CHAPITRE IL

EXEMPLES DE jPROBLÈMES DE PHYSIQUE RÉSOLUS ' PAR L’ARITHMÉTIQUE.

JO. Un morceau de buis {de France) pèse 57* dans V air. Ce corps flotte d^abord sur Veau pure à la température de 4“ (C) , et une très faible partie du solide dépasse le niveau. Les pores du buis étant perméables à Veau^ le buis au bout de quelque temps descend au fond du liquide. On saisit Vinstant oû cette chute commence pour retirer le corpsy on Vessuie,^ et on le pèse rapidement dans l’air. On trouve alors que son poids est devenu égal à 62®, 5.

Déterminer approximativement d'après ces données la densité de ce buis et son volume.

Au moment où le buis va descendre dans l’eau , le poids acquis par ce corps est à peine supérieur au poids d’un égal volume de liquide. Nous pouvons donc prendre 62®, 5 pour le poids de l’eau pure sous le même volume que notre morceau de buis. D’ailleurs la petite erreur que nous commettons ainsi en plus peut devenir nulle ou même changer de signe nendant la seconde pesée , qui est accompagnée .

(8 ' PE0BLànX8 KiSOLVS

d’une évaporation partielle de l’eaudont le corps s’est

imbibé, jr-r oii 0,912 est donc la densité du buis u2 f 5

comparée à celle de l’eau. Quant au volume deman- . dé, il est de 62“,5, puisqu’un gramme d’eau pure " occupe un centimètre cube à 4®.

11 . On a un iube cylindrique gradué , fermé par le haut , contenant de Voir sec dans sa partie supérieure et maintenu verticalement sur une large cuve pleine de mercure. La hauteur du sommet du tube au dessus du niveau du liquide de la cuve est . de 355 millimètres. Le mercure s’élève dans ce tube plus haut que dans la cuve de 191”"", et Ton trouve qu’il faut enfoncer le tube de 232“"* pour que le niveau du liquide y devienne le même que dans la cuve. On demande quelle est la hauteur du mercure dans le baromètre au moment de V expérience.

L’air contenu entre le sommet du tube et le mercure occupait d’abord 355”” — 191“” ou 164"". Quand le tube est abaissé de manière que les deux niveaux se confondent , le volume de l’air intérieur est réduit à 355””— 232”“ ou à 123””. 123 étant' les y de 1 64 , on voit que le volume du gaz est devenu les i de ce qu’il était d’abord. Par conséquent, d’après la loi de Mariette , la pression initiale que eet air supportait était les ^ de la pression finale, qui est évidemment égale à celle de l’atmosphère; or la pression initiale était égale à celle de l’atmosphère diminuée du poids de 191”” de mercure : donc ces ' . 4 91 >»m de mercure faisaient équilibre au quart df

PAK l’aK1THMÉTIQUE.‘

la pression atmosphérique ; d’où il spit que cette dernière pression est de 4 fois 191™“ ou de 7G4™“. Donc enfin la hauteur cherchée du baromètre est de 764““.

Des observations de ce genre pourraient remplacer au besoin l’inspection du baromètre. Mais il faudrait opérer, comme l’énoncé l’indique, sur une très large cuve à mercure, pour qu’il fût permis d’y négliger les variations de niveau. Si l’on n’avait à sa disposition qu’une cuve étroite, on y rendrait le niveau constant en la remplissant de mercure jusqu’aux bords ou jusqu’à une petite ouvertpre pratiquée latéralement.

12. Suivant Brisson{\^^ un pied cube d'air pèse 1 once Z gros 3 grains sous la pression de 2S pouces et à la température de 5 degrés octogésimaux.

jy après MM. Biot et ^rago , un litre d'air sec pèse 1*,2995 à 0“ sous 76'“.

Ces deux résultats sont-ils d'accord entre eux ? -,

Pour résoudre cette question il suffit de traduire les anciennes mesures en nouvelles , et de ramener la pesée de Brisson aux mêmes circonstances de pression et de température que la pesée de MM. Biot et Arago.

Un pied cube équivaut à 34', 277. 1 once 3 gros 3 grains reviennent à 42°,226. Ainsi 34', 277 d’air

(Ij Traité de physique , 8* édit. , t. Il, n» 898. ’ •

An . PROBtillES RÉSOLUS

pèseraient 42%226, et par conséquent 1‘ pèserait • ^^^oulS2319.

'' La pression était de 28 pouces ou de 75'”,796. '• Mais la colonne barométrique était à 5°(R) ou à -, 6“,25(C). Si le mercure avait été à 0°, la même pres- . sion aurait été mesurée par une colonne égale à

Actuellement si le litre d’air avait été soumis à une pression estimée par une colonne de mercure de 76'“ à 0®, son poids 1*,2319 eût été augmenté dans le rapport de 76 à 75,71 1 , par conséquent il -serait devenîi 1*,2366.

Ën6n si l’air eût été lui-même à 0“, le poids a: d’un litre de. ce gaz aurait été un peu plus grand’ sous une égale pression. Or, x est lié à 1%2366 par la proportion

d^où nous tirons ar=1’,2656. j

Ainsi, en partant de la loi de Mariette et des coelRcients donnés par Dulong et Petit, et par M. Gay- Lussac , pour les dilatations du mercure et .des gaz , nous déduisons du nombre obtenu par Brisson que 1' d’air pèserait 1‘,2656 à 0“ sous 76'™ 5 tandis que ' d’après MM. Biot et Arago ce volume d’air pèse 1®,2995 dans les mêmes circonstances.

Les deux résultats proposés ne sont donc pas tout à fait. d’accord.' Il est très probable que -l’erreur est du côté de Brisson , qui a dû arriver à un |M)ids trop

PAH L’AaiTHSIÉTIQOB. £ll

faible , parce qu’il a pesé l’air tel qu’il se trouve dans l’atmosphère, sans avoir soin de le dessécher préa- « lablement (l).

15. On fait vibrer transversalement une corde de fer dont la longueur est de 0"*,5825 , dont les deux extrémités sont fixes^ et qui est tendue par un poids de 1 4363 grammes. 3“,400 de la même corde pèseraient 5*, 385. Quel est le nombre n de vibrations simples que cette corde exécute par seconde?

Ce problème appartient à V arithmétique., quoiqu’on soit obligé pour le résoudre de s’appuyer sur une formule d? algèbre. On a seufement à traduire cette formule en nombres, ce qui n’exige que des opérations arithmétiques.

Soient l la longueur de la corde, p son poids, P le poids qui la tend , et g l’intensité de la pesanteur: on a la formule • -î

On sait qu’à Paris g ~ 9'",8088. D’ailleurs

(1) La comparaison des deux résultats aurait pu être pouss(je plus loin , si Brisson avait noté le degré de l’hygromètre à cheveu au moment de son expérience. Il se présente à ce sujet une question que nous nous contenterons d’énoncer : Quel aurait dû être P état hygrométrique de l’air' pesé par Brissoti, pour que son résultat fût parfaitement identique avec celui de MM. plot et /irago ?

42' PBOBLiMBS BiSOLOS ,

f='0",5826 ; P = 1 4363* ; p est fourni par la pro-‘ portion /

d’où l’on tire p = 0*,92258.

Si l’on substitue ccs nombres ày, /, P etp , on . trouve w = 5 1 2 (1 ).

44. Pourquoi la sixième corde d’une guitare vibre~t-ellè dans sa totalité quand on pince à la fois les deux premières cordes ?

Cette résonnance, que l’on constate avec l’ouïe ou par des chevrons de papier (n" 7, 8 et 9) , dérive de ce fait découvert par Tartini, que , si deux sons représentés par des nombres entiers premiers entre eux sont émis en même temps, il résulte de leur ensemble un troisième son exprimé par l’unité. Or les sons si^ et «i», rendus par la seconde corde et par la première peuvent être désignés par 3 et par 4,

' (1) La corde dont il s’agit s’emploie ordinairement dans le piano au milieu du clavier. Elle est désignée dans le commerce sous le nom de corde rfu n° 1. Le son qu’elle rend ici est l’u/ de la clef d’ut dans l’orchestre du diéàtre italien. C’est le son que M. de Prony appelle ton fixe (page 96 de l’Instruction sur le calcul des intervalles musicaux). I.e la du diapason italien, ou la que rend à vide l'une des cordes du violon , est élevé d’une sixte au dessus de l’ut «or* fixe.

Ce la répond donc à § de 512 ou à 853 vibrations simples par seconde. L’ut du violoncelle est à la double octave an dessous de \'ut son fixe, et par conséquent résulte de 128 vibrations simples par seconde. .

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PAR l’arithmétique. 48

c’est-à-dire que les nombres de vibrations synchrones qui les produisent sont entre eux comme 3 est •• à 4. Le son résultant figuré par 1 est évidemment à ’ la double octave au dessous du son 4 , et par conséquent se trouve à l’unisson du son mi propre à la sixième corde ; celle-ci doit donc être excitée par le son résultant mi et vibrer dans toute sa longueur.

On expliquerait de même poiu-quoi les deux sons simultanés /a^ et «iij font résonner la cinquième corde, qui donne un la. ^

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