PAR UN NOMBRE D^ON SEUL CHIFFRE

1. Notions préliminaires. Si Ton se proposait de répartir également 48 pommes entre 3 personnes, il faudrait de Tensemble des 48 pommes faire 3 parts égales, et en donner une à chaque personne. L'opération arithmétique apte à dire la part de chaque personne s'appelle division^ parce qu'elle divise, qu'elle partage. La quantité à partager, 48 pommes, se nomme dividende; le nombre 3, désignant en combien de parts égales les 48 pommes doivent être divisées, s'appelle diviseur; la part 16 de chaque personne s'appelle quotient.

Si le nombre des pommes était de 50, chacune des 3 personnes en aurait 16, ce qui ferait en tout 48 pomnaes; et il en resterait 2 que Ton ne pourrait partager à moins de les couper au couteau. Ce nombre 2 s'appelle le reste,

Lenombre 48, pouvant être divisé en trois parties égales sans reste, est dit divisible par 3. Au contraire, le nombre 50, qui, divisé par* 3, laisse un reste, nest pas divisible par^.

En général : Un nombre est divisible par un autre lorsque «a division par ce dernier donne un quotient sans reste ; il ^'estpas divisible s'il y a un reste.

Le reste évidemment est toujours moindre que le diviseur, car, s'il étaitégal au diviseur ou plus grand, il se prêterait au partage.

2. Signification des termes la moitié, le tiers, le QUART, le cinquième, ctc. Si Ics pommes sont à partager entre 2 personnes, on dit que chaque personne a la moitié ou la deuxième partie de la totalité des pommes ; elle en a le tiers ou la troisième partie si le partage se fait entre 3 personnes; elle en a le quart, ou la quatrième partie, si le partage se fait entre 4 personnes, ^w^wv 0\fc ^wî^^U ^rvtv.çuièmey le sixième^ le septième^ eVc, tf^^W^vt^ ^^^^'^^"

51 SùUTïLLE A3ITÎIMEn\}CE.

quième partie, la smème partie. la septième partie, etc., ^1 Le partage est fait entre 5^ eatre 6, entre 7 personnes. Ainsi prendre la moitié d"un nombre, c'est le diviser par 2. en prendre îe tiers. le quart, le cinquiènie, etc., c'est I-' diviser par 3. par -4. par 5, ele.

3. Re]l%R(^ue. La division d'un nombre quelconque par u:i nombre d'un seul chiCTre se ramène à prendre la moili'», le tiers, le quart, etc., d'un nombre pouvant avoir un <^\i\ chiffre ou deux au plus. Ouelques exercices vont nous laïuiliariser avec ce genre de recherches.

yuel est le quart de li? Le quart de 12 répété 4 fois doit reproduire li. Il faut donc chercher le nombre qui iituUiplié par 4 donne 12. La table de multiplication nous enseigne que 3 répété 4 fois donne 12. Le quart de 12 est donc 3.

(juel est le sixième de 48? Le sixième de 48 répété <*/ fois doit reproduire 48. Il faut donc chercher le nombre cui multiplié par 6 donne 48. Ce nombre est 8, car 6 fois 8 font 48.

Quel est le cinc^ième de 30? Diaprés la table de multitiplication, 6 répété 5 fois donne 30. Le cinquième de 30 est donc 6.

Pareillement le septième de 63 est 9, parce que 9 répété 7 fois donne (>3 ; le huitième de 32 est 4, parce que 4 ré- |>été 8 fois donne 32.

Très-fréquemment la division est* accompagnée d'un reste. Pour avoir, par exemple, le septième de 39, on consulte la table de multiplication ou mieux ses souvenirs, et l'on cherche le nombre qui répété 7 fois donne le produit U- plus approché de 39 sans toutefois le dépasser. Ce rombre est 5, qui répété 7 fois donne 35. Le septième de <{0 est donc 5, avec un reste 4 égal à la différence entre

:::} et 39.

Soit encore à trouver le huitième de 55. £n parcourant Il table de multiplication, on voit que le produit par 8 V* plus approché de 55 sans le dépiisser est 48, qui se com- [ose de 6 répété 8 fois. Le huitième de 55 est donc 6, avec un reste 7 égal à la différence entre 55 et 48.

4. Division par us nombre n'iN seul chiffre. Propo- ^''•QS-nous maintenant de diviser 648 par 2, ou, ce gui re-

laumèmCy d'en prendre la moitié. Cette moitié du tre total doit évidemment comprendre la moitié des

f DIVISION. 53

; centaines^ la moitié des dizaines et la moitié des unités. ' On opère donc comme il suit :

La moitié de 6 centaines est 3 centaines, que Ton écrit au rang des centaines et par conséquent sous le chiffre que Ton divise. La moitié de 4 dizaines est 2 dizaines, qoe l'on écrit au rang des dizaines. Enfin la moitié de 8 unités est 4 unités, que Ton écrit au rang des unités. La nwilié du nombre proposé se compose donc de 3 centaines, de 2 dizaines et de 4 unités ; c'est-à-dire que cette moitié est exprimée par le nombre 324.

Soit encore à prendre le tiers de 936, ou bien soit 936 à diviser par 3.

On dit : le tiers de 9, c'est 3. Le tiers de 3, c'est 1. Le tiers de 6, c'est 2. Le nombre 312 est le tiers de 930, parce qu'il comprend le tiers de ses centaines, le tiers de ses dizaines et le tiers de ses unités.

5. Cas ou les divisions partielles fournissent des ïESTBS. On se propose de diviser 912 par 4.

Le quart de 9 est 2, pour 8 ; et il reste i . On écrit 2 au rang des centaines. Quant à la valeur 1 qui reste, remarquons que c'est une centaine qui vaut iO dizaines. Ajoutons ces iO dizaines à la dizaine qu'il y a dans le nombre proposé, et nous aurons en tout i 1 dizaines. Le quart de H est 2, pour 8; et il reste 3. On écrit 2 au rang des dizaines. Le reste 3 est 3 dizaines, qui valent 30 unités. Ces 30 unités ajoutées aux 2 unités du nombre proposé font 32. Le quart de 32 est 8, que l'on écrit au rang des unités.

Soit à diviser 44156 par 7.

Le premier chiffre du nombre ive eoxvVwïaxvX. ^^&'^^ ^^

(m prend immédiatement deux, qui représentent 44 mille. Le septième de 44 est 6, pour 42 ; et il reste 2. On écrit 6 au rang des mille. Les 2 mille qui restent valent 20 centaines, (jui ajoutées à la centaine du nombre proposé font 21 (Hiiilaines. Le septième de 21 est 3 sans reste. On passe donc au chiffre suivants, sans rien lui ajouter. Le septième de 5 ne peut se prendre. On écrit au rang des Air zaines, et Ton réduit en unités les 5 dizaines. Ces 5 dizaines valent 50 unités, qui avec les 6 du nombre proposé font 50. Le septième de 56 est 8, que Ton écrit au rang des unités.

Divisons 4370i par 8. En abrégeant, l'on dit :

liC huitième de 43 est 5, pour 40. 40 ôtés de 43, il reste 3. Lv huitième de 37 est 4, pour 32. 32 ôtés de 37, il reste 5. Le huitième de 50 est H, pour 48. 48 ôtés de 50, il reste 2. Le huitième de 24 est 3.

Pour dernier exemple, proposons-nous de diviser 32868 par 6.

Le sixième de 32 est 5, pour 30. 30 ôtés de 32, il reste 2. Le sixième de 28 est 4, pour 24. 24 ôtés de 28, il reste 4. Le sixième de 46 est 7, pour 42. 42 ôtés de 46, il reste 4. Le sixième de 48 est 8.

6. Cas ou le dividende renferme des zéros. Soit à diviser 70002 par 6.

Le sixième de 7 est 1, pour 6. 6 ôtés de 7, il reste!. Cet 1 de reste est une dizaine de mille. On la réduit en mille. Cola fait dix mille, sans rien en plus, puisque le nombre ne contient pas de mille. Le sixième de 10 est 1, pour 6; 6 ôtés de 10, il reste 4. Les 4 mille qui restent valent 40 centaines, auxquelles on n'ajoute rien puisque le nombre ne contient pas de centaines. Le sixième de 40 est 6, pour 36; 36 ôtés de 40, il reste 4. Les 4 centaines -^ui restent valent 40 dizaines. Le sixième de 40 est 6,

pour 36 ; 36 ôtés de 40, il reste 4. Les 4 dizaines qui restent valent 40 unités, qui, ajoutées aux 2 unités du nombre, font 42. Le sixième de 42 est 7.

7. RÈGLE. Pour diviser un nombre quelconque par un nombre d'un seul chiffre^ on commence par la gauche du dividende^ oii l'on prend un chiffre ou deux, suivant que le premier chiffre contient ou ne contient pas le diviseur. Le quotient est écrit au rang de ce premier dividende partiel. Le reste y s'il y en a, est converti en unités de l'ordre immédicûement inférieur et ajouté, après cette conversion ^ au chiffre suivant du dividende. La somme donne un nouveau dividende partiel sur lequel on opère comme sur le premier. On continue de la sorte jusqu'à la fin du dividenae, en ayant soin chaque fois de convertir le reste de la division précédente en unités de l'ordre sur lequel on va opérer et a ajouter le reste ainsi modifié au chiffre du dividende.

8. Preuve. Le quotient, avons-nous vu, exprime la quote-party la quotité d'une somme, qui revient à chacun âes partageants. Si l'on répète cette part, ce quotient, autant de fois qu'il y a de partageants, c'est-à-dire autant de fois qu'il y a d'unités dans le diviseur, on doit reproduire la somme à partager, ou le dividende. Pan conséquent le quotient multiplié par le diviseur reproduit le dimaende. On reconnaît donc que la division est bonne quand lé produit du quotient par le diviseur est égal au dividende.

Opération. Preuve.

37394 5342 quotient

5342 7 diviseur

37394 produit égal au dividende.

On a divisé 37394 par 7. Le quotient est 5342. Pour vérifier l'opération, on multiplie le quotient 5342 par le diviseur 7. Le produit est égal au dividende. L'opération est donc exacte.

9. Cas ou la division donne un reste. Très-fréquemment la division conduit à un reste. Soit par exemple à diviser 743 par 6, on dira :

123 reste 5.

60 NOUVELLE ARTTHMÉTFOUE.

Le «ixiftmo de 7 est j , pour 6 ; 6 ôtés de 7, il reste i. Le MÎxiftîTKî (ic iA est 2, pour 12; 12 ôtés de 14, il reste 2. Le Mixiftme de 23 est 3, pour 18; 18 ôtés de 23, il reste 5.

Pour faire la preuve quand il y a un reste, on multiplie Iff f/untimi par le diviseur, et au produite on ajoute le reste, Le rémltat doit être égal au dividende.

Preuve.

1 23 quotient aivi$eur

fj reste

743 résultat égal au dividende.

10. CéAUWL MENTAL. La division mentale par un nombre d'un «eiil ehinVe est conduite de la même manière que ropéralion écrite. Veut-on, par exemple, diviser 152 par 4? On (lit : le quart de 15 est 3, et il reste 3. Le quart de .>i est 8. IjC résultat est 38. Toute la difficulté consiste à bien «e représenter en imagination le nombre proposé, et à se rappeler les résultats fournis par chaque division partielle. Pour des nombres peu considérables, cette difficullé est bientôt vaincue.

HÉSUMÉ.

I. La division divise, partage à parts égales. La quantité à partager est le dividende, le nombre dos partageants est le diviseur^ la part qui revient à chacun est le quotient,

*l, Prei^dre la moitié^ le tiers, le quarts le cinquième, etc., d'un nombre, c'est le diviser par 2, par 3, par 4, par 5, etc.

3. La table de multiplication enseigne la valeur de la moitié, du tiers, du quart, etc., d'un nombre composé de deux chiffres au plus.

4. Ponr prendre la moitié, le tiers, le quart, etc., d'un nombre quelconque, il fflqt prendre successivement la moitié, le tiers, le quart, etCt do ses unités des divers ordres, à partir de Tordre le plus élevé.

5. S'il y a un reste pour les unités d'un certain ordre, ce reste est converti en unités de l'ordre immédiatement inférieur et ajouté, après conversion, au chiffre sur lequel on va opérer.

G. Si le chiffre sur lequel on doit opérer est un zéro, on n'ajoute rien au reste converti en unités de Tordre inTérieur.

7. Si le premier chiffre du dividende contient le diviseur, il y a mi quotient autant de chiffres qu'au dividende ; si le premier chiffre du dividendene contient pas le diviseur, il y a au quotient un chiffre de moins çà'sa dividende.

Le qaotieot multiplié par le dWiseur TeptodvAW. \ft ô\V\^^\\(ife^Q^'MiS «/M» àe reste.

9. S'il y a an reste, en Tajoatant au] produit da quotient par le divi ; leur, on retrouve le dividende.

r EXERCICES SUR LA DIVISION PAR UN NOMBRE d'uN SEUL CHIFFRE.

^' (Le signe de la division est un irait horizontal — . Au-dessus ^ on place

le dividende; au'dessous, le diviseur. Ainsi •-• signifie 48 à diviser

pare.)

Faire les divisions suivantes :

79i30 1315 14025 94215 74340 ZÎUO 54145

"^- HT"' "T"' "ïï"' "IT"' "T"' ""T"^ "Y"