VI

Or la différence entre les Talenrs de r- et ■— , calculées à l'aide dn 3* tableau dans

lequel on trouve leurs logarithmes , sera

pour l'eau 0,7513

pour la solution de potasse pour l'huile de térébenthine .

pour le crowngiass l r * espèce .

„ 2* espèce.

pour le flintglass 1” espèce .

„ 2" espèce .

3' espèce 4* espèce

Donc le quart de cette différence géra, pour toutea les substances employées par Frauenbofer, inférieure à

à plus forte raison è 0,01; et comme, dans le 17* tableau, la plus grande des valeurs numériques de J'Q; est représentée par le nombre 0,000079, il est clair que le produit (146), c'est à dire, la différence entre J'Q- et le produit

restera Inférieure à un millionième. Donc les valeurs de J* fi; et celles du produit * ç J'Q; , exprimées en millionièmes, seront représentées par les mèmeB nombres, de sorte qu’en s’arrêtant à la 6* décimale on aura (147) J'O; = î ç J'O;.

Cela posé, des formules (144) multipliées par \ ç l’on tirera

Or, ai l'on combine successivement la première des équations (146) avec la seconde, puis avec la troisième, on en conclurra

puis

et par conséquent

Donc les quatre quantités

doivent être égales an signe près, et alternativement affectées de signes contraires. Pareillement de la première des équations (148) combinée avec les deux dernières on conclurra que les quatre quantités

doivent être égales an signe près, et alternativement affectées de signes contraires. Ces conditions sc trouvent effectivement remplies avec une exactitude suffisante pour les valeurs de J'O; que fournit le 21* tableau, comme le prouve celui que noua alloua tracer.

COOOO'O | looooo'o- I KOOOO'O* | stoooo'o- I TOOOOO'O | SÏOMHt'O | r-COOOO'O I •** °P

Valeurs de J*0;, .4'!), , etc exprimées ru millionièmes.

Ainsi Ici valeurs de 0; fournies par les expériences de Frauenliofer admettent des erreurs comparables aux nombres

renfermés dans les 4* et 7" lignes horizontales du 23' tableau. Or ces nombres surpassent évidemment les nombres

0,000020 et 0,000024

qui, dans les tableaux 21 et 22, répresentent les plus grandes valeurs numériques de

Comme on l’a déjà remarqué, les valeurs de ©,• déduites de l’observation méritent moins de confiance que les valeurs corrigées de 0,- , représentées par

Pareillement les valeurs de t){ fournies par l’observation doivent mériter moins de confiance que les valeurs corrigées de Oj, représentées par

Oi-Sôi

et inscrites dans le tableau suivant.

Les valeurs de /4*Q; et de fi; — d*fl; que renferme le 24* tableau peuvent être directement déduites de 1' équation (142) ou (147) jointe à la formule (136). D'ailleurs, si l'on substitue aux valeurs de

que fournissent l’une des séries d'expériences faites sur l'eau ou la troisième espèce de flintglass les moyennes arithmétiques entre les valeurs déduites de la première et de la seconde série, les formules (135), (136) et même la formule (147) fourniront pour chacune des quantités

U, U', U ", If", J'Q; et J'O;

non Tune des deux valeurs correspondantes aux deux séries d'expériences, mais une troisième valeur qui sera la moyenne arithmétique entre les deux premières. Il y a plus, le calcul n'etaut point poussé au delà des millionièmes, l'équation (40) présentée sous la forme

donnera, dans la même hypothèse, pour chacune des quantités

0i, 0„ 0 $ , 04, O,, 0|, Oj

une valeur égale à la moyenne arithmétique entre Ica valeurs fournies par les deux séries d'expériences faites sur l’eau ou la troisième espèce de fliptglass. C'est du moins ce que l’on prouvera sans peine, en ayant égard à l’extrême petitesse des variations que subit 0,- dans le passage de la première série d’expériences à la seconde. De eu qu'ou vient dé dire il résulte que, pour chacune des quantités

0;, J'O; et 0; — J'O ; ,

les deux valeurs relatives à l’eau ou à la troisième espèce de flintglass, et inscrites dans deux colonnes verticales du 24* tiblcau, peuvent être remplacées par une troiaième voleur qui sera la moyenne arithmétique entre les deux premières, et méritera évidemment plus de confiance. En opérant de cette manière, on réduira le 24* tableau & celui que nous allons tracer.

§. 7. Suite des application» numériques.

La valeur corrigée de Q ; , qui dans le 6* paragraphe se trouve représentée par

et déterminée en fonction de 17, TJ’, V ", V" par la formule (136), ne vérifie qu'approximatiremcnt la condition de se réduire & l'unité, quand on remplace l'un des milieux réfringents par l'air [voyez le 19* tableau], ce qui revient à supposer

u = 7 , u =i, v" = i, ir = i.

Mais on pourrait modifier nos formules, de manière que cette même condition se trouvât rigoureusement remplie. Pour y parvenir il auOïra de considérer la quantité 0, que détermine [dans le §. 6] l'équation (123), comme représentant la première valeur approchée de chacune des quantités

et de substituer en conséquence aux équations (113), (114) les formules suivantes

©, = 0 + JQ , , © a ~ 0 -4- ilS, , etc.

JQ, = -f- J'Q , , JQ, = + J'Q , , etc.

J'Q, = é>." 4- J'@>, J'Q, = etc. ,

J'Q, = 9,"'+ J’Q , , J'Q, = fir+J'G,, etc. .

©t = S + JG t , JG j = 9, 4- J'Q , , J'Q, ~ 9,' + JPG , , J'Q, = 9,'" + J*6,,

. À éït7i . . « ^(7, À JiKtq

= 2'8‘JGi ~ IrS JQi S etc "• 9 ' — T8 r J9j S ^ 9 i'

A." — - — A." — -i-a-'/Pa. A." S'/f 1 ».

~ 2" s" J'Q { S J1Q i » - rs 'i'Ôi S ete *" ~ S"8 ,, J'Gj 8

9t " ~ T’'8 'J'QÏ 8 2"'S"'J'Qi 8 ^ 0| ’’ ctc ' ' ' ^ ~ Z"S" J'Q . 8 '

dans lesquelles on désigne par

S©,., S ’JQ { , 8" J'Q i , S" J'Q-, etc.

les sommes des valeurs de

Q ; , J&i , J'Q i , ^0,. , etc. . . .

relatives «ut divers rayons, mais prise» tantôt, avec le signe + , tantôt avec le signe — , do manière que les valeurs numériques de ces sommes se réduisent, du moins pour certaines substances, aut sommes des valeurs numériques, et par

i’’S JG{, TSTJ'Qi, T'&"'J'G i , etc

les sommes des valeurs numériques de

S' JG ; , S’ J'Q;, S” J'G;, etc

relatives aut diverses substances. Effectivement, si l’on remplace le milieu réfringent par l'air, ce qui revient a poser généralement

on tirera des formules (1) et (2), 1».

et par auitc

quel que soit

donc

aussi

S’ JG; =

et par

suite

JG;

quel

que

soit »

donc

aussi

et par

suite

quel

que

soit »

donc

aussi

et par

suite

quel

que

soit i

etc Donc en définitive les formules (i) et (2) donneront, quand on substituera

l'air au milieu réfringent,

JG; = 0, J'G; = 0, J'G; — 0 , J'G; = 0 , etc. et par conséquent

G; — JG; = G; — J’G; — G; — J'G; = 0,- — J'G; — = 1.

D'ailleurs les formules (1) diffèrent des formules (113) du §. 6 en un seul point, savoir, que les valeurs de JG; s'y trouvent déterminées non plus par des équations de la forme

©,• = O; -f- JG; , on JG; =: ©,- — 0; mais par dca équations de la forme

©,■“© + JG ; , ou JG; — G; — 8.

Du reste les nouvelles valeurs de /KD;, comme les premières, s'évanouiraient si l'on pouvait réduire la formule (42) du §. 6 à la formule (56) du même paragraphe, puisqu’on aurait alors

Donc les nouvelles valeurs de JG;, comme les premières, seront des quantités du même ordre que b,. Kilos satisferont aussi, comme elles, à l'équation

K, JG, + AV©» 4- etc + K.JQ. — 0 ,

que l'on déduira immédiatement des équations (41) et (42) du §. 6 jointes aux formules

©i — O 4" -^©i * ©a — © 4" <^©a , • • • 6, = 0 + JO. ;

et c’est & l’aide des mêmes règles que, dans les formules (113) [§. 6] et (1) [§. 7],

on déduira successivement les valeurs do J'G-, J'G ; , J'G;, etc des valeurs

déjà calculées de JG;. Enfin les formules (1) et (2), aussi bien que les formules (113) cl (114) du § 6, cnlraincront les conditions (116), (117), (118), (119), du g 6 4 l'exception de la première des conditions (116) et de celles de conditions (118), (119) qui renferment le signe 2. Cela posé, en raisonnant toujours de la même manière, on prouvera que les formules (1), comme les formules (113) [§. 6], fournissent 1°. des valeurs de

JQ{, J'G;, J'G ; , J'G ; ,

respectivement comparables aux coefficients

par conséquent des valeurs de J'G; comparables aux erreurs d’observation, puisqu'on a vu qu'on peut sans erreur sensible supposer b, = 0; 2° des valeurs de

on valeurs corrigées de G ; , qui pourront être substituées aux valeurs de 0; directement tirées des expériences, et mériteront même plus de confiance que ces dernières-

Si l'on fait pour abréger 2 JG,

2#JBi' A 2' J'G,

2’&'J'G i ' Vl 2’” J'G,

2' JG,

2üJ9i ' etc P' ~

2"S"J'Gi' CtC " » = 2" J'G,

, etc... cl, =z

2 JG, 2S’JQ { ' 2’ J'G,

2 " S J'Gi ’ 2' J'G, 2'S'J'G;'

les formules (2) donneront

S JO { , 9,' = ftxS'JQ-, etc â,' = 2 /},S’J& { ,

S" = }' l S"J , 0,-, &i' = y,8 "J’Bs, etc é>," = y, S"^,'

X"= cf.S'"^ 1 ©,- , d l S'"J t O { , etc. ... . S,' u = d,S "JW / ,

et l'on tirera des équations (3) jointes aux équations (117) [§. 6]

SPt = O, S'ft{ = 1 ,

S-/i =0, SV(=0. S"y f =l,

Sd,- =0, S'âj — 0 , S"d { = 0, 8”d,-=l,

etc. . . .

Si maintenant on applique aux expériences de Frauenhofer les formules (1), (3) et (4), alors, eu parlant des valeurs de & données par le 8* tableau du §. 6, on reconnaîtra que les sommes désignées par

peuvent rester composées comme l’indiquent les équations (49) du même paragraphe ; et, en posant en conséquence

etc

on obtiendra successivement les valeurs de

JQ : , ( i { , »/ , J'Qi, JV, !>i‘, J 1 ©;, d;, i>{'\ J'Q{

que fournissent les tableaux suivants.

K a u I Solution llutln de Crowng;l&«a Fllntglusu

du irrrben- Sommeil.

.•Crie. I ». ko rie. ] pu tusse. tliiue. 1. e»p«ce.| $♦ oaptoc.fô. espèce. I. espèce. [2. espèce. I 3. espèce. 13. «père. I 4. espèce.

Valeurs rie et de d'<); exprimées en millionièmes.

S* 5' 1 '? K t"'?' K fr*

> ïi O C y ; ^ 7 ^ ^ - - ut

S> $* i'âr S> *®'- S® >5 ? ®'- S» 4 U'

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te te c c tr. es (f c.

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