SOI

Somme

épaisseur //' —

Suite du 4c tableau

Valeur* <tc «

L(fi)

Somme

ëa&8i9i

cpnnueur // — —

Hh)

Somme

bit Ôd

i-paiMcur /,■’ —

Somme

"et." 1

«•ptiÎMcur }{ —

Somme

< l>aifi«cur //' =

Somme

épaisseur f/ =

îi

En regarni?, le* épaisseurs des ondes dans l'air et les antres substances étant exprimées en dix millionièmes de millimètre, ces épaisseurs seront, d'après les expériences de Frauenhofer, représentées par les nombres que renferme le tableau cl joint.

». t a a mie

Epaisseurs des ondes, en dijc -millionièmes de millimètre.

Valeurs de i

li .... Air

lï Eau

.... Solation de potasse . .

.... huile de thérébenthine

.... croamglain l*r espèce .

î« espece .

3a espèce .

.... fUutglasa 1» capèrc .

2* espèce . .

3 e espèce . .

4* espèce . .

11 eut Important d'observer qu'en appliquant à l'équation (1) le théorème de Lagrange •ur le retour des suite», on en tire la valeur de V développée en une «éric de la forme

(9) L 1 = b,«’ -f- b, a* •+• bj«* + etc.

D'ailleurs pour déterminer les coefficients b, , h,, b,, . . . il suffira de substituer dans l’équation (9) les valeurs de »*, a‘, . . . etc. déduites de l’équation (1), savoir

•' = a, P •+- Sji* a,l* + etc. , a* ~ a,’ k* + 2 a, a, k* + rtc. ,

** = a ,*P -f- etc. ,

etc.

Alors l’équation (9) deviendra

P = a.b t P + (a, b, 4- a, : b,) k' 4- (a, b, 4- 2a, a, b, 4- a,’ b,) À" 4- etc. . . . , et l'on en conclura

etc.

parconséquenl

»ib, *i

Cela posé, U formule (9) donnera

(il) a, P = a» — — S— etc.

Or, puisque, dans le cas où la distance r de deux molécules assex rapprochées pour exercer une action sensible l'une sur l'autre est considérée comme très petite du premier ordre, les quantités

sont des quantités très petites du premier, du troisième, du cinquième . . . ordre, il est clair que dans le même cas les quantités

— —, etc.

et par suite les coefficients de a®, j®, . . . dans le second membre de la formule (11), seront des quantités très petites du premier, du second ordre etc. . . . Donc ces coefficients décroîtront très rapidement aussi bien que les coefficients de a*, a®, a®, etc. dans le second membre de ia formule (9).

Si dans le second membre de l’équation (1) on conserve seulement le premier, les deux premiers , le trois premiers termes, etc. . . , on obtiendra diverses valeurs approchées de a 1 , savoir

etc.

et si l’on substitue la première de ces valeurs approchées dans les différents termes qui composent le second membre de la formule (11), ces différents termes deviendront

etc.

Or, lea coefficients des puissances successives de 4 1 étant du même ordre dans la série (15) et dans celle qne renferme l’équation (1), U est naturel d'en conclure qu’on obtient le même degré d'approximation lorsque dans Ica second membres des équations ( 1 ) et (11) l'on conserve le même nombre de terme*. En conséquence aux formule* (12), (13), (14) etc. doivent correspondre lea suivantes

etc.

qu'on peut encore écrire comme il suit

4* = b, a 5 4* bis* 4 - b,**.

etc.

C’est au reste ce qu’il est facile de vérifier a posteriori. En effet la formule (11) entraîne immédiatement la formule (16). Pareillement la formule (13) s'accorde otcc la formule (17) de laquelle on tire

ou, ce qui revient au même,

=<£-VK s 3'-£4

et par conséquent

-VI 1 -* r-

u > fl ^

=r a,4 ! 4 - 8,4* 4 * 2—4* 4 - 5 -7 4* 4* etc.

en négligeant les termes

Or ces derniers sont respectivement comparables pour leur petitesse aux termes

a,**, a.f, etc.

que l’on a négligés dans le second membre de l'équation (1) pour réduire cette dernière à ia formule (13), puisque les quantités

etc.

«ont respectivement du cinquième, du 7* ordre, etc. . . . aussi bien que les quantités

a, , a, , etc.

On prouverait par des raisonnements semblables que la formule (14) s’accorde avec la formule (18), etc. . . . Cherchons maintenant jusqu'ob les expériences de Frauenhofer permettent de pousser le degré d’approximation, c’est à dire, combien de termes ce* expériences permettent de conserver dans l'équation (1), ou, ce qui revient au même, dans la formule (11).

Lorsque dans la formnie (11) on écrit a» et Jt„ au lieu de « et k, on en lire (24) k.' = b, a„ J + bjs«* + M.* 4- etc. ,

puis, en posant successivement >i~l , n~2 , n in3 , etc. . . . ,

ÀV — b,s, ! 4“ b,s,‘ 4" itjSi* 4" • ■ • ki — b, s, 1 4- b, i* 4- b»*,* 4

ki — bit j 4* 4* 4" * * -

etc.

Or, si dans le second membre de la formule (11), ou (24), on conserve seulement nn, deux, trois . . . termes, on pourra en éliminer le coefficient b, , ou les deux coefficients b,, b,, ou les trois coefficients b,, b,, b,; etc. à l’aide de ia première, ou des deux premières, ou des trois premières, etc. ... des formules (25), et l’on trouvera dans le premier cas

dans le second cas (27)

dans le troisième cas

Si — — â t Si Sx 1 | Si

Il e*t bon d'observer, qu’on peut déduire directement le» équation» (26). (27), (28) de la formule de Lagrange pour l'interpolation, en considérant

comme une fonction entière de dont le dégré soit l'un des nombres 0, 1,2, etc. Ajoutons que la formule(26), si l’on y pose «s=2, la formule (27), si l’on ; pose n = 3, la formule (28), si l’on y pose h = 4, etc. . . . pourront «'écrire comme il suit

t> Ll S)

*»’(«»’— Sl’X*»’ Sl’X*! 1 •*) 1 *3 ! («> ! —Sl ! )(Sl’—

Généralement, si l’on conservait n — i termes dans le second membre de l’équation (24), on tirerait de cette équation, ou, ce qui revient au même, des équations (25) 1|" jk»

ce que l’on peut démontrer directement comme il suit.

En désignant par s’ uu nombre entier inferieur à n, on tire de la formule d’interpolation, ou bien encore de la formule relative à la décomposition des fractions rationellea

mi »-.- ■(*-.% « , (s’-s,>)(s’-»,»)...Q»-<>

puis, en égalant entre eus les coefficients de »**- ' dans les deus membres de l'équation (33), ou en conclut 1" pour i < n — i

ii ’ 1

2° ponr i = n — 1

Or, si l'on a egard aux formules (34), (35), les « premières de* formules (25), respectivement multipliées par le coefficients

»■* (s.’-Sj’X*! 2 -»» 2 )— (a» 2 -*. 2 ) ’ »/(*i J -«i 2 )(«> 2 -ai 2 )...(*a , -a. 2 ) ’ ’ ’

puis combinées entre elles par voie d’addition, donneront

ii 2 Ij'

" ‘ + *. , (s. î -», , )(*, ! -s, ! ) (*„•-»’) — *• + CtC

et il est clair que cette dernière équation se réduira simplement à la formule (32), si, dans le second membre de la formule (24), par conséquent de chacune des formules (25), on conserve seulement les « — 1 premiers termes, ce qui revient h poser

b. — 0, 5„t, = 0, etc.

Lorsqu’on passe de l’air i un autre milieu , la quantité k doit etre remplacée par

dans l’éqnation (32) qui se change alors en cette autre formule

( ) »i*(*i 2 — Si 1 ) • • • (*i 2 — *» 2 ) + s , 2 (s , 2 -a, 2 ) (a, 2 -a, 2 ) H

fl.**.*

Si d’ailleurs on pose, pour abréger .

et, si l’on représente les carrés de indices de réfriction par

de sorte qu'on ait

« désignant un nombre entier quelconque, les formules (32) et (37) détiendront respectivement

(41) Ki + A, + Ki + • • . + Jï* — ®i

Enfin, si l'on passe successivement de l'air à d’autres milieu* réfringents des diverses natures, et, si dans ce passage k devient successivement

(43) 9k, Ok, ff'k, etc.

alors, au lieu de la formule (41), on obtiendra un système d'équations de la forme

etc. . . •

pourvu que l’on pose

(45) ©,• = «,•*, ©,- = 9{\ ©/' = 9-\ etc.

c’est - è - dire, pourvu que l’on désigné par

les carrés des indices de réfraction relatifs au* divers milieux dont il s'agit. On ne saurait, dans les formules (41), (42), (44), supposer u = 2 : car alors les formules (41), (42), réduites k

K. + K, = 0, + A,0j — il,

donneraient simplement ©, = ©, et par unité la dispersion cesserait d'avoir lieu. On aura donc au moins n = 3. Ajoutons qu’il suffira d'eliminer les quantités

ou plutôt Ica rapporta

entre l’équation (42) et » — 1 des équations (44), pour obtenir , entre les râleurs de

relatives à n — 1 substances diverses, une équation de condition qui dcTra être sensiblement vérifiée, lorsqu'on pourra sans erreur sensible réduire à scs n — 1 premiers termes la série comprise dans le second membre de la formule (9) on (24).

Cela posé, en attribuant successivement k n les valeurs entières et croissantes 3, 4, etc. . . . , on pourrait chercher la première de ces Taleurs pour laquelle se vérifient sans erreur sensible les équations de condition du genre de celles que nous venons de mentionner, et décider ainsi jusqu’oii les expériences de Frauenhofcr permettent de pousser le degré d’approximation. Mais on arrivera plus promptement au mémo but h l'aide des considérations suivantes.

La formule (42) détermine ©„ en fonction linéaire de seules quantités

Des formules semblables détermineraient ©„+,, etc. en fonctions linéaires

des mêmes quantités ; et généralement le caractère propre d'une valeur de n assea considérable, pour qu'on puisse sans erreur sensible réduire la série (9) on (24) à ses n — 1 premiers termes, c’est que n des quantités

©ii ©i. ©,, ©«» etc.

seront toujours liées entre elles par une équation linéaire sans terme constant, et dans laquelle les coefficients resteront indépendants de la nature du milieu réfringent. Concevons maintenant que par les notations

(47) S 0 f -, S’©,-, S"©;, etc.

on désigne plusieurs des polynômes contenus dans la formule générale

(48) +©, + ©, + ©, ± etc

c’est & dire autant de sommes des quantités

©i» ©»» ©i > etc

prises tantôt avec le signe-)-, tautùl avec le signe — ; de aorte qu'en appliquant le calcul aux expériences de Frauenholer faites sur sept rayons l'on ait par exemple

etc.

Représentons an contraire par les notations

(50) - ©j i 2©,', 2"0 f , etc

plusieurs des polynômes compris dans la formule générale

(51) ± 0<dt ©,'db 0." dt etc....,

c’est à dire, autant de sommes formées arec les diverses valeurs de

correspondantes & une même valeur de » , mais relatives aux diverses substances, et concevons par exemple que

représentent les sommes des valeurs de

relatives i toutes les substances, que

représentent ce que deviennent les précédentes sommes, quuod on y change Ica signes des termes relatifs aux diverses espèces de Biutglass, etc. . . . Enfin décomposons 0; en diverses parties représentées par

»i, ij', etc. . . .

ensortc qu’on ait

En admettant que les lettres caractéristiques S, S', . . . . 2, T , ... . appliquées séparément ou simultanément à ces diverses parties gardent les mêmes significations que lorsqu’on les applique à 0 t - , et Indiquent toujours des sommes formées de la même manière ; on aura encore

S 0; = 8 9{ + S &( + S 9f + etc. . . . ,

S'©,- = S\S f + 8 '9j + 8 9-' ■+■ etc ,

etc. . . .

2 ©,- = 2 9 { + 2 9; + 2 9f + etc. ... ,

r©,- = 29 { + 29,' + 29 t " + etc

etc. . . t

( 2S©,= 2S9i + 2S9i+2a9i' + tU

(etc

Cela posé, revenons à la formule (42), et voyons dabord quelles conséquence* on aurait pu déduire de cette formule et autres semblables , s'il eût été permis d'y supposer n~2. Dans cette hypothèse de l’équation (42) réduite à

(56) «,©, + «,©, = 0, on aurait tiré

puis, en remplaçant le premier des milieux réfringents par le second,

et par conséquent

ou, ce qui revient au même ,

On aurait trouvé de la même manière

etc

et finalement (58)

Or plusieurs fractions égales entre elles sont encore égales à celle qu’on obtient en divisant ta somme de leurs numérateurs ajoutés les uns aux autres, ou pris les una aTec le signe 4 - les autres arec le signe — , par la somme de leurs dénominateurs ajoutés pareillement les uns aux antres ou pris arec les mêmes signes que les numérateurs- Donc la formule (58) entrainerait la suivante

qu’on peut écrire comme il suit

et dans laquelle il est permis de remplacer la caractéristique S par l’une des caractéristiques S', 8 ", etc Observons dailleurs que, si l’on pouvait considérer

comme égaux les rapports compris dsns la formule (58), et attribuer Ica différences de leurs râleurs réduites en nombres tux erreurs d’obserration, le moyen d’atténuer l’influence probable de ces erreurs sur la détermination de la râleur commune des rapports dont 11 s'agit serait de faire concourir également à cette détermination les carrés des sept indices de réfrsclion, et par conséquent de substitner le nouveau rapport

à tous les autres, attendu que les deux termes de ce nouveau rapport seraient sept fois plus grands que les moyennes arithmétiques entre les termes correspondants des premiers, et que, selon toute apparence, les erreurs d’expérience dans 0 , , 0 , , 0 , , 0 , , 0 , , 0 , , ©,

étant les unes positives les autres négatives, produiraient dans le polynôme

une erreur de beaucoup inferieure à la somme de leurs valeurs numériques , ou ce qui revient au même, à sept fois la moyenne arithmétique entre ces valeurs.

Si le second des milieux réfringents était remplacé successivement par le troisième, par le quatrième, etc. . . . alors, auiieu de la formule (70) on obtiendrait les suivantes

etc.

On aurait doue généralement dans i’hjpotlièse admise

On le moyen d’atténuer l’influence probable des erreurs d’observation sur la détermination numérique de la valeur commune des rapports compris dans la formule (62) serait de substituer le nouveau rapport

à tous les autres ; ce que l’on prouve par les raisons cldessus alléguées pour la substitution du rapport (61) aux rapports (58). On tire effectivement de la formule (62)

S©,- 2SQi ’

On obtiendrait de la même manière Ict diverses équations

& '=T S ëi S9 <' 29,

etc

ZS0;

qui peuvent être remplacées par la seule formule

Si l’on pouvait en réalité considérer comme égaux les rapports compris dans la formule (58), et attribuer les différences de leurs valeurs réduites en nombres aux erreur* d’observation, alors les valeurs de

déterminées par les formules (66) mériteraient plus de confiance que les valeurs observées. Mais il n’en est pas ainsi. Cir nous avons vu qu’il n'etait pas possible

de supposer * = 2 dans l'équation (42) et de la réduire alnal à l'équation (56). Kn conséquence, les seconds membres des formules (66) doivent être considérés comme représentant non les valeurs exactes, mais seulement des valeurs approchées de

Désignons ces valeurs approchées par

ensorte qu'on ait

et par JB ; la valeur de la différence

de sorte qu'on ait encore

(69) 0, = 9, + JB,, 0, = $, 4- JB,, etc B, = 9, -H JB,.

On tirera des équations (68)

et les formules (69), combinées entre elles par vole d’addition, donneront

(71) JB, + JB, 4- JB, 4- JB, + JB, + JB, + JB, = 0 , ou S JB; = 0.

Cela posé, cherchons ce qui arriverait si, dans la formule (42) et autres semblables, on pouvait sans erreur sensible supposer a = 3. Alors, cette formule, se réduisant 4

(72) *,0* 4- HtB, + K, 0, = 0 ,

et devant subsister indépendamment de la nature du milieu réfringent, entrainerait la suivante

(73) K JB, 4- K,Z6, 4- K^B, = 0,

de laquelle on tirerait, en la joignant aux trois premières des équations (68),

Or, en substituant dans la formule (72) les valeurs de 0, , B„ 8, tirées des équations (69), et ayant égard à la formule (74), on obtiendrait la suivante

- (75) KyJB, 4- KyJB, 4- KJB, = 0 ,

qui déterminerait J B, en fonction linéaire des deux quantités JB,, JB,. Des formules semblables détermineraient JB,, J B,, JB,, JB, en fonctions des mêmes quantités ; et la substitution des valeurs de

J04, -i6| , Jÿ;

ainsi déterminée! dans l’équation (71) fournirait entre lea seules quantités /f 0, , JB. une équation nouvelle dont lea coefficients seraient encore indépendants de la nature du milieu réfringent. On aurait donc, en vertu de celte équation nouvelle, et en désignant par JB- ce que devient J 9/ quand on passe du premier milieu au second ,

ou, ce qui revient au même ,

On trouverait de la même manière

JB, JB, 1b, ~~jb:

JB , JB, JB,’ ~ JB/

JB, JB, JB,' ~ JB,'" JB, JB,

JB, ~~ jb; '

et finalement

JB, JB, JB, JB, JB, JB, JB,

<- 77 ) JB' ~ lB‘ ~ ~JBÎ ~~JB; ~ ~JB,‘ ~ JBÏ = ~JB‘'

Supposons maintenant que l'on désigne par S'0 t - l’un des polynômes compris dans la formule (48), et par - 0 ( . l’un des polynômes compris dans la formule (61), en choi- (issant les signes de msnière que

S' JB;

représente, au moins pour Tune des substances, ta somme des valeurs numériques de

JB ,, JB j, JB,, JB,, JB,, JB,, JB,,

et que

SSJBi

représente ta somme des valeurs numériques de

8 J&j, S J&i , S'JBf, elc

Kn opérant comme on I’ a fait, lorsque de l’équation (58) on a sucesaivement déduit les formules (59), (62), (64), (67), on déduirait de la formule (77) celles qui suivent

JB, S'-iQ,

je; ~ s' Je- ’

JB, JB,' JB" JB, s JB/ ~ a jb- ~ s jbs ~~ s jef — £tc

JB,