etpècel
potasse.
§. 9. Sur la propagation Je la lumière dont les milieux ou sa vitesse reste la mime pour toutes les couleurs.
On lie peut douter que dans le vide, c'est à dire, dans cet espice dont l'étendue effraye l'imagination, cl au travers duquel les rayons des astres pariiennent jusqu'à nous, la vitesse de la lumière uc reste la même pour toutes les couleurs. Autrement les étoiles nous apparàitraicnt, non plus comme des points brillants, mais comme des bandes lumineuses et très étroites qui offriraient à nos yeux les diverses nuances du spectre solaire. Ainsi le fluide éihcré , lorsqu'il est seul, et que sa constitution naturelle n’est pas modifiée par la présence des corps pondérables, a la propriété de transmettre avec la même vitesse les rayons diversement colorés, par exemple, Ica rayons routes et les rayons violets. Il y a plus, l’éther parait conserver encore cette propriété, lorsque scs molécules se trouvent en présence de celles d’un corps gazeux; du moins jusqu’à ce jour on n'a pu découvrir dans les gaz aucune trace de la dispersion des couleurs. Donc, sous certaines conditions, la vitesse de propagation de la lumière, ou la quantité représentée par fl dans le 2' paragraphe et les suivants, doit devenir indépendante de l’épaisseur l des ondes lumineuses. En d'autres termes, les formules (1) et (3) du § 3, savoir ( 1 ) SlT = l
(2) s = hQ
doivent, sous certaines conditions, fournir pour la durée T des vibrations lumineuses une valeur proportioaaille à /, et pour la quantité
2 Tt
une valeur proportionelle à celle de
2ft
C’est de la recherche de ces conditions que nous allons maintenant nous occuper.
Considérons des vibrations lumineuses propagées dans le vide, ou généralement dans un milieu où 1' élasticité de 1’ éther reste la même en tous sens. Allors les quantités a et k seront liées entre elles par la formule (79) ou (80) du § 3. On pourra même débarasser cfcttc formule de l'angle a, en ayant égard aux équations (50) et (51) de la page 35, et à l'équation identique (5) cos’or + cos’/S+cos 1 )' = 1-
Effectivement en vertu de cette dernière, et en étendant les sommes Indiquées par le signe S à toutes les valeurs paires de X, p, v qui vérifient la condition
ou trouvera
(7) S jmr 2 , 1 " , f(r)| = S |wr 8 "‘ 1 (co*»o + cos’,? 4 . cos’y)" f (r)|
— — ^ t S f«r ! "'*f(r) cos^'rt coa' u ft cos’’*/! )
{(* *-4x* 3 ïX‘-*--î) !
puis on conclura de l'équation (7) combinée avec U formule (50) du § 3
m „ t S„-l rr o 12 3 -" t ÎB .i rr , ». ) [1.3..a-D 1.3..0-1) 1.3..(v-iX
( 8 )S r «r)\-ÜS.<2U) S r '«“• “! jt. 2 ..^ i.a.r£ï.2..^j
D'ailleurs en désignant par x, y, z des variables quelconques, on aura en vertu d'une formule connue
puis on tirera de cette dernière équation, en y posant
et multipliant les deux membres par 2 n
Donc la formule (8) donnera
S jmr 2 ™ 1 f(r)j = (2» 4*1) S jmr 2n " 1 f(r) C0s 2 *aj ,
et par suite
(10) S jmr î ' , ' 1 f(i-)co8 2 " f! | — in+ 1 8 |mr î "' 1 f(r)J. Pareillement on tirera de la formule (5) jointe & l’équation (51) du § 3
(11) S î»r S »- 3 /(r) COS S "«| = —JS j«r S '" 3 /(r)|.
Cela posé , U valeur de a* déterminée par l’équation (80) du même paragraphe détiendra
(12) *= *» S jï ^3 [ f ( r ) +i/(’0] | - [!(*•) +4/(r)]
+ *’ s i iAa^ldJ f (r) + ~ etc ’ ’ • ’
D'autre part, comme la formule (13) du § l ,r donne
(13) f(r) = rt , (r)-‘t(r) t on aura généralement, pour une valeur quelconque du nombre entier n.
Sn-1
L r ( r)+ lï+3 /(r )J 2n -f- 3 (2«-f-3)r :
dr
et en conséquence l’équation (12) pourra être réduite &
1 y U rf(r»f(r)) ) 1 y «f(r»f(r)) j
(14) ®— 5lA3 S jr« dr \ 7 1.2.3.4.5 8 j r» dr
9 1.2.3.4.5.6.7 r* dr +
Enfin l’on a évidemment 1 IV
r " \1 . 2. 3 .4. 5 1. 2. 3.4. 5. 6. 7 ~ t " 1.2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 .9 etC 7
,‘teM‘-rn)i ,
— * J <fr
Donc la formule (14) pourra »’ écrire comme il suit
sîn Ir
p (cos lr + ■’ iv) •
* ,= s (ïv-
’ ^(cosIt -
Au reste la formule (15), comme nous le prouverons dans un autre mémoire, pourrait encore se déduire immédiatement de la formule (79) du § 6.
Les formules (79) et (80) du § 3, on la formule (15), à laquelle on peut les réduire, se rapportent au cas où, les conditions (48), (49), (50), (51) [§3] sc trouvant remplies, la propagation de la lumière s’effectue de 1a meme manière en tous sens; et nous devons ajouter que ce phénomène , qui a rigoureusement lieu dans le vide, subsiste approximativement dans les divers milieux ; puisque, dans les corps doués de la double réfraction, la différence entre les vitesses de propagation des rayons ordinaire et extraordinaire est généralement fort petite. Or les conditions que nous venons de rapcller se vériRcnt toujours, comme 11 est facile de s’en assurer, lorsque dans les sommes indiquées par le signe S et qui sont de Tune des formes
S jmr 2 ** 1 f (r) cos A a co$ ,M £ cos*y J, S jmr* w ~ 3 y*(r) coa A a coa* M /?cos ,, y| ,
les sommations relatives aux angles «, /9, y compris entre le rayon vecteur r et les demiaxes des coordonnées positives, peuvent être remplacées par des intégrations aux différences infiniment petites, et relatives à deux angles auxiliaires p, q liés aux trois premiers par les équations
(16) cos a = cosp, cos ( # zz slnpcosq , cos y — sinp sin q ;
T angle p étant celui que forme le rayon vecteur r avec une axe fixe, et l’angle q celui que forme un plan fixe mené par l’axe fixe avec le plan mobile qui renferme le même axe et le rayons r. Il est donc naturel de penser qu’on obtiendra une première approximation des mouvements de l'ether dans tous les milieux, et probablement avec une grande précision les loix de son mouvement dans le vide, si Ton change les sommations doubles relatives aux angles p , q en intégrations doubles, ou même les sommations triples relatives aux variables p, q y r en intégrations triples. Àllors, en désignant par q la densité de l’éther au point avec lequel coïncide la molécule m, par m une seconde molécule dont les coordonnées polaires soient p, q , r, par l r (r) une fonction du ravon vecteur r, qui s’évanouisse pour r zr oo , et par n le rapport delà circonférence au diamètre, ou le nombre 3,14159265..., ou trouvera *
(17) S ;» F (r)î =/:«/: ’J'l Qr'F(r) sin p dpdqdr,
le signe S «’ étendant, dan. le premier membre de 1’ équation (18), à toutes les molécule. m distinctes de m , et
représentant deux valeur» de r , dont la première *oit nulle ou bien équivalente à la plu» petite distance qui sépare deux molécules voisines d'éther, la seconde infinie ou du moins assez grande pour que, dans l’expression
la somme des termes correspondants à des valeurs plus considérables de r puisse être négligée sans erreur seusiblc. Comme on aura d’ ailleurs
,fo sin P d p — 2 » ST d i— 2n '
on pourri, ce supposant la densité q constante, réduire la formule (17) à (18) S JmF(r)| =inçf r r ~r'F{r)dr,
et par suite l’équation (15) donnera
! |p (cos I-r — 4- » * v) f(r)| ^
Or, pour de tris grandes ou de très petites valeurs de r, le produit
(20) (cos t r- + ï **r«) = J r , + — - —
1 Pr* 1 Vf*
“5 1 . 2.3 7 1 . 2 . 3 . 4. 5 + cte ' ’
développé en un trinôme ou en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de r , pourra être remplacé sans erreur sensible par le premier terme de son développement; et ce premier terme, vis & vis duquel tous les autres pourront être négligés, sera, pour de très grandes valeurs de r
et pour de très petites valeurs de r
1 Vr'
Donc la formule (19) donnera sensiblement
Supposons maintenant ri> = 0, r K = oo. L’ équation (21) fournira pour a 1 une valeur finie, positive et différente de séro, dans deux cas dignes de remarque, savoir 1° quand le produit
se réduira, pour une valeur infiniment grande de ia distance r, & une constante finie, et positive, 2° quand le produit
se réduira, pour une valeur infiniment petite, de r, & une constante finie mais négative. Le premier cas aura lieu, par exemple, si l’on suppose
G désignant une constante positive, et alors le valeur de réduite à
In
détiendra indépendante de la quantité k. Pareillement le second cas aura lieu, si l’on suppose
