SUR LA DISPERSION DE LA LUMIERE

Considérations générales.

O an» un mémoire précédent, nous avons fait voir comment les lois de propagation et de polarisation de la lumière pouvaient se déduire des équations aux différences partielles qui représentent le mouvement d'un système de molécules sollicitées par des forces d’attraction ou de répulsion mutuelle [voyex le cinquième volume des Exercices de mathématiques]. Toutefois, comme les formules (11) de la page 131 du quatrième volume des Exercices, auxquelles nous avons eu recours, ne sont qu'approximatives, les lois que nous avons établies ne sont pas rigoureusement exactes. Pour s’en convaincre, il suffît d'observer que, dans l'énoncé de ces lois, on ne trouve rien qui soit relatif à la nature de la couleur. Or la dispersion des couleurs par le prisme prouve que, dans les corps transparents, la vitesse de propagation de la lumière n’est pas la même pour les différentes couleurs. D'ailleurs les physiciens qui ont adopté l’hypothèse des ondulations luminenses, supposent avec raison que la nature de chaque couleur est déterminée par la durée plus oit moins grande des oscillations des molécules de l'éther, de même que la nature du son produit dans un corps solide ou fluide est déterminée par la durée plus on moins grande des oscillations des molécules de ce corps. Il est donc naturel d'admettre qu’il existe une relation entre la vitesse de propagation de la lumière et la durée des vibrations lumineuses. Or cette relation ne saurait se déduire des équations aux différences partielles inscrites sous le n.° (il), à la page 131 du 4." volume des Exercices. Mais il importe de remarquer que ces équations se tirent ellesmêmes de formules plus générales que j’ai données dans le troisième volume [pages 190 et suivantes]. Frappé de cette idée, M. Corioiis me conseilla de rechercher si la considération des termes que j'avais négligés en passant des unes aux autres ne fournirait pas le moyen d'expliquer la dispersion des couleurs. Fn suivant ce conseil, je suis heu reusement parvenu à des formule» h l'aide desquelles on peut non-seulement assigner la cause dti phénomène dont il s'agit, mais encore en découvrir les lois qui, malgré les nombreux et importants travaux des physiciens sur cette matière, étaient restées incon nues jusqu'à ce jour.

Pour que l’on puisse saisir plus facilement les principes sur lesquels repose l'analyse dont je vais faire usage, je reproduirai d'abord en peu de mots les équations dlffércnliel-

le- qui déterminent le mouvement d'un système du molécules sollicitées pir des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle.

§. i. r ‘ Equations différentielles du mouvement d'un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de rcirulsion mutuelle.

Considérons un système de molécules ou points matériels distribués arbitrairement dans une portion de l'espace et sollicités au mourcreent par des forces d'attraction ou de

répnlsion mutuelle. Soient m la masse d'une de ces molécules, m, m , m " ,

celles des autres, et supposons que, dans un état d'équilibre du système, x, y, t désignent les coordonnées de la molécule m rapportées à trois axes rectangulaires, x d . r, y -f- A y , z-\-Js les coordonnées d'une autre molécule m, r la distance des molécules a et »,

et. fi, y les angles formés par le rayon vecteur r avec les demi-axes des coordonnées positives. Admettons d'ailleurs que l'attraction ou la répnlsion mutuelle des deux masses m et m , étant proportionnelle à ces masses et à une fonction de la distance r, soit représentée , au signe près , par O) ntmf(r)

f(r) désignant une quantité positive lorsque les masses m, ~m s'attirent, et négatiie lorsqu'elles se repoussent. La résultante des attractions ou répulsions exercées sur la molécule tn par les molécules m, m’, ... , aura pour projections algébriques sur Ira axes coordonnés

(2) mS[mcosof(r)] , mS[mcos/îf(r)], mS'«iC 08 yf(c)]

la lettre S indiquant une somme de termes semblables, mais relatifs aux diverses molécules m, m 1 , etc....; et, puisque le système est, par hypothèse, en équilibré, on aura nécessairement

(3) S[mcosctf(r)]~0, &'mcosfif(r)] — 0, S[«ncosyf(r)J =0.

Ajoutons que les quantités dx, . fy, Jz pourront être exprimées en fonction de r et des angles u , fi. y par les formules

( * ) Jx ~ rrosnr . Jy — rcotfi , àz — rcosj'.

Supposons maintenant que, le sy stème venant à se mouvoir, les molécules nt , m ,

m , ... , te déplacent dans l'espace, mats de manière que la distance de deux molécules nul « varie dans un rapport peu différent de l'unité. Soient, au bout du temps t,

des fonctions de x, y, z, t qui représentent les déplacements tris-petits de ta molécule m , mesurés parallèlement aux axes coordonnés , et

la distance des deux molécules m , m. La quantité très-petite e exprimera la dilatation linéaire meaurée suivant le rajon vecteur r; et, comme les coordonnées respectives des molécules m, m deviendront

x+J, .y+ , ;i *•+1+^0* +5)* jt+>7+^Cy+>?)»

les projections algébriques de la distance rfi + r)

seront évidemment

Az ■+-/# ÎT ,

ou, ce qui revient au mime.

r cos a + J | ,

rco« /? + />;,

r cos y + /f i .

On trouvera par suite

(5) = (»‘CO*y+

et l'on eu conclura

(6) 1 ■+■ f = 1 1 H — ^(cosor cos + cosyz/l)

D'ailleurs, au bout du temps t, le rayon vecteur mené de la molécule m à la molécule an formera, avec les demi-axes des coordonnées positives, des angles dont les cosinus seront représentés , non plus par

(7) cob a — , coS(ï= — — , cosy= — ,

mais par

COS ft 4r

cos et 4- ^ r *

A+A ^ r Jz+Jt r(l+«) l+e ’ r (1*4-*)

cos y *4 -

Kii conséquence, les projections algébriques de ta force motrice résultante des attractions nu répulsions exercées par les molécules m, sur la molécule ta, détien-

dront respectivement égales aux trois produits

i S jw (cosa-4- —-J { ~ —

raS < m

.(co

A fr-Q-H)]

oS<m

<co, r^y

tandis que les coefficients de m dans ces produits , savoir ,

| s| m (co.«+— )- i + t -

) l / A\ ffr(l+t)l | i ( . f[r(l-4-*)] J

( S |«n(cos/?*4‘ — J— | j, s J w ,(cos- /+ -;— 1 - T - j.

représenteront les projections algébriques de 1a force accélératrice qui sollicitera la molécule m, et qui sera due aux actions des molécules m , m , etc... D'autre part, ai l'on prend er, y, z, t pour variables Indépendantes, les projections algébrique, de la force accélératrice capable de produire le mouvemeut observé de la molécule m , pourront être représentées par les expressions .

dt 1 ' de ' de

puisque £, ty, ç , désignent les déplacements très-petits de la molécule m mesuré* parallèlement aux axes de or , y, z. Donc, si le mouvement est uniquement dù aux actions moléculaires , on aura

cosn-4* 1