CHAPITRE VII

DiTidion

1. Notions préliminaires. Proposons-nous maintenant de partager 37638 francs à parts égales entre 453 personnes. Le partage sera fait si Ton répartit également entre les 153 intéressés les dizaines, de mille du nombre, les mille, les centaines, les dizaines et les unités. Par quel ordre de ces différentes espèces d'unités convient-il de commencer le partage? Évidemment par les unités de Tordre le plus élevé, comme lorsque le diviseur est un nombre d'un seul chiffre; on aura de la sorte l'avantage de pouvoir réduire les restes des diverses divisions partielles en unités de Tordre immédiatement inférieur, afin de les soumettre à un nouveau partage après les avoir réunies aux unités du même ordre que le dividende renferme.

Écrivons le dividende à gauche, le diviseur à droite, se-

Î)arons les deux nombres par un trait de haut en bas, souignons le diviseur d'un trait au-dessous duquel nous pla cerons le quotient et raisonnons ainsi :

11 faut, disons-nous, répartir également entre 453 pet

sonnes les 3 dizaines de mille du nombre proposé, pui

les 7 mille, puis les 6 centaines, puis les 3 dizaines et enfi

/es 8 unités. Mais les 3 dizaines de mille ne se prêtent pr

^^i partage parce qu'il n'y a pas uw ivotcOùY^ ^v^C^sant.

'^duit donc en unités de l'ordre imm^^x^V^m^xiVvcS

^^est-^-dire en mille. Gelaiail^OmiWe, c^\3:\^\^>

aux 7 mille du second chiffre, donnent 37 mille. Les 37 mille ne se prêtent pas encore au partage, puisqu'il en faudrait au moins 453 pour que la répartition fût possible. On les réduit donc en 370 centaines, qui réunies aux fi centaines du nombre donnent 376 centaines. Maintenant le partage peut se faire, il y aura des centaines pour cha-

Iue partageant. Séparons par un point les 376 centaines u dividende; c'est sur elles que doit porter d'abord l'opération. De là résulte cette première règle :

On sépare sur la gauche du dividende autant de chiffres p'ilen faut pour contenir au moins une fois le diviseur.

Combien sur les 376 centaines à partager en revient-il à chacune des 453 personnes; est-ce une seule, deux, trois, quatre? On le détermine par quelques essais. Admettons qu'il en revienne 3 à chaque personne. Dans cette supposition, le nombre total des centaines distribuées se- Ktitégal à 3 répété autant de fois qu'il y a de partageants, o'est-à-dire serait égal à 3 multiplié par 453; en d'autres termes, le nombre de centaines distribuées vaudrait le produit du diviseur par le chiffre essayé 3. Ce produit est 459. Mais nous n'avons que 376 centaines à partager et non pas 459; la part 3 pour chaque personne est donc trop forte.

On reconnaît donc que le chiff^i^e essayé est trop fort loî^spie le produit du diviseur par ce chiffre ne peut se retrancher de la partie du dividende sur laquelle on opère.

Essayons 4 centaine par personne. Le nombre de centaines réparties serait alors de 453, moindre que 37(), nombre de centaines dont on dispose réellement. Si l'on retranche 453 de 376, il reste 223 centaines, nombre assez grand pour se prêter encore au partage. La part 4 centaine par personne est alors trop faible puisqu'il reste encore assez de centaines pour un nouveau partage.

Le chiffre essayé est donc trop faible lorsque son produit mr le diviseur^ étant retranché de la partie au dividende sur laquelle on opère^ donne un reste plus grand que le diviseur.

Essayons enfin 2 centaines par personne. Les 2 centaines répétées 453 fois donnent 306. Dans ce cas, la totalité de la TépartitioD ne dépasse pas le i\oxî\\i\:e, "i" Vc^ ô.w\\. <i>\^ ^>-'^- 70fie; déplus, si l'on retranclie '^06 àe^"l^^. çiwVç^x^>^'^'^^> ombre plus faible que celui des çaT\^%e.^^^s> ^V^^^^^^

00 HOUVELLE ABITQMÉnQUE.

séqiient non susceptible tel qu'il est d'un nouveau partage. Le chiffre 2 est donc convenable.

Le chiffre essayé est bon quand le produit du diviseur par ce chiffre peut se retrancher de la partie du dividende sur laquelle on opère, et que le reste est moindre que le diviseur.

On retranche 306 de 376 ; il reste 70 centaines à répartir encore. A cet effet, on les réduit en dizaines. Les 700 dizaines qui en résultent, réunies aux 3 dizaines du dividende, donnent 703 dizaines à partager. Pour obtenir ce nombre 703, on voit qu'il suffit d'écrire à la droite du reste 70 le chiffre suivant du dividende, c'est-à-dire le chiffre 3 que l'on sépare par un point.

A la droite du reste, on abaisse le chiffre suivant du dimdende, chiffre que l'on sépare par un point.

Pour trouver le nombre de dizaines revenant à chaque personne sur les 703 qu'il s'agit de partager, on fait quelques essais comme nous venons de le dire au sujet des centaines. Le chiffre 4 convient parce que son produit par 153 donne un nombre 612 moindre que 703, avec un leste 9i moindre que 153.

On écrit 612 sous 703 et l'on fait la soustraction. Le reste 91 représente 91 dizaines qu'il faut encore partager. Ces 91 dizaines valent 910 unités, qui réunies aux 8 unités du dividende donnent l)t8 unités. On obtient immédiatement ce nombre 918 en abaissant à la droite du reste 91 le chifïre 8 des unités du dividende.

Quelques essais apprennent combien il revient d'unités à chaque personne sur les 918 qu'il faut partager. Le chifïre G est bon, car, en le répétant 153 fois, ou bien en multipliant 153 par 6, on obtient précisément 918. Cela fait, il ne reste plus rien ; le partage est donc terminé, et il revient à chaque personne 2 centaines, 4 dizaines et 6 unités, ou bien 246 francs.

2. RÈGLE. De ces développements on déduit la règle à suivre pour faire une division par un nombre de plusieurs chiffres.

On prend sur la gauche du dividende autant de chiffres quil en faut pour contenir le diviseur et on les sépare des autres par un point. Au inoyen de quelques tâtonnements , on recherche par quel chiffre u faut multiplier le diviseur pour

*^*cùntenu dans lapartie séparée du dividende, bre que le diviseur. Le chiffre essayé est

trop fort si la soustraction ne peut se faire, il est trop faible si le reste dépasse le diviseur.

On multiplie le diviseur par le chiffre trouvé et l'on écrit le produit sous la partie retranchée du dividende. (306 sous 376 dans l'exemple proposé.) On opère la soustraction, et à la smte du reste on abaisse le premier chiffre de la partie du dividende non encoi^e employée, (A la suite du reste 70, on abaisse le chiffre 3 du dividende.)

On opère sur ce second dividende partiel comme sur le premier^ c'est-à-dire que l'on recherche par quel chiffre il faut multiplier le diviseur pour obtenir un produit contenu dans ce dimdende partiel^ avec un reste moindre que le diviseur. Le chiffre essayé est trop fort si la soustraction ne peut se faire, il est trop faible si le reste dépasse le diviseur.

On multiplie le diviseur par le chiffre jugé convenable et T&a écrit le produit sous le dividende partiel (612 sous 703). On opère la soustraction et à la suite du reste, on abaisse le chiffre suivant du dividende, (A la suite du reste 91, on abaisse le chiffre 8 du dividende.)

Ce troisième dividende partiel est traité de la même manière que les précédents, etc. , etc.

En résumé, Ton voit qu'après avoir séparé sur la gauche du dividende autant de chiffres qu'il en laut pour contenir le diviseur, et déterminé le premier chiffre du quotient, on trouve les autres chiffres au moyen de nombres dont chacun se compose du reste précédent et du chiffre suivant du dividende abaissé à côté du reste.

3. Dividendes partiels. Nombre de chiffres du quotient. Chacun des nombres servant à trouver l'un des chiffres du quotient s'appelle dividende partiel. Dans l'exemple proposé, les nombres 376, 703, 918 sont les dividendes partiels de l'opération. Chacun d'eux fournit un chiffre au quotient. La partie que l'on sépare à gauche du dividende donne le premier dividende partiel, et par conséquent le premier chiffre du quotient; chacun des autres chiffres du dividende, abaissé à son tour, donne, avec le reste précédent, un nouveau dividende partiel qui fournit un nouveau chiffre du quotient.

Donc pour avoir le nombre de chiffres du quotient, on sépare sur la gauche du dividende autant de chiffres qu'il en faut pour contenir le diviseur. On compte le nombre de e/«'(-

fres qui restent. Ce nombre augmenté de 1 est égal au nombre de chiffres du quotient.

Exemple : Combien y aiira-t-il de chiffres au quotient si Ton divise 118991 par 463 ? — Pour contenir le diviseur, il faut les quatre premiers chiffres du dividende. Cette partie constitue le premier dividende partiel. Chacun des deux autres chiffres abaissé à droite du reste précédent fournira son dividende partiel. Il y aura donc trois chiffres au quotient. En effectuant Toperation d'après la règle qu'on vient de donner, on trouve en effet :

oao

4. Principales questions qui amènent a la division. Pour répartir à parts égales une quantité entre un certain nombre de partageants, il faut diviser la quantité à partager ou le dividende par le nombre de partageants ou le diviseur. Une question inverse peut se présenter : on peut connaître: 1" la quantité à partagei", 2° la quote-part qui revient à chacun des intéressés, et se proposer de trouver le nombre des intéressés. On peut savoir, par exemple, que la somme partagée est de 48 francs, que la part de chaque personne ayant droit au partage est de 16 francs, et se demander quel est le nombre de personnes. Autant de fois la quote-part 16 sera contenue dans 48, autant il y aura de partageants. L'opération qui recherche combien de fois 16 est contenu dans 48 est ..encore une division : donc :

La division a pour but de trouver combien de fois un nombre appelé diviseur est contenu dans un autre appelé divi* dende.

Cette définition suppose que le dividende est plus grand que Je diviseur, ce qui n'est pas toujours vrai. D'autre /j/?rl. des questions essentiellemeivl dVft^tcxvtes peuvent conduire à la division, comme VélabYUsfetiVX^^^^vx^^'?-^^p/es que voici :

On partageas francs entre 3 personnes.. Combien revient-il à chacune. La division répond 16 francs.

On partage 48 francs entre un certain nombre de personnes. 11 revient i6 francs à chacune. Combien y a-t-il de personnes? La division répond 3 personnes.

Pour ces deux questions inverses, ce qui est diviseur dans la première devient quotient dans la seconde, et ce quî est quotient dans la première devient diviseur dans la seconde. Malgré ce renversement , une chose fondamentale reste la môme, comme il suit. Si dans le premier cas on répète la quote-part 16 francs autant de fois qu'il y a de personnes, on doit retrouver 48 francs ou la somme partagée. Pareillement si dans le second cas on multiplie les 16 francs du diviseur par 3, nombre de personnes du quotient, on doit reproduire 48 francs. En d'autres termes, dans les deux cas, le produit du quotient par le diviseur est égal au dividende. Ainsi du produit 48, on connaît tantôt l'un des facteurs, 3, tantôt l'autre facteur, 16, et l'on se propose de trouver le facteur inconnu. En partant de ce point de vue, on généralise la définition de la division et on la rend applicable dans tous Jes cas, quelle que soit la nature de la question.

^ 5. DÉFINITION GÉNÉRALE DE LA DIVISION. La diviSWn a

pour but, étant donnés un produit et l'un de ses facteurs, de trouver f autre facteur. Le produit donné s'appelle dividende, le facteur connu s'appelle diviseur, le facteur cherché s'appelle QUOTIENT.

Nous allons raisonner une seconde fois la marche de la division en gious basant sur cette définition générale.

6. Recherche du nombre de chiffres du quotient. On sait que H8991 est le produit de 463 par un nombre inconnu. On se propose de trouver ce facteur inconnu. 118991 est le divicjgnde, 463 est le diviseur, le nombre cherché est le quotient. Déterminons d'abord combien de chiffres doit avoir ce quotient. A cet effet, raisonnons ainsi.

Le quotient multiplié par le diviseur doit reproduire le dividende. Si le quotient était égal à. 10, le produit de ce quotient par le diviseur serait 464 x iO ou 4C30, nombre plus faible que le dividende. Le quotient est donc plus grand que 10.

. Si le quotient étnit 100, le produil de ce^ c^woWe^V^'KtV diviseur serait 463X100 ou 46300, ivorû!ûv<b ^w^^^^ ^^

6 4 IÇOUYELLE ABITHMÉTTQUE.

faible que le dividende. Le quotient est donc plus grand que 100.

Si le quotient était 1000, son produit par le diviseur serait 463000, nombre plus fort que le dividende. Le quotient est donc plus faible que 1000.

D'autre part, il est plus tort que 100. Il est donc compris entre 100 et 1000. M.iis tous les nombres compris entre 100 et 1000 ont trois chiffres ; le quotient cherché a donc trois chiffre>, un pour les centaines, un pour les dizaines, un pour les unités.

7. Recherche pu chiffre des centaines. Si Ton faisait le produit du diviseur par le quotient, supposé connu, ropêralion comprendrait trois produits partiels qui seraient groupés en un tout par Taddition fînale, de manière que, Taddition laite, il serait impossible de démêler dans 1 onsomble ce qui revient à chacun de ces produits partiels. Ainsi dans HM>lU, produit de 463 par le quotient inconnu, il est. à plus forte raison, impossible de dire Toxacle pan qui représente le produit partiel par les ivntainos du quotient, celle qui représente le produit jvirtiol par les di^aine^ et celle qui représente le produit partiel par îos unités. Ces trois parts sont confondues en un tout oomnr.ni.

Mais 00 qui est parfaitement possible, c'est de détermiuor dans quolio partie du dividende 118991 se trouve le prv^iuit partiel par les centaines du quotient cherché. Remarquons, on olïet. que le produit partiel des centaines ne peut donner que dos centaines, et des unités des ordres su^voriours, valant dos centaines ; c'est donc dans la partie ■^ liaucho o.u divuiondo. à partir des centaines, que se trouve io pr\\în;t ^vartiol du diviseur 463 par les centaines du *;u.'>tionî.

Oïst\\<vMis î\v or.ition comme il suit :

i i S9,y i;4rt3

So*.v.\t\^rs jwr un point les i 189 centaines du dividende. ^*-^# ..I »;.':<* >o trvnivo io produit partiel du diviseur par /^'^^' :rj;;î, s *:u quotient. Mais s\ Vrouve-l-il seul? Non, c "^Kî<\ i:oUo jv^rtie du diviAetiàe ^uV w>\i\fc\v\v,<£çv

partiels par les dizaines et par les unités du quotient. A combien au plus peuvent s'élever ces centaines provenant des produits partiels par les dizaines et par les unités ? C'est ce qu'il faut maintenant rechercher.

Nous ignorons le chiffre des dizaines et le chiffre des unités du quotient, mais nous pouvons affirmer que ces deux chiffres font au plus 99, le plus grand nombre de deux chiffres. Forçons encore et supposons 100 pour les valeurs réunies des dizaines et des unités du quotient. Dans ce cas l'ensemble des deux produits partiels donnerait 463xi00 ou 463 centaines. Ce résultat est évidemment exagéré puisque les dizaines et les unités ne peuvent faire 100 ensemble, mais tout au plus 99. Ainsi les centaines, provenant du produit partiel par les dizaines ainsi que du produit partiel par les unités, ne peuvent atteindre 463, c'est-à-dire un nombre égal au diviseur.

Il résulte de cette discussion que les 1189 centaines du dividende contiennent le produit partiel des centaines du quotient, et de plus des centaines provenant des deux autres produits partiels et s'élevant à un nombre moindre que le diviseur 463. Pour avoir le premier chiffre du quotient, ûfaut donc trouver un chiffre qm, multiplié par 403, donne un produit contenu dans 1189, avec un reste moindre 5rwe463. Ce chiffre se détermine par quelques essais.

On trouve qu'en multipliant le diviseur par 3, le produit 1389 dépasse 1189, ce qui est contraire à l'une des conditions que nous venons d'établir, savoir que le produit doit être contenu dans 1189. Le chiffre 3 est donc trop fort. On trouve qu'en multipliant le diviseur par 1 , le produit 463 retranché de 1189 donne pour reste 726, nombre plus fort que le diviseur, ce qui est contraire à la seconde condition. Cette seconde condition, en effet, exige que le reste soit plus faible que le diviseur. Enfin, en multipliant par 2, le produit 926 est contenu dans 1189, et de plus le reste 263 est plus petit que le diviseur. Le chiffre 2 est donc le chiffre des centaines du quotient.

8. Recherche du chiffre des dizaines. Multiplions le diviseur par 2 et retranchons le produit de 1189.

taines au quotient. On écrit au quotient à la droite et Ton abaisse le chiffre suivant du dividende. Le no 452 dizaines ne contient pas le diviseur. Il n'y a pas de dizaines au quotient. On écrit au quotient e abaisse le chiffre 4 du dividende. Le dividende p 4524 fournit 6 au quotient. Le quotient est donc 300 Soit encore la division suivante :

Le quotient doit avoir 4 chiffres, on le démenti par le raisonnement qui nous a déjà servi. Mais, avoir obtenu les deux premiers chiffres 7 et 5, le res 0, et les chiffres du dividende que l'on devrait ei abaisser un à un sont des zéros. Les deux chiffres du tient qui restent à trouver sont donc des 0. Par c quent :

Lorsqu*on arrive à des dividendes partiels nuls, on èci quotient autant de zéros quil reste encore de chiffres à ver.

1 i . Méthode pour abréger les essais qui donnent

QUE chiffre du QUOTIENT.

Chercher par quel chiffre il faut multiplier 547

obtenir un produit contenu dans 2363, c'est chei

combien de fois 2363 contient 547. Il faudrait donc s

mander : en 2363 combien de fois 547 est-il contenu

J^our abréger, on ne considère du dimseur que le pr

^//^^^ /ecAi/^reS; et dans fe dividende partiel ou lame

deux chiffreSy c'est-à-dire autant qu'on en laisse de côté dans k diviseur.

On dit alors : en 23 combien de fois 5 ? La réponse est 4. Ce chiffre 4 cependant peut être trop fort à cause des retenues provenant des dizaines et des unités négligées dans le divisiBur. On Tessaye. Il est convenable si la soustraction peut se faire, et si le reste est moindre que le diviseur. C'est ce qui a lieu.

A la suite du reste 175, on abaisse le chiffre du dividende, et, négligeant deux chiffres dans le dividende partiel et dans le diviseur, on dit : en i7 combien de fois 5 ? 3 fois. Le chiffre 3 convient si la soustraction peut se faire, et si le reste est moindre que le diviseur. C'est ce qui a lieu encore.

A la suite du reste 109, on abaisse le chiffre A du dividende, et, négligeant deux chiffres dans le dividende partiel ainsi formé et dans le diviseur, on dit : en 10 combien de[ fois 5 ? 2 fois. La soustraction se fait, le chiffre 2 est bon.

Par cette méthode, on n'a jamais un chiffre trop faible^ mais on s'expose à avoir un chiffre trop fort.

En 51, combien de fois 7? La réponse est 7. Pour reconnaître si ce chiffre n'est pas trop fort, on essaye mentalement la multiplication sur les deux premiers chiffres du diviseur et Ton dit : 7 fois 9 font 63, qui donnent 6 de retenue. 7 fois 7 font 49, et 6 de retenue font 55, nombre qui ne peut se soustraire de 51. Le chiffre 7 est donc trop fort. On essaye alors 6». 6 fois 9 font 54, qui donnent 5 de retenue. 6 fois 7 font 42, et 5 de retenue font 47, qui peut se soustraire de 51. Le chiffre 6 est bon. Et ainsi de suite .

12. Reste de la division. Très-fréquemment, il arrive que le diviseur n'est pas contenu un nombî^ ^ly^i^i^^is. 10)3 dans le dividende. Il y â alors un t^^V^^ cjiv ^ç>A.^Nx^ moindre que le diviseur, car, s'il étail p\w«» çc^xv^ii A^ ^vîv-

7 ^'OUVELLE ARITHMÉTIQUE.

scur serait contenu au moins une fois de plus dans le dividende.

i I reste.

Après avoir trouvé les trois chiffres du quotient i32, on a un excédant H, moindre que le diviseur. Cet excédant est le reste de la division.

13. Division abrégée. Pour abréger l'opération, on est dans l'usage de ne pas écrire les divers produits partiels du diviseur par chacun des chiffres du quotient, et de les soustraire des dividendes partiels correspondants à mesure que la multiplication les forme. C'est ainsi qu'il faut s'habituer à faire la division. Nous allons en donner un exemple.

Le premier chiffre du quotient étant trouvé, il faut faire le produit du diviseur par ce chiffre, et soustraire ce produit du dividende partiel 3(57. Pour opérer la soustraction on mi>me temps que la multiplication, on dit :

i fois 8, c'est 8; 8 ôtés de 17,' il reste 9 et je retiens 4. (Cet 1 de retenue a pour but de compenser les dix unités que Ton vient d'ajouter aux 7 unités afin de rendre la soustraction possible.) 1 fois 7, c'est 7, et i de retenue font 8. (La retenue i que l'on ajoute nci est une dizaine et compense les 10 unités ajoutées au chiffre 7 du nombre 367. l)e colle manière, la diflérence ne change pas.) 8 ôlé^ de 10, il reste 8, olje retiens I. (Ici encore le chiffre 6 est augmenté do 10 pour rendre la soustraction possible; il ///// (hnc, a/ln que la diflérence ne change pas, augmenier le second nombre d'une \m\\fe de Vovdre immediateinent supérieur. Tel est le bulde ceVXe TeVeïiw^V.^V lç;\&l,

DIVISION PAR UN NOMBRE QOELCONQUE. li

c*esl2, et i de retenue font 3. 3 ôtés de 3, il reste 0, que Ton n'écrit pas.

Pour cette partie de Topération, il a suffi d'augmenter de 10 les chiffres 7 et 6 du dividende, ce qui par deux . fois a donné naissance à la retenue \ . Mais il faut souvent augmenter de 20, de 30, de 40, de 50, etc., le chiffre du dividende, afin que la soustraction soil possible. Alors on retient 2, 3, 4, 5, etc., c'est-à-dire que l'on augmente le nombre à soustraire, non écrit, de 2, de 3, de 4, de 5, etc., unités de l'ordre immédiatement supérieur, afin de compenser l'altération qu'a subie le premier nombre .

C'est ainsi que le second chifï're du quotient donne lieu à la marche suivante :

3fois8font24. 24ôtésde24, il reste 0, et je retiens 2. 3 fois 7 font 2i, et 2 de retenue font 23. 23 ôtés de 29, il reste 6, et je retiens 2. 3 fois 2 font 6, et 2 de retenue font 8. 8 ôtés de 8, il reste 0.

Pour le troisième chiffre du quotient, on a : 2 fois 8 font 16. 16 ôtés de 22, il reste 6, et je retiens 2. 2 fois 7 font 14, et 2 de retenue font 16. 16 ôtés de 20, il reste 4, et je retiens 2. 2 fois 2 font 4, et 2 de retenue font 6. 6 ôtés de 6, il reste 0.

Soit enfin la division suivante à opérer par la méthode abrégée.

8 fois 9 font 72. 72 ôtés de 74, il reste 2 et je retiens 7. îfois 8 font 64, et 7 de retenue font 71 . 71 ôtés de 76, il este 5. '

5 fois 9 font 45. 45 ôtés de 53, il reste 8 et je retiens 5. > fois 8 font 40, et 5 de retenue font 45. 45 ôtés di3 52, il •este 7.

14. THÉORÈME. Le quotient ne change pas de valeur qoa'^d m multiplie ou que l'on divise à la fois le dividende et le dic- \eur par le même nombre.

Si le dividende est rendu 4 fois plus grand, par excm- )le, le quotient devient 4 fois plus grand, parce que la quantité à partager est 4 fois plus forte. Mais si d'autre )art le diviseur devient 4 fois plus gv^xvvi, \^ q^<îîv^<jîX!\ ^'^ endu 4 fois plus petit, parce que \e i\otDi!û\<b ^^^ t^^^Xs^-

géants est 4- fois plus fort. Alors, si Ton multiplie à la fois le dividende et le diviseur par 4, le quotient est rendu (l'une part 4 fois plus grand, et de Tautre 4 fois plus petit, ce qui n'altère pas sa valeur primitive.

Pareillement si le dividende est rendu 4 fois plus petit, le quotient devient 4 fois moindre, parce que la quantité à partager est 4 fois moindre. Mais si en même temps le diviseur est rendu 4 fois plus petit, le quotient devient 4 fois plus fort, parce que le nombre des partageants est 4 fois moindre. Ces deux altérations inverses se compensent et le quotient conserve sa valeur première.

Parmi les nombreuses et importantes applications de ce principe, nous citerons ici la suivante.

i5. Division dans le cas ou le dividende et lediviseub SONT TERMINÉS PAR DES ZÉROS. Soit à dJviscr 48000 par 200. On supprime 2 zéros au diviseur, et un pareil nombre de zéros au dividende. On rend ainsi le dividende et le diviseur 100 fois plus petits l'un et l'autre, ce qui ne change pas la valeur du quotient. Il suffit donc de diviser 480 par 2, et le quotient 240 est précisément le quotient de 48000 par 200. Donc, quand le dividende et le diviseur sont termines par des zéros , on en suppnme dans l'un et Vautre nombre autant quil y en a dans celui qui en contient k moins, et l'on opère sur les deux nombres simplifies. Le quotient obtenu est le quotient même des deux nombres proposés,

16. Preuve par la multiplication. S'il n y a pas dereste^ le diviseur multiplié par le quotient doit reproduire le dividende*

S'il y a un reste ^ on rajoute au produit du diviseur par k quotient, et le résultat doit reproduire le dividende.

Voici un exemple de cette preuve dans le cas où il y f en reste.

Opération.

Preuve.

diviseur, quotient.

ï^'àV^ •

âiN\^few^^«

17. Preuve par 9. Examinons d'abord le cas où il n'y a )as de reste.

On traite le diviseur, comme il a été dit, pour obtenir le reste par 9. Le résultat 4 est écrit en face du diviseur. On en fait autant pour le quotient. Le résultat 8 est écrit en face. On multiplie les deux résultats l'un par l'autre. 4 fois 8 font 32. 3 et 2 font 5, que l'on écrit sous les deux premiers résultats. Si l'opération est bonne, le dividende doi* ; donner 5. En effet, en ne tenant pas compte des 9, on a 4et2 font 6, et 8 font 14. 1 et 4 font 5.

En somme, on applique ici la preuve par 9 de la multi-

Ilication. Le diviseur et le quotient sont les deux facteurs, ^ 5 dividende est le produit.

S'il y a un reste, on opère comme il suit :

Le diviseur fournit 8. Le quotient donne : 8 et 5 font H; 1 et 3 font 4. On multiplie 8 par 4 : 4 fois 8 font 32 ; â et 2 font 5, que Ton écrit sous les deux nombres précédents. Le reste de la division, 78, est traité de la même manière. 7 et 8 font 15; 1 et o font 6, que l'on écrit sous le 5. On ajoute les deux résultats : 5 et 6 font 1 1 ; 1 et 1 ■ font 2,* que l'on écrit au-dessous. Si la division est bonne, ^ le dividende doit conduire au chiffre 2. En effet : 7 et 4 'font 11,1 et 4 font 2.

18. Usages de la division. i° La division sert à réparti?^ à parts égales une quantité entre un certain nombre de partageants. Exemples : 6 personnes ont à se partager 360 francs. Que revient-il à chacune? Il faut diviser 360 francs par 6. — 17 mètres d'étoffe coûtent 85 francs. Que coûte

7 4 3i'jC'»i:-is -T-iiriiriiriyCE.

i mètre? Il fant répartir ésalement les 83 francs entre les il mètres, il faut divi-^^r >5 par 17.

Daas ces^ierix exemples, ie dividende et le diriseur sont de nature diiférerite. Ii> représenteat des francs et des personnes dan< le premier cas. des francs et des mètres dans le second. Dans les deux cas, le quotient représcDle de:5 francs, comme le dividende. Donc, en général, quand Je dividende et le diviseur sont de nature différentei le quotient est de la nature du dividende.

2^ La division iert à trouver combien de fois itne quantité est contenue dans une autre de même es^.èce. EIxemple : i litre d'huile coûte 3 francs? Combien aura-t-on de litres d'huile pour 72 francs? — Autant de fois 3 francs est contenu dans 72 francs, autant de litres on aura. 11 faut diviser 72 par 3. — Dans ce cas, le dividende et le diviseur sont de mcme espèce, ils représentent l'un ei Taulre des francs; mais le quutient est de nature différente, il représente des litres. Il faut donc, quand on fait une division, ne pas perdre de vue la nature de la quantité que Ton recherche, car la nature du dividende ne nous renseigne pas toujours à ce sujet.

3** D'une manière générale^ la division sert^ lorsqu'on connaît un produit et l'un de ses facteurs, à trouver l autre faC' teur. Exemple : A 4 francs par journée, une personne a gagné 72 francs. Combien a-l-elîe fait de journées? — Si Ton connaissait le nombre de journées, en multipliant ce nombre par 4, prix d'une journée, on devrait obtenir 72 francs. 72 est donc le produit d'un facteur connu 4 et (l'un facteur inconnu, qui est le nombre de journées. Pour avoir ce nombre de journées, il faut diviser le produit 73 j)ar le facteur connu 4.

RÉSUMÉ

1. On Hi'pare sur la gauche du dividende autant de chiffres qu*il en faut pour contenir au moins une fois le diviseur. Le chiffre essayé est ' tiop fort lorsque son produit par le diviseur dépasse la partie du dividende sur laquelle on opère; il est trop faible si le reste est plus grand cpie le divippur.

V. A lu droite des restes successifs on abaisse le chiffre suivant du dividende, (h ffre (|ue l'on sc^pare par un point. «y. Vmtr avoir le nombre dn chiffres du quotient, on sépare sur la gaatho du dividvndo aiit lUt de cliiffres qu'il en faut pour contenir le divi- "•T, On Cl un p ta h nombre do chiffres i\ui rvi^si^wx* CAu^m^vQ augmenté ' est l'égal au noojbro do chiffres du qvxoxÀetit..

DIVISION PAR UN NOMBRE QUEtCONQUÉ. 75

4. La division ne sert pas seulement k partager un nombre en un ertaio nombre de parties égales, elle sert aussi à chercher combien de ois lin nombre est contenu dans un autre. Dans tous les cas le produit Iq diviseur pur le quotient est égal au dividende.

5. La définition de la division applicable à tous les cas est celle-ci : la livision a pour bur, étant donnés un produit et. l'un de ses facteurs, de ïouver Tautre facteur.

6. On détermine le nombre de chiffres que doit avoir le quotient en nqltipliant le diviseur par 10, 100, lOOO, etc.

7. Les centaines du dividende contiennent le produit partiel par les sentaioes du quotient avec un excédant moindre que le diviseur.

8. Cet excédant, à la suite duquel on écrit le chiffre suivant du divi* Me, contient le produit partiel par les dizaines du quotient avec un îxcédant moindre que le diviseur.

9. Le nouvel excédant, à la suite duquel on écrit le chiffre suivant du olividende, contient le produit partiel par les unités du quotient.

10. Si l'un dos dividendes partiels ne contient pas le diviseur, on écrit Nil quotient et l'on abaisse le chiffre suivant du dividende. — Lorsqu'on itrrivjs à des dividendes partiels nuls, on écrit au quotient autant de ïéros qu'il reste en»îore de chiffres à trouver.

11. Pour abréger les tâtonnements, on ne considère que le premier chiffre du diviseur, et on laisse de côté dans le dividende partiel autant de chiffres qu'on en laisse de côté dans le diviseur.

12. Le reste d'une division est toujours moindre .que le diviseur.

13. Pour abréger la division, on soustrait en même temps que Ton mnltiplie.

U. Le quotient ne change pas de valeur quand on multiplie ou qu'on <liTi8e à la fois le dividende et le diviseur par le même nombre.

là. Quand le dividende et le diviseur sont terminés par des zéros, on ^supprime dans l'un et dans l'autre autant qu'il y en a dans celui des deux nombres qui en contient le moins^ et Ton opère sur les deux nom- Weâ simplifiés.

IG. La preuve de la division se fait par la multiplication.

U. Ou bien par 9.

18. La division sert h répartir une quantité à parts égales entre un cer- ^n nombre de partageants; à trouver combien de fois une quantité est antenne dans une autre de même espèce ; à déterminer le facteur in- %nna d'un produit, quand on connaît ce produit et l'autre facteur.