PS
(Pi,
(6) dP=~'>'
dP=~*>'
dp —
Or on tire de« formules (6)
sinal . »in*f v „ tins!
(T) i-rrijocoset+lt-y-, ij = q»co§ al -j— f = Çocostl + r,-^— ,
5o. >T»* io» | t , aj, , f, désignant les valeurs Initiales de
«4 dr t d:
5 ’ V ' il’ «fl ’ dl ’
Daillcura ces valeurs initiales que déterminent les équations (26), (27) du § 2, jointes A léquation
(8) v = o J + iÿ + tî ou, ce qui revient au même, à la formule
(9) Itv — tu + iji + uiz ,
devront vérifier des conditions semblables soit k la condition (78) , soit à la condition (63) du § 2, si l’on veut obtenir seulement des ondes lumineuses dont la vitesse de propagation soit dirigée dans le même sens que la droite OP, ou des ondes lumineuses dont la vitesse de propagation soit dirigée dans le sens opposé, la droite OP étant celle qni forme avec les demi-axes des coordonnées positives les angles dont les cosinus sont respectivement
Dana le premier cas, on aura
ai)
(fl ’
. dr.
dt„
dl
ii viteiic de propagation d'une onde étant
(12) Si = y
et dei formules (7), (10), (11) jointes aux équations
, | 0 = Ho cos -f- jjoSiii ki = qpfc),
(13) < j; <l =r D eo8io4.i) 0 »in*» = x(p),
\ Ç„ = f u cosi»4-i 0 sinltv =
on tirera
/ {=ïq€os( 1-» — j#)+g 0 8in(i»— *t) = çi(»' — !2<)»
(14) i ij = r 0 cos(i» — *t)-4-t)osin(ir» — *f) = * (* — fl() i ( Ç = f 0 cos (kv — Jt)4" t u sia (ke — tt) — *p(v — £it).
Dans le second cas les formules (14) devraient être remplacées par celles qu’on en déduit en substituant aux binômes
kv — 9i , v — i-i
lea binômes
kv -j- sé , v “j - £lt>
Ajoutons que, l’équation (4) devant être vérifiée indépendamment des valeurs attribuées 4 » et a < , par conséquent pour des valeurs de
kv — Jt
égales 4 tero et 4 -, on trouvera entre les constantes arbitraires
lo, Co , (; g i, , fjc i *o
des relations exprimées par les formules
•JM-
(15) ubo-J- t/r 0 + tof 0 = 0, ugg + fijo-t-ieto — 0,
ou . ce qui revient au même , par les formules
(16) abo + 4f 0 + cf 0 = 0, oft> + *lfc + c »o = ®< desquelles on tirera
(17) «ÿ(») + 6jc(») + eV>(r) = 6.
Soient maintenant
à , A' , c , et à' , A” , c '
les cosinus des angles formés arec les demi-axes des coordonnées poslires par deux nouvelles droites OQ, OR perpendiculaires entre elles, et A la droite OP. Posons d'ailleurs
(18) a f (*) + xO) -\-cip(r) = tn (e) ,
Les trois axes OP, OQ, OR étant rectangulaires entre eux aussi bien que les axes des x, y, x, on aura non seulement
a’ + P + c* s 1, a’’ + i’’ + c’’ = 1, a”’ + A"* + c"* = 4» « a"+Pi +cV’ ~ 0, a"» + i'i + c”c = 0, aa + bb' -f- ce ~ 0 ;
mais encore
( +. a ’ + a 1 = 1, l' + i' + rsl, c ! + c’* + e” = 1,
^ 1 Jc + i'c'-l-i'c' — 0, c« + r’«' + cV= 0, oJ + o 4’+s'T=: 0;
et par suite des formules (17), (18), (19), respectivement multipliées par a, à , a ou par A, b', b", ou enfin par c, c, c" , on tirera
! tf (*•) — o' •»(»)+ o 'JI( p) ,
jr(e) = b'w(v) "\-b" Il (r) ,
\j) (») rs c o (r) ■+* c" Tl («-) ,
En conséquence les formules (14) donneront
. ( § = <»'»(► — flt)-+*a”/I (e — 1^0»
(23) / q=A»(«— û/)+A'n(a — Ht),
| ^ — c’ W (p — lît)^-c”H(r — 12/).
Observons d’ailleurs que si l’on fait pour abréger
(24) oî, + J'r, + é( = li » go 4* A’ to 4“ e *o — fi ,
(25) a"t Q + A"»o 4* «"(, = € , o'go 4* b \ 4* «"«o = © >
on conclura des formules (18) (19) jointes aux équations (13)
t vj (r) » A cos k» Csiu*t,
Il (») = € eos kv ■+■ B aintr.
Dans le cas particulier ou le plan de l’onde primitive devient parallèle A i’axe des z , et où la droite O P, renfermée dans l'angle que comprennent entre eux les demi-axes des jt et des y positives , forme avec le premier de ces demi - axes un angle aigu représenté par « , l’on a
(27) a — eosx, 6 — ainr, c — 0.
Dana le même cas , en faisant coïncider la droite O Q avec un demi - axe mené dans le plan des x, y perpendiculairement à la droite OP, et la droite OR avec le demi-axe des z positives, on trouvera
a — sin t ,
b' — — cos r ,
c" zz 1.
Par suite les formules (23) donneront
(30) f = aint®^ — fl/) , ij— — cos t ai ( p — fit), Ç — 71(1* — fl/)} et, comme ou tirera de l'équation (8)
(31) t> — xcost -f- jisinr, on aura définitivement
(32) §z3ti»r»(xcosT4-^9iiw-fl/) , jj— - cosr®(j-co9t+t/siin-12/) , L‘=17(xco*t+ysint-A/} ,
les fonctions <n(c), TI (y) étant toujours déterminées par les formules (26), ou ce qui révient au même , eu l'égard a l'équation (12) ,
! § = sin i J a cos (k (x cos z +y sin *) — */) -f- 0 sin (k (x cos r-f-,y »>n r) — */)! ,
ij= - cosrjl coa (k (x cos % sin t) — al) ■+■ 6 sin {k (x cos x -+-y sin e) — s/)j ,
Ç = € coa (i (x cos t +y sin t) — al) -1- B sin (t (x cos t -f -y sin t) — a/).
Remarquons encore que l'équation (5) ou, en d'autres termes, l'équation (18) du §.3 peut être remplacée par la formule (80 ) du même paragraphe ; et que, si l’on fait pour abréger
= s ro^âr L f ^+ïrïï^ C0 ' ,, "J
cette formule donnera simplement
(35) a* = a, t 1 + a,** ■+■ .,4» + etc.
Re cette dernière jointe & la formule (12) on conclura
(36) fl* = », -f- a,i* + a,** -4- etc.
D'ailleurs en désignant par l l’épaisseur d’une onde plane et par T la durée des oscillations moléculaires du fluide élhéré. on aura, comme dans Ica paragraphes précédents ,
2,i Un
Il est important d'observer, qu’en vertu de la formule (38) la quantité a dépend uniquement de la durée des oscillations moléculaires , c’est a dire , de la nature de la couleur, tandis qu’en vertu de l’équation (35) jointe aux formules (12) et (37) les quantités t, S2 et / dépendent simultanément de la couleur et de U nature du milieu dans lequel se propagent les ondes lumineuses. Quant 1 l’angle t il dépend uuiquemcot de la direction des plans parallèles qui renferment ces mêmes ondes.
§. 5. Sur la réfracliuH de lu lumière.
Considérons deux milieux séparés par le plan des y t dont chacun soit tel que l'éther y offre la même élasticité en tous sens, et dans l'un desquels se propagent des ondes lumineuses dont les plans soient parallèles à l'axe des a. L’existence de ces ondes que nous nommerons incidentes entraînera la côéxistcncc 1° d’un second système d’ondes propagées dans le premier milieu , et que l’on nomme réfléchies , 2° d’un troisième système d’ondes propagées dans le second milieu, et que l’on nomme réfractées. Car, en faisant abstraction de ces ondes réfléchies et réfractées, on ne pourrait satisfaire aux conditions relatives à la surface de séparation des deux milieux.
Nous avons montré dans le bulletin des sciences comment de la remarque précédente on peut déduire non seulement les loix de la réflexion et de la réfraction de la lumière, mais encore la détermination de la quantité de lumière polarisée par réflexion et par réfraction sous mie incidence donnée, la loi de Brewsler sur l'angle
de polarisation complette, et les formules insérées par Krcsnel dans le n* 17 des annales de physique et de chimie. .Nous nous bonerons pour l'instanl 1 déduire de la même remarque la loi de la réfraction, en admettant, romme l'expérience le prouve, que la réflexion ne change pas la nature de la couleur, et que l'angle d'incidence est égal A l'angle de réflexion.
Pour un seul des trois systèmes d'ondes incidentes, réfléchies, ou réfractées, les déplacements §, jj, t, de la molécule lumineuse correspondante au point (.r, y, t) se trouveraient déterminés par des équations semblables aux formules (33) du § 3. Ajoutons que, dans le passage des ondes incidentes aux ondes réfléchies, les quantités a et T ne varieront point, ni même les quantités k, iî , 1, puisque les premières dépendent uniquement de la couienr, les autres de la couleur et de la nature du milieu. Quant A Pangle d'incidence x, on devra le remplacer, lorsqu'on passera des ondes Incidentes aux ondes réfléchies, par son supplément rr — t, afin d’exprimer que les deux angles d'incidence et de réflexion sont égaux entre eux; et par suite on devra dans ce cas changer seulement le signe de la première des deux lignes trigonométriqvica cosr, ainr.
Cela posé soient
fi, . <r. ,
ce qcc deviennent les coefficients
quand on passe du système des ondes incidentes
au système des ondes réfléchies, et
ry r x
ml y 1 y W ,
ce que deviennent les quantités
SI, /, a,
quand on passe du système des ondes incidentes aux ondes réfractées. Si l’on considéra A la fols les deux systèmes d'ondes propagées dans le premier milieu, on devra, pour ce milieu, remplacer les équations (33) du § 3 par les formules
| = sim jicos(i( jrcosx+^siivr) — rt)-(- 0 sin(A( jrcosr-f-jfsint) — *)j
4- sitt t jA,cos(l(-j'Cosr+^8iiir) — at) -f- 6,sln(Jl'(-.rcosr+ i ysinï) — */)[ ,
jj =3-co»r jA cos(l( xcosr 4" .yainr) — af)+ S sin(4( .vcosx4\y*lnr) — *f)j
4- cos r |A l cos(*(-.rco»s-t-,yelnï) — tt) 4- 0,sln(l(-.rcosr-f-jfainT) — «/){ ,
Ç = C co*(k( xcosT-h^sinr) — s/) 4- B sin(i( .rcow+jsinr) — a/)J
4- C,cos(A(-xcost4-yaint) — ar)4-B,sln(A(-xcost4"Ji s l n x) — tf)|.
Ou trouver* au contraire pour le second milieu
— sinr' jA'coa (i-'(jr cos t' +y aint') -a'<) + 6'sin(i'(.r cos*'+y sût»')
»j = - cas x ji' cos (P (jr cos P +y sine’) -«'/) + fi'sln (i’(xcos P +y sia *') - j'/)' t
t =: C cos (*'(. reos*’ +^s!nt') — s’/)4-D*in (^'(.rcost'+j sine') — #'/),
D'ailleurs la surface de séparation des deux milieux, et des deux masses de fluide éthéré qui s'y trouvent comprises, coïncide, lorsque ces deux masses sont dans l'état naturel, avec le plan des y, z représenté par l'équation
et , pour que ces deux masses restent contiguës l'une à l'antre pendant la durée du mouvement, il est nécessaire que la valeur de t relative à un instant donné, et à un point donné de la surface de séparation, ne soit point altérée, quand on passe de la première masse à la seconde. Enfin, comme, en posant jrrrO, ou tire de la première des équations (1)
(4) g = Bin t j(3f + *i) «O* (*y sinx — si) + (fl +fi.) *in (A y sin *— al)j , et de la première des équations (2)
(5) g = sinr' JX’ cos (P y sin %' — t!) + 6' sin (P y sln s ' — a'/)J , la condition que nous venons d’énoncer donnera
(6) sin* j(A+£,)cos(Aysin* — *f) + (6+13,) sin (Aysinx — *t)j
~ sin x J31' cos (P y sin x' — *'/)+Û'sin (P y siu t — a'l)j }
si toutefois l'on admctque l'on puisse sans erreur sensible ne pas tenir compte des légères modifications que peut apporter le voisinage du second milieu à la valeur de g déterminée par la première des équations (I), et le voisinage du premier milieu à la valeur de g déterminée par la première des équations (2).
Observons maintenant que, l’équation (6) devant subsister indépendamment des valeurs attribuées aux variables y et t, les coefficients des puissances semblables de y et de t devront être égaux dans les deux membres de cette équation développés en séries convergentes ordonnées suivant les puissances dont 11 s'agit. De celle seule considération l’on déduira immédiatement les formules
(7) (31 + 31,) sin t ‘X sin *’, (6 + fi,) sin * =r 6' sin x ,
(8) k sin t — P siu t , (9) i — l',
auxquelles on parvient encore très simplement de la manière suivante.
Si l'on pose y = O el 1 = 0 1“ dans l'équation (6) , 2° dans cette même équation difierentiëe une, deux ou trois fois de suite par rapport à /, on en tirera successivement
(31 -J- X) sin * =2 X sin » (0 -f- (B,) ain * = $ fi' sin »’ (% + X) sin t = a -1 31' sin t, a’ (0 •+- 0,) sin » — a' 1 6' sin t\
Or la première des équations (10) jointe à la quatrième, et la seconde jointe i la troisième, entraîneront les formules (7) cl l’éqnation
de laquelle on conclura, en extrayant les racines quarrées positives des deux membres,
Si l’on posait ( = 0 dans l’ équation (6) diflerentiée une, deux, ou trois fois, non plus par rapport h I, mais par rapport i y, on obtiendrait trois nouvelles formules, qui jointes aux formules (10) entraîneraient non seulement les équations (7) et (9), mais encore l’équation (8). La seconde de ces nouvelles formules serait
(11) k sin * (fî -fr- 0,) sin * = k' sin t 0' sin
et en la combinant avec la seconde des formules (7) on obtiendrait Immédiatement l'équation (8).
En vertu de l'éqnation (9), la quantité a, réciproquement prnportionellc à la durée T des oscillations moléculaires du fluide ethéré, ne varie pas dans le passais d’un milieu i un autre, cl par conséquent la réfraction ne change pas la nature de la couleur. Donc, si un rayon de lumière rouge, après s’étre propagé dans l'air, traverse un liquide tel que l’eau, il paraîtra rouge encore à un observateur dont l’oeil serait plongé dans ce liquide. Quant à l'équation (8), elle donnera
sin t k sin t k'
D'ailleurs, en nommant 12, 12' les vitesses de propagation de la lumière dans le premier et le second milieu, on aura, en vertu de la formule (12) du §. 4,
et par auite
il ~ k’
Donc l'équation (12) pourra être réduite k
ain t' fl'
s in % fl
Or la formule (15) montre quo le rapport du sinus d'incidence au sinus de réfraction est constamment égal au rapport entre les vitesses de propagation de la lumière dans le premier et le second milieu. Cette conclusion se trouve, comme l’on tait, confirmée par l'expérience. Car, en faisant varier l'angle d'incidence pour un rayon d'une couleur donnée, qui tombe sur la surface d'un corps réfringent, on obtient toujours le même rapport entre les sinus des deux angles d’incidence et de réfraction.
Le rapport entre les sinus de l'angle d'incidence * et de l’angle de réfraction « est ce qu'on nomme l'indice de réfraction. Si l’on désigne cet indice par 6 , on aura en vertu de la formule (12)
sin t V
® sin t” k '
et par suite
§. 6. Applications numériques.
Lorsque dans un milieu transparent l'élasticité de l’éther reste la même en tous sens , la durée T des oscillations moléculaires du fluide éthéré se trouve liée à l'épaisseur l d'une onde plane par l'équation
(1) s J = a 1 * J -t-a 1 * , + a 1 i* + ete.,
[voyea la formule (35) du §. 4] , dans laquelle on a
D'ailleurs, la vitesse de propagation fl d'un rayon de lumière étant donnée par la formule
( fit )
on aura encore
(5) & = ., + a 1 P + «,fc , + eic.
Dans les seconda membres des équations (1) et (5), comme dans les séries que ren ferment les formules (64), (65), (66) du §. 3, les coefficients
«m *a , Sj, etc.
des puissances ascendantes de k décroissent très rapidement, et la râleur générale de a n , déterminée par la formule
„ »»r î "' , cos 2 ' , « -, . 1 s ,1
= s L f(r) + ‘^pt/W c08 “J ’
est une quantité très petite de l’ordre 2» — 1, dans le cas ou la distance r de deux molécules d'éther, assea rapprochées pour éxércer l'une sur l’autre une action sensible, est considérée comme très petite du premier ordre. Ajoutons que, si un rayon d'une couleur déterminée se réfracte en passant d’un premier milieu dans un second, la nature de la couleur et par suite chacune des quantités T, $, restera invariable, tandis que les quantités
se changeront dans les suivantes
9 désignant l'indice de réfraction. Alors aussi les coefficients
a, , a*, *j, etc.
obtiendront des valeurs différentes dans le premier et dans le second milieu.
lin très habile observateur Frauenhofer a déduit d'cvpérienccs faites arec beaucoup de soin les indices de réfraction pour BCpt rayons colorés, correspondants à certaines raies que présente le spectre solaire, et déterminé les diverses valeurs que prennent ces mêmes indices lorsqu'on fait passer leg sept rayons de l’air dans des prismes de verre ou de cristal remplis ou entièrement formés de diverses substances liquides ou solides. Les substances employées par Frauenhofer sont l'eau, une solution de potasse, l'huile de térébenthine, trois espèces de crownglass, et quatre espèces do
flintglass. Ajoutons que deux séries d’experiences sont relatives à l'eau , et deux autres à la troisième espèce de flintglass. Le tableau suivant contient le résultat des expériences de Fraucnhofcr relatives aux sept rayons qu’il a désignés par les lettres B, C, D, E, F, G, If. Pour plus de commodité nous représenterons les valeurs de 0 correspondantes à ces mêmes rayons par
0» » 0% » Os » 0* % Ot 9 0i t 0i‘
