PB0BLÈME

large tube recourbé à quatre branches parallèles et graduées? -

10. Quelle est la densité x d’un liquide dans lequel l’aréomètre de Beaumé à échelle descendante s’affleure au degré ?

■ IV. B. Pour graduer cet aréomètre’ Béaumé lé faisait flotter successivement dans de l’eau pure à 10" (B) et daus un composé de 17 onces d’eau et de 3 de sel marin desséché. A 1 0" la densité \ -\-ct de ce composé est 1,1136, celle de l’eau étant prise pour unité: Beaumé marquait 0 et 1 5 aux points d’affleurement dans l’eau pure et dans cette eau salée; il divisait en 15 parties égales la distance comprise entre ces deux points, et prolongeait l’échelle jusqu’au bas de la tige, supposée cylindrique.

H. Quelle est la densité y d’un liquide dans lequel l’aréomètre de Beaumé à échelle ascendante s’affleure au degré? ...

N. B. Pour graduer cet aréomètre, Beaumé le faisait flotter successivement dans un composé de 9 . onces d’eau et de 1* de sel marin desséché, et dans l’eau pure. A 10° (R) la#ensité de ce composé, est 1,0855 , celle de' l’eau étant prise pour unité. Beaumé marquait 0 et 10'aux points d’affleurement dans cette eau salée et dans 'l’eau pure, il divisaiten 10 parties égales la distance comprise entre ces deux points , et prolongeait l’échelle jusqu’au haut delatige.. ^ . ■ • . '• '•

d’utdeostatique. 173

19 . Un flacon plein d’air sec soumis à la pression h de l’atmosphère pèse ; ce flacon rempli de chlore sec sous la pression A' pèse p'^ ; enfin le même flacon plein d’eau distillée pèse p**. On suppose que la densité de l’eau soit égale à m fois celle de l’air sec sous la pression moy.enné H. Cela posé, on demande quel est le rapport de la densité du chlore à celle de l’air sous une pression commune.

N. B. La température est censée ne pas varier dans les trois observations successives.’

Exemple numérique relatif à la température de la glace fondante : p=740 ; p':=742,37; p"~2020; »t=769; A=A’=:;H=76''".

43 . .Quelle est la condition algébrique qui doit être remplie poui* qu’une pompe aspirante commence à donner de l’eau dès la seconde levée du piston ?

l est la hauteur du corps de pompe, m est sa base; A est la hauteur du tuyau d’aspiration, n est sa base; /'.est la course du piston ; H ou 1 0™, 33 est la colonne d’eau qui fait équilibre à la pression atmosphérique.

14 . Un tube cylindrique de verre, bouché par en haut et percé par en bas , contient de l’air dans sa partie supérieure et de l’eau dans sa partie inférieure; l’air et l’eau y sont logés dans un rapport tel que le tube est presque aussi pesant qu’un égal volume d’eaù, et forme un ludion dont le point culminant dépasse à peine le niveau de l’eau dans une

174 PAOÜLÊMIiS

éprouvette. L’axe du tube flottant est vertical, et ft est la hauteur du volume d’air qu’il renferme, p étant la pression que l’atmosphère exerce sur la surface du liquide. Si par un choc on foi-ce le ludion de descendre, il ne s’airêlera qu’au fond du vase et il yrestera. On demande quelle est alors la hauteur X de l’air dans le tnbe, h désignant la hauteur actuelle du niveau au dessus du sommet de ce tube.

Si l’on vient eni»«ite à diminuer pendant quelques instants la pression extérieure y d’une quantité p', quelle doit être au moins cette diminution momentanée p' pour que le ludion remonte vers le niveau du liquide et y reprenne sa position primitive?

15. On place sous le récipient d’une machine pneumatique deux éprouvettes à pied qui contiennent de l’eau. Ce liquide s’élève dans les deux vases à des hauteui’S inégales, et la communication est établie entre eux par un siphon dont chaque extrémité, échancrée latéralement , s’appuie sur le fon4 de l’un de ces vases. On suppose que le niveau du liquide dans chaque branche soit d’abord le même que dans le vase où elle est plongée. Cela posé’, on fait le vide sous le récipient, puis on y laisse rentrer l’air. Que se passera-t-il successivement dans le siphon et dans les éprouvettes ?

. 16. On a un siphon , qui se tiwveamorcé, quoique

la partie* supérieure de sa branche descendante renferme de l’air. La partie infériem-e de cette branche est terminée par une ouvertuie étroite 0, et elle ^

* Digilizcd yy C^oogli

d’hydrostatique. 176'

contient une colonne liquide qui s’allonge de plus en plus, mais d’une petite quantité, pendant la durée de l’écoulement. Cette colonne est alimentée par une couche d’eau qui vient sans cesse du vase, et qui se glisse le long des parois à côté de l’air intérieur. Expliquer le jeu de ce siphon, et l’équilibre qui aura lieu quand l’écoulement s’arrêtera.

. 17. On a un tube cylindrique ÂBCD ,(iig. 32) ouvert par les deux bouts, deux fois recourbé, dont les parties extrêmes AB, CD, sont verticales et inégales, et dont la partie intermédiaire BC est horizontale. Les extrémités A et D plongent de quelques millimètres dans des masses d’eau que renferment deux vases M et N et dont les niveaux sont à des hauteurs différentes. On suppose que la Branche CD soit d’abord pleine d’eau et lé reste du siphon plein d’air, et l’on demande la relation qui doit exister entre les longueurs des pajties AB, BC et CD du sijjhon, |X»m’ que le liquide renfermédans CD, en s’écoulant librement dans le vase N, amorce le siphon et par suite fasse écouler le liquide du vase M dans le vase N.

' Examiner aussi le cas où les trois branches AB, BC, CD, ont des diamètres diflerents.

18. Soit un vase cylindrique d’une hauteur A, fermé par ses deux extrémités et rempli d’eau jusqu’à la hauteur h — r. L’espace compris entre le niveau du liquide et la base supérieure est occupé par de l’air dont la force élastique p est , d’abord la même quecelle de l’air extérieiu-,. La branche la plus courte

17Q .phobxàkes 'ÿ

tl\in siphon plein d'eau est plongée^ dans le vase jusqu'au fond,' et la plus longue s'abaisse au dessous de ce fond d’une hauteur d. L’eau commençant à 5 ’éçouler par le siphon lorsque sa hauteur est h—r^ on demande quelle sera la distancer: du haut du vase au niveau dû liquide lorsque l’écoulement s’arrèteta.

"Premier exemple : p=32‘’‘.j A=4’’‘j r=lP‘,75; '«fc=2P‘. . -■ • ■' ; ^

''Seco-nd exemple : p=32‘’‘5 j

‘Indiquer aussi la condition générale qui doit être rempliè |H)ur que le vase se vide complétément (1 ).

19. On a un flacon plein d’eau , fermé par en haut et percé latéralement de deux petits orifices M et N, qui sônt d’abord fermés. Que se passera-t-il, 1 ® si l’on débouclie dans l’air M ou N, 2° si l’on débouche dans l’air M et N à la fois? . ‘ , - .

’ 20. Pendant qu’un liquide s’écoule uniformément d’un flacon de Mariotte^ on débouche tout à coup ' un petit orifice latéral compris entre le niveau du

(!') Voici encore un problème fort simple auquel le siphon donne lieu: '

Un siphon esl-il toujours amorcé lorsqu’il a été rempli d’avance d’un liquide moins dense, que celui qu’il s’agit de transvaser? Si la réponse est négative, quelle est alors la condition ÿamoreementf

On trouvera d’autres questions sur .le même sujet dans une Notice sur le siphon publiée par M. .Çollardeau. ^ ^

d’hydrostatique.

liquide dans le vase et le plan horizontal qui limite inférieurement le tube' à air. Que se passe -t- il ^alors? La nature ou la vitesse de l’écoulement se trouve-t-elle modifiée ? Où se fixe le niveau du liquide dans le tube?

21, Tandis que de l’eau s’écoule par un petit orifice d’une cuve ouverte par en haut , mais dont on ne peut voir l’intérieur , on voudrait calculer l’abaissement progressif de niveau dans la cuve par l’inspection d’un tube à trois branches parallèles (tel que celui de la fig. 5). Ce tube est cylindrique et» ouvert par les deux bouts-, ses trois branches A, B, C, sonfvei'ticales ; l’une des branches extrêmes , savoir A, plonge dans l’eau de la cuve, et les deux autres, B et C , extérieures à la cuve, forment un siphon manométrique en partie rempli d’eau; la branche extrcmç C est graduée.

Avant l’écoulement la colonne d’eau est plus haute de n'” en C qu’en B- 1”' est la hauteur de la portion du tube B qui s’élève au dessus du niveau de l’eau en B. est la hauteur du sommet du tube A au dessus du niveau dans la cuve.

Au moment de l’observation la différence de niveau entre C et B est réduite à r™; .r'“ est la distance inconnue du niveau primitif dans la cuve au niveau actuel.

La colonne d’eau qui mesure la pression atmosphérique est égale a p'”. (On sait que 1033 est à peu près la valeur moyenne de p.)

raOBLÊBIES

SS. Si la densité de l'air atmosphérique était constante jusqu’à une petite hauteur, de combien de mètres faudrait-il s’élever au dessus du niveau de la, mer pour que la colonne barométrique diminuât d’un millimètre?

On admet que la densité de l’air est à celle du mercure comme est à 13,6.

S3. On a un baromètre à siphon dont la chambre contient de l’air sec raréfié, et où la différence de niveau du mercure dans les deux branches est h. Après avoir enlevé du mercure de la branche ouverte, ' de manière à augmenter la capacité de la chambre dans le rapport connu de »» à 1 , On observe que la différence de niveau est devenue h'. Comment peuton , d’après ces données , mesurer la pression p de l’atmosphère ?

Exemple : »«s=:2, A=459““, A'=607““.

24. On a un baromètre à siphon exactement ca» libré, gradué en pouces et à branches verticales. La branche fermée est d’une hauteur h, cette hauteur étant comptée à partir du |dan horizontal qui, sous la.pression p de l’atmosphère, répond au niveau du mercure dans la branche ouverte. On fait passer dans la chambre barométrique une quantité de gaz sec qui sous la pression actueUe ÿ de l’atmosphère occuperait n divisions du tube. Quelle sera la différence X de niveau du mercure d'ans les deux bran-

d’hydeoStAtique.

ches, quand la déprfession de ce liquide aura' donné lieu à un nouvel équilibre ? ^

Premier exemple : p'—p=QB ; A=32,5 ;* n=2. •

Second exemple : /?'=p=28 ; A=30 ; w=:24,375.

53. On a un tube cjlindriquè étroit, qradué, fertné par le bas, ouvert par le haut, et d’une hauteur h. Au fond de ce tube est une colonne d’air sec qui, sous la pressions de l’atmosphère, occuperait n divisions du tube, et au dessus dç cet air est une colonne de mercure qui remplit le reste du tube. Ce tube étant porté et maintenu verticalement sous un récipient où l’on fait le vide, l’air intérieur se dilate et chasse une portion du mercure qui pesait sur lui. On demande le nombre x de divisions qu’occupera cet air raréfié, quand on aura obtenu un vide parfait.

Exemple : p=28P"; «=0J”,5; 4=1 5^®.

26. Un tube cylindrique, fermé par le haut et contenant de l’air sec dans sa pai-tie supérieure, est maintenu verticaleinent sur une large cuve pleine de mercure. La hauteur du sommet du tube au dessus du niveau du liquide est de 35 centimètres., Le mercure m’élève dans ce tube plus haut (ou plus bas), que dans la cuve de 1 9'“. Quel est le nombre x ( ou y) de centimètres dont il faut enfoncer (ou soulever) ce tube pour que le niveau du liquide y devienne le même que dans la cuve ?

N. B. Au moment de l’expérience la colonne-barométrique est de 76'".

180' PROBLixBS

27. Un tube cylindrique fermé par le haut, gradué en centimètres et rempli en partie d’air sec,, est maintenu verticalement sur une cuve pleine de mercure dans lequel plonge son extrémité ouverte, et le niveau du liquide est le même dans le tube que dans le réservoir. Si l’on vient à sovdever le tube d’une hauteur a au dessus du niveau primitif, qui est supposé constant dans la cuve , à quelle hauteur x le mercure montera-t-il dans le tube? On connaît la hauteur initiale h du sommet du tube et la pression f de l’atmosphèilB.

Exemple : a=z24'”;

Modifier la solution dans le cas où en soulevant le tube on ferait varier sensiblement le niveau du mercure de la cuve.

28. Un réservoir cylindrique fermé, dont le fond communique avec un tube vertical ouvert par le haut, contient de l’air sec dans sa partie supérieure. La partie inférieure de l’appareil renferme du mei^ cure , dont la hauteur est d’abord la même dans le résen oir et dans le tube latéral. Si l’on injecte de l’air sec dans le réser\'oir avec une pompe foulante , et que l’excès de la hauteur du mercure dans le tube sur sa hauteur dans le réser\’oir devienne égal à n fois la colonne barométrique p, quel sera le rapport X de la masse d’air introduite dans le vase à la masse primitive?

On connaît la base b du cylindre, la base c du tube, et la hauteur initiale a de la colonne d’air dans le réservoir.

. d’hYdhostatiotte. 181

29. La petite éprouvette («»pAo« rnano métrique)' d’une machine de compression étant exactement calibrée et graduée ‘en poüces , on suppose qu’avant la condensation de l’air le mercure soit de niveau dans les deux branches , que l’air de la branche fermée J occupe n pouces, et que p soit la hauteur du baromètre, Après qu’on a fait jouer les pistons, quelle doit être la différence h entre les hauteurs des deux colonnes de mercure dans le siphon, pour que la masse de l’air condensé sous le récipient soit devenue égale à m fois sa masse primitive?

Exemple •• «=4^; »i=8,25.

30. On a une machine pneumatique et une machine de compression dont les récipients ont des capacités a et a', et dont les corps de pompe ont des capacités b et b'. On suppose que les deux récipients puissent communiquer entre eux par un tube très étroit muni d’un robinet. Le robinet étant fermé, et l’air ayant d’abord dans chacun des deux récipients une élasticité égale à la pression de l’atmosphère, on raréfie l’air dans l’un par n coups de piston , et on le condense dans l’autre par «' coups ; puis on établit la comiHunication entre les deux récipients. Quelle sera l’élasticité x de l’air dans le système des deux cloches, quand l’équilibre y sera rétabli?

Examiner en particulier la condition nécessaire pour qu’on ait x=p.

51 . Soit une machine pneumatique dont le récipient ait une capacité a et dont les deux corps de jMjmpe aient des capacités différentes b et bf. Suivant

. quelle loi jd’air^n-i'écipienl

si le nomJire^des cUBps/de’ piston augmentait en progrçsÿiùn à'i^hmétique?*''^^*'

QueHe'‘cst aussi ïrf loi suivant laquelle Taii’ serak -condensé par Une machine de compression à deux corps de pompe inégaux? ^ . *

32. On a un ballon A de v litres , fermé par un robinet et rempli exactement par de l’eau ‘qui tient en dissolution un poids p connu d’un certain gaz, et l’on sait que, si la surface supérieure de l’eau était pressée par une atmosphère de même gaz, ce liquide en dissoudrait un poids tel que la densité du gaz dissous serait égale à*»i fois la densité du gaz libre. On met le ballon eu communication avec un récipient vide B , dont la capacité est de n litres. Ou demande quel est le poids x de gaz qui doit s’échapper du liquide et se répandre dans B*

53. Dans un tuhe conique, ouvert par les deux bouts et dont l’axtfest horizontal, une petite colonne liquide qui mouille les parois intérieures du tube se porte, comme on sait , vers le sommet du cône. Démontrer que dans ce mouvement<la force accélératrice qui le produit augmente de plus en plus.

^ 54. Quel est l’angle $ que l’axe d’un cube conique de verre ouvert par les deux bouts doit former avec l’horizon pour qu’une petite colonne d’eau demeure en équilibre dans ce tube, le milieu de l’axe de cette colonne étant à une distance a du sommet du cône? On donne la longueur 2b de l’axe de la colonne

1>’hTDK08TA.TIQüE. 188

quide , et la hauteur h à laquelle l’eau, s’élèverait au dessus de son niveau hydrostatique dans un tube cylindrique de verre dont le diamètre intérieur se-; rait égal à celui de la colonne en son milieu.

55. Les données sont les mêmes qu au numéro précédent^ si ce n’est que l’axe, du tiibe est horizontal , et qu’on ferme l’extrémite G la plus étroite de ce tube. Pour que la colonne d’eau soit maintenue en équilibré par l’élasticité de l’air compris entre le liquide et l’extrémité G du tube, quel doit être l’excès de cette élasticité sur la pression atmosphériqiæ? (On prendra pour inconnue la hauteur x de la co;^ îonne d’eau qui taesurerîiit cet excès d’élasticité. ) .

56. Un prisme splide rectangulaire très étroit, dont I est la largeur, h la hauteur et a la longueur, est placé sju- un liquide de manière, que son gi-and côté a soit horizontal , et il déprime le liquide autour de lui. Soit y la dépression moyenne de ce liquide au dessous du niveau ambiatnt dans un tube cylindrique de même matière que le prisme et dont le rayon intérieur settitt l. Soit »D la densité du prisme, celle du liquide étant, D. Galculer la profondeur X dont le prisme s’abaisse au dessous du niveau. Déduire de la valeur de x la condition nécessaire pour que le prisme ne plonge pas en entier dans le liquide , • quoique le solide soit plüs dense que le liquide.

raoBLÈMES