PROBLEMES DE DYNAMIQUE. V

1. Un observateur placé à l’ouverture d’un puits a laissé tomber une pierre au fond , et a compté sur sa montre» secondes depuis le commencement de la chute jusqu’à l’instant où il a été averti de l’arrivée de la pierre par le bruit qu’elle a fait en bas. Comment peut— il déterminer par approximation la profondeur x du puits, en partant des lois de la chute des corps graves et de ce fait que le son parcourt dans l’air m mètres par seconde ? (m=340 environ).

2. Deux petites boules A et A', d’abord en repos, sont distan tes d’une quantité/» et placées sur la même verticale. On les abandonne successivement à l’action de la pesanteur. La boule A,qu i est la plus élevée, est déjà tombée d’une hauteur h lorsque A' commence à tomber. On demande les lieux « et a' où les deux boules se trouveront lorsque l’intervalle qui les sépare sera égal à d.

Exemple numérique : m= 1 35^*, ^=-1 5*’’, <fc=30P).

•Diçi’

1^2 , fKOBLÉHES

5. Un point A et une droite indéfinie BC étant • * donnés dans uq plan vertical, trouver la droite qu'un corps ^frave doit 'suivre pour arriver du point A à la droite BG dans le temps le plus court possible en passant par un plan incliné.

4. Dans l’expérience connue de l’ascension apparente d’un double cône homogène sur un plan incliné, quel est le mouvement réel du centre G de gravité du double cône? Quelle est la ligne que décrit ce point G? Quelle est aussi la condition nécessaire pour que le corps paraisse remonter le plan?

On sait que ce plan incliné est formé par deux ' règles métalliques réunies à charnière, qui s’élèvent au dessus de l’horizon à mesure qu’elles 's’écartent l’une de l’autre. On donne l’angle 2<j> de ces règles, l’angle 0 que fait avec l’horizon la bissectrice 'de l’angle 2ç, le rayon r de la base commune aux deux cônes et la hauteur a de chacun d’eux. *

d. D’un point A élevé d’une hauteur h au dessus de l’horizon partent en même temps deux corps graves, l’un qu’on abandonne à l’action seule de la pesanteur, l’autre auquel on imprime une vitesse initiale de n pieds par seconde et qu’on assujettit à graviter le long d’un plan incliné dtmt A est le sommet. Quelle doit être la longueur / de ce plan pour que les deux corps arrivent en même temps à terre?

< 'Exemple : A=r:240P‘ , n=90P‘ , ^r=:30P* , g désignant la vitesse acquise par un corps grave au bout de l" de chute libre..

DB DTKAMIQXIE. ’ 168

6. Peux. plans inclinés qui ont des longueurs / et /' sont adossés l’un à l’auti-e de manière qu’ils aient le même sommet Â. 4 est leur bauteur commune. Deux corps graves M et M' sont lancés en même temps des points les plus bas de ces plans avec des vitesses initiales v et v’ dirigées suivant leurs longueuj-s. Quelle est la relation qui doit lier v et v' pour que ces deux corps arrivent en même temps au sommet A?

Exemple :fc=/iOOP‘, /'=300>‘‘, ^=240**', r=150P‘, {g est la même notation qu’au numéro pré^

cèdent).

7. Un pendule simple étant arrivé à un point quelconque de l’arc qu’il décrit, quelle est la tension totale que le fil éprouve? Dans quelle position du

pendule cette tension est-elle un maximum ?

fl. Quel est le rapport de la durée d’une demi-os-^ cillation du pendule simple au temps qu’il emploierait à graviter le long de la corde de l’arc qu’il a décrit? Conclure du rapport qu’on aura trouvé qu’un petit arc est parcouru dans un temps plus court que sa corde.

9. Lorsqu’un homme se tient debout sur un cheval qui décrit rapidement une circonférence de cercle , il pose sés pieds sur la partie du dos du cheval la plus voisine du centre du manège, et penche son corps du côté de ce centre. Démontrer que cette position est la seule qui puisse assurer l’équilibre du cavalier. . •

Dlgitized

PKOILÈHeS '

fO. Une petite balle de plomb est dans un 'tube dont Taxe. fait avec Thorij^in un angle «a*, et qui tourne uniformément autour d'une verticale passant par l’extrémité inférieure A du tube. Quelle doit être la durée i d’une révolution entière ‘du système pour que la balle posée en un point donné M de l’axe dû tube J demeure en équilibre? On connaît la hauteur, h du point M au dessus de. l’horizontale menée par À.

'fl. Une très petite boule pesante est dans'un vase dont la -surface intérieure est celle à’un ellipsoïde de révolution. Ce vase tourne uniformément autour de son axe de figure, qui est supposé vertical et dont la longueur est 2a. On connaît l’autre axe 21 de l’ellipse génératrice, ainsi que le teqips t d’une révolution entière du vase. En quel point M de la surface tournante faut-il poser la boule pour qu’elle y demeure en.équilibre?

On prendra ])our inconnue la hauteur x du centre de l’ellipsoïde au dessus du parallèle que la boule doit décrire. On calculera aussi la pression p que la boule exerce au point M sur la surface qui la soutient. . ;

• 19 . On suppose que la Terre et Jupiter soient des sphères dont chacune est homogène ^et dont les volumes sont entre eux comme 1 est à 1470,2; que leurs masses soient entre elles comme 1 est à 331,56; et que chacune de ces planètes tourne uniformément autour de son axe, la première en 0^,997 et la se-:

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DE DTEAaïQDE. 166

conde en O*, 41 4. On connaît la valenr absolue du rayon terrestre r(f^=636G745"’).

1” Sachant que l’espace moyen parcouru par les corps graves à la surface de la Terre pendant la première seconde de leur chute est de 4™, 90, on de^ mande l’espace correspondant x parcouru à la surface de Jupiter (abstraction faite des mouvements de rotation des deux planèteé).

2®.Sachant que sur la Terre la longueur moyenne du pendule à secondes est de 0",994 , on demande la longueur y du même pendule à la surface de Jupiter. (Ici l’on néglige encore les mouvements de rotation.)

3“ Sachant que la force centrifuge à l’équateur ^ terrestre est de 0“,0339, on demande la force centrifuge * à l’équateur de Jupiter.

4“ Sachant que la densité de la Terre est 5,5, la ‘ densité de l’eau étant prise pour unité, on demande la densité dde Jupiter.

5° et 6® On demande enfin les poids « et r de la Terre et de Jupiter exprimés en kilogrammes.

13. Déterminer l’influence de la rotation diurne de la terre sur l’intensité et la direction de la pesan- teur en un point quelconque de la surflice de cette |danète.

On suppose que la terre soit une sphère homogène. On connaît l’intensité g que la pesanteur aurait sur tous les points de la surface du globe si le globe ne tournait pas autour de son axe. On sait aussi qu’à

l’équateur la force centrifugé de la pesanteur

166 problèmes' '

réelle g. On prendra pour inconnues l’intensité ÿ’ de la pesanteur apparente à une latitude /, et l’anj^le e du fil à plomb avec le rayon terrestre à la même -latitude.

'] Appliquer les formules trouvées au cas où /=:4S® 50' 14". (Cette latitude est celle de Paris.) ’ '

14. Quel serait le rapport x de la force centrifuge à la pesanteur, à la limite de l’atmosphèré, sur une verticale menée par un point de l’équateur ? On suppose qu’à la surface de la terre, sur la même verticale, la force centrifuge soi t^ de la pesanteui;, et que la hauteur de l’atmosphère soit 0,01 du rayon

terrestre. * . ; , ■ ‘ :

18. Des points A et A' (fig. 22) situés sur la même droite horizontale on lance au même instant deux points pesants M et M', suivant les droites AT, A'T', dirigées dans le même plan vertical. Au bout de quel temps i la distance d des points M et SI' sera-t-elle un miHimMm? Quelle est la condiliou nécessaire pour que les deux mobiles viennent à se rencontrer? En quel point C aurait lieu Cette rencontre ? . .

On connaît la distance AA' ou c des deux points de départ, les vitesses initiales a et a\ les angles de projection TAA' ou 0 et T'A'A ou 6’, et enfin l’intensité g de la pesanteur. On néglige la résistance de

16. Un vase cylindrique dont l’axe est vertical contient un liquide qui s’en écoule par deux petits

.■ BE BYHAHIQDB. , 167

orifices latéraux A et A' percés en mince paroi suivant la même arête. Pendant que ce double écoulement a lieu , on. maintient dans le vase un niveau constant, dont la hauteur est A au dessus de l’orifice A et II au dessus de l’orifice A'. Où est le poiift de rencontre des jets curvilignes qui -sortent par les deux orifices (1}?.

17, On a une série de billes homogènes, parfaitement élastiques, dont les masses sont en progression par quotient. Ces billes sont en contact sur un plan horizontal, et leurs centres sont en ligne droite. On fait d’abord choquer la dernière bille parla première avec une vitesse donnée; puis on produit le même effet en faisant passer le mouvement à travers toutes les billes de la série. On demande le rapport qui existe entre les vitesses que la dernière bille reçoit de la première par le choc immédiat et par le choc médiat.

18. Une bille parfaitement élastique, dont la vitesse et la direction sont connues, venant à choquer obliquement une autre bille de même nature, de masse double et en repos , quelles seront, après le

(1) Ce problème et deux ou trois autres du chapitre qui suit appartiennent à Vhydrodynam'tque. Il m’a fallu recourir à ces enclavements , parce que le petit nombre de problèmes élémentaires que peut fournir l’hydrodynamique ne m’a pas permis de consacrer à cette partie un chapitre spécial.