QUAND ELLE N'EST PAS EXACTEMENT EXPRIMÉE PAR UN NOMBRB

ENTIER. La racine carrée de 12 est plus grande que 3 et plus petite que 4. Elle se compose donc dé 3 unités plus une fraction. Or cette fraction ne peut être exactement représentée, si loin que le calcul soit poursuivi. Si, en effet, il était possible de représenter exactement la racine carrée de i 2 par un nombre fractionnaire ayant un nombre déterminé de décimales, il faudrait que le carré de ce nombre fractionnaire fût égal au nombre entier 12, ce qui ne peut avoir lieu, d'après la proposition précédente. Pour indiquer que la racine carrée de 12 ne peut être exactement obtenue aussi loin que Ton poursuive le calcul, on dit que cette racine est incommensurable. Il en est de même des racines carrées de 2, de 3, de 5, de 6, elc, en un mot, de tous les nombres dont les racines carrées ne softt pas exactement un nombre entier.

11. Extraction d'une racine incommensurable. Si Ton ne peut obtenir exactement la racine carrée, d'un nombre entier, quand cette racine n'est pas elle-même un nombre entier, on peut du moins l'obtenir avec tel degré d'approximation que Ton veut. Proposonç-nous, comme exemple, d'extraire la racine carrée de 12 à un millième près. La racine, s'arrêtant aux millièmes, a trois décimales; il en faut donc le double ou 6 au carré. On écrit 6 zéros à la droite de i^^ on extrait à une unité pt^s la racine du nombre entier ainsi obtenu ^ puis l'on sépare trois décimales à la racine.

RACINE GARBÉE. 273

La ràcme carrée du nombre 12000000 est comprise éûtré '34É64 et 3465 ; la racine carrée de 12 est donc 3,464 ai' millième près.

' En généralisant, on arrive à la règle suivante : Pour e:tfratre une racine à une unité près a un ordre décimal donnée il faut que le carré ait le double des décimales que Von fiéut avoir à la racine. Si le nombre proposé n*a pas ce nom" ère- double de décimales^ on y supplée par des zéros. On extrait ensuite la racine sans faire attention à la virgule, et Von sépare au résultat la moitié dés décimales du carré, c'est-à-dire le iambre même de décimales que Von se propose d avoir.

n'esta remarquer que* les décimales d'une racine incoraftiensurable, non-seulement ne se terminent jamais, si loin qiïe lé calcnl soit amené, mais encore se succèdent sans ordre, sans période. Il faut ce double caractère pour qu'une quantité ^oit qualifiée d'incommensurable. Ainsi les fractions périodiques ne sont pas incommensurables, bien qu'elles ne se terminent jamais .

.12. Carré ET RACINE carrée des fractions ordinaires. Four multiplier une fraction par cette même fraction, on mùUïpWe^le numérateur par lui-même et le dénominateur pàip lul-m%me. Par conséquent, pour élever une fraction au carré, il faut élever au carré chacun de ses deux termes.

Réciproquement : Pour extraire la racine carrée d'une

fraction^ il faut extraite la racine carrée de^ chacun de ses

deux termes.

. 15 4 Ainsi la racine carrée de — est—, 4 étant, la racine

carrée du numérateur 16, et t» la racine carrée du dénominateur 25 .