MOLTIPUCATIOJXPAB. UN NOMBRE BE PLUSIEURS CHIFFRES

^^tÂ multiplier 466 par 213. Pc vit rfe^ëlet \vû.^oxi^\^

273 fois, il faut évidemment le répéter 3 fois, puis 70 fois, puis 200 fois et ajouter les trois résultats. Mais pour répéter un nombre 70 fois, il suffit, nous venons de le voir, de le multiplier d'abord par 7 et ensuite par 10, ce qui se fait en écrivant un zéro à la droite du produit. De même, pour répéter un nombre 200 fois, il suffit de le multiplier par 2 et ensuite par 100, en écrivant 2 zéros à la droite du résultat. On est ainsi conduit à opérer trois multiplica' lions par un seul chiffre. Le résultat de la multiplication par 3 reste tel quel, le résultat de la multiplication par 7 doit être suivi (run zéro, enfin le résultat de .la multiplication par 2 doit être suivi de deux zéros.

1368 ou 3 fois 456 31920 ou 70 fois 456 91200 ou 200 fois 456

124488 ou 273 fois 456

Le produit de 456 par 3 est 1368 que Ton écrit tel quel. Le produit de 456 par 7 est 3192 ; mais, comme il faut encore multiplier i)ar iO, on écrit un zéro à droite et Ton a 31920. Le produit de 456 par 2 est 912; mais comme il faut -encore multiplier par 100, on écrit deux zéros à droite et Ton obtient 91200. 11 ne reste plus qu'à faire la somme de ces trois produits partiels.

Il est visible que le zéro écrit à droite du produit partiel par 7 n'a aucune influence sur la somme lorsqu'on additionne les trois produits partiels. Il sert uniquement à faire occuper, aux chiffres significatifs qui raccompagnent, la place qui leur convient. De même, les deux zéros écrits à la droite du produit partiel par 2 font occuper, aux chiffres significatifs qui l'accompagnent , la position

Jui leur convient, mais ils sont par eux-mêmes sans inuence sur la somme. On peut donc parfaitement les supprimer, les sous-entendre, à la condition expresse que les chififres significatifs des divers produits partiels occupent les rangs voulus. C'est ce que l'on fait dans la pratique, conformément à l'exemple ci-après.

Le produit partiel par 7 est avancé d'un rang vers la i^auche ])Our laisser la place du zéro sous-entendu et représenter ainsi le produit par 70. Le produit partiel par 2 est avancé de deux rangs vers la gauche pour laisser la place des deux zéros sous entendus et représenter ainsi le produit par 200. Aussi le dernier produit partiel 912 ne doit pas Otre lu neuf cent douze, mais bien quatre-vingtonze mille deux cents, comme s'il y avait réellement deux zéros à sa droite : 91200,

42. Par quel cuiffre du multiplicateur il convient de COMMENCER. Dans l'exemple que nous venons de donner, le produit complet se compose de la somme de trois produits partiels , savoir : produit par.tiel des unités ou par 3, produit partiel des dizaines ou par 7, produit partiel des centaines ou par 2. Par lequel de ces produits convient-il de commencer l'opération? On peut commencer par l'un ou par l'autre indifTéremment, à la condition que les chiffres de chacun d'eux occupent, dans les colonnes verticales, le rang qui leur convient; ce qu'on obtient par des zéros écrits ou sous-entendus. Rien n'empêche par exemple de commencer par la gauche du multiplicateur oo par les centaines. L'opération est aloi*s conduite comme il suit :

Dans ce cas, on le voit, tout revient à avancer d'un rang

vers la droite chacun des produits partiels successifs, afin

de laisser à la suiie du produit partiel par 2 centaines les

^^^^axpiaces que défraient occuper les deux, xéros sous-en-

i9ê, etc.

MULïimCATION, 41

Bien que cette manière d'opérer soit aussi naturelle qyie toute autre, l'usage cependant a prévalu de commencer par la gauche du multiplicateur.

43. RÈGLE. Pour faire la multiplication de deux nombres de plusieurs chiffres , on écrit le multiplicateur au-dessous du multiplicande et Von tire un trait horizontal pour les séparer des jproduits partiels.

On multiplie alors le multiplicande d'abord par le chiffre des unités au multiplicateur ^ puis par celui des aizaines , puis par celui des centaines, etc., en ayant soin déplacer le p^^emier chiffre, de chaque produit partiel sur la colonne verticale du chtmre par lequel on multiplie.

Tous les produits partiels étant obtenus, on trace une ligne horizontale et Von fait la somme de ces produits partiels. Cette somme est le produit cherché,

14, Cas ou il se trouve des zéros dans le corps du multiplicateur. Proposons-nous de multiplier 4526 par 3005.

Après avoir fait le produit partiel par les 5 unités, on passe immédiatement au produit partiel des mille ou par 3, sans tenir compte des deux zéros interposés, car ces deux zéros ne donnent évidemment aucun produit. On a soin, d'ailleurs, conformément à la règle énoncée ci-dessus, d'écrire le premier chiffre du produit partiel des mille au quatrième rang ou au rang des mille , enfm à la colonne verticale du chiffre 3 par lequel on multiplie. Les trois rangs laissés vides sont la place des trois zéros sous-entendus , zéros nécessaires pour exprimer le produit partiel des mille. On voit, en outre, qu'une multiplication comprend autant de produits partiels qu'il y a de cliiffres significatifs dans le multiplicateur,

15. Théorème. Si l'un des facteurs est rendu 2, 3, 4 fois pha arandy le produit devient lui-même 2, 3^ 4 (ois, (j/as gram. Si, par exemple^ on mulliçVie ^^ ^^\ ^ ^xxwè. ^-^sX et 25 par 48 d'autre part, comme \S e^\. fe^A^v.^ Vî\^ ^ A'^

second produit sera 3 fois plus grand que le premier. Et en effet, puisqu'on répète le multiplicande 25 un nombre de fois 3 fois plus grand, le résultat doit avoir une valeur

3 fois plus grande. Ainsi toutes les fois que le multiplicateur devient un certain nombre de fois plus fort, le produit devient ce môme nombre de fois plus fort.

Pareille chose arrive au sujet du multiplicande. Supposons effectivement que le multiplicande devienne 4 fois plus grand, le multiplicateur restant le' môme. Alors on répète un môme nombre de fois un nombre 4 fois plus fort. Nécessairement le résultat est 4 fois plus fort.

Ainsi, quel que soit le facteur rendu un certain nombre de fois plus fort, le produit devient ce môme nombre de fois plus grand.

16. Théorème. Si Vun des facteurs est rendu 4 fois plus grand, par exemple, et l'autre 5 fois plus grand, le produit est rendu 20 fois plus g7'and. Si, en eli'et,' le multiplicande est rendu 4 fois plus grand, par cela même , d'après ce qui précède, le produit devient 4 fois plus grand, ou se trouve multiplié par 4. — Si, d'autre part, le multiplicateur est en môme temps rendu 5 fois plus grand, le produit, déjà rendu 4 fois plus grand à cause du multiplicande, devient en outre 5 fois plus grand, ou se trouve multiplié par 5 après avoir été déjà multiplié par 4. Mais nous avons déjà vu qu'une quantité successivement multipliée par 4 et par 5, est en définitive multipliée par 20. Le produit est donc rendu 20 fois plus fort.

(Remarquons bien que le produit est rendu plus fort un nombre de fois égal à 20 produit de 4 par 5, et non à 9 somme de 4 et de 5.)

17. Théorème. Un produit est rendu 2, 3, 4 fois plus petit , si Pun de ses facteurs est rendu 2,3,4 fois plus petit. Car si le multiplicateur est rendu 4 fois plus petit, on répète le multiplicande un nombre de fois 4 fois moindre, et par conséquent le résultat est 4 fois moindre. — Si le multiplicande, au contraire, est rendu

4 fois moindre, le multiplicateur ne changeant pas, on répète un môme nombre de fois un nombre 4 fois moindre, ce qui doit nécessairement donner un résultat 4 fois plus

j?elJL II suit de là que, si un facteur est rendu ^ fois p^us fort ^^ /ûnù-e 5 fois plits petit, fe proAvxi ne chatige pas de -oo

kur; car, à cause du facteur rendu 5 fois plus fort, le produit est rendu 5 fois plus fort, mais , d'autre part, k cause du facteur renJu 5 fois moindre, le produit est rendu 5 fois moindre. Les deux modifications inverses se compensent et le produit ne change pas de valeur.

18. Théorème, Si l'un des facteurs est rendu 3 fois plus petit et l'autre 4 fois plus petit, le produit est rendu i2 fois pba petit. Effectivement la modification apportée au premier facteur rend le produit 3 fois moindre. De plus, ce produit, déjà 3 fois moindre, est rendu 4 fois moindre

Kr la modification apportée au second facteur. Il est ne en tout 12 fois moindre. (Remarquons encore que 12 est le produit de 3 par 4, et non la somme de 3 et de 4.)

19. Théorème. Un nombre terminé par des zéros est rendu iOfris, 100 fois, 1000 fois, etc., plus petit, quand on supprime un zéro, deux zéros, trois zéros, etc., à sa droite. Si

!)ar exemple au nombre 736000 on supprime deux zéros, e nombre devient 100 fois moindre.

. Comparons en effet chiffre par chiffre le nombre primitif et le môme nombre après la suppression de deux zéros.

Dans le premier nombre, le chiffre 6 exprime des mille; dans le second, il exprime des dizaines , dont la valeur est 100 fois moindre que celle des mille. — Dans le premier nombre, le chiffre 3 exprime des dizaines de mille; dans le second , il exprime des centaines, dont la valeur est 100 fois moindre, etc. — Par la suppression de deux zéros^ chaque chiffre significatif du premier nombre est donc descendu de deux rangs et représente ainsi une valeur 100 fois moindre. Le nombre lui-même est par conséquent 100 fois moindre.

20. Multiplication lorsque l'un des facteurs ou tous LES DEUX sont TERMINÉS PAR DES ZÉROS. Lcs théorèmcs précédents ont de nombreuses applications. En voici une.. Soit à multiplier 37000 par 2500.

On opère la multiplication des deux nombres comme €\\ ly avait pas de zéros, et à la droite du produit oUetwi.

on écrit autant de zéros qu'il y en a dans les deux facteurs î réunis, ^

En supprimant les 3 zéros du multiplicande, on a rendu ce facteur 1000 fois plus petit, et par conséquent le produit est lui-môme devenu 1000 fois moindre. En supprimant les 2 zéros du multiplicateur, on a rendu ce facteur, et par suite le produit, 100 fois moindre. Le produit rendu d'une part 1000 fois moindre et d'autre part 100 fois moindre, se trouve 100 fois 1000, ou 100000 fois trop

f>etit. Pour le ramener à la valeui* qu'il doit avoir, il àut donc le rendre 100000 fois plus fort, ce qui se fail en écrivant 5 zéros à sa droite, c'est-à-dire autant qu'il y en a dans les deux facteurs à la fois.

Ainsi à la droite du produit 925 Ton écrit 5 zéros et Ton a 92500000 pour produit des deux nombres 37000 et 2500.

21. Preuve de la multiplication par une autre multiplication. Le produit ne change pas de valeur quand on intervertit Tordre de ses facteurs. Si donc Ton prend pour multiplicande , le nombre qui a servi de multiplicateur dans une opération, et pour multiplicateur le nombre qui a servi de multiplicande , le nouveau produit doit être égal au premier si l'opération est bonne.

Opération. PreaTe.

iS. Preuys sar 9. La preuve par 9 s'opère comme il

On traite le multiplicande comme il a été dit au sujet de la preuve par 9 de l'addition. Le résultat est écrit en &ce. On en fait autant pour le multiplicateur. Les deux résultats obtenus sont multipliés Tun par l'autre. Le produit est 20. Ce nombre ayant plusieurs chiffres, on en fidtla somme: 2 et font 2, que l'on écrit. Si l'opération est bonne, le produit traité de la même manière doit donner 2. En effet, en négligeant les chiffres qui CAtre eux font 9, on a : 7 et [> font 12, et 8 font 20. On recommence sur ce résultat de plusieurs chiffres : Set Ofont 2, que l'on écrit en face du produit. On arrive au môme résultat, il est donc très-probable que l'opération est bonne.

23. Usages de la multipucation. Quelques exemples établiront dans quels cas il faut faire usage de la multiplication.

Une vigne comprend 43 rangées de souches. Chaque niDgée se compose de i24 souches. Combien y a-t-il de souches dans la vigne ? Il faut répéter 424 souches autant de fois qu'il y a dérangées, il faut enfin multiplier i24 par 43.

Un tonneau contient 386 litres. Que contiendront 25 tonneaux pareils? — 11 faut répéter la contenance d'un tonneau, 385 litres, autant de fois qu'il y a de tonneaux; il fent multiplier 385 par 25.

Un mouton vaut 23 francs. Que vaut un troupeau de 142 moutons pareils? — Il faut répéter le prix d'un mouton, 23 francs, autant de fois qu'il y a de moutons dans le troupeau, il faut multiplier 23 par 142.

Ce dernier problème conduit à une observation d'une certaine importance. Il est naturel de prendre pour multiplicande la quantité qu'il faut répéter, wotûtek\:^^<^'y^x5Ltbes d'une rangée, contenance à'utv \.OTvw^î^\^^^^^:x^ ^\y^ ïïiottton, et de prendre pour mu\Uç\\caXe\x\\^ wcyHÙst^ q^j^

4. Conséquence. Il suit de là que, lorsqu'on sait de mémoire le produit de 4 par 6, de 7 par 9, de 5 par 8, etc., on sait aussi le produit de 6 par 4, de 9 par 7, de 8 par 5, etc. ; car, dans ces derniers cas, il y a un simple renversement de facteurs, ce. qui n'a pas d'influence sur la valeur du produit. 11 convient toutefois de s'habituer à dire immédiatement le produit de 9 par 7, de 8 par 5, enfin d'un chiffre plus fort par un chiffre plus faible, sans recom'ir au renversement des facteurs, ce qui est cause d'une certaine hésitation ; il convient, en un mot, de savoir très-bien la table de multiplication telle qu'elle est donnée ci-dessus.

5. La multiplication est une addition abrégée. On se propose de répéter 264 5 fois. Le moyen qui tout d'abord se présente à l'esprit est d'écrire 5 fois le nombre 264 audessous de lui-même et de faire la somme des 5 nombres égaux,

4 et 4 font 8, et 4 font 12, et 4 font 16, et 4 font 20. Je pose et je reliens 2. 2 de retenue et 6 font 8, et 6 font 14, etc., etc. La somme est 1320. On obtient donc 1320 en répétant 264 5 fois.

On comprend combien cette marche serait péniblé^si le multiplicateur était un nombre un peu fort, s'il fallait, par exemple, répéter 264 quelques centaines de fois. Pour abréger, on a recours à la multiplication, dont l'opération précédente nous fournira le point de départ. Remarquons, en effet, que, dans la somme effectuée plus haut, le chiffre 4 des unités est répété 5 fois, qu'ensuite le chiffre 6 des dizaines est répété 5 fois, et qu'enfin le chiffre 2 des centaines est répété 5 fois. Au moyen de la table de multiplication, ces répétitions successives peuvent être faites sans qu'il soit nécessaire d'écrire 5 fois 264 au-dessous de Jui-môme.