I -f- a (4^— 100) -f- etc r ' n»-(4^— ioo
1 I - (hn)D.e V* I
dans laquelle, d'après (55), la variable x de la feculté, qui y reçoit l'accroissement et « , doit avoir la valeur fondamentale ... ( 64 )
Il ne reste donc à déterminer, dans cette expression (63), que les trois constantes principales (An), «-, », et les deux coefficiens accessoires ^ et a^ car ces deux coefficiens suffiront ici complètement. — Pour le faire, on peut supposer d'abord ^^ = o et a =: o, et déterminer les trois constantes (A/i), «*, «* , par trois expériences, prises, deux pour les valeurs extrêmes de ^^ qui sont connues, et la troisième pour une valeur moyenne de ^, proche de ^ = 100. On déterminera ensuite, avec ces valeurs principales de (An), «*, », les deux coefficiens ^ et a par deux expériences intermédiaires; et avec les valeurs ainsi déterminées de ces coefficiens A et a, on pourra obtenir une deuxième détermination plus exacte des constantes principales (An), v , «. Et ainsi de suite, on pourra amener ces déterminations progressives à tel degré d'exactitude que Ton voudra. — Il est sans doute superflu d'ajouter ici que la présente loi (63), étant ainsi déterminée numériquement, servira ensuite, non seulement entre les limites connues et employées des valeurs de ^, comme les formules empiriques d^nterpolation, mais généralement et au delà de ces limites, aussi loin que l'on voudra considérer cette températtfre 4", positivement ou négativement. Ainsi, en prenant pour donnée de la valeur positive et extrême de 4^9 le terme où les expériences respectives du professeur Arzberger, à Vienne, et de MM. Arago et Dulong, à Paris, sont encore d'accord, la loi (63) fera ensuite connaître lesquelles de ces expériences, à Vienne ou à Paris, se sont écartées de la vérité au delà de ce terme commun.
Nous laissons aux sa vans de faire ces calculs numériques, avant que nous puissions les produire dans nos brevets. — Malheureusement, les géomètres ne connaissent guère le nouvel algorithme général des fecultés des fonctions, qui entre dans la construction de la loi (63), et dont il faudrait bien connaître la théorie pour pouvoir exécuter les calculs que nous venons d'indiquer. Cependant, cette théorie tout entière, du moins dans ses principes fondamentaux, a été donnée par nous, à la suite de notre Béfutatkm de Lagrange, de manière à faire pressentir aux savans l'immense ou plutôt l'infinie fécondité de cet algo-
ritbme des facultés des fonctions. Bien plus, dans notre Critique de Laplace, pour montrer le peu de portée qu'ont quelques intégrations connues des équations , nous avons donné , par le moyen de cet algorithme des facultés générales, l'intégration des équations aux différences du second ordre et à coefticiens variables^ et nous y avons laissé entrevoir que l'intégration générale des équations d'un ordre quelconque dépend essentiellement de ce même algorithme des facultés des fonctions {*), — Déjà en 1810, lorsque nous présentâmes à l'Institut de France la loi universelle des mathématiques, les commissaires de ce corps savant, MM. Lagrange et Lacroix, remarquèrent avec distiction, dans leur rapport, ce nouvel algorithme des facultés générales; mais, il paratt qu'ils n'ei^ comprirent nullement la portée infinie, à en juger par leur crainte de ce qae la loi fondamentele de cet algorithme ne forme pas toujours une série convergente; comme si le binôme de Newton et toutes les autres lois fondamentales de l'algorithmie ne se trouvaient pas exactement dans le même cas. Nous pouvons maintenant apprendre à Messieurs les géomètres de l'Institut qu'il n^eyiste plus de séries divergentes dans la science; car, par l'application des lois îtechr niques que nous avons données à nos nouvelles fractions continues, toute série divergente peut et doit être transformée en génération neutre des quantités {Foyez la fin de la 2* section de la Philosophie de la Technie).
En terminant ici l'exposé des deux lois fondamentales (54) et (59) de la chaleur propre des substances matérielles, nous devons, pour décider une question très grave dans les machines à vapeur, dévoiler aux savans ce qu'ils nomment chaleur latente et qui, en toute réalité, est encore, à leurs yeux, une véritable qualité occulte de la matière, bien plus occulte que ne l'étaient celles de l'alchimie et de la physique du moyen âge. — Pour cela, nous devons les prévenir que, dans la solution philosophique de la grande question de la construction intime de la matière , il faut suivre une voie tout à fait contraire à celle qu'ils ont suivie jusqu'à ce jour. Ainsi, au lieu de partir de la supposition gratuite, et même un peu risible, d^atomes ou de molécules solides de la matière, pour pouvoir expliquer avec ces atomes, diversement taillés, tous les autres états de la matière, c^est
(*) A propos de celte intégration des équations du second ordre k coefficiens quelconques , nous pouvons alléguer ici une preuve récente de ce que les géomètres, du moins certains géomètres académiciens, ne connaissent pas le nouvel algorithme des facultés des fonctions, dont il s*agit. — En effet, on vient de soulever, dans Flnstitut de France, une discussion, passablement scandaleuse, sur la rotation des corps dans des cas très limités et tout à fait insignifians; et dans cette discussion, le principal disputeur, M. Poisson, croit avoir triomphé en parvenant k une intégration de quelques équations mutilées du second ordre à coefficiens variables, sans se douter qu'une telle intégration, même dans le cas général où les conditions favorables à ce calcul n*aiu'aient pas lieu, cas qu*il a soigneusement évité, n*est plus aujourd'hui qu*un travail d'ouvrier, en partant de l'intégration générale des équations aux différences du second ordre par Talgorithme des facultés, intégration que nous venons de citer et qui implique, non seulement l'intégration pareille des équations différentielles, mais de plus toutes les conditions des cas où ces int^rations peuvent être données sous des formes finies.
au contraire à Texplication philosophique de ces molécules solides , ou généralement de Tétat de solidité, que doit aboutir cette grande question; car, ce quil y a de plus difficile à concevoir , sous le point de vue de la construction mécanique de la matière, c'est précisément son état de solidité. Le point de départ dans cette difficile question philosophique est donc l'état de garéité de la matière; et en effet, comme nous le découvrons dans notre Philosophie de la Physique y l'équilibre mécanique d'un petit nombre de forces élémentaires , fondé sur la présente relation tellurique (53) des élémens n, ^, D de la matière, suffit pour expliquer complétefment toutes les circonstances de Fétat gazeux ou aériforme de la matière. Nous avons déjà fait remarquer plus haul^ue ce n'est pas, dans la présente Introduction, le li^ de produire ces résultats philosophiques. Mais, pour en venir à la susdite question de la chaleur latente, qu'il nous importe ici de décider, nous ajouterons à ce que nous venons de dire, que, pour passer de l'état de gazéité à l'état de liquidité de la matière, une nouvelle force élémentaire, déjà supérieure aux précédentes, devient nécessaire; et de plus, que, pour passer définitivement de l'état de liquidité à l'état de solidité de la matière, une dernière force élémentaire, bien supérieure encore, et en quelque sorte intelligente déjà,' devient indispensable. Nous nommerons, la première, force de COHÉSION, et la dernière, force d'adhésion, pour attacher enfin un sens précis à ces mots qui, strictement parlant, demeurent indéterminés dans l'état actuel de la science. Et nous dirons de plus, pour le but que nous nous proposons, que la force de cohésion, qui est le principe de la liquidité, agit encore, comme la force expansive des gaz, dans toutes les directions de Tespace, et que la force d^adhé8ioD,qui est le principe de la solidité, n'agit plu$ que dans un petit nombre de directions déterminées, qui constituent ainsi les axes de cristallisation, seuls propres à rendre possible , par une construction mécanique des forces , l'état de solidité dans la matière. — On conclura immédiatement que, par suite de son action illimitée dans toutes les directions de l'espace, la force de cohésion augmente uniformément la densité de la matière, et que, par suite de son action limitée à certaines directions, la force d'adhésion ne peut augmenter la densité que dans ces directions , et cela même aux dépens de la densité dans les autres directions, si cela est nécessaire par la disposition spéciale de ces axes de cristallisation. II en résulte que la force de cohésion augmente réellement la densité de la masse entière de la matière, et que la force d'adhésion, qui peut augmenter le volume de la matière et diminuer ainsi sa densité apparente, doit néanmoins augmenter virtuellement la densité primitive et totale du liquide , en concevant cette force ' d'adhésion comme répartie dans toutes les directions et comme agissant alors conjointement avec la force de cohésion. — Ainsi, conformément à notre loi normale (54) ou (57) de la chaleur propre, cette augmentation de la densité de la matière, qui a lieu réellement, dans son passage de l'état de gazéité à celui de liquidité, er virtuellement, dans son passage ultérieur et définitif de l'état de liquidité à celui de solidité, produit un développement pro-
gressif de la chaleur propre dans ces états successifs de la matière , et par conséquent une augmentation correspondante de sa température extérieure. Bien plus, il est manifeste que cette augmentation de chaleur ou de température dans le passage aux susdits états progressifs de la matière , se trouve complètement déterminée par la loi normale (54) ou (57). En effet, si Ton dénote par y la fonction réciproque de l'expression (Sy) de cette loi y on aura, pour la yariation
(4^ — ♦) des températures 9 correspondant au rapport (-1-) des densités, l'expression ... (64)'
de sorte que si, d'abord, l désigne la densité du gaz et ( celle du liquide» la quantité ( ^ -— ^ ) sera la variation de la température propre dans ce premier passage, et si, ensuite, ^ désigne la densité du liquide et ( la susdite densité virtuelle du solide, la quantité (4" — ^) sera la variation propre de la température dans ce dernier passage.
C'est là manifestement le phénomène connu sous le nom de chaleur latente ; et les savans comprendront maintenant que ce nom trahit une parfaite ignorance de la cause de ce phénomène, puisqu'il indique précisément le contraire de ce qui a lieu en réalité. — Mais , ce qu'il nous importe , pour nos maclûnes à vapeur , de connaître essentiellement de ce phénomène , c'est que la quantité de chaieur, nécessaire pour transformer un liquide en vapeur, est d'autant plus petite que la température à laquelle s'opère cette transformation , est plus grande. En effet, si l'on désigne toujours par { la densité de la vapeur obtenue ainsi à la température 4" de l'ébullition du liquide , la combinaison des deux lois (2) et ($9) donnera, pour cette densité, l'expression ... (65)
(^hnyD,i
où l'on voit que cette densité { sera d'autant plus grande que la température 4^ sera elle-même plus grande ; et alors ; en vertu de la loi normale (54) ou [Sf) , si l'on y considère la densité ^ comme étant celle du liquide , et la densité ( comme étant la présente densité { de la vapeur, la différenoe (^^^4^) des températures propres correspondantes à ces densités , différence qui forme la prétendue chaleur latente , c'est-à-dire la chaleur perdue , sera d'autant plus petite que cette densité f et par conséquent la température 4^ augmenteront davantage, au point que si l'on concevait idéalement une température 4^ telle que la densité correspondante ( de la vapeur fût égale à celle du liquida lui* même , il n'existerait plus aucune perte quelconque de chaleur.
A VAPEDR. 43
Nous devons rappeler ici les opinions erronées des savans sur cette ques* tion , si importante pour les machines à vapeur , surtout Topinion de Southern qui suppose que , pour toute température 4" de Tëbullition de Teau , et par conséquent pour toute densité { de la vapeur qui en résulte , il existe toujours une perte constante environ de 55o degrés de température. Et nous devons leur faire remarquer que, lorsqu'ils connaîtront les valeurs numériques des trois constantes principales (An^, «-, », dans la loi (63) de la force élastique de la vapeur d'eau, ils pourront, par le moyen de la loi normale (67), ou par sa fonction réciproque (64)* 9 calculer la prétendue chaleur latente, proprement la chaleur perdue (^. — '4')j qui correspond à un rapport quelconque de la densité f de Teau en ébullition et de la densité { de la vapeur qui en provient.
Ayant ainsi dévoilé le phénomène de la transformation des liquides en vapeurs , nous devons faire remarquer , dans ce phénomène , un cas singulier où cette transformation se trouve tout à coup arrêtée, ou du moins retardée tellement qu'il peut en résulter une rupture de l'appareil dans lequel s'opère cette ébullition du liquide; et c'est là manifestement le cas priucipal de I'explosion des bouilloires ou chaudières dans les machines à vapeur. — Pour cela, observons que toute particule du liquide , pour devenir vapeur , absorbe , dans sa masse m, la susdite différence (f — 4") de température, constituant la chaleur perdue ou soi-disant latente ; et par conséquent , que toutes les autres particules du liquide fourni^isent cette chaleur perdue, mais indispensable à la vaporisation de la particule m. Et observons de plus que c'est la particule la plus chaude qui se trouve ainsi la plus apte à cette vaporisation ; de sorte que si l'on désigne par M la masse entière du liquide , par c sa capacité calorique , par c' celle de la vapeur qui en provient, en supposant ici que ces capacités soient différentes, et par 9 Taugmentation de température que reçoit la masse entière M du liquide dans une seconde de temps , nous aurons , pour la détermination de la masse m de la particule liquide qui se vaporise dans le temps t, l'expression ... ( 66 )
Or, dans le cas où, par des circonstances quelconques, principalement par une haute et subite élévation de la température, la masse entière M du liquide se trouverait partout également échauffée, aucune de ses particules ne pourrait, de préférence aux autres, se vaporiser ainsi; et alors, la température $t dont s'accroîtrait progressivement la chaleur du liquide dans chaque portion t du temps, et qui n'éprouverait pas une résistance suffisante dans la pression exercée extérieurement sur ce liquide, attaquerait et atténuerait en lui la force de cohésion elle-même, au point que, cette force venant ainsi à diminuer rapidement et même à disparaître, une subite dilatation du liquide comprimerait la vapeur dans l'appareil, et pourrait par- là causer la
rupture ou Texplosion de cet appareil. Et il en serait 'de même, mais ayec moins de rapidité, si le liquide ne contenait qu'une particule moindre que m, qui, étant plus échauffée que le liquide entier, serait propre à se vaporiser dans la temps t. — Mais, pour mieux préciser cette grave question, nous allons, par anticipation sur notre Philosophie de la Physique , donner ici la loi fondamentale DE LA LIQUIDITÉ; loi OÙ Cette subite dilatation des liquides, qui, par la compression de la vapeur, cause l'explosion des chaudières, se trouve déterminée complètement.
Désignons par s la densité du liquide à la température r, et par i la densité de la vapeur qui provient de TébuUition de ce liquide à cette température r et sous la pression correspondante à la force élastique («) de cette vapeur. Désignons de plus par { toute autre densité du même liquide, correspondante à une température quelconque ^ de ce liquide , et à une pression quelconque y qu'il éprouve extérieurement , en distinguant, d'une manière essentielle, celle de ces densités du liquide qui, sous une telle pression y, forme leur maximum, et qui correspond alors à la température spéciale «. Enfin, désignons par fi le degi'é de présence de la force de cohésion dans le liquide , en donnant à cette quantité fi toutes les valeurs entre ^=o, où il y a absence totale de cette force , comme dans la vapeur , et /S = i , où il y a présence complète de cette force de cohésion, comme dans le liquide bien formé. — Or, en construisant ^ pour abréger les expressions , les rapports suivans. . . (67)
nous aurons, pour la liquidité de toutes les substances matérielles, du moins dans l'étendue où nous aurons besoin de la connaître, la loi fondamentale ... (68)
ay
dans laquelle L désigne le logarithme hyperbolique y et F forme , avec une constante m'', la fonction ...( 68 ) *
en conservant toujours aux quantités ^ et f la signification qu'elles ont dans la loi statique (a), et en distinguant ainsi par r et «-" le rapport général «-, correspondant à la température générale B^ , dans les cas où il répond respectivement aux températures particulières •^=t et B = k. — Quant au nombre constant 2 y qui forme l'exposant dans la présente loi (68), on pourra le déterminer facilement pour chaque liquide donné où l'on connaît le rapport -^
des densités, correspondant à une différence (^ — f) des , températures. Il suffira en effet , après avoir formé une équation avec ces données introduites dans la loi ( 68 ) , de prendre les logarithmes des deux membres de cette équation , pour obtenir immédiatement la valeur numérique de Fexposant a» en question. — Pour ceux des liquides où Ton ne connaît pas la température » du maximum de leur densité, il suffirait de former, avec la loi (68), deux équations correspondant à deux observations différentes de la dilatation de ces liquides ; et Ton en déduirait, à la fois, les valeurs de a» et de « . — Ainsi, pour tous les cas, la présente loi (68) de la liquidité dans la construction mécanique de la matière , se trouve complètement déterminée. Bien plus , comme on le voit dans son expression (68), cette loi des liquides est d'une absolue généralité, en embrassant, non seulement la liquidité elle-même, lorsqu'elle est définitivement constituée , ce qui a lieu lorsque ^ = i , mais de plus la transition de la liquidité à la gazéité , ou la transition réciproque , ce qui a lieu lorsque /8, d'après les progrès de cette transition, reçoit des valeurs plus petites que l'unité, jusqu'à fi^o. Mais, il faudra ne pas perdre de vue que, dans l'un et dans l'autre cas, la température ^ du liquide est toujours sa température communiquée , et non sa température propre ; et il faudra conséquemment , dans ces variations des densités { du liquide , avoir ëgard à cette température propre, telle qu'elle est ici déterminée par les rapports r, r, t dont nous verrons ci-après la vraie signification.
Or, dans le susdit cas en question, lorsque la vaporisation du liquide se trouve arrêtée ou retardée, proportionnellement à l'affluence progressive de la température tf, et lorsque cette chaleur croissante du liquide s'applique à détruire sa force de cohésion , on a précisément l'état de transition de la liquidité à la gazéité, auquel, dans la présente loi (68), répondent les valeurs de i8 plus petites que l'unité, depuis fi=i jusqu'à fi-=o. Ainsi, pour se former une idée de cette transition, si l'on en examine le terme, auquel on a fi=o, la loi (68), en la considérant au moment de l'ébullition, o\xl^=zTy x= > 9 et r=i, donnera, pour ce terme de fi=Oj l'équation (1 — «)=ro, et par conquent la valeur S = ^9 c'est-à-dire que la densité { du liquide se trouverait alors atténuée au point d'être égale à la densité ^ de la vapeur , état de ( où l'on a effectivement r = i . — Donc , dans ce cas en question , cette subite diminution de la densité du liquide se manifeste par sa rapide dilatation , dont la vitesse est réglée par Taffluence progressive de la susdite température ^ , absorbée par le refroidissement correspondant du liquide, d'après la loi normale (67).
Mais, lors même que la force de cohésion subsiste dans toute son intégrité, et que Ton a /8= i dans la loi (68), c'est-à-dire lors même que la liquidité demeure dans son propre état , la dilatation du liquide devient très considérable lorsqu'il acquiert une température plus grande que celle de son ébullition à la pression (4), et lorsque, par les susdites circonstances quelconques ,. il se trouve empêché d'entrer en ébuUition et de se vaporiser ainsi. En effet, prenant la
difiérentielle de la loi (68) par rapport aux variables { et •^, et observant qae le rapport r edt êensiblement constant dans Tétat de liquidité , on obtiendra Téquation. . .(69)
•+" ^^-jC* ) s=
qui fixe la relation entre Taccroissemeot d^ de la température et Faccroissement c/{ de la densité du liquide. Et comme on a notoirement Tégalité . . . (6g)'
di dv
en dénotant par v le volume correspondant à la densité | , on voit que Téquation différentielle (69), en y introduisant la présente égalité (69)', fixe aussi immédiatement la relation entre la variation c/5 de la température et la dilatation correspondante • du liquide. — Or, avant tout, remarquons que, d'après ces relations différentielles (69) et (69)', la dilatation du liquide, pour un même accroissement dS- de sa température , augmente progressivement avec Taugmentation de cette température B^ ; ce qui se trouve conforme à l'expérience. Remarquons de plus qu'aussi long-teitaps que la température «^ du liquide est plus grande qu^une certaine température », le signe « positif ou négatif, de la variation dB^ de la température B du liquide est toujours le même que celui
de sa dilatation correspondante — - , mais que ces signes deviennent différens
aussitôt que la température B du liquide devient plus petite que cette certaine température » ; c^'est-à-dire qu'avant le terme 5 = le , la dilatation du liquide sera négative avec la diminution de sa température B^ et qu'après ce terme 5=:», cette dilatation du liquide sera positive avec la diminution continue de sa teoi^ pérature B . II existe donc , pour chaque liquide , une certaine température « , à laquelle , tout en demeurant dans son état de liquidité , ce liquide reçoit le maximum de sa densité ; et c'est aussi conforme à Texpérience , du moins pour Teau , où, lorsqu'on a voulu établir le système métrique de la France, on a fait de suffisantes observations sur la dilatation de ce liquide. — Après avoir ainsi reconnu la conformité avec Texpérience de notre loi générale (68) de la liquidité des corps , venons à notre question présente , et remarquons , dans Féquation difFérentieîle (69) , que la dilatation de tous les liquides est très con-
sîdërable et très rapide , lorsque , étant empêchés dans leur ébullition ou vaporisation , ils reçoivent une température ^ pins grande que la température r de leur ébullition , et lorsque , par conséquent , leur densité { devient plm petite que la densité s qu'ils ont au terme de TébuUitioD. En effet» lorsque | est
plus petite que s, le logarithme L (— j devient négatif, et le facteur de —
dans le preinier membre de Téquation (69) décroît rapidement vers zéro, tandis que le facteur de d5 dans le deuxième membre de cette équation croit progressivement.
C'est à ce même phénomène, et à rien autre , qu'il faut attribuer la grande dilatation que M. Thilorier a observée dans le liquide de l'acide carbonique , en Fempéchant d'entrer en ébullition. — Nous reconnaissons ici que cette dilatation rapide est commune à tous les liquides en général ; et par conséquent que tons les fiquides , sans en excepter Teau , pourraient , dans des circonstances semblables, en empêchant leur ébullition, former, par leur grande dilata* tion à ce terme de leur température, des moteurs aussi puissans et probablement plus économiques que celui que M. Thilorier croit prévoir dads la dilatation pareille du liquide de l'acide carbonique. — A cette occasion, uous devons expliquer également les belles et remarquables observations que ce savant a fiiites près le terme de la transformation des gaz en hquides. Il suffit pour cela de ne pas perdre de vue la susdite signification que nous attachons à la quantité ^ dans notre loi fondamentale (68) de la liquidité, et de remarquer ainsi que , dans la supposition où cette loi serait vraie dans toute sa généralité , comme nous le prétendons , elle devrait , pour le caf de yS = o , offrir la loi de la gazéité ; de sorte que , devenant loi de la liquidité pour le cas de # ^= i , elle doit offrir également la loi de la transition de la gazéité k la liquidité , pour tous les cas où ^ reçoit des valeurs entre zéro et l'unité, c^est-è-dire pour les cas de transition où M. Thilorier a fait ses observations. — • Or, si l'on fait iS^so dans la loi générale (68) de la liquidité, cet(e loi se réduit manifestement à la loi très simple . . . ( 70)
laquelle , en y substituant la valeur ( 67 ) de « , et en y introduisant pour x le rapport des pressions S et R correspondant aux densités ( et J" du gaz , defiefkt . . . { 70 ) *
et se trouve ainsi identique avec la loi statique (a) des gaz, qui est manifestement la LOI FONDAMENTALE DE TOUTE GAZÉITÉ.
Ainsi, il est avéré que notre loi (68) embrasse, non seulement l'état de liquidité , lorsqu'on y fait /S = i , mais de plus l'état de gazéité , lorsqu'on y fait
fi =Oj et par conséquent qu'elle s'étend même sur Tétai intermédiaire de transition de la gazéité à la liquidité , en donnant à fi les valeurs intermédiaires , entre zéro et Funité, suivant les progrès de cette transition. Comme telle, cette loi (68) constitue généralement, dans la construction mécanique de la matière, la LOI FONDAMENTALE DE LA FLUIDITÉ , en embrassant ainsi les deux premiers états de cette construction mécanique de la matière, son état de gazéité et son état de liquidité. Et c'est là le premier fruit que la philpsophie de la physique apporte aujourd'hui à la science de la nature , pour l'asseoir enfin sur une base immuable. — On conçoit maintenant que, pour accomplir la solution du grand problème de la construction mécanique de la matière , il faudra donner une loi pareille et encore plus générale, qui embrasse, en outre des deux premiers états de la matière , sa gazéité et sa liquidité , l'état supérieur et définitif de sa solidité. C'est là la dernière tâche de la philosophie de la physique. — Mais, laissons ici ces hautes considérations philosophiques , et revenons à notre objet présent des machines à vapeur, et nommément à cette rapide dilatation des liquides qui peut causer l'explosion de leurs chaudières. — Or, nous venons en effet de reconnaître positivement que, lorsque, par des circonstances quelconques, l'ébullition ou la vaporisation des liquides se trouve arrêtée, ou du moins retardée proportionnellement à la susdite affluence de la température 9 , la densité des liquides subit une rapide diminution , soit par une atténuation de l'intensité fi de leur force de cohésion , soit même par une simple augmentation de leur température ; de sorte qu'il en résulte alors une grande et rapide dilatation de ces liquides , dont la vitesse , comme nous Tavons déjà dit plus haut , n'est réglée précisément que par l'affluence progressive de la température ê , absorbée par le refroidissement correspondant du liquide , d'après la loi normale (57) de la chaleur.
Il ne reste donc qu'à reconnaître les conditions sous lesquelles cette rapide dilatation du liquide, qui se manifeste par un mouvement ascensionnel de son niveau dans la bouilloire, peut comprimer la vapeur au point de causer la rupture de cet appareil. — Pour cela, remarquons que, d'après la deuxième des expressions (9) de notre opuscule sur les Machines à Vapeur (*), la pression de la vapeur dans la bouilloire deviendra indéfiniment grande lorsqu'en désignant parv la vitesse du soulèvement du niveau de Peau contenue dans cette bouilloire,
(•) On conçoit; que, ne pouvant, pour la conservation du secret de nos]br«veU, bien éloignes alors, dévoiler complètement nos nouvelles théories lorsque nous publiâmes l'opuscule que noQs venons de citer, nous dûmes, pour tout ce qui n'offrait pas un trop grand écart, nous en tenir encore aux théories approchées que Ton avait tirées de rexpérience. — Nous prévenons maintenant que , pour amener à Tezactitude rigoureuse de nos présentes lois , les résuha^ théoriques qui se trouvent dans cet opuscule sur les Machines h Vapeur y et dans son Complément^ il faut y remplacer partout le facteur empirique et inexact (i + pi^ ) par le facteur philosophique et
vrai e
A VAPEUR. i9
par If^ la surface de ce niveau y et par n' la surface de Touverture par laquelle , en passant dans Fair, la vapeur peut s'ëchapper de la bouilloire , telle que serait Fouverture d'une soupape de sûreté , on aura Féquation ... (71 )
la quantité -s- étant la susdite vitesse constante du mouvement de la vapeur.
Ainsi, comme on a, d'après l'expression (6) de cette vitesse constante, pour la vapeur d'eau , la valeur ...(71)'
— =: (5oo,25). v/ (c*' ) lùèlres ,
si l'ouverture n^ de la soupape de sûreté n'est que la centième partie de la surface N* du niveau de l'eau dans la bouilloire , il suffira que , par les causes susdites, le niveau de cette eau se soulève avec une vitesse v de plus de 5 mètres par seconde^ pour que la pression de la vapeur dans cette bouilloire puisse devenir indéfiniment grande , et par conséquent pour qu'il y ait rupture de cet
appareil.
Telle est donc la vraie et principale cause de l'explosion des chaudières dans les machines à vapeur, et de celle d'autres bouilloires fermées; de cette explosion dont il semble que l'on ne puisse, en principe, ni empêcher ni prévenir la dangereuse réalisation, puisque sa cause est purement accidentelle. — Nous ne parlerons pas ici d'autres explosions de ces bouilloires ou chaudières, provenant uniquement de la négligence de ceux qui en ont le maniement, comme, par exemple, lorsqu'on laisse accumuler, dans ces appareils, une pression de la vapeur plus grande que n'en peut supporter la force des parois de la chaudière, parce que ces sortes d'explosions sont, pour ainsi dire, tout-à-fedt volontaires. Mais , nous dii*ons que , contre l'explosion principale dont nous venons de dévoiler la cause, ni les soupapes de sûreté ordinaires, ni les plaques fusibles, ni les autres moyens de sûreté qui sont connus , ne sauraient évidemment suffire pour offrir une complète garantie.
Ainsi, en considérant la présente équation (71) et ce qui la précède, comme formant le principe t/iéorique du danger qui est impliqué dans l'explosion principale dont il s'agit, il faudrait encore découvrir un principe tecJmique correspondant y pour pouvoir , dans tous les cas , écarter réellement ce danger. — Nous annonçons que ce principe technique est également découvert , et que les moyens de sûreté qui en dépendent , seront produits , déjà dans notre premier brevet , pour être livrés au public le plutôt possible. En dépendant ainsi de ce principe technique, qui, à la vérité, est spécial et distinct de ceux de nos machines à vapeur, les moyens de sûreté que nous annonçons, auraient pu, d'après nos susdits principes juridiques, devenir notre propriété exclusive par la prise d^un brevet séparé ; mais , nous y renonçons entièrement pour le bien général.
Aprèi avoir fiût connattfe » autant qa« nous pouTont le faire dans le8 bornes de cette Introduction 9 les lois fondamentales de la chaleur peopbb , et nommément la loi normale (67 ) de la chaleur et la loi (69) de la force élastique des Tapeurs , nous allons maintenant faire connaître de même les lois fondamentales de la CHALEUR communiquée; lois qui précisément 9 comme nous le verrons, constituent les principes théoriques des bouilloires dans nos nouvelles machines à vapeur. — Nous ne nous occuperons pas ici de la déduction philosophique de ce phénomène physique de la conmiunication de la chaleur , où il faudrait remonter jusqu'à ridée fondamentale ou primitive de la nature même de la chaleur ou du calorique; idée dont nous écartons ici à dessein toute détermination, en nous bornant expressément à ne donner que les lois mathématiques des phénomènes de la chaleur. Ainsi, en admettant la communication de la chaleur entre les substances matérielles comme un fait avéré universellement par l'expérience , nous en donnerons purement les lois fondamentales , sans même nous occuper ici, d'une manière spéciale, des deux modes connus de cette communication, savoir, par contact immédiat de ces substances, ou à distance, par le rayonnement de la chaleur, mais en signalant néanmoins les lois de ces deux modes distincts. Nous remarquerons seulement que, puisque la communication de la chaleur s'opère dans l'espace et dans le temps, elle doit, jusqu'à un certain point, se régler d'après les lois du mouvement, et par conséquent suivre la classification de la mécanique. Il doit donc exister, comme lois fondamentales de la communication de la chaleur, une loi statique, qui fixe l'équilibre de la chaleur répartie ainsi entre les diverses substances en réaction calorique, et une LOI DYNAMIQUE, qui fixe la propagation de la chaleur dans l'espace et dans le temps. —Ce sont ces deux lois fondamentales que nous allons donner, comme formant les principes théoriques des deux systèmes de bouilloires qui appartiennent respectivement à nos deux systèmes de machines à vapeur.
Pour ce qui concerne , en premier lieu , la loi statique de la chaleur commu^ niquée , elle doh consister manifestement dans la détermination mathématique de la quantité spécifique de chaleur qui , pour une variation donnée de la température d'une substance chimiquement distincte, constitue une variation correspondante dans la chaleur intime ou absolue de cette substance. -—C'est cette quantité spécifique de chaleur intime qui est ce que l'on nomme capacité calorique d'un corps; et par conséquent, c'est de cette capacité calorique que nous allons* donner, entièrement à priori, la détermination rigoureuse.
Avant tout, fixons le sens de nos susdites quantités f et r, que nous avons nommées fiicteurs de la composition chimique, et dont nous avons ici besoin de connattre la vraie nature. — » Pour cela , concevons deux ou plusieurs substances simples qui concourent à la formation chimique d'une substance composée, et dénotons par m', m", m'", etc., et m, leurs masses respectives, de manière que l'on ait. . .(72)
m' 4- m" -♦- m'" -♦- etc. ss m .
Dénotons de plus par A', A'% A"'» etc, et A, leurs densités respectives, et par v\ v*\ v"'^ etc., et V, les volumes qu'ils occupent respectivement avec ces densités, de manière que Ton ait. . . (78)
m' = A'v' , m" =z= A' V , etc. , et m = Ai; .
Mais, pour cette fixation des densités A', A"» A'", etc., et A, il importe essentiellement que , dans les différentes substances qui ont ces densités , la température propre qui y répond respectivement à ces mêmes densités, soit identiquement une même température X' — Alors, si Ton désigne par t le facteur de cette composition chimique, on aura, pour sa détermination, Tégalité.. • (74)
tA v' -+• v" -f- v'" 4- etc. I = V ;
égalité qui montre en outre que, lorsqu'il s'agit de substances simples, où Ton a
v' =: V, ou de purs mélanges de substances simples, où Ton a v' + v" -4- etc. ! = 1/ ,
le facteur s est toujours égal à Tunité. — Tel est donc le sens positif qu'il faut attacher au facteur i dans la construction (5i) de la masse élémentaire D des substances matérielles.
Quant au nombre r qui entre originairement dans notre loi statique (a) des gaz, il représente proprement le rapport des deux fecteurs distincts, déterminés par Fégalité (74)9 l'un pour la densité ^, et l'autre pour la densité {, qui font parties intégrantes de cette loi fondamentale (a). De plus, pour simplifier provisoirement l'expression de cette loi, nous avons embrassé, dans le nombre en question «-, un autre rapport dépendant des températures propres qui correspondent à ces mêmes densités leti; de sorte que si l'on désigne respectivement par ^ et 4^ ces températures propres , et par ^ et ( les susdits fecteurs de la composition chimique , qui correspondent respectivement aux densités ^ et ( , le vrai sens du nombre r dont il s'agit, est ... (7$}
T zz:
On voit, dans cette détermination à priori du nombre r de la loi (a), qu'il n'est pas rigoureusement égal à l'unité lorsqu'il s'agit de substances simples, où l'on a toujours f = i et ( = i . Mais , comme le nombre v est petit , ainsi que nous le verrons ci-après, la loi de Boyle ou de Mariotte paratt, dans les bornes de l'expérience , se vérifier pomr les substances simples. -^- Rien n'empêche maintenant d'introduire, dans la loi fondamentale (a), la présente détermination (7$} du nombre •* en question. Nous aurons ainsi, pour cette loi statique des gaz, l'expression complètement déterminée . • . (76)
11 faut ici observer que si Ton suppose « = /«5, en dénotant par 5 la pression
que peut supporter la densité ( du gaz à la température 5) et si, d'après (5f ), on construit, avec cette densité { et cette température ^, la masse élémentaire £, on aura... (77) ,
de sorte qu'en introduisant, dans la présente expression (76) de la loi statique des gaz, les valeurs respectives (5i) et (77) des masses élémentaires D et E, on obtiendra Tégalité ... (78) ^
où Ton voit, comme nous Tavons avancé, que la masse élémentaire D otx E demeure constante, quelles que soient les densités respectives ^ou {, et les températures respectives r ou ^, avec lesquelles, d'après la régie ( 5i ) de sa construction, elle se trouve déterminée.
Une dernière remarque, très essentielle, que nous avons encore à feire ici, c'est que, dans Texpression (76) de la loi statique des gaz, et généralement dans toutes nos expressions précédentes, les quantités ^ et t», desquelles dépend Tinfluence respective de la température communiquée et de la température propre, ne sont pas tout-à-fait des nombres constans, et forment proprement, dans leur généralité absolue, les fonctions ... (79)
= ^•(^-^)*. et f = fri^-^)
fi
dans lesquelles les coefficiens vi et ft sont seuls des nombres constans, mais dans lesquelles aussi les exposans « et /S paraissent être très petits, du moins pour ce qui concerne le dernier fi de ces exposans, qui, sur notre planète, paraît sensiblement ne différer que très peu de zéro.
Procédons maintenant à la loi statique de la chaleur communiquée, loi que nous sommes ici engagés à donner, et rappelons-nous, d'après la remarque feite plus haut, que cette loi consiste dans la détermination mathématique de la capacité calorique des substances matérielles. — Or, en conservant notre notation précédente, et spécialement celle qui est employée dans la loi (76), si nous désignons par c cette capacité calorique d'une substance chimique, c'est-à-dire le coefficient par lequel il fout multiplier une petite variation ^^ de la température communiquée 5, pour avoir la variation correspondante de la quantité de chaleur intime ou absolue qui est contenue dans cette substance, lorsque sa densité demeure constante, nous découvrons, dans notre Philosophie de la Physique, que l'on a.. .(80)
c.AJ» = ffi-i-fi). ^'^ '^ A5 ;
expression dans laquelle le facteur Ç de la composition chimique (74) est celui de la densité actuelle de cette substance, densité qui implique la température
propre 4", et dans laquelle de plus la inasse élémentaire D, d après (78), est déterminée par la même ou par toute autre densité quelconque de cette substance chimique, en la prenant alors dans son état de gazéité; le nombre fi étant d^ailleurs celui qui entre dans Tune des deux fonctions (79)- — Il fout savoir que cette expression (80) est absolue , c'est-à-dire qu'elle donne, pour Funité de la masse, la quantité réelle de chaleur intime, mesurée avec Funité absolue de cette chaleur; unité absolue qui, d'après ce que nous avons dît plus haut, est la quantité identique de chaleur intime que contiennent toutes les substances simples lorsqu'elles sont ramenées respectivement à leur température absolue a. Et il faut savoir de plus que cette expression (80) est d'autant plus proche de la vérité que la variation AS* tie la température communiquée est plus petite, et par conséquent qu'elle est rigoureusement vraie lorsque cette variation âJ^ est indéfiniment petite, c'est-à-dire lorsqu'elle forme la différentielle d^.
Telle (80) est donc la loi statique de la chaleur communiquée; et c'est cette loi qui constitue le principe théorique des bouilloires dans notre système dynamogénique de machines à vapeur, système pour lequel nous devons prendre le premier de nos deux brevets principaux. — Il faut donc , d'après ce que nous avons reconnu plus haut, transformer ce principe théorique en principe technique pour réaliser l'invention de ces bouilloires; et il faudrait de plus, pour acquérir la propriété exclusive de ces bouilloires spéciales, indépendamment ou hors de leur application aux machines à vapeur, prendre un brevet séparé pour leur principe technique en question, dans le cas où, comme cela est réellement, ce principe serait différent du principe technique de nos machines dynamogéniques elles-mêmes. Nous renonçons à cette propriété générale de ces bouilloires, et nous ne la revendiquerons que dans leur application aux machines à vapeur, par la raison qu'elles forment effectivement une partie essentielle de ces machines, dérivant, comme un corollaire nécessaire, du principe technique même de notre système dynamogénique de machines à vapeur.
En examinant l'expression (80) de cette loi statique de la chaleur, on verra que, faisant abstraction du facteur Ç de la composition chimique, la capacité calorique que détermine cette loi, varie avec la température communiquée ^ et avec la température propre 4" 9 et par conséquent avec la densité de laquelle dépend cette dernière température ^, De plus, en considérant que les quantités nD et f ( I +/S) sont constantes, la dernière sensiblement, on reconnaîtra, par cette expression (80), que, pour la même température communiquée ^, la capacité calorique d'une substance chimique ne peut varier que par sa densité, de laquelle dépendent, à la fois, et la température propre 4", et le facteur Ç de la composition chimique; de sorte que les capacités caloriques d'une substance matérielle dans ses trois états mécaniques, de solide, de liquide, et de gaz, ne peut varier que par la densité, réelle ou virtuelle , qui répond à ces trois états mécaniques. Ainsi, en distinguant par un accent, attaché aux let*
très, leur attribution à un ëtat mécanique différent, et en supposant que, dans sa formation (79), la quantité » est sensiblement constante, c'est-à-dire en y supposant que Texposant « est une très petite quantité, l'expression (80) donnera, pour les capacités caloriques c et c', correspondant à deux tels états mécaniques différens, comme par exemple la liquidité et la gazéité, le rapport... (8i)
et dans ce rapport, la différence (^]/ — ^') des températures propres est la prétendue chaleur latente qui se manifeste d^ns le. passage de Fun à l'autre de ces deux états mécaniques. Donc, connaissant cette chaleur latente (4" — 4"'), et les rapports respectifs des capacités caloriques c, c\ et des facteurs de composition Ç, C* ^^ pourrait, déduire, du présent rapport (81), la valeur du nombre constant »', savoir .. .(82)
la lettre L dénotant les logarithmes hyperboliques. — Réciproquement, si Ton connaissait ce nombre constant », on pourrait ^déduire, de l'égalité (81), le rapport des facteurs Ç et Ç de la composition chiinique, savoir, . . (83)
Par exemple , pour l'eau et pour sa vapeur, où la chaleur latente est environ
c' de 55o degrés, et où, diaprés MM. Laroche et Bérard, le ripport inverse
des capacités caloriques est 0,847» si l'on ccmnaissait le nombre constant v , on poniarait, par l'influence de l'équation (74)9 servant à mesurer le degré de la composition diimique, déterminer le rapport entre les degrés d^affinité des élémens qui ccMnposent Feau , dans les deux états mécaniques , de liquidité et de gaxéité, de cette substance composée* — Il faut remarquer que cette dernière détenainadon offre de nouveau une anticipation sur la philosophie de la diimie, et qu'elle donne ainsi le moyen général de mesurer k variatidi du degré d'affinité des élémens dans les substances composées, quels que soient les différens états, mécaniques ou chimiques, où ces substances peuvent se tronrer. Enfia, si Too élimina , entre les expressions (80) et (77), la quantité
( r^ e .e^J* ®° ayant égard à Tégalité (78) des masses élémentaires D et £, on
obtient, pour la présente loi statif|ue 4e la ckalear, l'expression extrêmement simple • • . ( 84 )
A VAPEUB. 55
dans laquelle les quantités n, f^ fi sont sensiblement constantes. «- Ainsi, la capacité calorique des substances matérielles ne dépend que des deux quantités variables ( et «S ; et il ne reste qu à fixer le vrai sens du rapport de ces quantités , pour avoir, pour cette capacité, la loi aussi simple qu'elle est universelle. — Pour cela, en examinant la construction (77) de la masse élémentaire, si Ton observe que le fiacteur Ç dépend de l'influence chimique (74) dans cette masse,
et que les facteurs e et e y dépendent de Finfluence physique ou calorique, qui forme une espèce de transition de Fétat mécanique à Tétat chimique de la matière, on reconnaîtra fiacilement que le rapport en question entre la densité { et la pression S, constitue le vrai élément mécanique de toute substance matérielle. Ainsi, e^ désignant par M cet élément de la matière, c'est-à-dire en fusant . . . ( 85 ) §
l'expression (84) de la capacité calorique montre que, pour la même quantité de matière, évaluée en poids, cette capacité est généralement en raison inverse de l'élément mécanique M des différentes substances matérielles, quels que soient, d'une part, leur état mécanique, de solidité, de liquidité, ou de gazéité, et de l'autre part, leur qualité chimique distii^cte. Et c'est là manifestement l'expression la plus simple de cette loi statique de la chaleur.
Lorsqu^il s'agit des substances gazeuses, l'élément mécanique M reçoit immédiatement une signification déterminée par^ la première de ses deux expressions (85), c'est-àndire par le rapport entre la densité { et la pression S. Et alors, la loi universelle (84) embrasse manifestement, comme un cas particulier, la belle loi de Haycraft; car, d'après notre loi universelle (84), lorsque la pression S demeure constante, la capacité calorique de tous les gaz, simples et composés, pour une même quantité de matière, est en raison inverse de leur densité actuelle |^ et comme cette densité {, pour la même quantité de matière, est en raison inverse du volume, il s'ensuit que la capacité calorique des gaz, simples et composés, est identique pour le même volume, lorsque, comme nous venons de le supposer, la pression S demeure constante.
Mais, lorsquHl s'agit des substances liquides et des substances solides, l'élément mécanique M ne peut recevoir une signification déterminée que par la seconde de ses deux expressions (85), c'est-à-dire par le rapport entre la masse élémentaire D, qui demeure constante pour la même substance, et le produit
c e Jf qui mesurent respectivement Tinfloence dûmique et l'influence physique dans cette substance. A la vérité, on pourrait, par la
56 BiAGHINES
seule première des expression» (85), se former généralement une idée de l'élément mécanique M de toutes les substances j même liquides et solides , en considérant la pression S comme étant , pour les liquides , la somme de leur pression extérieure et de leur force de cohésion , et pour les solides , la même somme augmentée de la valeur de leur force d adhésion, considérée dans son influence virtuelle que nous avons signalée plus haut. Mais alors, il faudrait déjà connaître ces forces de cohésion et d'adhésion, forces desquelles précisément proviennent les lois de la liquidité et de la solidité des différentes substances chimiques, comme nous en avons allégué plus haut, à la marque (68), l'exemple pour la liquidité générale des substances matérielles. Avant que Ton connaisse la détermination mathématique de ces forces de cohésion et d'adhésion , comme on est censé ne pas la connaître lorsqu'il ne s'agit encore que de la capacité calorique des substances matérielles , on ne peut considérer la susdite somme S de la pression extérieure et des forces intérieure^ de cohésion et d'adhésion que comme étant égale à l'action de la force expansive n contre laquelle agit cette somme S de forces, et avec laquelle, par conséquent, elle doit se mettre en équilibre. On ne peut donc concevoir encore que la seule égalité . . . (86)
^ «y = « , ou 5 =r ;
et alors, en introduisant cette valeur de S dans la première des deux expressions (85) de M, après y avoir substitué, d'abord, la valeur (62) de «, et ensuite, la valeur (76) de ^, on retrouverait, sur cette voie nouvelle et entièrement indépendante de nos considérations précédentes , la seconde de ces deux expressions (85); ce qui confirme la vérité de nos présentes théories philosophiques.
En reprenant l'expression primitive (80) de la capacité calorique, et en observant, d'après ce que nous avons dit plus haut, que cette expression est rigoureusement vraie lorsque la variation AJ^ de la température est indéfiniment petite et forme ainsi une simple différentielle d^, on comprendra que, si l'on désigne par H la quantité intime ou absolue de chaleur qui est contenue dans une substance quelconque ayant la température communiquée ^, l'expression (80) dont il s'agit, sera la différentielle de cette quantité H, prise par rapport à la seule variable ^, c'est-à-dire que l'on aura.. .(87)
d^ J rK J ^^jy
Ainsi, en substituant la valeur de aD, donnée par la relation tellurique (53) des élémens de la matière, et en ayant égard à ce que, d'après sa formation (79), la quantité f est fonction de ^, on obtiendra, par l'intégration de la présente dififé* rentielle (87), la valeur rigoureusement exacte.. .(88)
les exposans » et p ayant toujours leurs valeurs variables (79).
TeHe est donc l'expression très simple de là quantité absolue de chaleur qui est contenue dans une substance quelconque^ ayant la température communiquée 5 et une densité telle que sa température propre soit ^'j le coefficient Ç étant le focteur (74) de la composition chimique de ceue substance. — Ainsi, lorsque la température extérieure ^ est égale à la température propre ^^ et lorsque la densité de la substance chimique est telle que sa tempékature propre 4^ est égale à sa température absolue a, l'expression (88) donne, pour les substances simples, où Ton a toujours (=19 la valeur... (89)
c'est-à-dire que, conformément à ce que nous avons avancé plus haut, toutes les substances simples, lorsqu'elles sont ramenées à leur température absolue a, ont LA MÊME QUANTITÉ de cbalcur; quantité qui constitue naturellement l'unité ABSOLUE pour la mesure de la chaleur intime dans toutes les autres circonstances des substances matérielles. — Quant aux substances composées , lorsqu'elles sont aussi ramenées à leur température absolue a^ l'expression ( 88 ) donne , pour la quantité de chaleur qu'elles contiennent alors, la valeur H=:ç; c^està-dire que cette quantité H est égale au facteur Ç de leur composition chimique ( 74 ) > égalité par laquelle précisément se trouve ainsi déterminée la température absolue a de ces substances composées, qui, comme dérivant d'autres substances simples , n'ont point originairement ou par elles-\némes une telle température absolue A.
Une remarque essentielle qu'il Saut faire concernant l'expression (88) de la quantité absolue H de chaleur, c'est que, dans cette expression, et dans ses auxiliaires (79)9 lorsqu'elle est définitivement arrêtée, la température communiquée 5 devient toujours égale à la température ambiante on extérieure 6, mais que, dans la génération de cette quantité 5, son accroissement d^ est égal à Taccroissement d0 de la température extérieure, diminué de l'accroissement d^ de la température propre 4^; car, cette variation c^ de la température propre d'une substance se manifeste nécessairement par une variation correspondante de la température communiquée 5 de cette substance. — Pour tenir compte de cette double fonction de la quantité 5 dans l'expression (88), nous l'y représenterons par la lettre I , en destinant spécialement la lettre k à désigner la température ambiante ou extérieure, et en donnant ainsi à la lettre la double attribution ,,. (90)
Valeur finale I = 5 ,
Génération..,.. , de = d^ -- c/^' ;
attribution dans laquelle la différentielle d^ de la teropéi^iture propre ^ ne
MiM
peut proTenir que de la Tariation de la densité actuelle | de la substance matérielle, de sorte que Ton a toujours... (91)
Ainsi, ^y^ç jp^s cQadiùons (^} et (90> Vexpr^m^^ géa(tialBt.(98^)! ftwa propreiii«ot... (92)
»(^-X) p(l-A) ili •*
en ayant «oin de sobstitver de même # à la place de 5 dans les expressions auxiliaires (79)» et en ne perdant pas de Tue que la yiuriation cd de la température communiquée, telle qu^elle est fixée par les conditions (90), est la variation que cette température I de la substance doit subir pour qu^elle deyienne égde à. la tempé;cature ambiante pu extérieure ^.
Or, en prenant ainsi la différentielle complè.te ()e la prisante ei^pre^sion (9a) de Jia quantité jEr,.r.çlatiy^ept à la 6é9ér^ùon (99) dj^ la y^riaU^ 1 1 oniuira . . . (93)
dH z:?i p(i + ig). ^'^ '^ 1 d^.— d^ ï i
et cette différentielle formera , dans toute sa généralité,, la Çfip^Gi^é calorique, en y introduisant , à la place de la différentielle d^^ sa^ yaleqi' (91 ) réduite en différentielle <&, savoir... (94)
Nous aurobs donc, pour cette capacité calorique générale, qlie nou» désignerons par b^ r^expreasion . . . ( 96 )
OÙ il ne teste à déterminer que les deux dérivées différentielles ( , j et
Pour ce qui concerne la dernière Ç—tt-) de ces différentielles^, elle se trouve
donnée, dans les différents états mécaniques des corps, de leur solidité, de leur. liquidité, ou de leur gazéité, par les équations mêmes qui, pour les différentes substances cbimiques, fixent respectivement leurs trois états mécaniques; comme le fut déjà notre équation générale (68) pour les deux derniers de ces états, la liquidité et la gazéité. Ainsi, par exemple, en déterminant, dans cette équation (68), les constantes de manière à ce qu^elle serve à fixer, d'une part, U liquidité de Peau, et de Tautre, celle de Falcohol, la différentielle gêné-
L ^ . . ^.te ..^^ » M^^
i^® (^9^ ^ <^^ ëqualioas anUtl dét«nma<eft , prist par fappoit-aax variables |
et 5 , ferait connàtCre la déA^ée différentielle Ç'-fr'j > et i^ontrerait que ,
terme moyetiv sa^vrieur ninttériqae est à-péu-prè^ ^»oiM>o9}/p^iir Feau, et O9O00065 poiar/ FaleirtKd. L'expérience cdnfinne ces 'valeurs; et i^eus' apprend généralement que, pour les liquides et les solides, la valeur de celte dérivée différentielle est toujours une ôrès petite quantité; de sorte que son influence dans l'expression (gS) est alors presque nulle, et que, de cette manière, cette expression générale se réduit sensiblement, pour les liquides et pour les solides, à Texpression partielle (87), qui est indépendante de la dérivée différentielle
r--77-J, appartenant aux conditions normales (67) de la cbaleur propre. Et
alors, pour éviter également cette différentielle (— — j dans les gaz, où Ton
peut le fiaire en les retenant dans un volume constant, leur capacité calorique, conune celle des liquides et des solides, se réduit aussi à Texpression (87); et dé cette manière, en outre de Tuniformité qui se trouve dans Tidée de la capacité calorique des corps, en tant que cette idée ne doit porter partout que sur une densité constante, on a l'avantage d'en exclure l'élément tout-à-fait
étranger que forme la dérivée différentielle ( ■ j , et de ne fonder ainsi celte
idée que sur la seule variation de la température extérieure ^. Néanmoins, dans ces derniers temps, en s'écartant du mbdiile que leur offraient les liquides et les solides^ les savans se sont jetés gratuitement dans une vraie confusion , en se mettant à rechercher la capacité calorique des gaz sous une pression constante, c'est-à-dire avec des densités variables; confusion dont ils auraient ea de la peînn à se tirer sans une circonstance fortuite,' dont ils étaient loin de' pouvoir supposer l'existence* Celui des savans qui a poussé jusqu^à l'absurdte cette confusion des idées^ c'est le célèbre M. Poissonv ffoàj à juste titre, se fait honneur d'être membre de toutes les ^corporations scientifiques. Mais, avant de nous occuper de lui, voyons cette circonstance fortuite que nous venons de mentionner.
La dérivée différentielle f— — j (Ju'il faut éviter dans la question de la
capacité calorique des corps, provient manifestement de l'équation différentielle appartenant, à la loi, normale elle-même (54) de la^ chaleur; et eUe.com<-. plique ainsi nécessairement cette question, parce qu'elle y introduit la varialion de la température propre des corps. Quoi qu'il en soit, déterminons cette dérivée différentielle, en la déduisant, de cette manière, de la loi: normale. (54 )•• ou (57). — Or, la différentielle de l'équation (57), prise par rapport aux variables { et 4", exige que l'on sache prendre la- différentielle , par rapport à son
exposant 9 sur la fiaculté qui forme le deuxième membre de cette équation. Nous en ayons indiqué le procédé dans la susdite théorie de cet algorithme, qui est à la fin de notre Réfutation de Lagrange, où ce procédé se trouve exposé expressément, après la marque (76). Voici les résultats de son application à la présente fonction (Sy). — Formons auxiliairement la quantité • • • (96)
hnD
et au moyen d'elle, avec la variable x,là fonction . • . (96)'
Fx ^ M — ^'^ "^ I •
Formons de plus la quantité auxiliaire • • • ( 97 )
( / dVJFx \ , / N / d'LFx \
,r = - j £Fx - «...-.(--—) + J .«..(..)..(__)
f V, / d'LFx \ , f \, r d^LFx \
en y dénotant par L le logarithme hyperbolique, et par e,, e^, 83, etc., les nombres de Bemoulli; et en ayant soin d'y remettre pour la variable x, après les différenciations, sa valeur primitive • • • (97)'
x = wêtm,^
Nous aurons alors, pour la différentielle prise sur la loi normale (67), par rapport aux variables >^ et {, Féquation. . .(98)
{ dans laquelle les deux constantes * et ^ , qui entrent dans Féquation intégrale (67), se trouveront complètement éliminées. Et de cette équation différen tielle (98), nous tirerons la dérivée différentielle. ..(98}'
\di ) TWT *
qui était en question. — Cette quantité, comme indépendante des constantes ^ et <^, pourra donc être calculée dans tous les cas.
Voyons maintenant, du moins pour les gaz, la dérivée différentielle ( — ^—\
qui complète Texpression (94). — Or, dans le cas où la pression et par conséquent la force expansive n des gaz demeurent constantes, leur loi statique (2), en y considérant le rapport •- comme très peu variable, donnera, pour la différentielle dont il s'agit , Texpression ... (99)
Ainsi, substituant les valeurs (98)* et (99) dans Texpression (94) du rapport entre les différentielles </^ et c/^ de la chaleur propre ^ et de la chaleur communiquëe ^, nous obtiendrons, pour ce rapport 9 la détermination complète... (100)
EL = T— ^ f—^ = !^ -
qui, dans une étendue assez considérable de la variation de la température propre 4^j forme une quantité sensiblement constante. En effet, dans une telle étendue , la quantité fF est très peu variable, parce que, comng^e on le voit
dans sa construction (97)9 elle ne dépend que de la fonction exponentielle e , dont Fexposant «, formant la somme des quantités f et Vf est une très petite quantité.
Çest là, dans cette constance sensible du rapport (100), que se trouve la circonstance fortuite que nous avions à découvrir, et qui, bien à Finsu des savans, les a tirés de la confusion où ils se sont jetés gratuitement en cherchant à déterminer la capacité calorique des gaz à pression constante, et par conséquent à densité variable. En effet, si Ton considère l'expression (96) de la capacité calorique générale 6.c/^, comme étant celle des gaza pression constante, et par conséquent, si Ton y substitue alors la présente valeur (100) du produit
des deux dérivées différentielles f— — J et ( ), cette expression (95*),
étant divisée par l'expression (87} de la capacité calorique c.d^ h volume constant, donnera, pour le rapport de ces deux capacités, rapport que nous désignerons par V, la détermination. ..( 10 1)
c wfV '
qui , d'après ce que nous venons de remarquer sur le peu de variabilité de la quantité Wy formera une quantité sensiblement constante, dans une étendue assez considérable de la variation de la température propre ^ et par conséquent de la densité { des gaz. De cette manière, leur capacité calorique à pression constante {b.d^) se trouve liée immédiatement à celle à volume constant (c.</5), laquelle dernière, diaprés la susdite loi de Haycraft, est éminemment ^simple , et constitue ainsi la base d'une détermination uniforme et également simple de la première.
C'est Weller qui parait avoir observé le premier cette constance sensible du rapport (lOi) des capacités (*). Et c'est depuis lors que les savans, en méconnaissant ce qu'il y a d'hétérogène et de transcendant dans ce rapport, en font
(^ D'après Weller et Gay-Luuac , le présent rapport (i^i) est 1,373 pour Fair atmosphériqae. Ainsi, arec notre Talenr (3) de /», on trouTera id w W ^ -— ; et par consë<]aent, d'après (98}, telle est è peu près la compression de Fair qni produit un de^ de chaleur propre.
rotjBt spécial de ItiiK reeheidbefi. ^-T^aiefois, quelque aréié que soit t/t fait», eomne simple fait eaipîriqae, il esc naaifiesteiMiit tMt A ftnt iai^tofn à servir de principe à la théeried* la dhaieni parce qnè^' d'abovd, il . impliqua une confusion de deux principes essentiellement liétérogènes (98)' et (99)»* et parce que, de plus, ce rapport (loi) des capacités caloriques n'est pas rigoureusement constant, et varie même considérablement avec une grande variation de la température propre ^. Néamneîn»^ c'est préeiséaient ce firil enH^ rique que M. Poisson a pris pour principe de sa. théorie dei la chafeuTt thiiorie qu'il a reproduite, avec une certaine prestance 1 dans ladeuuème éditioii de edn Traité de Mécanique. Mais , plût au ciel que cet académicien universel n'eût pas commis d'autre erreur dans cette prétendue théorie de la chaleur, et qa^ ne fût pas ainsi tombé dans là plus absurde confusion , comme nouff aHoti^ le voir!
Rendons ces raisonnemens tout à fut indépendant àé nos puésentésr théories philosophiques, et ne nous fondons dans leur enchaînement que sur ce qui est déjà connu universellement. Amsi, pour la loi statique des gaz, qui fixe b pression qu'exerce leur force expansive, servons-nous de la loi e m p iriq ue connue (4)* en la mettant, pour rmOy sous la forme... ( loa)
dans laquelle p est la pression du gaz, { sa densité, ^ sa température, et A' un nombre constant qui dépend de la nature spéciale du gaz , et qui se trouve ici déterminé dans le cas où ^sso. — Or^ en admettant cette rèlation>( 10^) entre les trois quantités variables p» f> ^, désignons par 9 la quantité de chaleur dont varie la chaleur intime de ce gaz entre les températurea^ro et,^, lorsque le gaz demeure sous une pression constante, et désignons de plus par r la quantité de chaleur dont varie là chaleur intime du même gaz entre ces températures zéro et ^, lorsque le gaz demeure sous un volume constant. Il est évident que ces quantités f et r sont fonctions de trois variables p^ { , ^ , ou du moins de deux de ces variables, puisque la troisième peut y être éliminée par la présente équa*. tion (loa)» Mais, il est surtout évident que ces deux quantités q et r, ou les fonctions quelles, forment, sont essentiellement différentes, quand même, à leur commun terme de départ, lorsque la température est zéro, et lorsque 9:= o e\ r=:o, la pression du gaz. et par conséquent la quantité intime, de chaleur seraient les mêmes. En effet, par la dilatation, positive ou négative, qu'éprouve le gaz sous une pression constante, entre, les températures zéro «et ^y il absorbe ou dégage une certaine quantité de chaleur, au de-là de celle par laipielle il passe de la température zéro à la température d; de sorte que la. quantité r diffère toujours de la quantité q par cette certaine quantité de chaleur, absorbée ou dégagée, par suite de la dilatation ou de la condensation du gaz. — Désignons maintenant, comme plus haut, par b la capacité calorique du gaz sous une pression constante, et par c sa capacité calorique sous un vo-
lame coMtant - Noos «won» alors Béoessairement lét^ équations diffifrentidlei • . •
(.io3)
df = 6.C/5 , .et 4r = c.dS .
Or, t» omsidénoc ifeS' quandtës ^ et r dans toutes l^rs gënënditës, comme étant fonctions des trois Tariables p, (» ^, leur différentielles complètes se> ront...(io4)
Mais 9 pour abréger les expressions, si Ton snppose que, par le moyen de Tëquation (loa), on a éliminé la yariable ^ des deux fonctions q et r, on aura
r-5T-Y=o, et r -j^ j=p. De p^us, puisque la pression p demeure constante
dans la fonction 9, et que la densité ( demeure constante dans la fonction r, on a dp=o pour la fonction q, et (f|=o pour la fonction r. Ainsi, les différentielles ( io4) deyiennent alors • . . ( io5)
e( fu^ coiuëquent , \^ équations dif fiérentielles ( i o3 ) de çettç théorie sont . . . ( 1 06 ) Ç^Ydl = 6.</5 , et (-7-)*'? = <'•<'* •
Il ne reste donc 'qu'à connaître les rapports différentiels --^ et -^Ç- ; et pour
cela i . réquation , fondamentale ( loa ) donne Téquation différentielle générale... (107)
qui, ea y faisant suoeessivement.clpacso et <{(sso> servira A éliminer, des équations (106), les rapports différentiels ("Tt) ^^ 0*75 y ^^ question. On obtiendra ainsi les deux équations . . . ( 108)
b = - flL) tA— et c = + f—^ ^P
Wl / I -H p^ * \ dp J i -^ f^ '
Et si, comme plus haut, on désigne par y le rapport des capacités caloriques b et c, c'est-à-dire si Ton établit Tégalité b=iyc^ on obtiendra définitivement réquation • • . (109)
dans laquelle les différentielles partielles ("3| ) ®^ ("5 — ) appartiennent à
