On trouve — y, expression que l’on

peut construire en décrivknt le cercle dont le diamètre est h ,'et en retranchant le rayon du côté du triangle équilatéral inscrit. On remarquera que la valeur de x est indépendante de la hâuteür du rectangle. . *

11. Il faut d’abord que l’intersection des deux plans soit, horizontale, et que les centres G et G' soient dans un plan B AB' perpendiculaire à cette intersection. En secondlieu, si dans ceplan BAB’oii mène des parallèles aux longueurs AB, ÀB', des deux plans, à des distances r et V de ces longueurs, les points G et G' doivent être situés respectivemént sur

(1) Celte conclusion paraîtra peut-être encore plus évidente si l’on pose d’abord rcos0z=xeirsin6c=y, c’est-à-dire si l’on transforme les coordonnées polaires en coordonnées rectaogulaires , ce qui donne ' ,

{x~ay ■ y\ 4.

SSÿ 6O1.1JTI0KS

ces deux parallèlesl On sait enfin que CC'=^-j-r'; Ainsi pour ramener la question à u» problème très simple de géométrie il suffit de connaître l’angle que la ligne CC' fait dvec AB ou AB' dans L’état d’équilibre. Soit X l’angle de CG' avec AB, on trouvera

»' sihO'— » sin9 cos(’e+6'l

langx= r ,

Si les deux sphères étaient de même nature, on pourrait remplacer^, par • ,

Si les deux plans inclinés étanent perpendiciilaires entre eux , il viendrait ‘

tangx=^cot0.

Voyez d’ailleurs dans V Encyclopédie méthodique les Amuaementa dea aciencea ^ p. 676. On y traite spécialement le cas où l’angle des deux plans est droit.

12. Il faut évidemment que la tige AB (qu’on suppose réduite à son axe) soit dans le plan d’un grand cercle vertical. Cette condition étant remplie, l’équation d’équilibre est

‘ x\2ai^—r^)=,\l—x)\ . . . (E)',

ou * * ■ * • •

DES, P&OBEiHES DÉ SIUlTIQDB. ' $3^7

Soit l=z^r; on trouve , après les transformations

connues, x=-r. Quant aux trois autres racines de l’équatio», l’une est égale à — 1 ,33975 r , et les deux autres sont imaginaires. -risst. donc la seule valeur

de X qui résolve le problètqe. On en déduit »=45* 35' 4», 9.. ' *

•Il résulte de l’équation (E) qu’on doit toujours avoir 2r>H^2, c’est-à-dire que la partie intérieure de la tige doit êtrte plus grande que le côté du carré inscrit. En effet il èst aisé de constater directement que dans le cas contraire l’équilibre ne pourrait avoir lieu. Il suit de là que v doit être plus grand que 45°.

Nous engageons le lecteur à discuter l’équation

(E). Voici les cas les plus int^essants ; 1° 9/-— •

J 5. On trouve R= v ■ = .

Kl— «^siu^e

Il est évident qu’il faut, encore pour l’équilibre que les forces R et P tendent à faire toumei* le cylindre en sens contraire.

Si l’on avait e=0, auquel cas l’ellipse deviendrait un cercle, il en résulterait R=P , ce qu’il est facile de prouver directement.

14. Soit X la distance inconnue BM ; on obtient par des considérations d’algèbre élémentaire

2^ * SOLUTIONS de) PROBLilIES DE STATIQUE.*

Pour côns traire cette valeur il suffit de joindre H et B , et de'mener,par le point H une perpendiculaire à la droite BH. Le point M où cette perpendiculaire

rencontre AB est le point demandé. est la

longueur que doit avoir la corde MH. L’éffort minimum % épale — ; on a donc * : p : : CB : BH.

' 15. Soit a la distance AC des deux droites ^ soit CM=x ; on trouve . Si Ton pretid pour u-

. K wi

nhé de force l’attraction à l’unité de distance, le maximum de l’attraction décomposée suivaht AB est égal à

Si l’on fait »»=2, ce problème devient applicable à Ja théorie de l’aimantation. Voyez le Traité de d’Haüy, 3° édit., t. II, p. 89.

On peut déterminer le point M et le maximum correspondant, soit parle calcul diffiérentièl, soit par k considération du contact des courbes. Voyez dans le tome XXIP des Annales de mathémxHiques publiées par M. Gergonne un Mémoire où j’ai donné des développements nouveaux sur les procédés élémentaires qui peuvent servir d déterminer les valeurs maximums et minimums des fonctions algébriques.

SOLUTIONS DBS BROfeLÈnES DE DTNAHIQUEf 339