ADDITION

ridicule de se demander combien font ensemble trois moutons et cinq mètres. Ces quantités de nature différente ne peuvent s'associer en un tout commun.

3, Marche de t'opÉBATiON. Proposons-nous de faire la somme des nombres 445^, 603, 28, 27i6. On conçoit sans difficulté qu'il suffît d'ajouter entre elles les unités de ces nombres, d'en faire autant pour les dizaines, autant pour les centaines, etc. Cela amène à ranger les nombres les uns au-dessous des autres, de manière que les unités de tous ces nombres se trouvent sur la même rangée verticale, que les dizaines pareillement se trouvent sur la môme rangée verticale, et ainsi de suite pour les autres ordres d'unités. Cette disposition a pour eff'et de faciliter l'opération. Reste à savoir par quel ordre d'unités il convient de commencer. Évidemment par les unités simples, car si de l'addition de ces tmités il résulte des dizaines, on pourra en tenir compte lorsqu'on passera aux dizaines. De même, si de l'addition des dizaines il résulte des cen* taines, on pourra en tenir compte lorsqu'on passera aux centaines. L'opération doit donc marcher de proche en proche des ordres inférieurs aux ordres supérieurs.

Écrivons donc les nombres proposés les uns au-dessous des outres de manière que les unités soient sur une même rangée verticaley les dizaines pareillement, ainsi que les centaines, les miUe^ etc.

4. Premier exemple. Les nombres étant disposés de la sorte, on a :

Commençant par les unités, on dit ; 2 et 3 font 5, et 8 font 13, et 6 font 19. En 19, il y a 9 unités, que l'on écrit sous la colonne des unités , et une dizaine, que l'on retient pour l'ajouter avec les dizaines. Passant à la colonne des dizaines, l'on dit : 1 de retenue et 5 font 6, et 2 font 8, et \ font 9. On écrit les 9 dizaines sous la colonne des dizaines, mais sans retenue, parce que le résultat, formé d'un seul chiffre, ne conlienlça?» i^ ç.^w\a\w^. K\î>. oolonne des centamesy Ton dit ; 4 et 6 îoxvV V^, ^X'^ ^.wvX'^

M NOUVELLE ARITHMÉTIQUK.

Vm il centaines contiennent i mille que l'on retient pour l(^ porl<U' h la colonne des mille, et 7 centaines que Ton /icrit sous la colonne des centaines. Enfin pour la coloone (leN mille, on dit : 1 de retenue et f foot 2, et 2 font^. On <Scrit 4 sous la colonne des mille. La somme 'est

ft. Srcond exemple. Soit encore l'addition suivante :

3 et 9 font 12, et 8 fcmt 20, et 9 font 29. En 29, il y a uniti^s, que Ton écrit, et 2 dizaines, que Ton retientpour le» porter à la colonne des dizaines. 2 de retenue et 1 font 3, ot 4 font 7, et 6 font 13, et 7 font 20. Ces 20 dixaineN fout 2 centaines, que Ton retient pour la colonne inuivanio. (^ea deux centaines retenues, il ne reste plus riou. On écrit donc à la colonne des dizaines. 2 de retenue et 6 font 8, et 7 font i5, et 9 font 24. On écrit les 4 centaines, et Ton retient les 2 mille. 2 de retenue et 9 font il, et 8 font H). En 19 mille il y a 9 mille que l'on écrite la colonne des mille, et une dizaine de mille que Ton écrit à son rang en avant des mille. La somme est IWOî).

Dans la pratique, toute explication étant laissée de côté, on opôrc comme il suit : ^

3 et 9 font 12, et 8 font 20, et 9 font 29. Je pose 9 et je retiens 2. 2 et 1 font 3, et4 font7, et 6 font 43, et 7 font 20. Je pose et je retiens 2. 2 et 6 font 8, et 7 font 45, et 9 font 24. Je pose 4 et je retiens 2. 2 et 9 font il, et 8 font 19.

6. RÈGLE. Po2ir additionner plusieurs nombres , on les écrit les uns au-dessous des autres de manière que les unités de même ordre soient sur la même colonne verticale. On trace un trait horizontal sous ces nombres pour les séparer du totale puis on fait^ de proche en proche^ d^abord l'aadition des unités y ensuite des dizaines^ ensuite des centaines, etc. Si la somme d'une colonne est exprimée par un seul chiffre, on Vé- ^^^y ^e//eçue//e sous cette colonne ; si elle est ex'grimée par ^^'Z^ cAi^es, on écrit le dernier ^e\x\jefme,tiX^ et IT autre, expv

' ADDITION. 1î>

^M des unités de tordre immédiatement supérieur, est r^portéà la colonne suivante.

Dans les fortes additions, il peut se faire que la somme d'une colonne soit exprimée par un nombre de plus de deux chiffres. Supposons que cette somme soit 247. Alors on écrit 7 sous la colonne correspondante, et Ton retient 24 pour l'ajouter à la colonne suivante.

7. Preuve de l'addition. Pour vérifier le résultat d'une opération, pour s'assurer s'il est exact, on fait une seconde Opération qu'on appelle preuve, La preuve ne peut nous rendre absolument certams de l'exactitude du résultat. On conçoit, en effet, que la nouvelle opération faite pour vérifier la première, puisse être affectée d'erreurs qui, en se compensant , amènent un accord apparent. Si la preuve et l'opération première s'accordent, il est donc très-probable, mais non absolument certain, que le résultat est exact.

Pour faire la preuve de t addition, on recommence en additionnant les colonnes de bas en haut. Ainsi, dans l'exemple qui précède , l'on dit : 9 et 8 font 17, et 9, font 26, et H font 29. Je pose 9 et je retiens 2. 2 et 7 font 9, et 6 font 15, et 4 font 19, et 1 font 20. Je pose et je retiens 2, etc., etc. Le résultat obtenu de la sorte doit évidemment être égal au résultat obtenu la première fois.

Si l'addition est longue, on la partage en plusieurs additions. Le total des sommes partielles doit être égal au total de l'ensemble.

8. Preuve par 9 de l'addition. L'addition est une opération pénible . quand elle est longue. La preuve, qui n'est que cette même opération faite dans un autre ordre, est tout aussi pénible. La preuve par 9 est bien plus rapide. ,

Considérons le nombre 24159. Dans ce nombre négligeons le chiffre 9, et les chiffres dont les valeurs absolues ajoutées entre elles donnent 9. Tels sont 4 et 5. Ce triage fait, additionnons les autres chiffres considérés comme des unités simples. Nous aurons 2 et i font 3.

On arrive à ce résultat 3 sans triage préalable des 9 et des chiffres qui entre eux font 9. Additionuotvs ei\ e-Cfe.^ tous les chiffres considérés comm^ à^^ -vrovXfe.^ ixss^^'^^ rous aurons :2 et4 foat 6, et 1 totvtT , e\.^ \^\v^V3u^ ^V

aO NOUVELLE ARITHMÉTIQUE.

font 21. Le résultat composé de plusieurs chiffres est traité de la même manière, c'est-à-dire que ses chiffres sont additionnés comme des unités simples. Cela donne 2 plus 1 ou 3, résultat égal au premier.

Le triage préalable des 9 et des chiffres qui entre eux font 9, abrège mais sans modifier le résultat. Si donc ce triage est incomplet ou môme nul, il n'y a pas lieu de s'en ; préoccuper : le résultat est le môme.

On établira plus loin que le résultat auquel on arrive en traitant un nombre de cette manière, est le reste que Ton obtiendrait en retranchant 9 de ce nombre autant de fois qu'il y est contenu. Pour nous en convaincre, considérons le nombre 25, Le nombre 9 y est contenu deux fois pour i8. Si de 2") on retranche 18, il reste 7. Or 7 est précisément la somme des chiffres du nombre : 2 et 5 font 7. Nous appellerons donc le résultat de ce traitement reste par 9.

Si l'addition des chiffres conduisait à 9, on négligerait ce chiffre comme toujours, et le reste serait 0,

Soit maintenant à faire la preuve de l'addition suivante :

En négligeant, pour abréger , les 9 et les chiffres qui font 9 entre eux, en négligeant enfin les chiffres marqués d'un point, on a pour le premier nombre 4, que l'on écrit en face. Pour le second nombre, on a 0. Pour le troisième, on dit : 8 et 6 font 14 et 8 font 22. Le résultat ayant plus d'un chiffre, est traité de la même manière : 2 et 2 font 4. Enfin le quatrième donne 6.

Ces restes sont additionnés entre eux : 1 et 4 font 5, et 6 font 11- Le résultat composé de deux chiffres est soumis à une seconde addition : i et 1 font 2, que l'on écrit sous la colonne des restes.

Sjraàâhion est bien faite, la somme 19712 doit donner ^e même résultât 2. Et en effet, en né^Wg^îvxvl, ^owc ^\it&-

ADDITION. 2i

8Gr, le 9 et les chiffres qui entre eux font 9, on a : 1 et 1 font 2.

9. Calcul mental. On fait du calcul mental lorsqu'on cherche de tête le résultat d'une opération, sans écrire les ïiombres, sans recourir à la plume ou au crayon. Les opérations un peu compliquées sont très-difficiles à faire mentalement, mais il n*en est pas de même pour les opérations qui portent sur un petit nombre de chiffres, et ce serait donner une bien mauvaise idée de ses connaissances arithmétiques, si pour un calcul des plus simples, que fait sans hésitation une personne non instruite, on avait besoin de l'outillage de l'écriture, encre, plume et papier. 11 convient donc de s'y exercer. On arrive au résultat, non en suivant pas à pas les règles ordinaires de Tarithmélique, mais par des combinaisons que chacun varie à sa guise et qui sont inspirées par le bon sens. Les plus simples de ces combinaisons sont les meilleures. Nous allons en donner quelques exemples pour l'addition.

C!k)mbien font 24 et 17? — Au lieu de supposer les deux nombres écrits l'un sous l'autre et de les additionner de droite à gauche, comme on le ferait dans le calcul écrit, on dit mentalement : 20 et 10 font 30; 4 et 7 font 11. Additionnant ensuite les deux parties de la somme , on dit : 30 et 1 1 font 41 . Tel est le résultat cherché.

Les nombres de deux chiffres ne comprenant que des dizaines, tels que nO et 60, 20 et 70, sont faciles à additionner : il suffit de faire la somme des chiffres des dizaines et de faire suivre le total d'un zéro. On ramène souvent à l'addition de deux nombres pareils l'addition de deux nombres quelconques, en ayant soin de retoucher après le résultat, soit en plus, soit en moins, suivant l'altération qu'on a fait subir, pour simplifier, aux nombres proposés.

Quelle est la somme de 49 et de 58? — Pour simplifier, remplaçons 49 par 50, et 58 par 60. La somme de 50 el de 60 est 110. Mais ce nombre est trop fort de 3 unités, parce

3ue 49 a été augmenté de 1 et 58 a été augmenté de 2. Il faut onc retrancher 3 de 110. Le résultat demandé est 107. Combien font 73 et 68? — Remplaçons 73 par 70 et 68

Î>ar 70. La somme devient 140. l^ais on a négligé 3 dans e premier nombre et Ton a ajouVfel ^w %^ç.Qk\A/î> ^^ moins et S en plus font i en moins. \\ l^ux. ^^^^^ ^^'^ menter 140 de i. La somme dematiàfee es\* iw\sv\^^^-

RÉSUMÉ é

1. Les quatre règles, ou opérations élémentaires, sont : l'addition, la soustraction, la multiplication, la division.

'2. L'addition a pour but de réunir plusieurs nombres de la même espèce en un seul ayant même valeur que l'ensemble des autres. Le résultat s'appelle somme ou total,

3. Les nombres à additionner doivent être écrits les uns sous les autres de manière que les unités de môme ordre soient sur la môme colonne verticale.'

4. On commence par la droite pour pouvoir reporter à la colonne suivante les unités de l'ordre immédiatement supérieur qui proviennent de la colonne sur laquelle on opère.

5. Si radditiun d'un^ colonne donne 14 par exemple, on écrit 4 sons cette colonne et Ton retient J pour la colonne suivante. Si elle donne 45, on écrit 5 et l'on retient 4.

6. Si la somme d'une colonne donne ^36, on écrit 6 et l'on retient 23.

7. Likprpuve est une seconde opération au moyen de laquelle on vérifie le résultat d'une première.

La preuve de l'addition se fait en recommençant l'opération, mais de bas en haut.