r {W + D\)dx.

2** Soient, en second lieu,

V=J^dx fVdu, V«/-(x,y,z,/));

admettons que z et p soient des fonctions de x et de y, que j^^ ainsi que les limites yo 9 y.i > soient des fonctions de x, cela posé, cherchons la variation composée de U.

En regardant d'abord a; et y comme des éléments constants , on aura immédiatement

V+ DV « f{x, y, z, p) + î)f(x, y, z, p);

mais quand y devient y + Dy , les expressions z + J)z, p-\- Dp deviennent z + lyr , P + D'p, et par suite V + DV se changera en

v+iyv=A^; y +Dy> x+ïyz,p^ïyp) +

D/^(x,»+D»,z+iyz,p + D'p).

Par conséquent la déformation composée de U sera indiquée par

u + D'U« y rfx /*(V + D'V)rfy.

a yo Nous avons donc , en résumé ;

1* Des déformations simples immédiates > quand la fonction n^est composée que de variables indépendantes ;

2"" Des déformations simples médiates , quand la fonction renferme des variables dépendantes ; elles s'obtiennent en déformant celles-ci,

S"" Des déformations composées , elles s'obtiennent en considérant toutes les variables de la fonction comme indépendantes , ce qui donnera une première déformation immédiate , puis en déformant dans celle-ci , toutes les variables dépendantes de la fonction proposée.

4. Les variables indépendantes , ou les éléments constants dans les fonctions de la seconde espèce^ n'étant pas susceptibles de déformation . par cela seul que ces variables ne sont pas des fonctions y il n'en est pas de même relativement à la valeur de ces variables. En effets rien n'empêchera que celles-ci ne changent par différenlialion, en devenant , par exemple, x-\-dx, y + ^y> etc. Nous nommerons déformations mixtes celles dans lesquelles les éléments constants changent par diiférentiation , en même temps que les éléments variables subissent des déformations.

Nous désignerons les déformations mixtes, en donnant à la lettre D un indice y savoir : nous marquerons par Dz les déformations mixtes simples , et par D/ les déformations mixtes composées.

l** Exemple»

Soit y ^fx y X étant la variable indépendante > on aura :

y + Vy^f{X'i'^)^fx + DfXy

et

z + D,» = /(x-f- doc + y) ==:/'(a;+ dx) + D/'(x -fdx);

y + ^^y es( lâ déformation mixte simple et immédiate de y. 2"** Exemple.

Soit z=^f{Xy y) y X ety étant les variables indépendantes ^ on aura :

z4-Dzc»/^(x + i^, î/ + y)=/(ar,î/)+D/'(x,î/), et

z+'DiZ^f(X'\'dx'\-ifyy+dy-\'if)=fix + dXyy+dy) +

D/*(x +dXyy + dy)~ f(x, y) + D, f{xyy).

3°*« Exemple.

Soit z = f(xyy) ; si x est ^élément constant, et y une fonction de X 9 on aura la déformation simple médiate , en écrivant

du calcul des variations. il

Si réiément eonstant change de valeur et devient x -^dx dans ce résultat , on aura la déformée mixte

z^D,z=:^f(x + dx,y+î)y)^f(x+dx,y)-\-Df{x+dx, y). Ce sera une déformée mixte simple mais non immédiate.

4"* Exemple.

La même fonction z a pour déformée composée l'expression

z + Wz^ f(x, y+By) + D/*(x, y + Dy).

Si réiément constant x change de valeur dans celte expression i et devient x-f do: I on aura une déformée mixte composée ^ savoir :

z + D/z«/-(x+c/«,jB + Dy)+D/(x+dap,y + Dî/).

S"* Exemple»

Soit U« y ydx, y^fi^,y\ »

a réiément constant^ on aura :

V + DV«/*(x,y) + DAx,î/),

donc

u + D.w — y ( V + D, V)rf«.

5. Les déformées des diverses espèces se développent suivant la formule de Taylor y et en fesant usage des notations, et définitions relatives aux variations des divers ordres ; on pourra leur donner^ comme nous verrous , les formes :

w + Du » tt + ^«^ + 7-5* ^^ + etc. + R„ ,

ti + D'w = tt+^tt+ --~<^*u + etc.+R'«,

ti+D/ti«u + J,'w + -T-j ^x'*« + etc. + R/n- Si maintenant nous nommons fonction maximum toute fonction

u plus grande^ et fonction minimum toute fonction ->ti plus petiie que toutes ses déformées, nous verrons plus tard que les fonctions primitives y telles que

y=^fXy ou z=f{x,y) y ele. , («)

propres à rendre u une fonction maximum ou minimum^ doivent se déduire de la résolution de l'une des équations

JtIssOy S,U=sOf ^M=sO, 9/u^o^ -(1)

Or, la plupart des problèmes de géométrie et de mécanique, qu'on traite par le calcul des variations , ont pour objet de trouver des fonctions primitives de la forme des équations {a)j propres à rendre une fonction donnée u , qui est ordinairement une intégrale définie, une fonction maximum, ou minimum. Il suit de là^ que l'objet spécial du calcul des variations , consistera, l"" dans la formation des variations 9u, S^u, jiU, ^Ju^ ef^'w, ^*w, etc., etc., 2** dans la résolution des équations (1).

Nous voyons par là , que la théorie du calcul des variations se partage naturellement en deux sections, dont la première s^occupe des règles pour former les variations des diverses espèces , et la seconde de celles qui se rapportent à la résolution des équations (1)