CHAPITRE IV
iloaitraettoii.
1. DÉFINITION DE LA SOUSTRACTION. La soustractioTt a pour but de retrancher un nombre plus petit d'un autre nombre de méim espèce plus grand. Le résultat s' appelle reste oudifférence^
Comme pour Taddition , les deux nombres évidemment doivent être de la même espèce, car rechercher ce qui reste lorsque de 25 francs on retranche 12 heures ne peut avoir aucun sens. D'un nombre de francs, on ne peut retrancher qu'un nombre de francs; d'un nombre d'heures, on ne peut retrancher qu'un nombre d'heures.
Si de la somme de deux nombres, on retranche l'un d'euXj le reste, c'est évident, est égal à l'autre nombre. On peut donc dire encore :
La soustraction a pour but^ quand on connaît la somme de deux nombres et Vun d'eux, de trouver Vautre nombre,
2. Marche de l'opération dans le cas le plus simple. L'opération de la soustraction, on le conçoit sans peine, doit consister à retrancher successivement les unités du second nombre des unités du premier, les dizaines du second nombre des dizaines du premier, etc., etc. On est donc conduit à écrire les deux nombres l'un au-dessous de l'autre, unités sous les unités, dizaines sous les dizaines, centaines sous les centaines, comme il suit :
Oiommençant par la droite , Von à\\. \?> t^Vfe^ ^^ '^.^^jv^ Z qu'on écrit à la colonne des uxiWfes, Va^^^xsX. ^>» ^^^^'^
supérieurs, on fait de même : 6 ôtés de 7, reste 1 ; 7 ôtés de 9, reste 2 ; et enfin 1 ôté de 4, reste 3.
3. Remarque. L'opération précédente n*a présenté aucune difficulté, parce que chaque chifi're du nombre inférieur a une valeur moindre que le chiffre correspondant du nombre supérieur. Mais il arrive très-fréquemment que le chiffre inférieur est plus fort que le chiffre correspondant supérieur, et alors la marche telle que nous venons de rindiquer ne peut être suivie. Gomment, en effet, retrancher par exemple 8 de 3, si ce cas se présente? On a recours alors à un artifice basé sur la considération que voici :
La différence entre deux quantités ne change pas lorsquelles augmentent l'une et l'autre de la même quantité.
N'est-il pas vrai , par exemple, que si deux cordes diffèrent d'un mètre en longueur , elles différeront encore d'un mètre après qu'on leur aura ajouté , à l'une ainsi
au'à l'autre, un bout de corde de même longueur? N'estpas vrai que, si deux personnes diffèrent de quatre travers de doigt pour la taille, elles différeront encore de quatre travers cle doigt après avoir également grandi? C'est ce qu'exprime d'une manière générale la précédente proposition, que nous allons appliquer h la soustraction.
4. Marche de la soustraction dans le cas général. Du nombre 6483, on se propose de retrancher 4726. Écrivons les deux nombres unités sous unités, dizaines sous di- . zaines, centaines sous centaines, etc., le plus petit nom* bre étant sous le plus grand.
Commençons par la droite. Une difficulté immédiatement se présente : 6 ne peut être retranché de 3. Alors on augmente le chiffre 3 de 10 unités, ce qui fait 13, et l'on dit : 6 ôtés de 13, reste 7, que Ton écrit à la colonne des unités. Le nombre supérieur a été augmenté de 10 unités. Afin que la différence entre les deux nombres ne soit pas changée , il faut donc augmenter aussi le second nombre de 10 unités, ou, ce qui revient au même, de 1 dizaine. Ajoutée aux 2 dizaines qu'il y a déji au
SOUSTBACTÏON. S 7
nombre inférieur, cette dizaine , qui contre-balance les 10 unités ajoutées au premier nombre, donne 3 dizaines. On dit donc : 3 ôtés de 8, reste 5, que Ton écrit à la colonne des dizaines, La même difficulté revient quand on passe aux centaines : 7 ne peut se retrancher de 4. On augmente donc le nombre supérieur de iO centaines , ce qui fait 14 centaines avec les 4 qu'il y a déjà , ei Ton dit : 7 ôtés de 14, reste 7. Pour contre-balancer les 10 centaines ajoutées au premier nombre , on ajoute aussi 10 centaines au second, autrement dit 1 mille. Ce mille et les 4 qu'il y a déjà font 5, qui, ôtés de 6, donnent 1 pour reste. La différence est ainsi de 1757. Cette différence est bien celle que nous cherchons parce que les deux nombres ont été mentalement accrus le premier de 10 unités d'abord, puis de 10 centaines ; le second de 1 dizaine d'abord, puis de 1 mille, quantités de même valeur que les premières. Cet artifice de calcul n*a donc pas changé la différence cherchée.
Dans la pratique on dit : 6 ôtés de 13, reste 7. Je pose 7 et je retiens 4. (Cet 1 de retenue n'est autre que la dizaine qu'il faut ajouter au nombre inférieur pour contrebalancer les 10 unités ajoutées au nombre supérieur.) i de retenue et 2 font 3 ; 3 ôtés de 8, reste 5. 7 ôtés de 14, ïeste 7, et je reliens 1. (Cet 1 de retenue est le mille qu'il 6ut ajouter au nombre inférieur pour contre-balancer les W centaines ajoutées au nombre supérieur.) 1 de retenue «t 4 font 5 ; 5 ôtés de 6, reste 1 .
5. RÈGLE. Pour retrancher un nombre d'un autre, on écrit k plus petit sous le plus grande de manière que les unités de ^ême ordre se correspondent. Commençant alors par les unités simples y on retranche successivement chaque chiffre inférieur au chiffre correspondant supérieur et l on écrit le reste sous la colonne qui l'a fourni. Si le chiffre inférieur surpasse le chiffre supérieur, on ajoute 10 « ce dernier et Von (fpère la soustraction sur le total. Mais alors^ à la soustraction }>ariielle suivante, on augmente d'une unité le chiffre du nombre inférieur. Si pour une colonne le reste estzéi^Oy on écrit son s ^te colonne.
6. Cas partiguuer. Lorsque le plus grand nombre se x>mpose de l'unité suivie simplement d^7A\Çi^^ ow^^sv^^wi. a méthode suivante, plus rapide.
Proposons-nous de retrancher 5'tij^ de \QQK^. ^^ ^^"^
iS NOUVELLE ARITHMÉTIQUE.
dédoubler 10000 en deux parties, savoir : 9990 et 40, dont la somme reproduit le nombre proposé. En d'autres termes, on peut regarder 10000 comme composé de
9 mille, de 9 centaines, de 9 dizaines et de 10 unités. Celte modification faite, il faut retrancher comme toujours les unités des unités, les dizaines des dizaines, les centaines des centaines, etc., c'est-à-dire qu'il faut retrancher de
10 fe chiffre des unités du plus petit nombre et retrancher de 9 chacun des autres chiffres,
On dit alors : 3 ôtés de 10, reste 7 ; 6 ôtés de 9, reste 3 ; 4 ôtés de 9, reste 5 ; 5 ôtés de 9 reste 4.
Soit encore à soustraire 768 de 100000. Le nombre 100000 peut être considéré comme formé de 9 dizaines de mille, de 9 mille, de 9 centaines, de 9 dizaines et de 10 unités.
On dit par conséquent : 8 ôtés de 10, reste 2 ; 6 ôtés de 9, reste 3 ; 7 ôtés de 9, reste 2. Cela fait, il y a encore les 9 mille et les 9 dizaines de mille du grand nombre; on les écrit à la gauche du résultat.
La règle est donc celle-ci : Quand le plus grand nombre de la soustraction est formé de l'unité simplement suivie de zéros, on le regarde comme composé d^ autant de 9 qu'il y a de zéros, moins le dernier zéro, que l'on remplace par 10.
Cette marche se prête aisément au calcul meutaL A mesure qu'on énonce le nombre à soustraire, il suffit de chercher ce qu'il faut ajouter à chacun de ses chiffres pour faire 9, et ce qu'il faut ajouter au dernier pour faire 10. Chaque résultat est un chiflre du reste.
7. Preuves de la soustraction. Le reste d'une soustraction indique de combien le plus grand nombre surpasse le plus petit. 11 est dès lors évident qu'en faisant la somme du reste et du plus petit nombre, on doit obtenir le plus grand. Ce qui fournit une première preuve.
