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dw
(in)
iP’V
«» dul 2 — 4- .
ifP
Hvdw
d*V rf » 9
dwdu ~ U “ rp ‘* ’ 777=
En conséquence les formule» (8), (9) donneront
(112) t = 9rt = D4-'P,+t. w P u , 3E = 04-n> 1 -|-u> , "p,, 1 ,
(113) 9 = ;« = mW,* ;
et l'équation (7) c'ett à «lire l’équation de 1'elJJpsoiile qui détermine les loin de la polarisation deviendra
Lorsque le plan de l’onde primitive coïncide avec le plan de x , y , on a fl — 0, 4 = 0, c ~ 4* 1 ;
on en conclut
u = 0, t> = 0 , wail,
et la formule (114) se réduit &
Donc alors, comme il était facile de le prévoir, l’ellipsoide (7) est de révolution autour de l’axe des a , et dans cet ellipsoïde le carré du rayon de l’équateur est
le carré du demi-axe de révolution étant
Donc, si l’on nomme généralement fl' , fl", fi" les vitesses de propagation des trois ondes planes dans lesquelles se divise une onde primitive de lumière non polarisée, on pourra prendre, dans le cas particulier dont il s'agit,
et les deux premières ondes, se propageant avec la même vitesse, se superposeront de manière à n’en plus former qu’une seule. C'est ce qui arrive dans certains cristaux où les deux rayons polarisés que l'oeil peut appereevoir, et qui produisent ce qu'on appelle la double réfraction , se confondent dés que le plan de l'onde devient perpendiculaire i uu certain axe nommé taxe optique du cristal.
Sans rien changer à la direction de l'aie des a, on peut disposer du pian des y, a, de manière & simplifier l'équation (114). Effectivement on y parviendra, en faisant eoincider le plan des y, * avec celui qui passant par l'aie des s sera perpendiculaire au plan de l’onde. Alors la droite OP, perpendiculaire au plan de fonde se trouvera comprise dans le plan des y, I ; et comme on aura par suite
la formule (34) donnera
En conséquence l'équation (114) deviendra
Dans cette dernière le double signe + pourra être réduit arbitrairement soit au signe -f- , soit au signe — . Dailleurs , en vertu de ce qui a été dit précédemment [page 15] , les valeurs de t), et par suite celles de *P' , ’V ne varie-
ront pas dans le passage de l’équation (114) à l’équation (118). Maintenant il est clair, que l’ellipsoïde représenté par l'équation (118) offrira un aie dirigé suivant l'aie des x, c’est a dire, suivant la trace du plan de fonde sur le plan des i, y. Les deux autres aies de feliipsoide se confondront avec les aies de la section faite dans cet ellipsoide par le plan des y , s , c'est à dire, avec les deux axes de feliipse représentée par l'équation
(119) (o+'V.+'PmCP— w , ))J , ±*1 , m(* 1 — ^ m î ) t wy«+(t>+-1>r+'l > a^ , )* , = l-
Cela posé soient
le carré du deral-axe qui, dans l'ellipsoïde, coïncide avec la trace du plan de fonde primitive sur le plan mené par le point O perpendiculairement à l'aie des a , et
les cairés des demi-axes de l’ellipse (134). Les vitesses de propagation
ST, fl", fl"
des trois ondes polarisées seront déterminées par les formules
U valeur de s' 1 étant
tandis que *“ 1 représenteront les deux valeurs de s* propres à vérifier
l’équation ,
Lorsque le plan de l’onde primitive est perpendiculaire k l’axe des z , ou ce qui revient au même, l’orsqu’on a
l’équation (122) se réduit à
On peut donc prendre alors
et, en combinant les formules (120) avec les formules (121), (124), on sc trouve immédiatement ramené aux équations (116), (117).
Lorsque le plan de l’onde primitive passe par l’axe des a, c’est à dire, lorsqu’on a
l’équation (122) se réduit k
(125) y — (CJ «V. y — (D -H "P,)î = 0.
On peut donc prendre alors
Alors aussi l’équation (118), réduite 1
représente un ellipsoide qui s pour axes les axes coordonnés ; et l’on peut affirmer, que des trois ondes planes produites par la subdivision de l’onde primitive, dont le
( so )
plan renferme l’axe des z , le» deux premières sc composent de lumière polarisée parallèlement & deux axes rectangulaires compris dans ce plan , et dont l’un est l’axe des s , tandis que la troisième se compose de lumière polarisée perpendiculairement au pian de l'onde. Enfin, lorsque l’axe des z se trouve incliné d’une manière quelconque sur le plan de l’onde primitive, les quantités a" 1 , a"' 3 déterminées par l’équation (123) coïncident avec les deux valeurs de t x données par 1a formule
» ! =tH i ± V
(fP.-KPa. (** w 5 )- , 'fV*lW)’
Observons encore que l’équation (127) peut être présentée sous la forme
( + 2 (-V,., - •+• vy )wz + (*?,— °f>. -+- (*V M — e V 1 „ )m ! )i ! = 1 ;
et que cette équation, devenant semblable 1 l'équation (58), lorsque les différences (130) T>,— “V,, *(>„ — «V..,,
s'évanouissent, représente alors, comme l'équation (58), un ellipsoïde de révolution, qui a pour éqnatcur le plan de l’onde primitive. Doue, si les différences (130), sans être nulle», sont très petites, l'ellipsoidc représenté par l’équation (129) différera peu d’un ellipsoïde de révolution qui aurait pour axe de révolution la droite OP menée par ie point O perpendiculairement au pian de l'onde ; et des trois ondes de lumière polarisée produites psr U subdivision d’une onde primitive les deux premières offriront des vitesses de propagation peu différentes entre clics, et des molécules éthérées dont les vitesses propres seront dirigées suivant dea droites sensiblement parallèles au plan de chaque onde. C'est effectivement ce qui arrive, quand la lumière traverse un cristal doué de la double réfractiou.
§. 4 . Propagation des ondes lumineuses dans un milieu où l'élasticité de l’éther reste la mime en tous sent.
Considérons un milieu dans lequel l’élasticité de l’éther reste la même en tous sens. Alors, comme on l’a dit [page 26], des trois ondes planes dans lesquelles se divise généralement une onde plane de lumière non polarisée les deux premières, sc propageant avec la même vitesse, se superposeront de manière à n’en plus former qu’une seule dans laquelle la lumière sera polarisée parallèlement an plan de l’onde primitive, tandis que dans la troisième la lumière sera polarisée perpendiculairement A ce plan. De plug In troisième onde disparaîtra, si c’est dans le plan même de l’onde primitive que sont dirigés les déplacements et les vibrations initiales de molécules, et alors il n’y aura plus de polarisation. On arrive à la même conclusion, en substituant dans les équations (23) du §. 2 leg valeurs de £, Oit-, 3t, < P, 3,, que fournissent les équations (36), (57) du § 3. pour le cag oh l’élasticité de l’éllier reste la même dans tous le sens. Kffrclhcment, après la substitution dont il s’agit, les formules (25) du §. 2 sc réduisent à
^7=— (0+"P')s — "V (u$ + vr ■+■ w.) ,
d’il
~ =S — (OH- ‘'P'); - — «O c t>"(i»g + t>q+ wl).
SI maintenant on ajoute les formules (1) après avoir multiplié les deux membres de la première par «, de la seconde par v, de la troisième par u>, et si l’on a égard à l’équation
(2) « ! ■+• *’ 4- ie : == A ! ,
ou trouvera
— (O+'V’ + 'P” f) («| + vr t + toi).
Cela posé, en tenant compte des formules (26), (27) du § 2, on déduira sans peine de l’équation (3) 1a valeur générale de
jül + trij + ioÇ, ;
puis, après avoir substitué cette valeur dans chacune des formules (1), on tirera de ces dernières formules les valeurs des trois inconnues f , q, ç.
Lorsque les déplacements et les vitesses des molécules de l’éther sont primitivement parallèles au plan de l’onde lumineuse, les valeurs initiales des deux quantités
udl- t'rfi; liif-'
"5r + rfr 4 '"* -
s’évanouissent, et l’équation (3) donne généralement (4) «s +«'»j + »? = 0.
Par suite, en posant pour abréger
on réduit les formules (1) k
