DES PROBLÈMES Ç’OPTIQDE. SOI

on-5«oLLque v augmente en même temps que a, tant que l’angle a est inférieur ,au double de l’angle /tw/iVe, c’est-à-dire de l^ngle dont le sinus est^ .

Quand a est très petit, la série se réduit sensiblementà.son premier terme 2(/— 1.)sin^, qu’on peut

alors remplacer par(/ — 1)»; telle est l’approximation usitée.

2” Si l’on substitue à la déviation minimum v la valeur approchée »'=(/ — 1)a, on trouvera pour l’erreur cgminise v — tf , .

quantité essentiellement positive, puisqu’qn a />1 et <90°. On reconnaîtra que cette valeur de v — »'

est plus petite que '

Dans le cas général où la lumière, traversant le prisme dans une direction quelconque,- sübit une déviation V.plus grande que », l’erreur V — »' due à

l’emploi de tf est toujours moindre que (| — \')Pa^.

7. On mènera par les points L et 0 un plan perpendiculaire aux faces qjarallèles de la glace. C’est dans ce plan que la lumière se propage en ligne bridée, et le rayon émergent est parallèle au rayon incident. Soit x la distance du point d’incidence à la projection du point L sur la face d’incidence ; il

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303 8,«LUTIOKS

suffit de «trouver ar. 'Cette quantité sera déterminée par réquâtion ^ ^ .

X l\ae —

y ^ l^a-V-j^[ae— (or|-0)a;]^

Si i=0, c’est-à-dire, si le [k>int O est dans le verre, l’équation se réduit à ‘ - .

et alors elle fait connaître la marche de la lumière entre deux points situés dans deux milieux différents.

8. Soit E le point d’émergence déterminé par un point I d’incidence; soit p la longueur. du rayon incident LI ; soit p' la longueur EM du rayon émergent prolongé, c’est-à-dire soit/»' la distance du point E d’émergence au point M qui lui correspond sur la caustique demandée. On obüendja l’équation

Pour le point de rebroussement de. la caustique, on aura p=:a, etp' =r a -|- p Ce point serait l’image de L pour un observateur qui regarderait le point L

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DÉS phoblÎmes d’optique. 30 $

à travers. la glace, et dont l’œil serait situé près de la perpendiculaire menée de L sur les deux faces ré- ' fringeutes. Il est aisé de trouver ce point de rebroussement par une construction direcfé.

9. Lé point cherché \J est derrière la face antérieure, sur la perpendiculaire menée auX deux faces par le point L, et la distance de 1/ à la face anté-

neure est a-f-y

Si l’on imagine que l’épaisseur e de la glace soit doublée, et que la face postérieure actuelle occupe le milieu de l’épaisseur 2c, si de plus on transporte le point lumineux L du côté de la face nouvelle à une distance a de cette face , le point \J est (numéro précédent ) le point R de rebroussement 'de la caustique virtuelle formée par des rayons qui émergeraient dans l’air, après être partis du nouveau point L et avoir traversé la glace d’épaisseur 2c. Il est facile de reconnaître par la géométrie que les points L/ et R doivent en effet coïncider.

Quant aux images L"', elles sont

toutes situées sur la perpendiculaire LL', et leurs distances respectives à la face antérieure sont

, he I 6«

On ramènerait de mêfne ces différents cas à ceux où la lumière émanée d’un point traverse, sans se réfléchir, des glaces d’épaisseurs 4c, 6c...., 2mc. .

y La question qu’on vient dé résoudre s’applique également aux glaces nues et aux glaces étamées. Le seul effet du tain est de rendre plus vives les jmages L'", L’..... et suMout L'. •'

,10. L’image X est située sur la perpendiculaire menée aux deux faces par le point L; «-f-j est la

distance de X à la face la plus éloignée de L (avant-

dernier numéro). Les autres images L*, L" , L^“\

se trouvent *sur la même perpendiculaire LX, et leurs distances à la même face sont respectivement

On constaterait comme au numéro précédent que ces questions se ramènent à celles où la lumière.éma> née d’un point situé dans l’air traverse, saps se réfléchir, des glaces dont les épaisseurs sont 3a, 5e. .... , (2n-j-d)e.

11. Si l’image 1/ est réelle et située dans l’air, on trouve pour la distance ar de L/ à la face antérieure :

ia(r — 2e)+2«(r — e)

Si l’épaisseur e était comprise entre - et r, ou, ce

qui revient au même, si la zone réfléchissante était comprise entre 120° et 180°, la valeur de ar pourrait

DES rROBLÂMES d’opTIQDÉ. 3(^5

être négative et numériquement plus petite que e‘ d’où il suivrait que l’image L' se formerait dans le verre. Mais cette valeur négative de a: ne donnerait pas la véritable position du point de concours des rayons réfléchis. Car on ne saurait appliquer à ce cas l’équation d’où l’on a tiré x, cette équation supposant que les rayons réfléchis se croisent sur l’axe seulement après avoir émergé du verre.’ Soit y la distance de la face plane au point intérieur où les rayons réfléchis se coupent réellement, on trouverait

fa(2g— r)-j-2e(a— r)

Toutefois les rayons émergents qui parviendraient à un œil placé près de l’axe sembleraient venir d’un autre point situé dans le verre, point qui serait à une distance x de la face antérieure du miroir. Ainsi la valeur négative de x obtenue plus haut ferait connaître la position apparente de l’image de L dans le verre.

On remarquera que le cas dont il s’agit ne peut se présenter pour les miroirs ordinaires , dont la zone n’excède jamais 10® ou 12®.

Si l’on faisait r=roo , il viendrait x= — -a — y..','.; (Voyez l’avant-dernier numéro).

i2. La relation demandée est

306 • sotCTibçts ' ■

Cette équation, mise sous la forme

montre qu’on doit avoir r>r'-{-e. La figure du miroir est donc celle d]un ménisque de divergence.

' (r — e'yr'

Cette question se trouve dans le Traité général de physique de M. Biot, t. IV, p. 194.

14; V Quand le miroir M est un ménisque de convergence ou de divergence , on a la relation

I r'-K/— l)g' __2 /(JN

Cette solution générée renferme les solutions des trois problèmes précédents. '

’ Pour le premier (n" 1 1), il faut poser dans l’équation ( 0 /^= 0 » et a'—x. '

Pour le second (n“ 12), 0=00 et fl' ==—. -

Pour le troisième (n“1 3), a=jo}.

2“ Quand le miroir est convexe et a la forme d’une lentille biconcave, l’image du point L est située derrière le miroir, d désignant la' distance de cette image virtuelle à la face antérieure , on trouve,

DÉS PaOBLÈStES b’OPTIQDK. 807

«oit directement, soit en modifiant Teipation (G)

— 1)«] /ûV— e[r* — — l)o’]

4 k ^ — }fT . / — * f~r

Pour que r soit positif, c’est-à-dire pour que la lentille soit biconvexe, il faut qu’on ait/’>2/’. Cetté condition étant remplie, il en 'résulte qu’on a />! • ce qui caractérise un milieu- plus réfi-ingent que l’air. .

2° l e^ la racine positive de l’équation

p. 2gy-f-à^ — Se^ J e „ ^

Ces trois procédés , qu’on vient d’indiquer pour les corps solides, seraient également applicables aux liquides que le'contact de l’air n’altère pas. Le liquide serait contenu dans un verre de montre, qu’on fixerait horizontalement et que frapperaient des rayons solaires réfléchis dans une direction verticale. On

808 " 8OLCTI0H3

sait (Tailleurs qu’il existe d’autres méthodes plus ■ .exactes pour déterminer les, indices de réfraction.

19. En admettant que l’épaisseur du vase soit très petite 'et uniforme dans toute son étendue , on peut faire abstraction des parois et supposer que la lumière passe immédiatement de l’eau dans l’air^ L’image du cercle lumineux est à peu près un cercle vertical , dont le rayon » est plus grand que A, et dont le centre L' est sur le diamètre horizontal CL. Les plans des deux cercles sont parallèles. Il y a deux cas principaux à examiner : • .

Si le point L est situé plus près de l’œil (pie le centre C, l’image se, forme pour l’observateur en deçà de l’objet, et l’on trouve pour la distance x de l’image L' au point C , '

Idr - . .

on a en même temps

Z Ir -■ - . ^ ■

H r-|-(/ — l)rf

2° Si le p>oint L est plus loin de l’œil que le centre C , l’image se produit au delà de l’objet ; il vient- .

, ^ Idr • . - Z * Ir

SES PfiOBLtHES s’OPTlQÜE.

expressions qu’on peut déduire des précédentes en changeant d en — d. La distance ( — x) serait plus

grande que r si l’on avait d> j "> ou d > -r, en faisant ^=3* Cependant il ne faut pas croire que

pourrf>|r l’image soit vue hors de l’eau. Car si

l’on considère comme point lumineux l’extrémité A du diamètre CL la plus éloignée de l’œil, ce qui. revient à poser d=r dans la valeur de ( — ar), on trouve que l’image du point A se forme à une distance de

C égale à quantité > <p’on a

d<r. L’image de L est donc en avant de celle du point A. L’explication de ces résultats est fort simple : Si l’on conçoit un cône qui ait l’œil pour sommet et qui enveloppe la sphère donnée, ^et si l’on se figure la courbe de contact de la sphère et du cône , le segment sphérique postérieui* à cette coui’be n’est visible qu’à cause de la transparence du segment antérieur, et se montre sous une forme agrandie et allongée. La sphéricité du vase étant altérée ainsi par la réfraction, l’image du cercle lumineux ne doit pas sortir de l’image du spgment dont il fait partie.

L’expérience vérifie toutes ces indications du calcul.

20. Le foyer F est [réel et situé sur le prolongement du diamètre parallèle aux rayons incidents. La plus courte distance du point F à la sphère est

21 . Le point L' est situé sur le diamètre qui passe par le point L, ou sur le prcdongement de ce diamètre. On a

relation d’où l’on tire

Dans ces deux équations p' est positif, lorsque le point L' est au delà de la sphère par rapport au point lumineux, ou autrement, lorsque l’image V est réelle.

Soit p=ço ’j si l’on nomme fia. valeur correspondante de p', il vient

ce qui est la solution du problème précédent.

22. La question se réduit évidemment à la construction de la caustique formée par l’émergence des rayons qui tombent dans le plan d’un grand cercle mené par le point L.

Soit P la longueur d’un rayon lumineux LI qui vient frapper un point I du cercle réfringent. Soit 2a la corde que le rayon incident LI suivrait en se prolongeant. Soit 2à la corde lE suivant laquelle se

DES PaOBLÈMES d’OFTIQDE. SU

dirige le rayon réfracté, E désignant le point d’émergence. Enfin soit/}' la distance de ce point E au point M qui lui correspond sur la caustique. On aura

^ 2p(^bl—a)-\-a{bl — 2 a) ‘

.Dans cette équation />' est positif quand le point M est au delà du cercle vu du point L ; p' deviendrait négatif s’il fallait porter la longueur EM sur le prolongement virtuel du rayon émergent. Pour une valeur connue de p, a et i sont déterminés par les relations ' .*

En remplaçant a et b par leurs valeurs dans l’équation (C), on en tire p'. La direction du rayon réfracté lE est facile à tracer lorsqu’on a calculé b. Quant à la direction du rayon émergent EM , elle se déduit fort simplement de l’égalité qui doit exister entre les angles d’émergence et d’incidence.

Pour avoir le point de rebroussement de la caustique, on fera dans l’équation (C) a=A=r; il viendra

on retombe ainsi sur la valeur dep' indiquée au numéro précédent, ce qu’on pouvait prévoir; car alors p' etp sont deux distances focales conjuguées.

8OL0T1OHS

n resterait à chercher la formé de la caustique,' et à considérer les cas particulieft les plus remarquables, par exemple ceux de a=0, de p'=oo , et de pzszco . Ce' dernier cas donne lieu’à ime modification dans l'énoncé du problème

25. Il suffit de, construire la caustique produite par l’émergence des rayons qui tombent dans un plan quelconque mené par l’axe de la lentille. ^ . Désignons par I le point d’incidence , par E le point d’émergence, et par M le point correspondant de la caustique. Nommons p la longueur LI , et p' la longueur EM. Soit 2o la corde que le rayon LI suivrait en se prolongeant dans le cercle dont le diamètre est 2rj soit 2i la corde du même cercle suivant laquelle se dirige le rayon'réfracté lE. Soit 2A' la corde suivant laquelle le même rayon se dirige dans le cercle dont le diamètre est 2r^; soit enfin 2a' la corde de ce dernier cercle suivant laquelle le rayon EM se prolongerait. On trouvera, en négligeant la longueur lE du rayon réfracté,

O* , 'a'* bl — a , h'I—a'

’ “I" — “ÎP~

p' est positif dans cette équation quand le point M est au delà de la lentille vue du point L; p' est négatif quand le point M est sur le prolongement du rayon émergent. ^ . *

On ■- décrira complètement les deux cercles dont les segmente forment par leur réunion le profil de la

DES PB06LÈMES d’OPTIQUE. 313

lentille. Ayant tracé un rayon LI , on déterminera les directions lE, EM, d’après les lois de la réfraction. Les prolongements des rayons LI, lE, EM, donneront • les cordes 2a, 2é, 2a' et 2é', qu’il faudra mesurer avec une règle bien divisée. Les valeurs numériques de a, i, a' et introduites dans l’équation (D), feront connaître />*. C’est ainsi qu’on obtiendra chaque point M de la courbe.

Pour le point de rebroussement, on a ÿ=a=7', ' i'=a'=r' ; l’équation (D) devient

relation ‘connue, qui lie les deux distances focales conjuguées p et p',

24. En partant des principes mathématiques de la théorie de l’arc-en-ciel on parvient à l’équation ’

27/'sin*a=(A— /")’.

Cette équation est du sixième degré en / ; mais on la ramène à une équation du troisième degré privée de second terme, si l’on pose '' * , • -

P=ar-j-4 — Qsin^a, et si l’on prend x pour inconnue (1 ).

(1) C’est M. Babinel qui m’a indiqué l’énoncé de ce problème.

sa 80LUT10H8 ,

' 38. Pour chaque lumière simple l’aberratiott lon- '' gitudinale de sphéricité est la distance du foyer , principal au point de rencontre de Taxe avec le rayon émergent extrême. Cette aberration est totale^ si la lentille est assez épaisse pour que les rayons incidents voisins de ses bords' ne puissent émerger. Il • est facile de construire géométriquement les aberra- , lions totales o et A pour les lumières rouge et violette. Quant à leurs,, valeurs algébriques', on obtiendra ■ r '

. .kï?=ï)‘

Si l’on remplace l par ^ , il vient

— mCl^l — m,

Il résulte de la forme de cette expression que a diminue en même temps que nt\ d’où il suit que l’aberration est moindre pour les rayons violets que pour les rouges. '

Lorsque la lentille est de crown-glass, a=1 ,5772r, et A=1 ,51 73r; par conséquent a — A=0,0599r. '

Si la lentille est assez mince pour laisser passer tous les rayons incidents, l’aberration longitudinale n’est que partielle. U suf&ra de calculer cette aberration a' pour les rayons rouges. On trouvera

DES PHOBLEMES D OPTIQUE.

A l’inspection de cette valeur on reconnaît 1“ qùe a' augmente en même temps que A, 2 qu’il faut avoir

-<iou=ypour que les rayons qui tombent sur les bords puissent émerger, a! atteint son maximum quand J 1 c’est-à-dire quand la moitié de l’arc

embrassé par la zone postérieure est égale a l’arc qui mesure l’angle limite. Dans ce cas

-'=Krâ-Ffcî)=“*

on retombe ainsi sur l’aberration totale <* , cpmme on devait s’y attendre.